Este documento presenta un programa de catorce talleres de perfeccionamiento para profesores de matemáticas de primero a cuarto año de educación básica. El objetivo es facilitar el intercambio de experiencias entre los profesores para optimizar su práctica a través de la reflexión. Cada taller aborda un tema matemático y propone actividades para profesores y alumnos. Los talleres buscan mejorar la calidad de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.

2. Vida, números y formas
Grecia Gálvez
Silvia Navarro
Marta Riveros
Pierina Zanocco
Ministerio de Educación
Co - edición:
Programa de Mejoramiento de la Calidad de la Educación en
Escuelas Básicas de Sectores Pobres
Centro de Perfeccionamiento, Experimentación e
Investigaciones Pedagógicas
Santiago, reimpresión 1998

3. MINISTERIO DE EDUCACION
N° Inscripción 84.439
Prohibida la reproducción
sin previa autorización
HECHO EN CHILE
Portada: Verónica Araya
Ilustraciones: Claudio Martínez
Diagramación: Carlos Altamirano
MAVAL Ltda.
Pirámide 521 San Miguel
Fono: 552.1527 • 552.2899
D.A.E. O/C N° 10276

4. Indice
Presentación 5
Taller 1/ La matemática y nosotros 9
Taller 2/ Problemas en matemática 23
Taller 3/ Analizando, adaptando e inventando problemas 37
Taller 4/ Las mil y una maneras de resolver un problema 51
Taller 5/ Enseñando a resolver problemas 61
Taller 6/ Explorando el espacio 73
Taller 7/ figuras del plano y del espacio 91
Taller 8/ Reconstruyendo el sistema de numeración decimal 107
Taller 9/ Situaciones y combinaciones aditivas 121
Taller 10/ Revisando los algoritmos de la adición y la sustracción 139
Taller 11/ Situaciones y combinaciones multiplicativas 155
Taller 12/ Revisando el algoritmo de la multiplicación 173
Taller 13/ Revisando el algoritmo de la división 185
Taller 141 La matemática en nuestras aulas 195

5. Presentación
Vida, números y formas, es un material para ser
trabajado en Talleres de Perfeccionamiento en Matemática
por profesores de primer a cuarto año de Educación General
Básica; es fruto de la experiencia acumulada, en relación a
esta modalidad de perfeccionamiento, por el Programa de
Mejoramiento de la Calidad de las Escuelas Básicas de
Sectores Pobres.
Se concibe el Taller de Perfeccionamiento, como una
instancia de reflexión de los profesores, en lo relativo a la
orientación de los procesos de desarrollo y aprendizaje de
los alumnos. También constituye un espacio para el inter-
cambio organizado de experiencias y puntos de vista de los
profesores ypara el rescate y valoración de sus prácticas de
aula más exitosas.
El trabajo del Taller conduce a la reconstrucción de la
matemática que los profesores deben enseñar, y al esta-
blecimiento de nexos significativos entre los contenidos de
aprendizaje y la cultura en la que se encuentran inmersos sus
alumnos. Todo esto conlleva a la generación de propuestas
didácticas, posibles de experimentar a nivel de sala de
clases.
A través de diversas actividades, el Taller de Perfeccio-
namiento posibilita a los profesores vivenciar y analizar los

6. procesos de construcción de conceptos, el establecimiento matemática y temas considerados contenidos mínimos en la
de relaciones y procedimientos, para optimizar su compren- educación matemática de los alumnos de primer ciclo de
sión de los procesos de aprendizaje de sus alumnos, y estar Educación General Básica.
así en mejores condiciones para introducir mejoras en sus
prácticas de enseñanza. Resulta interesante señalar que los temas generales son
trabajados en el primero y en el último de los Talleres
El perfeccionamiento, así concebido, contribuye a garanti- propuestos. El Taller 1: «La matemática y nosotros», cons
zar el derecho de todos los alumnos a disfrutar de experiencias tituye un marco de referencia necesario de tener presente
educativas consideradas esenciales para su desarrollo y para la durante la realización de los siguientes Talleres. En éste se
construcción de sus conocimientos y abre un espacio a la proponen actividades para develar la actitud hacia la ma-
autonomía profesional de los docentes, permitiéndoles funda- temática de cada profesorparticipante, la influencia de ésta
mentar su toma de decisiones en relación al establecimiento y en la enseñanza y un análisis del sentido del aprendizaje
puesta en práctica dél currículum escolar. matemático para los alumnos de Educación General Básica.
En el último; Taller 14: «La matemática en nuestras
La concreción de este tipo de perfeccionamiento docente aulas», se plantea una revisión de la organización de las
requiere de un compromiso por parte de todos y cada uno de clases de matemática, de los momentos claves de éstas, de
los participantes del Taller, quienes deben aportar a la los recursos a los que más usualmente puede acceder un
creación de un clima de convivencia en las sesiones, que profesor, concluyendo con la evaluación, por parte de cada
permita la libre expresión de sentimientos e ideas, y a la participante, de los cambios que ha experimentado como
consecución del logro de los propósitos de cada Taller, enseñante de la asignatura, a raíz del perfeccionamiento.
mediante su participación en las sesiones y el cumplimiento,
entre una sesión y otra, del compromiso contraido con las En relación a los contenidos propios de la educación
«Tareas». Estos aportes significarán una contribución a la' matemática de escolares básicos, se presentan tres temáticas:
meta general del perfecionamiento que es introducirmejoras Resolución de problemas.
en la calidad de los aprendizajes matemáticos de los alumnos. Iniciación a la geometría.
Los Talleres de Perfeccionamiento en Matemática que Operatoria aritmética.
se proponen en este texto, abordan temas generales que un
profesor debe analizar para enfrentar la enseñanza de la Resolución de problemas, es un tema que puede cons-

7. tituirse en el eje central de la educación matemática en la Este tema se trabaja en el
escuela básica, dado que contribuye significativamente a Taller 6: «Explorando el espacio y
que los alumnos capten el sentido de los conocimientos Taller 7. «Figuras del plano y del espacio».
matemáticos que adquieren en la escuela y de sus relacio-
nes con los que logran y necesitan fuera de ella y favorece Finalmente el tema referido a operatoria aritmética,
el desarrollo de competencias básicas generales, tales atiende a la revisión de un contenido siempre presente en los
como; las habilidades para seleccionar, analizar, organizar cursos del primer ciclo de educación básica:
y comunicar información. adición, sustracción, multiplicación y división con números
naturales.
Este tema es trabajado, en forma específica, a través del: Este tema se inicia con un Taller destinado a una
Taller 2: "Problemas en matemática" revisión del sistema de numeración decimal, requisito in-
Taller 3. "Analizando, adaptando e inventando problemas" dispensable para manejar comprensivamente procedi
Taller 4. "Las mil y una maneras de resolver un problema " mientos de cálculo escrito. En los Talleres siguientes se
Taller 5: "Enseñando a resolver problemas". proponen actividades tendientes a analizar el significado de
la operatoria aritmética mediante problemas. Se plantea que
Los logros esperados en estos cuatro Talleres son a partir de situaciones aditivas es posible conceptualizar la
permanentemente evocados a través de los restantes. adición y la sustracción como problema inverso y, en forma
análoga, las situaciones multiplicativas generan los concep-
El tema iniciación a la geometría, ha sido incluido como tos de multiplicación y división. Se ofrecen también activi-
respuesta a una necesidad sentida y muchas veces plantea- dades para un análisis de los procedimientos o algoritmos
da por los supervisores y profesores que han participado en de resolución de ejercicios de operatoria.
este Programa. Se abordan aspectos que aparecen como
esenciales para los alumnos de primer ciclo, las nociones El desarrollo de este tema contempla el.
espaciales básicas (orientación, ubicación y movimiento en Taller 8: «Reconstruyendo el sistema de numeración
el espacio), cuerpos geométricos y polígonos. Se sugieren decimal»
actividades de integración con otras asignaturas, que favo- Taller 9.: «Situaciones y combinaciones aditivas»
recen el desarrollo de nociones espaciales y de conceptos Taller 10: «Revisando los algoritmos de la adición y de
geométricos en forma intuitiva. la sustracción»

8. Taller 11: nSituacionesycombfnacionesmultiplicativas»
Taller 12: «Revisando el algoritmo de la multiplicación»
Taller 13: «Revisando el algoritmo de la división».
Los Talleres, en la mayoría de los casos, consideran
tanto actividades- para el profesor, como sugerencias de
actividades y materiales para los alumnos de E.G. B., que se
espera sean incrementados con el aporte de los profesores.
En general, esta propuesta de perfeccionamiento sólo
cobra vida gracias al trabajo sesión a sesión de los partici-
pantes y es valiosa si logra traducírse en acciones en las
salas de clases.
Se desea dejarconstancia de nuestra gratitud a la Emba-
jada de Francia por el aporte académico que significaron la
presencia de los expertos franceses en Educación Matemática,
Profesores Guy Brousseau, Catherine Houdement , Daniélle
Ilergnes, Yves Clavier ya la Editorial Hatier por sus autorización
para utilizar las propuestas pedagógicas del texto «Objectif
Calcul» en la elaboración de este texto.
Finalmente-un agradecimiento muy especial a los su-
pervisores yprofesores que junto a nosotros fueron abriendo
este camino de perfeccionamiento profesional, sus obser
vaciones y sugerencias permiten brindar a otros docentes
una ruta ya explorada y enriquecida.
Las autoras.

9. Taller 1/
La primera parte de este Taller obedece al propósito de explicar en qué consiste, hacia dónde apunta
y cómofunciona este Programa de Perfeccionamiento. La segunda parte consiste en una invitación a revivir
experiencias personales relativas al aprendizaje y a la enseñanza de la matemática, para reflexionar luego
sobre su influencia en la disposición a aprender matemática que presentan hoy nuestros alumnos y, por
lo tanto, en sus rendimientos.

10. Actividad 1 / Luego, leen lo que sigue.
Mis expectativas Seguramente han observado que cadaTaller comienza
con un párrafo que explica sus propósitos y que, entre Taller
y el programa
y Taller, hay que hacer una Tarea. Esta consistirá general
mente en realizar alguna actividad con sus alumnos y en
Los profesores participantes se sientan, formando un
redactar sus conclusiones en un breve informe.
círculo. Esta distribución es adecuada para todos los Talleres.
El objetivo principal de organizar este perfeccionamien-
El conductor del Taller organiza una dinámica para que
to en forma de Talleres es facilitar el intercambio de expe-
l os participantes expresen sus expectativas. Por ejemplo,
riencias entre los profesores participantes y estimular su
pregunta: «¿qué esperan Uds. d e este trabajo de perfeccio
reflexión colectiva. Se trata de que, a partir de lo que hacen,
namiento?» y deja un tiempo para que cada persona reflexione
leen, piensan y conversan en los Talleres, vayan adoptando
i ndividualmente. Luego fabrica una pelota, arrugando una
criterios que les sirvan para optimizar su práctica profesio-
hoja de papel, y la lanza a cualquiera de los participantes
nal, aprovechando integralmente su experiencia e incorpo-
para que exteriorice su respuesta, en una sola frase. Al
rando también la experiencia y habilidades que sus alumnos
terminar, esta persona lanza la pelota a otra y así continúan,
desarrollan en .su vida extraescolar.
hasta que todos hayan intervenido. A medida que van
respondiendo, el conductor del Taller hace un punteo de las
Para fomentar el intercambio de experiencias y reflexio-
i deas principales, en el pizarrón.
nes, las actividades, en su mayoría, se realizarán en grupos.
Los grupos serán de dos o tres personas, si el total de
Una vez explicitadas las expectativas, corresponde
participantes del Taller es reducido, y de cuatro a cinco
que los participantes conozcan lo que se les ofrece: el
personas, en un Taller más numeroso. AÍ término de las
Programa de los catorce Talleres contenidos en este Manual.
actividades grupales, se ha programado una puesta en
común, en la que se comunican las conclusiones de cada
Individualmente, los profesores exploran el Manual:
grupo al resto de los participantes.
opinan sobre el título, leen la Presentación y el Indice, hojean
las páginas interiores para formarse una idea de su conte-
El desarrollo de las actividades propuestas en cada
nido.
Taller requiere de un conductor. Este puede ser un supervisor

11. u otro experto, pero también puede ser uno de los participan- separados, bajen sus hombros y dejen colgar sus brazos,
tes que; habiendo asistido al Taller anterior, se encargue de inclinen su cabeza hacia adelante soltando el cuelloy cierren
preparar la sesión siguiente, basándose en el Manual, y de sus ojos, respirando profundo para relajarse.
conseguir los materiales que allí se indiquen. A fin de
garantizar la continuidad del perfeccionamiento, es conve- Hablando en forma lenta y tranquila, haciendo pausas para
niente alternar sesiones conducidas por un supervisor u otro dar tiempo a que aparezcan las imágenes, dice:
experto, con sesiones a cargo de conductores internos al
• Concéntrese en sí mismo y preste mucha atención a l o
grupo de participantes.
que siente al escuchar la siguiente palabra: ..... MATE-
MATICA..... Trate de mantener sus sensaciones... sus
El Manual ha sido organizado en catorce Talleres. Cada
imágenes... sus sentimientos... Deje de lado sus pensa-
uno de ellos aborda un tema que puede ser desarrollado en
varias sesiones. De acuerdo a sus intereses y a su experien mientos y concéntrese en sus sentimientos... sus
cia, los participantes irán determinando, en conjunto con el emociones ...¿Qué siente?... ¿Qué emociones experi-
conductor del Taller, el ritmo con que van avanzando a través menta?
del Programa propuesto. Las autoras esperan que tengan un
• Retroceda mentalmente en el tiempo y véase a sí mismo
grato caminar.
como alumno, en clase de matemática... ¿Cómo se
sentía?... ¿Le gustaba esta asignatura?... ¿Cómo le iba
Actividad 2/ en matemática?... ¿Le era fácil aprender?... ¿Hubo
Mi experiencia cambios?... ¿En qué momentos?...
como alumno • Recuerde a quienes le enseñaron matemática... ¿Cómo
eran estas personas?... ¿Recuerda a alguna en espe-
Materiales: Una hoja con las preguntas, por profesor. cial?... ¿Qué siente al imaginársela? ... ¿Cuál fue el mejor
profesor de matemática que tuvo? ... ¿Y el peor?...
El conductor del Taller anuncia que van a hacer un ejercicio El conductor pide que abran sus ojos y, sin hacer ningún
de imaginería. Pide a los profesores que se sienten cómoda- comentario, contesten por escrito las preguntas del recuadro:
mente, apoyen ambos pies en el suelo dejándolos un poco «Mi experiencia como alumno», reproducidas en una hoja.

12. Mi experiencia como alumno
1. Durante el ejercicio, mi reacción al escuchar la palabra matemática fue:
- más bien positiva
- más bien negativa
- neutra
2. Durante mi época de estudiante, en matemática me sentí un alumno:
- Con facilidad para aprender esta asignatura
- Con dificultad para comprenderla
- Ni bueno ni malo, promedio
3. Creo que los aspectos positivos de los profesores de matemática son:
a)
b)
c)
4. Me parece que los aspectos negativos de los profesores de matemática son:
a)
b)
c)

13. No necesitan poner su nombre. una clase de matemática en su curso.... ¿Cómo se
siente?... ¿Cuáles son sus sensaciones... imágenes...
Después de recoger las respuestas, el conductor deja
sentimientos...? ¿Le gusta estar allí?... ¿Cómo siente el
un tiempo para que los profesores comenten las experien-
paso del tiempo?... ¿Se siente seguro o inseguro?... ¿En
cias evocadas durante el ejercicio, en la medida en que
qué se siente más inseguro?... ¿Cómo ve a sus alum-
deseen compartirlas. Es importante insistir en que centren
nos?...
sus comentarios en los sentimientos, más que en las posi-
bles explicaciones de ellos.
• Concentre ahora toda su atención en alguno de sus
alumnos e imagine, por un momento, que Ud. está en su
Se recomienda hacer una pausa, antes de
l ugar... ¿Cómo se siente?... ¿Le interesa la clase?... ¿Le
iniciar la siguiente actividad.
parece claro lo que le están explicando?... ¿Cómo ve a
su profesor?... ¿Se atreve a hacerle preguntas?... ¿Le
parece que Ud. es importante para él?... ¿Qué le gusta-
Actividad 3/ ría que fuera diferente?
Mi experiencia
como profesor El conductor pide que abran los ojos y, sin hacer
comentarios, contesten las preguntas del recuadro: «Mi
Materiales: Una hoja con las preguntas, por profesor.
experiencia como profesor», en la hoja previamente prepa-
El conductor del Taller pide nuevamente a los profesores rada.
que se sienten cómodamente y se relajen (repite las instruc-
ciones de.la actividad anterior). Después de recoger las respuestas, el conductor pro-
pone a los profesores que intercambien comentarios sobre
Hablando lentamente, con pausas, les dice: l o que sintieron y recordaron durante este segundo ejercicio.
0 Concéntrese en sí mismo e imagine que está haciendo

14. Mi experiencia como profesor
1. Los aspectos positivos de mis clases de matemática son:
a)
b)
c)
Z Los aspectos negativos de mis clases de matemática son:
a)
b)
c)
3. Cuando me puse en el lugar de uno de mis alumnos sentí que yo podría enseñarles mejor si

15. Actividad 4/ Actividad 5/
Análisis de las respuestas Definamos la tarea
Los profesores respondieron por escrito siete pregun- Se propone la lectura de un texto sobre el sentido de la
tas. De acuerdo al número de participantes en el Taller, uno enseñanza de la matemática en la escuela básica, con
o dos profesores se encargan de analizar y resumir, en un preguntas para pensar y responder.
papelógrafo, las respuestas a una misma pregunta. Para
facilitar su trabajo, cortan las hojas y juntan las respuestas a El conductor del Taller invita a los profesores a leer el
una misma pregunta. Al final, se hace una puesta en texto que sigue y a responder las preguntas que aparecen
común de los análisis realizados, con apoyo de los al final del mismo, las que se comentarán en el próximo
papelógrafos. Taller.

16. Aprendizaje matemático y contextualización lo que va a suceder si la compro. Esta es la forma en que
uso la matemática. Pienso que lo importante es usarla.
En la Universidad de Southern Illinois, en Edwardsville, Me parece que mucho de lo que se hace en las escuelas
Estados Unidos, el profesor Thomas C. O'Brien creó un no está relacionado con el contexto en que usamos la
Centro para Profesores, donde se realizaban activida- matemática. Las escuelas funcionan a nivel de un
des para la actualización de los profesores de Educa- simple entrenamiento de los niños para hacer o decir
ción Básica de la región. En una ocasión invitó a A. I. cosas. Se les dice: «3 + 4» y ellos responden: n7».
Weinzweg, profesor de matemáticas de la Universidad ¿Quién, en su sano juicio, se interesaría por saber que
de Illinois, en Chicago, a conversar con un grupo de tres más cuatro es igual a siete, a menos que eso tenga
profesores sobre la enseñanza de la matemática en la alguna utilidad? Seleccionamos lo que queremos ense-
escuela básica. Presentamos aquí un extracto de dicha ñar en la escuela por su utilidad, pero no les presenta-
conversación, que fue publicada por el Centro de Pro- mos a los niños las cosas contextualizadas. Nunca les
fesores dirigido por T.C. O'Brien. decimos que es importante saber que 3 + 4 = 7 porque
eso se puede aplicar en muchos contextos diferentes y
Weinzweg: Yo pienso que la matemática es una es posible ahorrarse mucho trabajo al no tener que
manera de pensar. La matemática es el arte de tratar de enfrentar cada nuevo contexto como si fuera una nueva
determinar qué sucederá cuando decido hacer algo, situación. Eso es precisamente lo esencial de la mate-
sin tener que hacerlo realmente. Por ejemplo, si tengo mática.
un espacio disponible en mi comedor y quiero comprar
una vitrina... O'8rien: La matemática se usa en la escuela para
acostumbrar a los niños a hacer lo que el profesor les
O'Brien: Tú no empiezas por traer la vitrina. dice que hagan.
Weinzweg: Yo no compro la vitrina hasta estar seguro Weinzweg: Sí, y también como mecanismo de se-
de que es del tamaño adecuado. Primero mido el lección de los alumnos. Los tests de inteligencia usan
espacio donde la voy a colocar y mido la vitrina, así sé tareas matemáticas, por ejemplo, de visualización es-

17. pacial. La mayoría de la gente tiene dificultades para desarrollo del pensamiento, es aprender a distinguir
visualizar. Pienso que esto se debe a que, aunque han entre lo que hay que considerar y lo que hay que ignorar,
tenido mucha experiencia en visualizar cosas, nunca al realizar una tarea.
han aprendido a localizar, no saben realmente qué
buscar, qué mirar, cuando ven algo. La gente que ha Weinzweg: Correcto. Pienso que constantemente nos
desarrollado naturalmente su habilidad en está área enfrentamos a una masa de estímulos. Y tenemos que
maneja, sin darse cuenta, ciertas claves. Parte del distinguir entre la información y el ruido de fondo. Nos
problema reside en que hay que trabajar con represen- fijamos en lo que creemos que constituye una información
taciones en dos dimensiones de objetos que son importante. Pero a veces, lo que es realmente importante
tridimensionales. Esto requiere el manejo de un código, no se ve de inmediato. Seguramente Uds. han tenido la
igual que la lectura y la escritura, y hay que aprender a experiencia de dar una serie de instrucciones a-un
descifrar ese código. Hay que aprender a fijarse en grupo. La gente empieza a trabajar y dé pronto se
cierto tipo de cosas y a no fijarse en otras. detienen. «No sabemos cómo seguir, dicen. Al repe-
tirles las mismas instrucciones exclaman: «Ah, ahora
O'Brien: ¿Y cómo aprendemos a fijarnos en lo que sí—, como si antes no se les hubiese dado la información.
corresponde? Lo que pasa es que, al principio, ellos se fijaron sólo en
lo que les parecía importante y desatendieron parte de
Weinzweg: Como matemático, me es difícil respon- la información que se les dió. Cuando avanzaron en la
der, porque yo, automáticamente, hago cosas de las realización de la tarea se encontraron en una situación
que no me doy cuenta. Dando un curso para profesores, en la que no disponían de suficiente información; en ese
sin embargo, he visto que personas que inicialmente momento, las informaciones que Uds. les repiten son
tenían muy poca habilidad para visualizar, pudieron significativas porque están referidas al contexto parti-
llegara resolver tareas más difíciles que las que aparecen cular en que ellos están funcionando. Ahora pueden
en los tests de inteligencia. asimilarlas y utilizarlas.
O'Brien: 0 sea que un aspecto importante, en el O'Brien: Eso significa que hay que observar en qué

18. parte de la tarea está el niño, no darle el flujo total de ejemplo, si le digo a uno de Uds.: «Cuente, la persona
información o de instrucciones en un solo paquete. designada dirá: « 1, 2, 3, 4, 5, 6-. Si luego le muestro un
puñado de cubos y le digo: «Cuente», la persona los irá
Weinzweg: Exactamente. Cuando trabajo con alum- señalando uno por uno mientras dice:; -f 1, 2, 3, 4, 5, 6».
nos, en cualquier nivel, les doy sólo la información Yo utilicé exactamente la misma orden verbal, pero las
suficiente para empezar. Les doy las reglas básicas del respuestas fueron diferentes.
juego. Y cuando avanzan en la tarea les digo: «ahora Usamos la palabra contar para designar acciones muy
voy a introducir una nueva regla». En ese momento esta variadas. Como matemático interesado en el aprendiza-
regla resulta significativa, porque están manejándola en je infantil, yo quiero desarrollar en los niños la com-
un contexto particular. Si yo tratara de darles todas las prensión del número. Primero tengo que preguntarme:
reglas al comienzo.s e produciría una situación frustran- ¿Por qué están interesados en el número? ¿Qué pro-
te para ellos y para mí. Yo diría: «Eso ya lo expliqué». Y blemas van a afrontar cuando usen números?¿ Cómo
el pobre alumno respondería: «Pero yo no lo entendí^ van a usar los números?
El se sentiría tonto, yo sentiría que él es tonto y que el Supongamos que estoy con un grupo de niños y tengo
curso no puso atención. La verdad es que ellos sí una bolsa de dulces. Como soy una persona conside-
pusieron atención, pero no lograron ensamblar todas rada y amable quiero dar un dulce a cada niño. Pero si
las piezas desde el principio. empiezo a repartir los dulces y no me alcanzan para
todos me encontraré en un gran problema. Necesito
O'Brien: Hablemos un poco acerca del contexto. Este saber lo que pasará, antes de ejecutar realmente la
parece ser un tema muy importante para ti. acción. Así, cuento el número de niños y el número de
dulces. Si el número de dulces no es menor que el de
Weinzweg: Bueno, cuando hablamos del aprendizaje niños, puedo iniciar el reparto sin ningún riesgo. Aquí
de los niños, lo que queremos que aprendan son con- estoy resolviendo un problema particular en un contexto
ceptos, conceptos matemáticos. Pero los conceptos no particular. Si quiero que los niños capten esta idea
vienen del aire, los desarrollamos para abordar situa- tengo que examinar detalladamente lo que pasa con el
ciones particulares en contextos particulares. Por número y con el contar y tengo que crear contextos de

19. manera que los niños construyan su noción de número Después de un tiempo de. tratar con adiciones
a partir de ellos. contextualizadas, el niño empieza a desarrollar su com-
Lo que sucede es que el niño crea una noción de prensión descontextualizada de 3 + 2 = 5. Se da cuenta
número para enfrentar un contexto y otra noción diferen- de que si sabe la respuesta en un contexto, puede
te para enfrentar otro contexto. Después de cierto aplicarla a cualquier otro contexto. Ahora tiene una
tiempo, el niño empieza a reconocer que si hace una razón para aprender que 3 + 2 = 5. Es un conocimiento
tarea en un contexto, puede cambiar a otro contexto y que le ahorra trabajo.
obtener la misma respuesta al hacer el mismo tipo de
tarea. Por ejemplo, en un juego tipo carrera de caballos, O'Brien: Esto le da mucho poder.
si un niño tira dos veces el dado y obtiene 3 y 2,
podemos escribir su tirada como: 3 + 2 = 5. Para el niño, Weinzweg: Absolutamente. La matemática es pode-
esta escritura tiene un significado contextual; significa rosa. Actualmente, juega un rol importante en casi todas
sólo que en su primera tirada le salió un 3, en la segunda las áreas. La razón es que los matemáticos desarrollan,
un 2 y que, en total, su caballo avanzó 5 espacios. en situaciones descontextualizadas, conocimientos que
luego podemos aplicar en toda clase de contextos
O'Brien: De lo que dices se desprende que gran parte diferentes. Pero lo que la gente olvida es que la mate-
del trabajo que los niños realizan en la escuela no tiene mática surgió originalmente de algún contexto.
ningún contexto.
O'Brien: Entonces, ¿cuál es su consejo para los profe-
Weinzweg: Precisamente. Parte importante de la en- sores?
señanza escolar consiste en presentar información sin
ningún contexto; y el niño no tiene cómo captarla, no Weinzweg: Pienso que para ayudar a un niño a
tiene cómo llegara la solución. Si le damos un problema desarrollar un concepto, hay que pensar en el contexto
contextualizado, puede llegara la respuesta; aunque no del cual surge el concepto. Hay que presentar una
recuerde cuánto es 3 + 2, puede reconstruirlo actuando situación y dejar que el niño funcione dentro del contex-
sobre la situación. to de manera que empiece a abordar el problema, a

20. desarrollar el concepto para resolver el problema, y a
estructurar y organizar sus experiencias. Y luego se 1. Weinzweg propone: « La matemática es el arte
debe proporcionar otros contextos para localizar la de tratar de determinar qué sucederá cuando
atención del niño en el hecho de que si resuelve un decido hacer algo, sin tener que hacerlo real-
problema en un contexto y obtiene una respuesta, y mente» . Aplique esta afirmación en el contexto
luego resuelve el mismo tipo de problema en un contex- siguiente y deduzca consecuencias: Ud. quiere
to diferente, obtendrá la misma respuesta. Una vez que i nvitar a una amiga a ver una película y a tomar
el niño toma conciencia de la utilidad de cambiar de un onces; abre su billetera y ve que tiene tres mil
contexto a otro, se da cuenta también de la utilidad de pesos.
aprender relaciones como 3 f 2 = 5 sin ningún contexto
particular, de manera que puedan aplicarse a toda 2. Ud. va ll egando a una esquina cuando dos
clase de contextos. autos chocan. Señale tres aspectos en los que
Lo que está faltando en la educación matemática es esa necesitaría fijarse y otros tres en los que no
progresión desde una situación ligada a un contexto necesitaría fijarse si estuviera dispuesto a de-
hacia una situación descontextualizada. Siempre ope- clarar como testigo.
ramos en situaciones descontextualizadas con los niños
y ellos ignoran el por qué, el dónde y el cómo han 3. Busque situaciones en las que sus alumnos
surgido las cosas que aprenden. usen habitualmente números, fuera de la sala de
Existe un' proverbio: «Si le das un pescado a un hombre, clases, y utilícelas para contextualizar dos ejer-
lo alimentas por un día. Si le enseñas a pescar, lo cicios de sustracción.
alimentas por toda su vida». En cierto sentido, eso es lo
que estoy tratando de decir aquí. No quiero darles a los 4. De acuerdo al proverbio citado por Weinzweg al
niños un pescado, quiero e; ,° - eñarles a pescar. final del texto, ¿Qué significaría «enseñar a
pescar» a los profesores en vez de «darles un
pescado», en un curso de perfeccionamiento?
Para pensar, y responder por escrito:

21. Taller 2/
En este Taller los profesores vivencian el proceso de resolución de problemas, analizan los procedimientos
que utilizan para resolverlos y las respuestas encontradas. Este análisis incluye la forma de presentación
del enunciado, la cantidad de datos, las relaciones numéricas entre éstos, laforma de preguntaryel sentido
que el problema tiene para quien lo resuelve. Todos estos aspectos son considerados en función del rol
que juegan en la generación de procedimientos para resolver los problemas propuestos.

22. Actividad 1 / profesores no debiera limitarse a entregar «recetas» sobre
cómo enseñar; debiera estimular la reflexión sobre la toma
Comentemos la tarea cotidiana de decisiones en el aula.
Los participantes intercambian opiniones sobre el texto
leído. Pueden responder preguntas como las siguientes:
¿Les resultó fácil su lectura?
¿Están de acuerdo con lo que dice Weinzweg?
¿Qué ideas nuevas sobre la matemática y su enseñanza
encontraron?
Actividad 2/
Luego comentan las respuestas que escribieron Para Resolvamos problemas
cada punto, leen algunas y las complementan con interven-
ciones orales de quienes hayan escrito algo diferente. Las Los profesores se agrupan para resolver los siguientes
i deas que se espera sean comentadas son: problemas.
Para el punto 1: La matemática es un medio para anticipar
resultados de acciones posibles.
La compra y venta del libro
Para el punto 2: Es posible desarrollar la capacidad de Alicia compra un libro de recetas en $3.900 y
discriminar información relevante de acuerdo a un propósito, se lo vende a una amiga en $3.960. Al día siguiente
en diversas situaciones. Alicia le compra el mismo libro a su amiga en $4.000
y lo vende a su vecina en $4.050. ¿Cuánto dinero
Para el punto 3: Es importante que los ejercicios de ma- ganó Alicia?
temática resulten significativos para los alumnos.
Para el punto 4: Un curso de perfeccionamiento para

23. Los chocolates de Ursula La consulta al médico
Estas son las reflexiones de doña Ursula: Antonio fue al médico porque se sentía con fiebre
Compré 100 bolsitas plásticas para vender cho- y mucho dolor de cabeza. Después de examinarlo
colates. el médico le recetó Gremapiesil, una pastilla cada
Puse 15 en cada una y con todos los chocolates 6 horas, durante 8 días. En la farmacia le informan
que tenía, completé 32 bolsas. que este remedio se vende en tiras de 6 pastillas y
Pensaba vender cada una en $360. en frascos que traen 20. El frasco vale $1,040 y la
Pero saqué mis cuentas y voy a ganar muy poco. tira $330. ¿Qué le conviene comprar a Antonio?
Es mejor que saque 3 chocolates de cada bolsa...
¿Cuántas bolsas le resultaron finalmente a doña
Ursula, si con los chocolates que sacó llenó otras y
todas tienen la misma cantidad?

24. El cerco del terreno
Don Aurelio quiere cercar su terreno. Decidió co-
l ocar estacas cada tres metros para tender un
cerco de alambre. Si tiene 100 estacas, ¿le sobran
o le faltan?, ¿cuántas?

25. Una vez que han terminado de resolverlos, los profeso- en $4 000 y venderlo en $4 050.
res comentan las dificultades que se les presentaron y
señalan el problema que les pareció más difícil y el más fácil. Es posible que algunos aseguren que la ganancia que
Lo fácil o difícil de un problema es relativo; puede'suceder obtiene Alicia es $70; el razonamiento que lleva a esa
que para alguien sea tan fácil resolver determinado proble- conclusión considera que hay una pérdida de $40 en el
ma que éste no sea un problema para él. momentó que Alicia compra el libro por segunda vez y paga
$4000.
Comparen el problema en cuestión con el siguiente:
Para plantear un problema de Matemática no bas-
ta con proponer una situación y una pregunta: es
necesario que, para quien lo resuelva, signifique Alicia compra un libro de recetas en $3 900 y se lo
un desafío, una interrogante que necesita la ela- vende a una amiga en $3 960. Al día siguiente,
boración de un plan y el diseño de una estrategia, Alicia compra un florero en $4 000 y se lo vende a
para encontrar la respuesta. su vecina en $4 050. ¿Cuánto dinero ganó Alicia?
En la siguiente tabla se puede visualizar un procedi-
miento de búsqueda de solución al problema modificado.
Actividad 3 Compra Venta Ganancia
Artículo
Comentemos los problemas
Libro $3900 $3960 $60
3/1. La compra y venta del libro Florero $4000 $4050 $50
Cada grupo comenta el resultado obtenido y explica la Total $7900 $8010 $110
manera cómo lo encontró. La respuesta correcta al problema
es: Alicia gana $110. Ella gana $60 al comprar el libro en Si aún quedan dudas sobre la respuesta correcta al
$3 900 y venderlo en $3 960; después gana $50 al comprarlo problema, es conveniente hacer una dramatización. Perso-

26. najes: Alicia, la vendedora de libros, la amiga, la vecinayotra • Hay 32 bolsas con 15 chocolates cada una, luego son
persona, que le presta dinero a Alicia para comprar el libro 480 chocolates.
por segunda vez. Al final de la escena, Alicia devuelve ese • Si se sacan 3 chocolates de cada bolsa, quedan 12 en
préstamo y cuenta su ganancia. cada una.
• Como todas las bolsas quedarán con 12 chocolates y
el total de chocolates es 480, el total de bosas llenas se
La forma de presentar un problema, su ENUNCIA- obtiene dividiendo 480 por 12. Resultan 40 bolsas.
DO, puede ser fuente de dificultades para su reso-
l ución, ya que para buscar la respuesta a un pro- Otra manera de encontrar la respuesta es:
blema, es necesario comprender bien de qué se
trata. • Hay 32 bolsas con 15 chocolates cada una.
• Si se sacan 3 chocolates de cada bolsa, en total se
Los enunciados de los problemas pueden tomar
sacan 96 chocolates.
forma de dramatización, historietas, texto con ilus-
• Quedan 32 bolsas con 12 chocolates cada una.
tración, sólo texto, dibujo con datos, presentación
• Con los 96 chocolates sacados se llenan 8 bolsas más.
oral.
• Resultan 40 bolsas con 12 chocolates.
Este problema incluye dos tipos de datos, los que son
3/2. Los chocolates de Ursula necesarios para resolverlo y los que, siendo pertinentes a la
situación, no se usan en el proceso de resolución.
Los grupos comparten los resultados y los procedi-
mientos utilizados para resolver este problema. Son datos necesarios: 32 bolsas, 15 chocolates por
bolsa, 3 chocolates que se sacan de cada una.
La respuesta correcta al problema es: doña Ursula llena
40 bolsas, con 12 chocolates cada una. Son datos innecesarios: 100 bolsas compradas, $360 el
precio de venta de una bolsa.
Un procedimiento posible para buscar respuesta al
problema es:

27. En otros problemas algunos datos no se explicitan
Los DATOS son otro componente de un problema. porque se supone que son conocimientos que ya posee la
Es habitual que los problemas incluyan sólo los persona que los resuelve: por ejemplo, que el día tiene 24
datos necesarios para resolverlos. Pero, también horas, en el problema de la consulta al médico; o porque lo
se pueden proponer problemas que tengan exce- que interesa es que los alumnos aprendan a recurrir a
so de datos o que no tengan todos los datos ne- diversas fuentes de información para obtenerlos. A veces,
cesarios para obtener su solución. Esto sirve para uno o varios de los datos necesarios para resolver un
aprender a diferenciar los datos relevantes de los problema deben ser inferidos de la información que se
irrelevantes, en la resolución de los problemas. proporciona.
Los datos no siempre son numéricos; en algunos pro-
En un problema, los datos no siempre se presentan blemas puede tratarse de formas, de relaciones lógicas, o de
ordenadamente en el enunciado. A veces, se presentan en ubicaciones en el espacio, como en el problema siguiente:
tablas o cuadros. Por ejemplo:
¿En cuál de las siguientes ciudades se presentó la Negro, el perro guar-
mayor diferencia de temperatura, el día 9 de julio de dián, está amarrado
1992? con una cadena de 2,5
metros a una barra que
mide 1 metro de largo.
CIRLE AYER En el dibujo, pinte el
Ciudad Min. Máx. Condición terreno que puede re-
correr elperro si el nudo
Arica 12,0 18,0 Despejado de la cadena se puede
Antofagasta 10,9 16,0 Despejado deslizar sobre la barra
Valparaíso 10,0 14,0 Nublado AB.
Temuco 6,6 13,0 Nublado
Valdivia 7,6 9,0 Lluvia

28. 3/3. La consulta al médico pastillas y se quedan con esta opción. Es el número exacto
de pastillas que se necesitan.
Los grupos comparten las respuestas obtenidas e
i ntercambian información sobre los procedimientos utiliza- También hay quienes organizan la información en cua-
dos. dros y centran su atención en los precios.
Generalmente el proceso de resolución se incia calcu- Frascos
l lando la cantidad de pastillas necesarias para el tratamiento:
son 4 pastillas diarias, durante 8 días. En total, son 32 1 frasco 20 pastillas $1040
pastillas. 2 frascos 40 pastillas $2080
En seguida, algunos calculan el valor unitario. Tiras
En frascos, 1 040: 20 = 52 pesos, es el precio de una
pastilla. En tiras, 330: 6 = 55 pesos cada pastilla. 1 tira 6 pastillas $330
6 tiras 36 pastillas $1980
En consecuencia, parece más conveniente comprar
dos frascos.
Al hacer la comparación, resulta preferible comprar 6
Otros, en cambio, se preocupan de calcular cómo tiras porque sale más barato que los 2 frascos. Pero, si se
obtener el número de pastillas que se necesitan: establece la relación:
• 1 frasco, son 20 pastillas, me faltan
• 2 frascos, son 40 pastillas, me sobran 8 1 frasco 20 pastillas $1040
• 5 tiras, son 30 pastillas, me faltan 2 tiras 12 pastillas $660
• 6 tiras, son 36 pastillas, pero como sólo me sobran 4,
esta opción es la que más me conviene.
Al sumar se obtiene que 32 pastillas valen $1 700, lo
En este mismo cauce de razonamiento, hay personas que es más barato aún que comprar 6 tiras.
que se dan cuenta que con 1 frasco y 2 tiras logran 32

29. Habitualmente, las respuestas a este problema seña- 3/4. El cerco del terrreno
lando lo que le conviene comprar a Antonio, son tres:
Los grupos comentan el problema e indican la respues-
• dos frascos ta obtenida. El procedimiento habitual para resolver este
• seis tiras problema es calcular el perímetro del terreno y dividir este
• un frasco y dos tiras resultado por 3. Así se obtiene el número de estacas nece-
sarias.
Esta última es la mejor respuesta porque corresponde
a la compra más barata y a la cantidad exacta de pastillas. El perímetro es:
Sin embargo, siempre hay alguien que argumenta en favor 2 (80 + 40) = 240 metros
de una de las otras dos: "es mejor que le sobren pastillas El número de estacas se calcula con la división:
porque así tiene para la próxima vez que se enferme", "en 240: 3 = 80 estacas
frasco, los medicamentos se conservan mejor", "en una Como don Aurelio tenía 100, sobran 20 estacas. Esta
compra de remedios no se alcanza a sacar este tipo de sería la respuesta al problema.
cuentas", "¿qué significa preguntar qué le conviene comprar
a Antonio?" Pero, ¿cuántas estacas se necesitan para cada lado del
terreno? La respuesta a esta pregunta se obtiene calculan-
do.-
La PREGUNTA es otro componente de un proble- 80: 3 = y 40:3=
ma. Es la que señala el tipo de respuesta espera-
da y orienta, en consecuencia, los procedimientos ¿Qué significa, para la distribución de las estacas, que
de resolución del problema. Responder la pregun- «la división no sea exacta»?
ta equivale a decir que el problema está resuelto.
Si la pregunta es ambigua, es probable que se ob- Si las medidas de los lados fueran múltiplos de 3, el
tengan diferentes respuestas, según como hayan resto sería cero; esto significaría que en cada esquina del
i nterpretado la pregunta quienes resolvieron el
terreno quedaría ubicada una estaca. Pero, en el problema
problema.
en cuestión, que al dividir 80 por 3 el cociente sea 26 y el
resto sea 2, significa, en l a práctica, que si la primera estaca

30. se ubica a 3 metros de la esquina, la estaca número 26 se
ubicará en el metro 78 y faltarán 2 metros para llegar a la
esquina siguiente. Para resolver el problema práctico de
cercar un terreno es necesario colocar una estaca en cada
una de las esquinas; por consiguiente, decir que se necesi-
tan 80 estacas noes una respuesta que solucione el problema,
si se respeta la condición de colocar las estacas cada 3
metros.
Sin embargo, el problema de don Aurelio puede tener
una o varias soluciones que no respetan totalmente la
condición impuesta. Por ejemplo, la siguiente:
En esta solución, entre cuatro pares de estacas hay
menos de tres metros.
Al resolver un problema es necesario confrontar la adecuado a este reparto equitativo de globos es el
solución que se obtiene por la aplicación de un de la división euclídea o división con resto. En la
MODELO MATEMÁTICO, con la solución real del elección del modelo matemático adecuado, las re-
problema. Si, por ejemplo, se trata de repartir 15 l aciones entre los datos juegan un rol decisivo. Si
globos entre 2 amigos, de modo que ambos reci- en el anterior reparto de globos los amigos fueran 3
ban la misma cantidad y se usa el modelo matemá- y no 2, no se presentaría discrepancia entre la solu-
tico de la división con decimales: 15 : 2 = 7,5 se ción matemática y la solución real del problema. En
obtiene una respuesta que es correcta desde el forma similar, si el terreno de don Aurelio midiera 60
punto de vista del modelo empleado, pero que no metros de largo por 30 metros de ancho, el número
resuelve el problema; no tiene sentido decir que ca- de estacas resulta del perímetro dividido por 3 co-
da uno recibe 7,5 globos. El modelo matemático rrespondería a una solución real del problema.

31. En la solución que se presenta a continuación, se opta Para esto se hacen los cálculos siguientes:
por una distribución más simétrica. Sólo las estacas de las • 525 x 4 = 2100, lo que debe pagarse por llevar los
esquinas distan menos de tres metros de las contiguas. cinco paquetes
• 2100: 5 = $420, el precio real de un paquete, en el
supermercado
En el almacén del frente, el precio del paquete antes de
hacer la rebaja de 20%, era igual a $525. Para calcular el
precio rebajado se pueden hacer los cálculos siguientes:
• determinar primero el 10% de 525, que es igual a
52,5
• luego, el 20 % es igual a 52,5 x 2 = 105 pesos de
rebaja
• En consecuencia, el precio rebajado es:
525 - 105 = 420 pesos
Después de estos cálculos Alfonsina sabe que puede
comprar el detergente en el supermercado o en el almacén
3/5. La propaganda para el detergente porque va a pagar lo mismo por cada paquete, aunque en el
supermercado está obligada a comprar 5 paquetes.
Los grupos ponen en común los resultados obtenidos y
l os procedimientos utilizados. ¿Significa, entonces, que no hay diferencia entre ambas
propagandas? ¿es lo mismo decir PAGUE 4 Y LLEVE 5 que
La forma más frecuente de enfrentar este problema es REBAJADO EN UN 20%?
hacer primero el cálculo de cuánto vale un paquete, según
la propaganda: pague 4 y lleve 5.

32. El siguiente cuadro puede ayudar a responder estas
preguntas: La resolución de problemas es un excelente medio
para lograr la comprensión del sentido de los con-
ceptos matemáticos, por ejemplo, los conceptos
de adición, sustracción, multiplicación, división,
etc. Su aprendizaje no consiste en la memoriza-
ción de una definición, sino que pasa por un pro-
ceso de construcción personal. En este proceso
juega un rol importante la CONTEXTUALIZACION
DEL CONCEPTO en problemas que sea interesan-
te resolver.
El profesor es quien define la intención didáctica
del trabajo con problemas: para aplicar operatoria
ya aprendida, que es lo más habitual, para con-
ceptualizar, para desarrollar habilidades especifi-
cas, etc.
Si se pagan 80 paquetes, se llevan 100; significa que se
paga el 80% o, que se ha hecho una rebaja: de cada100 Antes de finalizar el taller en cada grupo eligen el o los
paquetes que se llevan, 20 no se pagan, es un 20% de rebaja problemas que les parecieron más interesantes y también
respecto al precio de los 100 paquetes. los que les interesaron menos. Comentan las opiniones que
apoyan esta selección y, si es posible, establecen cuáles
Este procedimiento está apoyado en el concepto de son los puntos de acuerdo sobre qué hace que un problema
porcentaje. resulte interesante.

33. El mayor o menor interés que genera un problema
Actividad 5
no depende sólo del tema al que se refiere. Los te- Definamos la tarea
mas pueden ser no tan interesantes y puede dise-
ñarse un problema atractivo por las relaciones en- Cada profesor elige uno de los problemas analizados
tre los datos, o por la pregunta, o bien por las difi- en el Taller y se lo propone a una persona adulta, dejándole
cultades para generar una estrategia de solución, el tiempo necesario para que lo resuelva y pidiéndole luego
o por el sentido que el problema tiene para quien que explique cómo lo hizo. Registra los procedimientos
l o resuelve. utilizados y sus comentarios para llevarlos al siguiente Taller.
La diversidad de procedimientos para enfrentar un
problema y las diferentes maneras para llegar a
una respuesta dependen de cada sujeto.
En los momentos de intercambio de estos proce-
dimientos cobra gran relevancia el clima de con-
fianza que debe generarse al interior del taller, el
que permite a cada participante plantear sus opi-
niones, sus dudas, sus desacuerdos, reconocer
sus errores y además se produce una valoración
del trabajo cooperativo, de la necesidad de tiempo
para poder pensar y organizar un camino de solu-
ción al problema.

34. Taller 3/
Este Taller tiene como propósito, conducir a los participantes a analizar problemas atendiendo al nivel
de significación de la situación para el alumno, al propósito u objetivo del docente y a la formulación del
problema, de tal manera que, habiéndose apropiado de ciertos criterios de análisis, logren adaptar e
inventar problemas adecuados para el grupo de alumnos que cada profesor tiene su cargo.

35. Actividad 1 / Actividad 2 /
Comentemos la tarea Analicemos problemas
desde distintas
Cada profesor lee el informe escrito que ha preparado.
Luego, comentan las estrategias y procedimientos que em- perspectivas
plearon los adultos consultados para buscar solución a los
problemas elegidos y las respuestas que dieron, destacan- 2.1. Los problemas
do las coincidencias y discrepancias. Concluyen respecto a y la vida de los alumnos
si las situaciones seleccionadas fueron efectivamente pro-
blemas para las personas consultadas. Cada profesor participante lee los siguientes problemas:
Los huesillos
Doña Rosalía preparó huesillos de postre. Repartió
3 por plato. Sirvió 8 platos y le sobraron 3 hue-
sillos.
¿Cuántos huesillos preparó doña Rosalía?
Las blusas
Catalina tiene tres sobrinas. A cada una de ellas le
hizo dos blusas para el colegio. Para cada blusa
necesita siete botones.
¿Cuántos botones necesita Catalina?

36. alumnos u observada habitualmente en su medio?
Las láminas
Problema sí No
Diego colecciona láminas para un álbum. Tiene un
montón que no alcanzan a ser 50. Si las reparte en Los huesillos
partes iguales entre 6 amigos, le sobran 3 y si las
reparte entre 7 amigos, le sobran 4. Las blusas
¿Cuántas láminas tiene Diego? Las láminas
Andrea y Tomás
Andrea y Tomás
Los profesores se organizan en grupos para:
Andrea se pesa en el almacén de la esquina. La
pesa marca 46 kg. En ese momento llega Tomás y compartir las respuestas de la tabla y verificar las
se sube junto a Andrea a la pesa, ésta marca ahora coincidencias y discrepancias,
104 kg. dialogar acerca de la conveniencia de que las situacio-
¿Cuántos kg. más pesa Tomás que Andrea? nes presentes en los problemas respondan, en la ma-
yoría de los casos, a situaciones del contexto cultural de
los alumnos y
En relación a cada uno de los problemas leídos, cada hacer una lista de actividades de niños y adultos de la
participante del Taller, contesta la pregunta que se enuncia comunidad que pudiesen ser consideradas en la for-
a continuación y marca con una X, su respuesta en la mulación de problemas.
columna Sí o No de la tabla.
Cada profesor señala algunos temas queél seleccionaría
La situación que se presenta en el problema, ¿corres- para redactar problemas porque considera responden a las
ponde a una situación que puede haber sido vivida por mis vivencias de sus alumnos.

37. El conductor del Taller hace presente al grupo que las 2,/2. Los problemas y
situaciones que consideran las experiencias de vida de los l os propósitos docentes
alumnos facilitan su aprendizaje, ya que les permiten rela
cionar acontecimientos de su vida diaria con los contenidos Cada uno de los participantes escribe, en una hoja, una
que la es^,uela l es ofrece y de esta manera lograr una mayor respuesta a la siguiente pregunta:
comprensión del concepto, relación o procedimiento implí- ¿Cuáles son los propósitos que quiero lograr cuando les
cito en la situación. planteo problemas a mis alumnos?
Comparten sus respuestas y hacen un listado general
de propósitos docentes para la resolución de problemas.
En grupos, resuelven los siguientes problemas; toman
El docente que conoce el medio en que viven sus nota de los procedimientos que utilizaron para resolverlos y
alumnos, su cultura, sus intereses, está en ópti- de sus respuestas.
mas condiciones para seleccionar situaciones que
l e permitan generar los aprendizajes que se propo- Recogiendo duraznos
ne desarrollar en los niños. Lo anterior no descarta
l a posibilidad de presentar situaciones correspon- Ocho niños salen a recoger duraznos.
dientes a contextos más amplios, que el niño pue- Cada uno recoge tres duraznos.
de comprender, ya sea porque son hechos de ni- ¿Cuántos recogieron entre todos?
vel nacional, que puede conocer a través de los
medios de comunicación o porque constituyen te-
mas de estudio de otras asignaturas. Lo importan- El reparto de duraznos
te es asegurarse de que la situación facilita al
alumno el logro del propósito para el cual el profe- Entre 8 niños recogieron 21 duraznos y los reparten
sor la seleccionó. de manera que unos reciben 3 y otros 2, porque la
cantidad de duraznos no alcanza para darles 3 a
cada uno.
¿Cuántos niños recibieron sólo 2 y cuántos reci-
bieron 3 duraznos?

38. dientes, con el fin de facilitar el análisis.
Don Raimundo
Es muy probable que frente al problema: Recogiendo
Este año, don Raimundo ha decidido repartir, en duraznos, hayan empleado la multiplicación 8 x 3 = 24 para
partes iguales, toda la producción de duraznos dar solución al problema y que por lo tanto la respuesta sea:
entre sus tres hijos. El piensa que así cada uno se entre los ocho niños o entre todos, recogieron 24 duraznos.
responzabi¡izará de la venta Calcula que aproxi-
madamente deberán repartirse unas 4 700 cajas. Con seguridad, para ninguno de los participantes del
¿Cuántas cajas le corresponden a cada hijo? Taller éste fue un problema, porque todos reconocen esta
situación como de tipo multiplicativo, pero sí puede serlo, y
muy importante, para los alumnos que no conocen o recién
empiezan a conocer la operación de multiplicación. Los
Vendiendo duraznos niños emplearán otros procedimientos de resolución, como
por ejemplo: dibujar los ochos niños, frente a cada uno
Pedro vendió 30 cajas de. duraznos a $1500 cada dibujar tres duraznos y luego contar los duraznos, o bien,
una. Angélica dice que ella vendió el doble de tomar fichas para representar duraznos, hacer ocho
cajas de duraznos que Pedro y que obtuvo la montoncitos de tres fichas y luego contarlas, etc.
misma cantidad de dinero por la venta. ¿A qué
precio vendió Angélica la caja de duraznos? Trata
de contestar sin hacer cálculos escritos. Este problema podría permitir a los alumnos cons-
truir un nuevo concepto o idea matemática, por
esto debería estar presente al inicio del proceso
enseñanza-aprendizaje de un nuevo tema, de un
Los grupos se reunen para compartir los procedimientos nuevo contenído.
de resolución y las respuestas.
Es importante que una persona vaya anotando en un
pizarrón o papelógrafo los procedimientos de resolución Frente al problema: El reparto de duraznos; los profesores
empleados en cada problema y las respuestas correspon- podrán haber empleado procedimientos de solución como

39. los siguientes: sólo pudo darle a 7 niños y el problema dice que son 8. Si
• Son 8 niños y hay 21 duraznos. las reparte de a 2, verá que después de haber dado 2 acada
• Como8x2= 16 y 21-16=5 uno de los 8 niños le sobran 5 fichas. A partir de estas
quedan 5 duraznos, después de haber dado 2 a cada constataciones es posible que redistribuya las fichas y
uno de los 8 niños. llegue a la solución.
• Por lo tanto a 5 niños se les puede dar 3 duraznos.
• Son 8 niños y hay 21 duraznos. Conviene hacer presente que este tipo de proble-
• Como8x3=24 y 24-21 =3 ma podría permitir a los niños empezar a elaborar
faltan 3 duraznos para poder dar 3 a cada uno de los 8 relaciones matemáticas interesantes, proceso im-
niños. portante en la enseñanza de la matemática en el
• Por lo tanto a 3 niños se debe dar 2 duraznos. nivel básico, aún cuando ellos empleen procedi-
mientos primitivos de resolución.
Ambos procedimientos arriban a la respuesta: 5 niños
reciben 3 duraznos y 3 niños, 2 duraznos.
Para dar solución al problema de Don Raimundo, los
El problema El reparto de duraznoz seguramente de- profesores pueden haber hecho un ejercicio de división:
mandó un pequeño esfuerzo a los participantes del Taller, dado 4 700: 3 =1 566 y dirán que cada hijo recibe 1 566 cajas y
que pusieron en juego un conjunto de relaciones y tuvieron que sobran 2. Como se pedía decir el número de cajas que
coordinar más datos que en la situación anterior. recibiría cada hijo,se espera que la respuesta no haya sido
l a de la calculadora: 1 566,6666667, lo que nos llevaría a
Este problema podrá ser resuelto por los niños con decir que cada hijo recibió aproximadamente 1 567 cajas.
procedimientos que irán desde el tanteo sistemático hasta De todas maneras, es probable que este problema no haya
procedimientos similares a los empleados por los profeso- sido realmente problema para ningún participante del Taller,
res. pero sí será un problema para los niños que aún no conocen
o no dominan alguna de las formas de resolver ejercicios de
Es así, como un niño que toma 21 fichas para represen- división y para ellos puede ser interesante. Los alumnos
tar los duraznos y las reparte en grupos de a 3, constata que podrán pensar así:

40. • Si de las 4 700 cajas se da 1 000 a cada hijo se habrá Dar respuesta a este problema demanda a todos, al
repartido 3 000 cajas y quedan 1 700 por repartir. menos una lectura cuidadosa. Además, a los alumnos de
• De las 1700 cajas que quedan, se puede dar 500 a cada básica los lleva a hacer un esfuerzo para establecer una
hijo y se habrá repartido 1 500 cajas más, quedando relación de igualdad entre dos pares de factores: 30 x 1.500
sólo 200. y 60 x 750. Si uno de los factores se duplica, mantener la
• De las 200 que quedan, se puede dar 60 a cada hijo y igualdad exige que el otro se divida por 2; es decir, se
se habrá repartido 180 cajas más, quedando sólo 20. considere la mitad. Lo más probable es que la mayoría de los
• De las 20 que quedan se puede dar 6 a cada hijo y se niños haga por escrito el procedimiento de calcular el dinero
habrá repartido 18 cajas más, quedando sólo 2. obtenido por Pedro: 30 x 1 500 y luego divida este resultado
• Luego, cada hijo recibe 1 000 + 500 + 60 + 6, o sea por 60, para decir que Angélica vendió a $750 la caja de
1 566 cajas y sobran 2. duraznos.
Este tipo de problema podría facilitar, a los alum-
nos que aún no conocen una forma de resolver
ejercicios de problemas de operatoria, el proceso
de construcción de un algoritmo, y en el caso de
los niños que ya han aprendido el procedimiento
tradicional, podría apoyar la comprensión de pro-
cedimientos conocidos.
Los profesores, luego de leer el problema: Vendiendo
duraznos, pueden haber contestado que Angélica tiene que
haber vendido a $750 la caja de duraznos, porque si vendió
el doble de cajas y recibió la misma cantidad de dinero, debe
haber vendido los duraznos a la mitad de precio que Pedro.

41. Los profesores leen el listado general de propósitos
Este tipo de problema podría llevar a los alumnos docentes para la resolución de problemas que habían elabo-
a efectuar una aplicación de la operatoria en forma rado previamente, lo analizan y completan. Comentan aqué-
comprensiva. Es importante que el profesor plan- llos que les parecen más importantes de incorporar en la
tee este tipo de problemas a sus alumnos, para planificación de sus clases.
que ellos puedan aplicar lo aprendido y demostrar
el dominio que tienen de cada operación, así co-
mo de las relaciones entre éstas.
Al presentar un problema a los alumnos el profesor
puede perseguir propósitos distintos; que sus
alumnos construyan o generen un nuevo concepto
Actividad 3/
o idea matemática, que elaboren una relación ma- Adaptemos e
temática, que construyan un algoritmo de resolu-
inventemos problemas
ción de ejercicios de operatoria, o que evidencien
sus niveles de logro en algunos aprendizajes ma-
3/1. Análisis y adaptación de problemas
temáticos.
Es así como los problemas cobran sentido durante
El conductor hace presente al grupo que a continuación
todo el proceso enseñanza aprendizaje de un tema
analizarán un conjunto de problemas que han sido formula-
matemático y no pueden quedar reservados sólo
dos a partir de una situación común, las ofertas de un
para la etapa final con el único propósito de apli-
almacén.
cación de lo aprendido o con fines de evaluación.
Los profesores se organizan en grupos y se reparten los
problemas, de manera que cada grupo analice al menos dos
de éstos. Los resuelven y establecen diferencias en cuanto
a la cantidad de información que entregan y a la forma de
presentación de la misma.

42. A. Don Luis
Don Luis fue al almacén "La pulga saltarina", y
compró un bidón de 10 litros para la parafina. El
recibió de vuelto $ 410. ¿Con cuánto pagó don
Luis?
B. Las ofertas
La señora Juana fue al almacén y compró:
Compras Precio por unidad Total
2 kilos de azúcar
1 paquete de
manteca
2 rollos de papel
higiénico
1 tarro de jurel
Total
Completa la tabla y averigua cuánto gastó doña
Juana.

43. C. El té de Luisa
Luisa supo que en «La pulga saltarina» el té está
en oferta, pero que lo venden sólo en cajas de 100
bolsitas. Luisa cree que le conviene porque le va a
durar más de 15 días.
¿Cuántas personas toman té en la casa de Luisa?
D.Las compras de Isabel
¿Qué productos en oferta podría comprar Isabel
en "La pulga saltarina", con los $1500 que tiene, si
quiere que le den de vuelto al menos los $100 que
necesita para un pasaje de micro?
E. Las cuentas de Armando
Armando calculó que en las compras de almacén
no puede gastar más de $10 000 en la quincena.
Hoy pasó a «La pulga saltarina y compró 1 kilo de
tallarines y 114 kilo de vienesas.
¿Cuánto le dieron de vuelto, si pagó con un billete
de $ 5 000?

44. Comentan las diferencias encontradas en la formula- Es conveniente presentar enunciados de proble-
ción de estos problemas. mas que contengan sólo la información estricta-
mente necesaria y cuya carga verbal sea la indis-
Entre todos los participantes, completan con las pala- pensable para que el alumno pueda imaginar bien
bras Sí o No, la siguiente tabla que copian en el pizarrón o la situación, cuando el propósito es introducir un
en un papelógrafo. concepto, un algoritmo o llevar al alumno a visuali-
zar una nueva relación. Por otra parte, los enuncia-
dos de problemas que contienen datos no nece-
El enunciado... A B C D E F sarios para la elaboración de la respuesta, pero sí
pertinentes a la situación, son más adecuados
...tiene sólo los datos cuando el propósito que persigue el profesor es
necesarios. que los alumnos seleccionen datos y evidencien
una buena comprensión de la situación y de la
pregunta. Finalmente, aquellos enunciados de pro-
...tiene datos innece-
sarios blemas que no tienen información suficiente para
dar respuesta, sirven a propósitos de desarrollo de
... no tiene suficiente habilidades comprensivas, evitan la mecanización
i nformación. y cuando los alumnos responden justificando la
imposibilidad de dar respuesta revelan altos nive-
les de logro.
Comparten las respuestas dadas y las relacionan con los
propósitos que persigue el docente cuando presenta pro-
blemas a sus alumnos. Cada grupo elige uno de los problemas analizados,
para adaptarlo a un propósito distinto del que se visualiza en
la formulación dada, pudiendo introducir adaptaciones en
los datos, en la forma de presentación, en la pregunta, etc.

45. Comparten los problemas adaptados, analizan y justifi- exploración de soluciones y desarrollar la capaci-
can los cambios introducidos. dad de señalar la información que permitiría dar
una respuesta numérica.
Observan las respuestas dadas a los problemas A, B, C,
D, E y F y los clasifican en aquéllos que:
Así, frente al problema: «El té de Luisa», una buena
• tienen una respuesta numérica única respuesta es decir que no es posible señalar el número de
• tienen respuestas numéricas múltiples personas que toman té en la casa de Luisa, porque falta
• no tienen respuesta numérica información relativa al número de veces que toman té en el
día cada una de las personas, rendimiento que le dan a cada
Reflexionan acerca de cuándo es adecuado presentar bolsita, uso del té para otras personas, por ejemplo visitas,
a los alumnos cada una de estas categorías de problemas. etc. Es posible, dándose algunos supuestos, intentar una
aproximación de respuesta numérica; por ejemplo: en la
casa de Luisa hay como mínimo 3 personas que toman té, si
Es necesario utilizar problemas de respuesta nu- se supone que toman té dos veces al día y que cada persona
mérica única, cuando los alumnos se están inician- ocupa una bolsita cada vez, 3 personas en 15 días gastarían
do en un aprendizaje, reservar aquéllos de res- 90 bolsitas de té y como la caja trae 100 bolsas podría
puesta númerica múltiple para presentarlos a los cumplirse que dure más de 15 días como piensa Luisa. O
alumnos cuando ellos manejan los conceptos o bien, estimar que una bolsita de té es suficiente para que
relaciones implicadas, lo que les permite explorar una persona tome dos veces al día, yen ese caso pensar que
soluciones. Finalmente aquellos problemas, para en la casa de Luisa pueden tomar té 6 personas.
los cuales no es posible dar una respuesta numé-
rica, parece conveniente presentarlos ocasional- Cada participante elige uno de los problemas presenta-
mente para llevar a los niños a enfrentar desafíos dos en el Taller, para introducirle las modificaciones que le
diferentes, evitar la mecanización, afianzar la com- permitan aplicarlo a sus alumnos, teniendo en consideración
prensión de las situaciones y preguntas previo a la sus actuales necesidades de aprendizaje matemático. Estas
adaptaciones podrán hacer variar el propósito y el grado de

46. dificultad del proceso de resolución. Actividad 4/
Comparten los problemas adaptados, analizan y justi- Definamos la tarea
fican los cambios introducidos.
Los profesores se comprometen a aplicar a los alumnos
3/2. Creando problemas de su curso el problema: «Las blusas, y uno de los
problemas adaptados o inventados por ellos, los que serán
Cada profesor inventa un problema que considere analizados en el próximo Taller.
adecuado para su curso, lo escribe en una hoja de papel y
l o intercambia con otro participante. Acuerdan hacer algunas observaciones durante el tra-
bajo de problemas con los alumnos, respecto a:
Leen algunos de los problemas creados, señalan el
propósito docente más relevante y fundamentan la elección • l as reacciones de los alumnos al presentarles el problema
de la temática de cada uno de éstos. • las formas de resolución que emplean
• los comentarios que hacen durante el proceso de reso-
Analizan los problemas presentados, introducen modi- lución
ficaciones si es necesario.
Elaboran un informe escrito dando cuenta de las reac-
ciones, comentarios y procedimientos de resolución em-
pleados por los alumnos, frente a los problemas planteados.

47. Taller 4/
A través del análisis de los procedimientos utilizados por alumnos para resolver situaciones
problemáticas, los participantes se interesan por averiguar y, por lo tanto entender, como piensan los niños
cuando plantean sus propios procedimientos de solución, sean éstos conducentes o no a una respuesta
correcta. Además, comprenden y valoran los distintos procedimientos de solución, considerando este
proceso como una estrategia que entrega información para conducir el proceso enseñanza- aprendizaje.

48. Actividad 1 / Los participantes, en forma colectíva
Comentemos la tarea • I nforman en qué cursos se trabajó el problema.
• Analizan los caminos de solución que utilizaron los
Los participantes comentan su experiencia, relaciona- alumnos, en cada uno de los cursos en que se aplicó.
da con la aplicación de los problemas creados. Discuten las • Distinguen distintas formas de abordar el problema
temáticas seleccionadas, las reacciones de los alumnos y con dibujos, esquemas, números, entre otras.
los procedimientos empleados
Los participantes, en grupos revisan los procedimien-
tos que a continuación se presentan, obtenidos en una
aplicación individual del problema.
Actividad 2/
Más de un camino para
llegar a una respuesta
2/1. El problemas de las blusas
Catalina tiene 3 sobrinas. A cada una de ellas le
hizo 2 blusas para el colegio. Para cada blusa
necesita 7 botones.¿Cuántos botones necesita
Catalina?
(') En este Taller, el comentario de la tarea se divide en dos partes, la
primera se realiza en la Actividad 1, correspondiendo a la creación de
problemas. La segunda parte, la aplicación del problema de "Las
Blusas", se desarrolla en la Actividad 2.
53

49. Margarita, de segundo año básico, solicitó ayuda para una de las blusas , trazó tres pares de líneas, es decir seis
l eer el problema. Luego de escucharlo, dijo: «Latía Catalina líneas, y en cada una dibujó siete botones. Enseguida dijo:
tiene tres sobrinas, a la vez que hablaba iba dibujándolas; «Necesita catorce botones para las dos blusas y como son
l uego trató de leer nuevamente el problema, para enseguida tres sobrinas voy a sumar catorce más catorce más cator-
explicar y dibujar al mismo tiempo: «Le hizo dos blusas l a ce», escribió el ejercicio. Finalmente escribió su repuesta.
cada una». Margarita volvió a mirar los datos del problema
y dijo: «La tía Catalina necesita siete botones para cada
blusa». Empezóa dibujar los botones en cada blusa diciendo:
«uno, dos, tres, ..... . siete». Cuando terminó de dibujar los
botones, los contó todos de una vez y dijo: «Necesita
cuarenta y dos botones.
Julia, de tercer año, lee el problema y explica: «Voy a
dibujar unos palitos. Casi al borde de la hoja, dibuja por
cada botón un palote, diciendo: auno,dos tres,
cuatro ...... ..catorce», vuelve a repetir el conteo y dice: «aquí
hay parados blusas; repite lo mismo dos veces más, cuenta
el número de palotes que hay en cada conjunto y comenta:
Constanza, de tercer año, leyó el problema y explicó: apara cada dos blusas necesita catorce botones y como son
«Voy a dibujar primero los botones que necesita para cada tres sobrinas, la tía ... _, piensa un poco, mira y dice: «voy a

50. sumar catorce más catorce más catorce, ¿si? ¿no es cier- • Comparan los procedimientos de estos alumnos, refle-
to?». Al contestársele afirmativamente, escribió el ejercicio y jados en los relatos leídos, con los utilizados por sus
su respuesta. alumnos.
2/2. El proaiema de los transportes
Quince amigos organizan un paseo.Disponen de 5
bicicletas y 2 coches tirados por caballos. Los
coches tienen una capacidad de 3 personas, cada
uno.¿Cuántas personas se deben ir a pie?
Los participantes, en grupos:
Leen el problema.
Revisan los trabajos que a continuación se presentan,
resultantes de una aplicación individual del problema.
En esta revisión se sugiere observar, entre otros aspec-
tos, el papel que juega el dibujo y el orden en que
Rosa, de cuarto año, lee el problema y comenta: Es realizan los ejercicios.
fácil, para cada blusa necesita siete botones y Catalina hace Escriben un pequeño relato del razonamiento, que
dos blusas, así que voy a sumar siete más siete», escribe el piensan, siguió cada uno de los niños, para desarrollar
ejercicio y una respuesta parcial. Luego vuelve a explicar: el problema.
«Como las sobrinas son tres, ahora sumo catorce más Plantean, por escrito, las preguntas o dudas que pue-
catorce más catorce». Rosa realiza el ejercicio y escribe, por den haber manifestado los niños, cuando estaban resol-
últi mo, su respuesta. viendo el problema.

51. • Ponen en común, los análisis y conclusiones.

52. 2/3 El problema de los duraznos
Entre 8 niños recogieron 21 duraznos y los reparten
de manera que unos tendrán 3 y otros 2, porque la
cantidad de duraznos no alcanza para darles 3 a
cada uno.
¿Cuántos niños recibieron sólo 2duraznosycuántos
recibieron 3?
Los participantes, en grupos
• Leen el problema.
• Imaginan y escriben procedimientos de solución que
podrían utilizar los alumnos de diferentes cursos, para
abordar el problema.
• I maginan y escriben posibles errores en que pueden
i ncurrir los alumnos, de los distintos cursos.
• Revisan y comentan los procedimientos para resolver el
Javiera, de segundo año básico, dibujó primero los
problema, que se presentan a continuación.
ocho niños, luego comenzó a repartir los duraznos a los
niños, dibujándole uno a cada uno. Al repartir contaba:
"uno,dos,tres,cuatro,etc «.Cuando llegó al número veintiuno
trazó una raya divisoria y dijo:- Estos (mostrando los cinco
niños dibujados) recibieron tres y éstos (mostrando el resto
de los niños dibujados) dos» Se le pide, por último, que
escriba la respuesta.

53. Hugo, de tercer año, leyó el problema, escribió primero
su esquema de resolución y dijo: «tengo que dividir veintiuno
por tres». Hizo el ejercicio y explicó: « a todos los niños les
tocaron tres duraznos . Se le pidió que leyera el problema de
nuevo, Hugo miró y escribió su respuesta.»
Marcelo, también de segundo año básico, dibujó los
veintiún duraznos, luego los agrupó todos de a tres, enseguida
contó los grupos y dijo: a Ah , no me alcanza para los ocho
niños, me alcanza para siete». Pensó un poco, enseguida
tomó su goma y borró algunas de las agrupaciones volvió a
contar y a agrupar, para después decir la respuesta correcta
y escribirla.