Este documento presenta los conceptos básicos de modelos matemáticos, diagramas de bloques y álgebra de bloques para la modelación y análisis de sistemas. Explica cómo utilizar la transformada de Laplace para obtener las funciones de transferencia de sistemas y representarlos mediante diagramas de bloques. También describe cómo simplificar diagramas de bloques complejos mediante la aplicación de reglas del álgebra de bloques.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Maturín
Esc. Ing. Electrónica y Eléctrica
Modelos matemáticos. Diagramas de bloques
Facilitadora: Ing. Mariángela Pollonais
Maturín, mayo de 2011

2. Aplicaciones transformada de Laplace
 Circuito RLC serie
Las ecuaciones de la malla, de acuerdo a la ley de voltajes
de Kirchhoff

3. Aplicaciones Transformada de Laplace
 Obteniendo la Transformada de Laplace, con
condiciones iniciales igual a cero se obtiene :

4. Aplicaciones Transformada de Laplace
 Haciendo el cociente de la señal de
salida con respecto a la entrada
se tiene:
 Con esta relación, se puede obtener la respuesta a
diferentes señales de entrada típicas y saber el
comportamiento del sistema.

5. Aplicaciones Transformada de Laplace
 Sistema Masa Resorte
 Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:
d2y dy
k m 2 b ky (t ) r (t )
dt dt
 b donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción
viscosa, k es la constante del resorte, y(t) es el
desplazamiento y r(t) es la fuerza aplicada.
m
y(t)
r(t)

6. Aplicaciones Transformada de Laplace
 Su transformada de Laplace es:
M s 2Y ( s) sy (0) y ' (0) b sY ( s) y (0) KY ( s) R( s )
considerando:
y ' (0) 0, y (0) 0
2
Ms Y ( s) bsY ( s) KY ( s) R( s )
Y (s) 1
2
R( s) Ms bs K

7. Función de Transferencia
La función de transferencia de un sistema se define como
la transformada de Laplace de la variable de salida y la
transformada de Laplace de la variable de
entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
L c(t )
Función de transferencia
L r (t )
con condiciones inicialescero
c(t ) salida
r (t ) entrada

8. Función de Transferencia
Observaciones
 Es una descripción entrada salida del comportamiento
del sistema.
 Depende de las características del sistema y no de la
magnitud y tipo de entrada.
 No proporciona información acerca de la estructura
interna del sistema.

9. Función de Transferencia
 Para el sistema:
an y ( n ) an 1 y ( n 1)
 a1 y ' a0 y bm u ( m )  b1u ' b0u
donde y(t)=entrada y u(t)= salida n≥m
Aplicando Transformada de Laplace en ambos
miembros queda:
( m)
Y ( s) bm s  b1s b0
G( s)
U ( s) an s ( n ) an 1s ( n 1)  a1s a0

10. Función de Transferencia
 A la potencia más alta del denominador de G(s)
(ecuación característica) se le denomina orden del
sistema.
A las raíces de la ecuación característica se les
denominan polos del sistema, mientras que a las raíces
del numerador se le llaman ceros del sistema.

11. Diagrama de polos y ceros
El diagrama de polos y ceros de la Función de
Transferencia de un sistema es una gráfica en el plano
complejo s donde los ceros se destacan con un símbolo ‘o’ y
los polos con un símbolo ‘x’ .
 POLOS: p es un polo de un sistema si G(p)
“
 CEROS: c es un cero de un sistema si G(c) 0

12. Diagrama de polos y ceros

Un sistema, que esta inicialmen te en reposo,

se explica por la Funcion de Transferen cia
( s 5)(s j )
H (s)
( s 3)(s 2)(s 2 6 s 25)
( s 5)(s j )
H (s)
( s 3)(s 2)(s 3 j 4)(s 3 j 4)

los ceros del sistema seran
c1 5, c 2 j

los polos del sistema seran
p1 3, p 2 2, p 3 3 j 4, p 4 3 j4

13. Diagrama de polos y ceros
Representación en el plano complejo
j Imag(s) = j
4
1
Re(s) =
-5 -3 -2
-4

14. Modelo Matemático
En líneas generales, por modelo de un proceso se
entiende una representación de los aspectos esenciales
del mismo. Los modelos han probado su utilidad en
diferentes aspectos del diseño, operación y desarrollo de
procesos.

15. Modelo Matemático
Representan el proceso en términos matemáticos
(símbolos), en cuanto a sus propiedades, características, y
relaciones internas y externas. Son extensivamente usados
en una gran cantidad de campos.
• Ventajas de los modelos matemáticos:
• Lenguaje preciso, sin ambiguedades.
• Facilidad de manipulación analítica e implementación
computacional

16. Diagramas de Bloque
• Los diagramas de bloques de un sistema son bloques
operacionales y unidireccionales que representan la
función de transferencia de las variables de interés.
• Ventajas:
• Representan en forma más gráfica el flujo de señales
de un sistema.
• Con los bloques es posible evaluar la contribución de
cada componente al desempeño total del sistema.
• No incluye información de la construcción física del
sistema (Laplace).

17. Diagramas de Bloque
• Elementos de un diagrama de bloques
Función de
Variable Variable
transferencia
de entrada de salida
G (s )

18. Diagramas de Bloque
 Bloque:
Representa la operación matemática que sufre la
señal de entrada para producir la señal de salida. Las
funciones de transferencia se introducen en los bloques. A
los bloques también se les llama ganancia.
 Flecha:
Representa una y solo una variable. La punta de la
flecha indica la dirección del flujo de señales.

19. Diagramas de Bloque
 Forma general
Bifurcación.
P(s)
R(s) E(s)
G(s) C(s)
+ B(s)
H(s)
Sumador

20. Diagramas de Bloque
 R(s) Entrada de referencia: Es la señal de entrada al
sistema de control.
 C(s) Salida del sistema: Es la cantidad física que debe
mantenerse en un valor predeterminado.
 P(s) Perturbaciones: Son señales que afectan la salida del
sistema.

21. Diagramas de Bloque
 E(s) Señal activa de error: Esta señal es la diferencia entre
la señal de entrada de referencia y la salida del sistema,
actúa sobre el bloque de control para mantener la salida
de un valor deseado.
 B(s) Señal de retroalimentación: Es la señal de salida
despues que pasa por el elemento H(s).

22. Diagramas de Bloque
 Sumadores: Representan operaciones de adición o
sustracción de las señales que intervienen. También se les
llama comparadores. (La adición o sustracción depende del
signo con que las señales entran)

23. Diagramas de Bloque
Bifurcación: Un punto de toma es aquel a partir del cual
la señal de un bloque va de modo concurrente a otros
bloques o puntos de suma.

24. Diagramas de Bloque

25. Diagrama de bloques
 El diagrama de bloques se obtiene a partir de las ecuaciones
dinámicas que describen el comportamiento de cada
componente a las que previamente se las aplica la
Transformada de Laplace, conectando finalmente los
componentes del diagrama de bloques completo.
 A partir del diagrama de bloques de un sistema se pueden
realizar modificaciones con objeto de simplificar o reducir el
diagrama original, hasta quedar un solo bloque equivalente.
 Reducción del diagrama de bloques original por aplicación de
las reglas del algebra de bloques.

26. Diagramas de bloques
 Funciones de transferencia
 De trayectoria directa.
 De lazo abierto.
 De lazo Cerrado.

27. Diagramas de bloques
 Función de transferencia trayectoria directa
R(s) E(s) G(s) C(s)
B(s)
H(s)
C (s)
G (s)
E (s)

28. Diagramas de bloques
 Función de transferencia de lazo abierto
R(s) E(s) G(s) C(s)
+ B(s)
H(s)
B( s)
G( s) * H ( s)
E ( s)

29. Diagramas de bloques
 Función de transferencia de lazo cerrado
R(s) C(s)
G(s)
+
-
H(s)
C ( s) G( s)
R( s) 1 G( s) * H ( s)

30. Álgebra de bloques
 Representa las equivalencia que existen entre un conjunto
de elementos de un diagrama de bloques agrupados en una
forma específica.

31. Álgebra de bloques
 Bloques en serie
R(s) C(s)
G1(s) G2(s)
R(s) C(s)
G1(s) x G2(s)

32. Álgebra de Bloques
 Bloques en paralelo
G1(s) C(s)
R(s)
G2(s)
R(s) C(s)
G1(s) + G2(s)

33. Álgebra de Bloques
 Adelantar punto de bifurcación
X1(s) X2(s)
G1(s)
G2(s)
X1(s) X2(s)
G1(s)
G2 ( s )
G1 ( s )

34. Álgebra de bloques
 Atrasar un punto de bifurcación
X1(s)
X2(s)
G1(s)
G2 ( s )
X1(s) X2(s)
G1(s)
G1(s)G2(s)

35. Álgebra de bloques
 Adelantar un punto de suma
X1(s) X2(s)
G1(s)
G2(s)
X2(s)
X1(s)
G1(s)
G2 ( s )
G1 ( s )

36. Álgebra de bloques
 Atrasar un punto de suma
X1(s) X2(s)
G1(s)
G2 ( s )
X2(s)
X1(s)
G1(s)
G1(s)G2(s)

37. Álgebra de bloques
 Propiedad asociativa de la suma
X1 + X4
X2 X3
- -
X2
-
X1 + X4
-
X3

38. Álgebra de bloques
 Retroalimentación
R(s) G(s) C(s)
+
_
H(s)
G (s)
R(s) C(s)
1 G (s) H (s)

39. Álgebra de bloques
 Tablas…

40. Álgebra de bloques
 Continuación…

41. Simplificación de Diagramas de
Bloques
 Se basa en el uso del “álgebra de bloques“ para agrupar
y sustituir partes de un diagrama inicial por
equivalentes reducidos. Realizando esto en forma
sucesiva, se logra llevar el problema inicial a un sólo
resultado o bloque, el cual representará la función de
transferencia entre las señales involucradas.

42. Simplificación de Diagramas de Bloques
 Ejemplos
_
R(S) + +
5 10 C(s)
_
H
_ 1/10
R(S)
5 10 C(S)
_
1/5 H

43. Simplificación de Diagramas de Bloques
 Continuación…
_ 1/10
+
R(S) 5 10 C(S)
_
1/5 H
+
R(S) 50 C(S)
_
H/5 1/10

44. Simplificación de Diagramas de Bloques
 Continuación…
+
R(S) 50 C(S)
_
(10H+5)/50
G (s)
R(s) C(s)
1 G (s) H (s)

45. Simplificación de Diagramas de Bloques
 Ejemplo
Ha
_
+ +
R(s) Ga Gb Gc C(s)
_
Hb
1/Ga Ha
_
R(s) + + C(s)
Ga Gb Gc
_
Hb 1/Gc

46. Simplificación de Diagramas de Bloques
 Continuación..
1/Ga Ha
_
R(s) + + Ga Gb Gc C(s)
_
Hb 1/Gc
R(s) + C(s)
GaGbGc
_
(Ha/Ga)+(Hb/Gc)