Tecnicas de integracion y aplicacion de integrales, Explicacion con imagenes

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
FACULTAD DEINGENIERIA
CABUDARE - LARA
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
AUTOR: GAMBOA, ROMMER
SECCIÓN: MI-12
Septiembre, 2018

2. Técnicas de Integración.
A continuación se indican algunas técnicas de Integración que nos permitirán encontrar
las integrales de una clase muy amplia de funciones.
Todas las técnicas tienen como objetivo reducir la integral buscada a una integral ya
conocida o inmediata, como por ejemplo una de las de la tabla ó bien reducirla a una
integral más sencilla.
Integración por cambio de variable.
Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el
resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.
Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio de
variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:
Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos
identificar en el integrando a una función u y a u' (su derivada).
Integración por partes.
Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse
como un producto de una función por la derivada de otra.
Sean u y v dos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables,
entonces:
u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx:

3. Integración de funciones racionales:
Vamos a integrar funciones racionales (cociente de polinomios), que siguen la forma:
a) Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x).
En este caso se divide P(x) entre Q(x), pasando la integral a:
Se reduce a calcular la integral de un polinomio c(x) y la integral de una función racional
en la cual el numerador tiene grado menor que el denominador (está última integral es la
que nos queda por calcular).
A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales
(en las que el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como
una suma de fracciones parciales, fáciles de integrar.
b) Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).
Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del numerador
es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo denominador es de la
forma (ax + b)n ó (ax2 + bx + c)n
b.1) Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas:
La factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos:
Q(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-an), hacemos la siguiente descomposición:
con A1, ...An constantes
reales.

4. b.2) Q(x) tiene todas sus raíces reales, pero puede haber repetidas:
La factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente distintos,
es decir:
Q(x) = (x-a1)m1(x-a2)m2(x-a3)m3…(x-an)mn
De nuevo como en el caso anterior la integración de las fracciones parciales es sencilla
y se reduce a calcular integrales de la forma:
las cuales, para n > 1, se resuelven por un sencillo cambio de variable.
b.3) Q(x) tiene raíces complejas distintas:
Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la
forma:
ax2 + bx + c con b2 - 4ac < 0
a cada uno de estos factores le corresponde una fracción parcial de la forma:
Donde A y B son constantes reales.

5. b.4) Q(x) tiene raíces complejas repetidas:
Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la
forma:
(ax2 + bx + c)n con b2 - 4ac < 0
A cada uno de estos factores le corresponden n fracciones parciales de la forma:
con Ak,
Bk constantes reales (k=1, ..n)
Técnicas de Integración trigonométrica:
a) Funciones racionales de funciones trigonométricas.
Si el integrando es una función racional de senos y cosenos de la forma R(senx, cosx),
entonces la integral se reduce a la integral de una función racional de "t" mediante un
cambio de variable.
1) Función racional de senx y cosx, impar en sex x, es decir R(-senx, cosx) = -R(senx,
cosx). Se aplica el cambio siguiente:
cos x = t
2) Función racional de senx y cosx, impar en cos x, es decir R(senx, -cosx) = -R(senx,
cosx). Se aplica el cambio siguiente:
sen x = t
3) Función racional par en senx y cosx, es decir R(-senx, -cosx) = R(senx, cosx). Se
aplica el cambio siguiente:
4) En cualquier caso, cambio general. Se aplica el cambio siguiente:

6. b) Integrales que contienen funciones trigonométricas.
Veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones trigonométricas,
que posteriormente se utilizarán en el método de sustitución trigonométrica:
1) Potencias de senos y cosenos.
Para resolver este tipo de integrales, consideramos dos casos:
o Si n es impar, es decir, n = 2k+1, factorizamos el integrando, por
ejemplo:
sennx dx = sen2k+1x dx = (sen2x)k senx dx
Utilizamos la identidad sen2x+cos2x=1 y tomamos el siguiente cambio de
variable:
- En caso de potencias del seno: u=cosx
- En caso de potencias del coseno: u=senx
Ejemplo
o Si n es par, es decir, n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo:
sennx = sen2kx = (sen2x)k
cosnx = cos2kx = (cos2x)k
y utilizamos las identidades trigonométricas:
sen2x = [1-cos(2x)] / 2
cos2x = [1+cos(2x)] / 2

7. Ejemplo
2) Productos de potencias de senos y cosenos.
o Si m y n son pares, utilizaremos las identidades:
sen2x = (1-cos2x) / 2 y cos2x = (1+cos2x) / 2
o Si m ó n es impar, utilizaremos la identidad:
sen2x+cos2x=1
3) Productos de potencias de tangentes y secantes.
o Si n es par, utilizamos la identidad:
sec2x = 1 + tan2x
o Si m es impar, utilizamos la identidad:
tan2x = sec2x - 1
o Si n es impar y m par, utilizamos algún otro método, como por ejemplo,
integración por partes.
c) Sustitución trigonométrica.
Este método nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas
integrales son funciones trigonométricas.
1) Si en el integrando aparece un radical de la forma:
Tomamos el cambio de variable:

8. x = a sen θ, con a > 0 ;
θ = arcsenx
Ejemplo
2) Si en el integrando aparece un radical de la forma:
tomamos el cambio de variable siguiente:
x = a tan θ, con a > 0
θ = arctanx
Ejemplo
3) Si en el integrando aparece un radical de la forma:
tomamos el cambio de variable siguiente:
x = a sec θ, con a > 0
θ = arcsec(x/a) si x>a
θ = 2arcsec(x/a) si x<-a
Integración de funciones Irracionales:
a) donde R es una función racional.
Se reduce a la integral de una función racional mediante el cambio x = tk, donde
"k" es el mínimo común múltiplo de los denominadores (n, ...,s).

9. Ejemplo
b) donde R es una
función racional.
Se reduce a la integral de una función racional mediante el cambio, donde "μ" es el
mínimo común múltiplo de los denominadores (n, q,..., v).
Ejemplo
c) donde R es una función racional
c.1) Si a > 0, el cambio a realizar es
c.2) Si c > 0, el cambio a realizar es
c.3) Si a < 0 y c < 0, el cambio a realizar es
, con ax2 + bx + c = a(x-α)(x-β)

10. Aplicaciones de la integral definida.
Área del recinto limitado por la gráfica de una función.
 Sea f(x) continua y f(x) ≥ 0 para todo x en [a, b]:
El área del recinto limitado por la gráfica de una función positiva, el eje de abscisas y
dos rectas verticales es:
 Sea f(x) continua y f(x) ≤ 0 para todo x en [a, b]:
El área del recinto limitado por la gráfica de una función negativa, el eje de abscisas y
dos rectas verticales es:
 Sea f(x) continua y f(x) toma valores positivos y negativos en sub-intervalos
de [a, b]:
Cuando f(x) no tiene signo constante en el intervalo [a, b], su gráfica determina con el
eje OX varias regiones. Habrá que identificar el signo de la función en cada uno de los
sub-intervalos y calcular el área de cada una de las regiones para posteriormente
sumarlas.

11. Área del recinto limitado por la gráfica de dos funciones.
 Si f1, f2 son dos funciones distintas, integrables en [a, b] y tales que f1(x) ≤ f2(x)
para todo x en [a, b], entonces el área de la región R = {(x,y)
a ≤ x ≤ b
y f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}, es:
 Si f1, f2 son dos funciones distintas, continuas en [a, b] y tales que sus gráficas
se cruzan en un número finito de puntos, entonces el área de la región limitada
por estas curvas y las rectas verticales x = a e y = b es:
 Como caso particular, si f: [a, b] en una función integrable en [a, b] que no
mantiene signo constante en dicho intervalo, entonces el área de la región
limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a, y x =
b es:
(Interpretación geométrica)
Volúmenes de revolución:
El volumen V de revolución engendrado por el área que define una curva
continua f(x) sobre un intervalo dado del eje de abscisas puede considerarse igual a la
suma de los infinitos cilindros de altura infinitesimal que pueden ser construidos por
cortes perpendiculares al eje de simetría del volumen V (el volumen del cilindro
infinitesimal: superficie de la base –círculo de radio f(xi)- por la altura Δxi).

12. Sea f una función real continua en [a, b], entonces el volumen de revolución engendrado
al girar en torno al eje X, el recinto limitado por las rectas x=a, x=b, el eje X y la gráfica
de f(x) viene dado por:
Longitud del arco de una curva:
La longitud de un arco cualquiera para una curva continua e integrable Riemann, se
obtendría como la suma infinita de las longitudes infinitesimales de arco.
Sea f una función real continua en [a,b], tal que su derivada f ' también es continua en
[a, b]; entonces la longitud de la gráfica de f entre x=a y x=b es:
Área lateral de revolución:
Sea f una función real continua en [a, b], tal que su derivada f ' también es continua en
[a, b]; entonces el área lateral de revolución engendrada por f(x) al girar en torno al eje
X, entre las rectas x=a y x=b, es: