Este documento describe el método del lugar geométrico de las raíces (LGR), el cual permite determinar la posición de los polos de una función de transferencia a lazo cerrado a medida que varía la ganancia K. El LGR representa gráficamente las soluciones de la ecuación característica en el plano complejo y ofrece información sobre la estabilidad y comportamiento del sistema. El documento explica los pasos para construir el LGR y aplicarlo en MATLAB, ilustrando con un ejemplo.

1. Profesor: Realizado por:
Ing. Mariangela Pollonais Br. Millán Manuel C.I.13.544.358
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
EXTENSIÓN MATURÍN
LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES
Maturín, Agosto de 2013

2. Lugar Geométrico de las raíces
En teoría de control, el lugar de raíces o lugar de las raíces (del inglés, root locus) es el lugar
geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del
sistema K en un determinado intervalo. El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los
polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la
función de transferencia a lazo abierto.
El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO
(single input single output) y su estabilidad (BIBO stability). (Recuérdese que un sistema es estable si todos
sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano (en el caso de sistemas continuos) o dentro del
círculo unitario del plano z (para sistemas discretos).
El método de construcción para el lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica a
lazo cerrado cuando se varía un parámetro se fundamenta en un esquema de control de retroalimentación
simple como el que se muestra en la siguiente figura, para el cual la ecuación característica a lazo cerrado es
la que indica la siguiente ecuación cuyas soluciones representan los polos del lazo cerrado.

3. El lugar geométrico de las raíces se realiza para variaciones de K desde cero hasta infinito, para las
cuales dichas raíces debe en satisfacer la Ecuación anterior. Como s es una variable compleja, es posible reescribir
dicha ecuación en forma polar como sigue a continuación:
A partir de allí se pueden identificar dos condiciones que deben en cumplirse para satisfacer la
ecuación anterior, las cuales son cono caídas como la Condición de Módulo y la Condición de Ángulo y se
muestran en las Ecuaciones siguiente respectivamente.
Si la función de transferencia a lazo abierto se factoriza en polos y ceros, tal como se muestra
en la ecuación siguiente, las condiciones de módulo y de ángulo pueden reescribirse como se muestra en las
siguientes ecuaciones respectivamente.

4. Las dos condiciones anteriores deben en cumplirse para cada una de las raíces que forme parte del
lugar geométrico, de forma tal que se garantice que cada una de ellas sea solución de la ecuación característica
Aplicaciones del LGR
La estabilidad absoluta y relativa y el comportamiento transitorio de un sistema de control en lazo
cerrado están directamente relacionados con la localización en el plano S de las raíces de la ecuación
característica en lazo cerrado.
La técnica del lugar de las raíces es un método grafico para dibujar la posición de las raíces de la
ecuación característica a medida que varia un parámetro K y es una herramienta potente para:
• Estudiar la estabilidad del sistema en función de los valores K.
•Conseguir que el comportamiento transitorio del sistema responda a unas especificaciones prefijadas ajustando
un parámetro K. Esto se consigue ubicando las raíces de lado cerrado en la situación deseada.

5. Pasos para determinar el Lugar Geométrico de las raíces en Matlab
Para dibujar el lugar de las raíces con Matlab, la ecuación característica debe expresarse de la siguiente forma:
Los comandos en Matlab relacionado con el lugar de las raíces son:

7. Ejemplo:
Representar el lugar de raíces del sistema de control de la siguiente Figura:

9. Características del LGR
El LGR consta de ramas que se dirigen de los polos a los ceros, si el número de ceros es menor que el
número de polos el lugar geométrico se dirige a los ceros en el infinito a lo largo de las asíntotas.
Existe un punto de partida o llegada σ B que es el punto donde el LGR corta con el eje real.- El LGR corta con
el eje imaginario en Kc (ganancia crítica. La Kc se obtiene del criterio de estabilidad de Routh Hurwitz. Para el sistema de la
figura 1 cuyo LGR se muestra en la siguiente figura:

10. ¿Qué es MATLAB?
MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es una herramienta de software
matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M).
Está disponible para las plataformas Unix, Windows y Mac OS X.
Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de datos y
funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas
en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que
expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de
usuario - GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de herramientas (toolboxes); y las
de Simulink con los paquetes de bloques(blocksets).
Es un software muy usado en universidades y centros de investigación y desarrollo. En los
últimos años ha aumentado el número de prestaciones, como la de programar directamente procesadores
digitales de señal o crear código VHDL.

11. Luego se ubica en el plano complejo los polos y ceros de la ecuación pasada recuerden que los polos se
representan por una x y los ceros con una o.
Para dibujar el LGR, sé varia k entre cero e infinito. De la ecuación 3.4 se puede deducir que:
Sí k=0 entonces las raíces de la ecuación característica son los polos de G(s).
Sí K⇒ ∞ entonces las raíces de la ecuación característica son los ceros de G(s).
Por lo tanto el LGR inicia en los polos de G(s) y termina en los ceros de G(s) a medida que aumenta k de cero a infinito.
Otra característica importante a tener en cuenta del LGR es que este gráfico es simétrico con respecto al eje real, ya que
las raíces complejas de un polinomio deben aparecer en parejas (raíces complejas conjugadas).
El número de segmentos que componen el LGR de un sistema es igual al número de polos en lazo abierto del proceso, ya
que en sistemas dinámicos el número de polos es mayor que el número de ceros.
N = np - nz
Donde N es el número de segmentos del LGR que terminan en polos en el infinito, nz el número de ceros del
sistema y np el número de polos. N también determina el número de asíntotas del LGR.
Como el número de polos es mayor que el de ceros, entonces en el gráfico del LGR del sistema habrá segmentos que
terminen en ceros en infinito, y dichos segmentos tomaran la dirección que indiquen las asíntotas, el calculo de dichas
asíntotas se muestra a continuación.
La ecuación característica del sistema proporciona información valiosa con respecto a la respuesta del
sistema cuando se determina las raíces de la ecuación; para trazar el LGR del sistema primero se debe determinar la
función características del sistema.
1+kG(s) = 0
Luego se factoriza G(s),