El documento presenta el método de las deformaciones para resolver un ejercicio que involucra hallar las reacciones de vínculo en un pórtico. Se define el sistema fundamental, se analiza el efecto de las cargas externas, y se plantean ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones. Adicionalmente, se estudian los efectos de un asentamiento y un incremento de temperatura sobre el sistema.

1. Hiperestáticos
Método de las Deformaciones
Resolución del Ejercicio N° 9 de
la Guía de la Práctica – TP N° 9
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Para el pórtico de la figura hallar
los valores de las reacciones de
vínculo:
Consideraciones Preliminares
El método propone fijar los nudos
tanto angular como linealmente,
analizando el efecto que tienen las
cargas externas sobre la estructura;
para luego imponer pequeños
desplazamientos a las estructuras
para cada una de las restricciones
impuestas y calcular su efecto sobre
los esfuerzos internos.

3. Para el pórtico de la figura hallar
los valores de las reacciones de
vínculo:
Finalmente, aplicando el principio
de superposición, se determina el
efecto conjunto. Por cada
componente de desplazamiento
desconocida se establece una
ecuación de equilibrio.
Formando un sistema de
ecuaciones que permite determinar
dichas deformaciones y mediante
las mismas obtener los esfuerzos en
la estructura.
Consideraciones Preliminares

4. Para el pórtico de la figura hallar
los valores de las reacciones de
vínculo:
Los esfuerzos en “pie de
barras” están tabulados y
podemos obtenerlos para vigas
doblemente empotradas y
empotradas/articuladas
Consideraciones Preliminares

5. Definimos el Sistema
Fundamental:
Resolución
Procedemos a fijar angularmente
el nudo B de forma tal que no
pueda rotar. De esta forma la única
restricción impuesta al sistema
será B = 0. En consecuencia el
sistema fundamental resultante
será la que se muestra en la figura
y estará conformado por una barra
empotrada-articulada (barra
horizontal BC), y una barra
empotrada-empotrada (barra
vertical AB).

6. Definimos el Sistema
Fundamental:
Resolución
Una vez hecho esto, analizaremos
el efecto que tienen las cargas
externas (q) sobre este sistema
fundamental; para luego imponer
pequeños desplazamientos a las
estructuras para cada una de las
restricciones impuestas (en este
caso la rotación del nodo B) y
calcular su efecto sobre los
esfuerzos internos. Aplicando el
principio de superposición, se
determina el efecto conjunto.

7. Analizaremos el efecto
que tienen las cargas
externas
Como puede observarse en la
figura, las cargas exteriores
deformarán la barra AB de
acuerdo con el siguiente
esquema:
Por lo tanto, de tablas, el momento en el
nodo B debido a la acción de las cargas
exteriores será:
12
2
0
1
H
q
a P



8. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
El esquema sería el que
se presenta en la figura,
y su efecto combinado
será para un valor
unitario de : L
J
E
H
J
E
a






3
4
0
11

9. Planteamos las ecuaciones
de compatibilidad
Como el sistema se encuentra
en equilibrio, los momentos
generados por la combinación
de las cargas exteriores y los
giros del nodo B deberán ser
nulos:
0
0
11
0
1 

 
a
a P
   
H
L
J
E
L
H
q
H
L
H
L
J
E
H
q
a
a P






















3
4
12
3
4
12
3
2
0
11
0
1

Y obtenemos el valor del giro del nodo B:

10. Calculamos ahora las
reacciones de vínculo en A

































J
E
L
N
J
E
H
H
q
Q
J
E
H
H
q
M
A
A
A
A
2
2
2
3
6
2
2
12
M’A
Q’A
N’A
Aplicando el principio de
superposición resulta:

11. Calculamos ahora las
reacciones de vínculo en C
Q’C
N’C
Aplicando el principio de
superposición resulta:






















J
E
L
Q
J
E
H
H
q
N
C
C
C
2
2
3
6
2

12. Hallemos los valores de los esfuerzos que se
producen cuando se produce un asentamiento
vertical del vínculo C de valor d
Procedemos a fijar angularmente
el nudo B de forma tal que no
pueda rotar. De esta forma la única
restricción impuesta al sistema
será B = 0. En consecuencia el
sistema fundamental resultante
será la que se muestra en la figura:

13. En el Fundamental consideramos un
asentamiento vertical del vínculo C
de valor d
Por lo tanto, de tablas, el
momento en el nodo B
debido al asentamiento
del vínculo C será:
d
d 



 2
0
1 3
L
J
E
a

14. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
El esquema sería el que
se presenta en la figura,
y su efecto combinado
será para un valor
unitario de : L
J
E
H
J
E
a






3
4
0
11

15. Planteamos las ecuaciones
de compatibilidad
Como el sistema se encuentra
en equilibrio, los momentos
generados por la combinación
del asentamiento del vínculo C
y los giros del nodo B deberán
ser nulos:
0
0
11
0
1 

 
d a
a
   
H
L
L
H
H
L
H
L
J
E
L
J
E
a
a






















3
4
3
3
4
3
2
0
11
0
1 d
d
 d
d
Y obtenemos el valor del giro del nodo B:

16. Calculamos ahora las
reacciones de vínculo en A
MA’’
QA’’ NA’’
Aplicando el principio de
superposición resulta:

































d



J
E
L
J
E
L
N
J
E
H
Q
J
E
H
M
A
A
A
A
3
2
2
3
3
6
2

17. Calculamos ahora las
reacciones de vínculo en C
QC’’
NC’’
Aplicando el principio de
superposición resulta:
























d

J
E
H
N
J
E
L
J
E
L
Q
C
C
C
2
3
2
6
3
3

18. Hallemos los efectos de un incremento de
temperatura (de valor t)
Procedemos a fijar angularmente
el nudo B de forma tal que no
pueda rotar. De esta forma la única
restricción impuesta al sistema
será B = 0. En consecuencia el
sistema fundamental resultante
será la que se muestra en la figura:
coeficiente de dilatación
libre de un prisma () que
mide el alargamiento o
acortamiento por unidad
de longitud, cuando la
temperatura varía 1 °C.
 
 















H
t
L
t
H
L

d

d

19. En el Fundamental consideramos un
desplazamiento del vínculo B de
valor d
Por lo tanto, de tablas, el momento en
el nodo B debido al desplazamiento del
nodo B será:
   2
2
3
6
L
H
H
L
B
L
J
E
H
J
E
M
d
d
d
d
d











20. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
El esquema sería el que
se presenta en la figura,
y su efecto combinado
será para un valor
unitario de : L
H
B
L
J
E
H
J
E
M
d
d









3
4

21. Planteamos las ecuaciones
de compatibilidad
Como el sistema se encuentra
en equilibrio, los momentos
generados por la combinación
del desplazamiento del nodo B
y los giros del nodo B deberán
ser nulos:
0


 

d B
B M
M
   
   
L
H
L
H
H
L
B
B
t
L
J
E
H
J
E
L
J
E
H
J
E
M
M
d
d
d
d
d
d


d




















 
3
4
3
6
2
2
Y obtenemos el valor del giro del nodo B:

22. Calculamos ahora
las reacciones de
vínculo en A
MA’’’
QA’’’
NA’’’
Aplicando el principio de
superposición resulta:
   
   
   




















































3
2
2
3
2
3
3
6
12
2
6
L
L
A
H
H
L
A
H
H
L
A
L
J
E
L
J
E
N
H
J
E
H
J
E
Q
H
J
E
H
J
E
M
A
d
d
d

d

d
d
d

d
d

23.    
   

































2
3
3
2
6
12
3
3
H
H
L
C
L
L
C
H
J
E
H
J
E
N
L
J
E
L
J
E
Q
C
d

d
d
d
d
d

Calculamos ahora
las reacciones de
vínculo en C
Aplicando el principio de
superposición resulta:
QC’’’
NC’’’

24. Resumiendo
































A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
N
N
N
N
Q
Q
Q
Q
M
M
M
M
A
MA
QA
NA
Si nuestro problema, además
de tener superabundancia de
vínculos, está afectado por un
asentamiento en uno de ellos y
además por una diferencia de
temperaturas, aplicando el
principio de superposición
resulta:
QC
NC





















C
C
C
C
C
C
C
C
N
N
N
N
Q
Q
Q
Q
C

25. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

26. Muchas Gracias