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Tema 1
Balance de Materiales en Yacimientos de Petr´oleo con Gas Disuelto
Prof. Jos´e R. Villa
Ingenier´ıa de Yacimientos II - 7413
Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo
Universidad Central del Venezuela
Versi´on 3.2
c 2003-2007
Introducci´on 3
Mecanismos de empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Par´ametros PVT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Factor volum´etrico de formaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Solubilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Curvas PVT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
EBM 12
Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Modelo de tanque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Balance volum´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Expansi´on del petr´oleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Expansi´on del gas en soluci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Expansi´on del petr´oleo + gas en soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Expansi´on de la capa de gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Expansi´on agua connata y volumen poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Influjo de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Vaciamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ecuaci´on general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Mecanismos de recobro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Aspectos relevantes de la EBM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Fuentes de error 35
Fuentes de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Supersaturaci´on de hidrocarburos l´ıquidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Selecci´on inadecuada de PVT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Presi´on promedio de yacimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Medici´on de fluidos producidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Acu´ıferos y descensos leves de presi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Estimados de m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Petr´oleo activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Linealizaci´on 45
Havlena-Odeh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
T´erminos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1
Mecanismos de Empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Empuje por gas en soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Yacimiento subsaturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Yacimiento saturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Empuje por expansi´on de la capa de gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Empuje por influjo de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Empuje combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Ecuaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Indice de mecanismos de empuje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
M´etodos 63
M´etodos de Balance de Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
M´etodo F vs. Et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
M´etodo de la capa de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
M´etodo del acu´ıfero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Ejemplos 74
Descripci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
PVT 85
Muestras de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Ajuste de Bo y Rs a condiciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Influjo de Agua 95
Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Reconocimiento del empuje por agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Clasificaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Grado de mantenimiento de presi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Condici´on de borde externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Reg´ımenes de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Geometr´ıas de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Modelos de acu´ıfero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Pot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Schilthuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
van Everdingen-Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Predicci´on 132
Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
M´ecanismos de Recobro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
M´etodo de Tracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
M´etodo de Tarner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
M´etodo de Muskat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Referencias 164
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Antecedentes de EBM 165
Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Coleman, Wilde y Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Schilthuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Odd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Woods y Muskat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2
van Everdingen, Timmerman y Mcmahon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Hawkins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Tracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Havlena y Odeh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Dake. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
M´ınimos Cuadrados 177
Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Par´ametros Estad´ısticos 184
Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Coeficiente de correlaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Error del ajuste (RSME) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Intervalo de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
MBO 191
Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Archivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Ejecuci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Unidades 196
Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3
Contenido
Introducci´on
EBM
Fuentes de error
Linealizaci´on
M´etodos
Ejemplos
PVT
Influjo de Agua
Predicci´on
Referencias
Antecedentes de EBM
M´ınimos Cuadrados
Par´ametros Estad´ısticos
MBO
Unidades
Tema 1 slide 2
4
Introducci´on slide 3
Introducci´on
Mecanismos de empuje
Par´ametros PVT
Factor volum´etrico de formaci´on
Solubilidad
Curvas PVT
Tema 1 slide 4
Mecanismos de empuje
I Expansi´on del l´ıquido y gas en soluci´on
I Expansi´on del gas en la capa de gas
I Expansi´on del agua connata
I Reducci´on del volumen poroso por compactaci´on de la roca
I Influjo de agua
Tema 1 slide 5
Par´ametros PVT
Cada fase (p) contiene dos componentes (¯c):
I Componente asociado con la misma fase
I Componente asociado con otra fase
Vol´umenes:
I Vp: El volumen de la fase p a condiciones de yacimiento (py, Ty)
I V¯c,p: El volumen del componente ¯c a condiciones normales que es liberado de la fase p
Tema 1 slide 6
5
Par´ametros PVT
Figura 1: Par´ametros PVT: (a) encima del punto de burbujero (b) debajo del punto de burbujeo
Tema 1 slide 7
Factor volum´etrico de formaci´on
El factor volum´etrico de formaci´on de la fase p se define como la relaci´on entre el volumen de la fase p a condiciones de
yacimiento y el volumen del componente asociado con la misma fase a condiciones normalesa
Bp =
Vp
V¯p,p
=



Bo = Vo
V¯o,o
Bw = Vw
V ¯w,w
Bg =
Vg
V¯g,g
Tema 1 slide 8
a14.7 psi, 60 ◦F
Solubilidad
La solubilidad del componente ¯c en la fase p se define como la relaci´on entre el volumen de este componente en la fase p
a condiciones normales y el volumen del componente asociado con la fase p a condiciones normales.
R¯c,p =
V¯c,p
V¯p,p
=
R¯g,o =
V¯g,o
V¯o,o
Relaci´on gas-petr´oleo (Rs)
R¯o,g =
V¯o,g
V¯g,g
Relaci´on condensado-gas (Rv)
Tema 1 slide 9
6
Solubilidad
Figura 2: Par´ametros PVT por encima de la presi´on de burbujeo
Tema 1 slide 10
Curvas PVT
0 1000 2000 3000 4000
1
1.1
1.2
1.3
1.4
presion (psi)
B
o
(bbl/STB)
FVF Petroleo
0 1000 2000 3000 4000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
presion (psi)
R
s
(MSCF/STB)
Relacion Gas−Petroleo en Solucion
0 1000 2000 3000 4000
0
2
4
6
8
10
presion (psi)
B
g
(bbl/MSCF)
FVF Gas
0 1000 2000 3000 4000
0.8
0.85
0.9
0.95
1
presion (psi)
Z
g
Factor de Compresibilidad del Gas
Figura 3: Comportamiento de propiedades PVT (T=190 ◦
F, Rsi=725 MSCF/STB, γg=0.7, Grav=30 ◦
API, pi=4000
psia)
Tema 1 slide 11
7
EBM slide 12
EBM
Definici´on
Caracter´ısticas
Modelo de tanque
Balance volum´etrico
Par´ametros
Derivaci´on
Expansi´on del petr´oleo
Expansi´on del gas en soluci´on
Expansi´on del petr´oleo + gas en soluci´on
Expansi´on de la capa de gas
Expansi´on agua connata y volumen poroso
Influjo de agua
Vaciamiento
Ecuaci´on general
Mecanismos de recobro
Aspectos relevantes de la EBM
Tema 1 slide 13
Definici´on
La ecuaci´on de balance de materiales (EBM) se deriva como el balance volum´etrico que iguala la producci´on acumulada
de fluidos, expresada como un vaciamiento, y la expansi´on de los fluidos como resultado de una ca´ıda de presi´on en el
yacimientoa
.
La forma general de la EBM fue desarrollada inicialmente por Schilthuis en 1941b
. La EBM establece que la diferencia
entre la cantidad de fluidos iniciales en el yacimiento y la cantidad de fluidos remanentes en el yacimiento es igual a la
cantidad de fluidos producidos.
Cantidad de fluidos presentes
inicialmente en el yacimiento
(MMbbl)
-
Cantidad de fluidos
producidos
(MMbbl)
=
Cantidad de fluidos
remanentes en el yacimiento
(MMbbl)
Tema 1 slide 14
aL. Dake, Fundamentals of Reservoir Engineering, Elsevier, The Netherlands, 1978, pp. 73
bR. J. Schilthuis, Active Oil and Reservoir Energy, Trans., AIME, 118:33-52
Caracter´ısticas
I La EBM representa un balance volum´etrico aplicado a un volumen de control, definido como los l´ımites iniciales de aquellas
zonas ocupadas por hidrocarburos.
I La suma algebraica de todos los cambios volum´etricos que ocurren en cada una de las zonas definidas dentro del volumen de
control es igual a cero.
I Para el an´alisis volum´etrico se definen tres zonas: la zona de petr´oleo, la zona de gas y la zona de agua que existe dentro del
volumen de control.
I Una de las principales suposiciones es que las tres fases (petr´oleo, gas y agua) siempre est´an en un equilibrio instant´aneo dentro
del yacimiento.
I Los cambios de vol´umenes ocurren a partir de un tiempo t=0 a un tiempo t=t cualquiera. Primero se procede a definir los
vol´umenes iniciales en cada una de las zonas, luego los vol´umenes remanentes al tiempo t=t, y por ´ultimo la diferencia entre
´estos representa la disminuci´on en cada zona.
I Posteriormente se seguir´a una serie de manipulaciones matem´aticas para llegar a la ecuaci’on generalizada de balance de
materiales. Todo los vol´umenes est´an expresados a condiciones de yacimiento.
Tema 1 slide 15
8
Modelo de tanque
Agua
Petróleo
Gas
Agua
Petróleo
Gas
Agua
Petróleo
Gas
Etapa Inicial
(1)
Etapa Final
(2)
Producción:
petróleo, Np
gas, Gp
agua, Wp
Influjo de Agua
agua, We
Inyección:
gas, Gi
agua, Wi
Agua
Petróleo
Gas
Agua
Petróleo
Gas
Agua
Petróleo
Gas
Etapa Inicial
(1)
Etapa Final
(2)
Producción:
petróleo, Np
gas, Gp
agua, Wp
Influjo de Agua
agua, We
Inyección:
gas, Gi
agua, Wi
Referencia: http://www.ipt.ntnu.no/˜kleppe/TPG4150/matbal.ppt
Tema 1 slide 16
Balance volum´etrico
Vaciamiento = {Expansi´on del petr´oleo + gas en soluci´on}
+ {Expansi´on del gas de la capa de gas}
+ {Expansi´on del agua connata + reducci´on del volumen poroso}
+ {Influjo de agua de acu´ıfero}
+ {Inyecci´on de gas/agua}
Tema 1 slide 17
Par´ametros
I N: Volumen inicial de petr´oleo en sitio a condiciones normales [MMSTB]
I Gf : Volumen inicial de gas en la capa de gas (gas libre) a condiciones normales [MMMSCF]
I Gs: Volumen inicial de gas disuelto en el petr´oleo a condiciones normales [MMMSCF]
I G: Volumen total inicial de gas en sitio a condiciones normales [MMMSCF]
G = Gf + Gs
Tema 1 slide 18
9
Par´ametros
I m: Relaci´on entre volumen inicial de gas en la capa de gas y el volumen inicial de petr´oleo + gas disuelto en la zona
de petr´oleo (m es constante y adimensional)
m =
Gf Bgi
NBoi
I NBoi: Volumen de petr´oleo + gas disuelto inicial a condiciones de yacimiento [MMbbl]
I mNBoi: Volumen inicial de gas en la capa de gas a condiciones de yacimiento [MMbbl]
I NRsiBgi: Volumen inicial de gas disuelto en el petr´oleo a condiciones de yacimiento [MMbbl]
I G: Volumen total inicial de gas en sitio a condiciones normales [MMMSCF]
G = NRsi + mN Boi
Bgi
I Np: Petr´oleo producido acumulado a condiciones normales [MSTB]
I Gp: Gas producido acumulado a condiciones normales [MMSCF]
I Rp: Relaci´on gas-petr´oleo acumulado [MSCF/STB]
Rp =
Gp
Np
Tema 1 slide 19
Derivaci´on
La derivaci´on de la EBM contempla el desarrollo de los t´erminos que caracterizan el comportamiento volum´etrico de
yacimientos de petr´oleo:
I Expansi´on del petr´oleo
I Expansi´on del gas en soluci´on
I Expansi´on de la capa de gas
I Expansi´on del agua connata y reducci´on del volumen poroso
I Influjo de agua
I Inyecci´on de gas/agua
I Vaciamiento
Tema 1 slide 20
10
Expansi´on del petr´oleo
NBoi: volumen de petr´oleo inicial a condiciones de yacimiento [MMbbl]
NBo: volumen de petr´oleo actual a condiciones de yacimiento [MMbbl]
La expansi´on del petr´oleo es [MMbbl]:
N (Bo − Boi) (1)
0 1000 2000 3000 4000
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
presion (psi)
Bo
(bbl/STB)
FVF Petroleo
Tema 1 slide 21
Expansi´on del gas en soluci´on
NRsi: gas en soluci´on inicial a condiciones normales [MMMSCF]
NRsiBgi: gas en soluci´on inicial a condiciones de yacimiento [MMbbl]
NRsBg: gas en soluci´on actual a condiciones de yacimiento [MMbbl]
La expansi´on del gas en soluci´on [MMbbl]
NBg (Rsi − Rs) (2)
0 1000 2000 3000 4000
0
2
4
6
8
10
presion (psi)
Bg
Rsi
(bbl/STB)
Relacion Gas−Petroleo en Solucion
0 1000 2000 3000 4000
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
presion (psi)
Bg
Rs
(bbl/STB)
Relacion Gas−Petroleo en Solucion
Tema 1 slide 22
11
Expansi´on del petr´oleo + gas en soluci´on
La expansi´on del gas en soluci´on + gas en soluci´on [MMbbl]
N [Bo − Boi + Bg (Rsi − Rs)] (3)
Reescribiendo:
N [(Bo + Bg (Rsi − Rs)) − (Boi)]
Haciendo uso del concepto del factor volum´etrico de formaci´on bif´asico se tiene:
N [Bt − Bti]
Bt: Factor volum´etrico de formaci´on bif´asico (2F)
Bt = Bo + Bg (Rsi − Rs)
Tema 1 slide 23
Expansi´on del petr´oleo + gas en soluci´on
0 1000 2000 3000 4000
0
2
4
6
8
10
presion (psi)
Bt
(bbl/STB)
FVF Bifasico
Tema 1 slide 24
Expansi´on de la capa de gas
mNBoi: volumen inicial de gas en la capa de gas a condiciones de yacimiento [MMbbl]
mNBoi
Bgi
: volumen inicial de gas en la capa de gas a condiciones normales [MMMSCF]
mNBoi
Bgi
Bg: volumen actual de gas en la capa de gas a condiciones de yacimiento [MMbbl]
mNBoi
Bgi
Bg − mNBoi
La expansi´on del gas en la capa de gas [MMbbl]
mNBoi
Bg
Bgi
− 1 (4)
Tema 1 slide 25
12
Expansi´on agua connata y volumen poroso
La compresibilidad isot´ermica se define como:
c = − 1
V
dV
dp
El cambio en el volumen de agua y la roca debido a la disminuci´on de presi´on es:
∆Vw = cwVw∆p
∆Vr = crVr∆p
El volumen total de agua y roca es:
Vw = VrSwi = (1 + m) NBoi
1−Swi
Swi
Vr = (1 + m) NBoi
1−Swi
La expansi´on del agua connata y reducci´on del volumen poroso es [MMbbl]:
∆Vw + ∆Vr = (1 + m) NBoi
cwSwi + cr
1 − Swi
∆p (5)
Tema 1 slide 26
Influjo de agua
La expresi´on m´as simple para calcular el volumen de influjo de agua a un yacimiento es:
We = cW (pi − p)
W: volumen inicial de agua en el acu´ıfero (depende de la geometr´ıa del acu´ıfero)
pi: presi´on inicial del yacimiento/acu´ıfero
p: presi´on actual del yacimiento/acu´ıfero (presi´on en el contacto agua-petr´oleo)
c: compresibilidad total (c = cw + cr)
Esta ecuaci´on esta basada en la definici´on de compresibilidad isot´ermica y puede ser aplicada para acu´ıferos muy
peque˜nos. Para acu´ıferos grandes se requiere un modelo matem´atico que incluya la dependecia del tiempo para tomar en
cuenta el hecho que el acu´ıfero requiere un cierto tiempo para responder a un cambio en la presi´on del yacimiento.
En la l´amina 96 se explicar´a la secci´on correspondiente a influjo de agua.
Tema 1 slide 27
13
Vaciamiento
La producci´on acumulada de petr´oleoa
, gasb
y aguac
es:
NpBo: producci´on de petr´oleo [MMbbl]
GpBg: producci´on de gas [MMbbl]
NpRsBg: producci´on del gas en soluci´on [MMbbl]
WpBw: producci´on de agua [MMbbl]
La inyecci´on acumulada de fluidos es:
WiBw + GiBg: inyecci´on de agua y gas [MMbbl]
Definimos: Rp =
Gp
Np
: relaci´on gas-petr´oleo acumulada [MSCF/STB]
El vaciamiento total es [MMbbl]
Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] + WpBw − WiBw − GiBg (6)
Tema 1 slide 28
aNp =
t
0
qodt ≈
n
i=1
¯qo∆t
bGp =
t
0
qgdt ≈
n
i=1
¯qg∆t
cWp =
t
0
qwdt ≈
n
i=1
¯qw∆t
Vaciamiento
Figura 4: Producci´on de petr´oleo, gas y agua
Tema 1 slide 29
14
Ecuaci´on general
Combinando las expresiones 3, 4, 5 y 6 obtenemos la ecuaci´on general del balance de materiales:
Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] + WpBw = NBoi [Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg] /Boi
+ mNBoi
Bg
Bgi
− 1
+ (1 + m)NBoi
cwSwc + cr
1 − Swc
∆p
+ We (7)
Se puede observar que el vaciamiento (lado izquierdo de la ecuaci´on) es igual a la expansi´on de las zonas de petr´oleo y
gas libre, expansi´on de la roca y agua connata y al influjo de agua.
Tema 1 slide 30
Ecuaci´on general
Suponiendo que se conoce el tama˜no de la capa de gas (m) y el comportamiento de influjo de agua (We), es posible
calcular el volumen de petr´oleo original en sitio (N):
N =
Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] + WpBw − We
Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg + mBoi
Bg
Bgi
− 1 + (1 + m)Boi
cwSwc+cr
1−Swc
∆p
(8)
En consecuencia, al graficar el valor de N calculado en funci´on de la producci´on acumulada de petr´oleo (Np), se obtiene
una l´ınea recta con pendiente igual a ceroa
.
Tema 1 slide 31
aEste m´etodo fue posteriormente modificado para diagnosticar la presencia de un acu´ıfero asociado a un yacimiento (M´etodo de Campbell)
15
Ecuaci´on general
0 2 4 6 8 10
98
99
100
101
102
Metodo N vs. Np
Np
(MMSTB)
N(MMSTB)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Tema 1 slide 32
Mecanismos de recobro
La EBM permite identificar cada uno de los procesos que ocurren en el yacimiento:
I Expansi´on en la zona de petr´oleo: N [Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg]
I Expansi´on de la zona de gas libre: mNBoi(
Bg
Bgi
− 1)
I Expansi´on de la roca y agua connata: (1 + m)NBoi
cwSwc+cr
1−Swc
∆p
I Producci´on de petr´oleo y gas: Np [Bo + (Rp − Rs) Bg]
I Producci´on de agua: WpBw
Tema 1 slide 33
Aspectos relevantes de la EBM
I Es cero dimensional, s´olo se eval´ua en un punto del yacimiento
I Muestra independencia del tiempo, aunque en algunos modelos de influjo de agua se muestra dependencia expl´ıcita
del tiempo
I Aunque la presi´on aparece s´olo expl´ıcitamente en el t´ermino de la expansi´on de la roca y el agua connata, se
encuentra impl´ıcita en los par´ametros PVT (Bo, Rs, y Bg), los cuales son dependientes de la presi´on. Tambi´en es de
hacer notar que los c´alculos de influjo de agua son dependientes de la presi´on.
I No tiene forma diferencial, la EBM fue derivada comparando los vol´umenes actuales a la presi´on p, con los
vol´umenes iniciales a la presi´on pi.
Tema 1 slide 34
16
Fuentes de error slide 35
Fuentes de error
Fuentes de error
Supersaturaci´on de hidrocarburos l´ıquidos
Selecci´on inadecuada de PVT
Presi´on promedio de yacimiento
Medici´on de fluidos producidos
Acu´ıferos y descensos leves de presi´on
Estimados de m
Petr´oleo activo
Tema 1 slide 36
Fuentes de error
Essenfeld y Barberiia
plantean varias situaciones posibles en las cuales no se cumplen los supuestos utilizados en la
derivaci´on de la EBM, esto se debe principalmente a que la suposici´on de equilibrio total e instant´aneo entre las fases es
bastante ideal y generalmente no ocurre.
I Supersaturaci´on de hidrocarburos l´ıquidos del yacimiento
I Selecci´on inadecuada de PVT
I Presi´on promedio del yacimiento
I Errores de medici´on en los vol´umenes de fluidos producidos
I Acu´ıferos activos y descensos leves de presi´on
I Estimados de m
I Concepto de petr´oleo activo
Tema 1 slide 37
aM. Essenfeld y E. Barberii, Yacimientos de Hidrocarburos, FONCIED Fondo Editorial del Centro Internacional de Educaci´on y Desarrollo, Caracas, 2001. pp. 141-148, 171-176.
Supersaturaci´on de hidrocarburos l´ıquidos
Existen ciertos casos en los que al caer la presi´on en un yacimiento que contiene crudo saturado, el gas de soluci´on es
liberado pero en un volumen inferior al pronosticado al an´alisis PVT, efectuado bajo condiciones de equilibrio, es decir, se
encuentra supersaturado con gas.
Este efecto causa que la presi´on del yacimiento sea m´as baja de lo que ser´ıa si el equilibrio se hubiera alcanzado.
Tema 1 slide 38
Selecci´on inadecuada de PVT
Al usar la EBM es fundamental seleccionar un an´alisis PVT que a diferentes presiones represente apropiadamente, en su
totalidad, la secuencia de fen´omenos que actuan en la producci´on de los fluidos, desde el yacimiento, pasando por el
pozo hasta el separador.
Diversas investigacionesa,b
han mostrado que errores asociados a los datos PVT pueden producir grandes errores en los
c´alculos de los hidrocarburos en sitio.
Tema 1 slide 39
aI. S. Agbon, G. J. Aldana, J. C. Araque, A. A. Mendoza, M. E. Ramirez, Resolving uncertainties in historical data and the redevelopment of mature fields, SPE Latin America and Caribbean Petroleum
Engineering Conference held in Port-of-Spain, Trinidad, West Indies. SPE 81101., P´aginas 16, 2003.
bPhillip L. Moses, Engineering applications of phase behavior of crude oil and condensate systems, Journal of Petroleum Technology. SPE 15835., P´aginas 715723, July 1986.
17
Presi´on promedio de yacimiento
Debido a la naturaleza 0-D de la EBM y recordando la suposici´on del equilibrio total e instant´aneo, el yacimiento se
comporta como un tanque ubicado en un “volumen de control”. De all´ı la suposici´on que todos los hidrocarburos, para
un momento dado, se encuentran a la misma presi´on.
Se debe tener en cuenta que las presiones utilizadas en la EBM deben ser representativas del sistema, y cuando sea
factible debe utilizarse una ponderaci´on volum´etrica de las presiones medidas.
Tema 1 slide 40
Medici´on de fluidos producidos
Una de las principales fuentes de error en la aplicaci´on de la EBM son los valores err´oneas de la producci´on de fluidos. Se sabe que
para yacimientos con crudo subsaturado, con errores de medici´on, los estimados de N y We son muy altos.
Jones-Parraa explica la situaci´on de medici´on de los vol´umenes de fluidos producidos: el petr´oleo fiscal no se mide necesariamente
por yacimiento, se mide en estaciones de flujo y luego se prorratea al yacimiento. Cuando se prueba un pozo, se pasa de un
separador de producci´on, a determinadas presi´on y temperatura, a un separador de prueba en el que las condiciones de presi´on y
temperatura no son necesariamente las mismas. Una vez probados todos los pozos que fluyen a una estaci´on se suma su tasa de
producci´on para obtener una producci´on te´orica por estaci´on y determinar la fracci´on que cada pozo contribuye. Esta fracci´on se
multiplica por la tasa de producci´on real de la estaci´on para determinar el petr´oleo que se considera que es el volumen producido
del yacimiento.
La producci´on de gas est´a sujeta a un control a´un menos efectivo. Generalmente se hacen pruebas mensuales de la relaci´on
gas-petr´oleo, promedi´andose los valores obtenidos y multiplic´andose por la producci´on de petr´oleo para obtener el volumen de gas
producido.
El volumen de agua que se produce tambi´en se mide en pruebas peri´odicas; pero como el agua no tiene ning´un valor comercial se
mide con muy poca precisi´on. Tomando en cuenta la incertidumbre en las mediciones de los vol´umenes producidos, con frecuencia
es necesario rectificar las cifras reportadas. El gas producido a veces se calcula multiplicando el volumen de petr´oleo producido por
la relaci´on gas-petr´oleo de la ´ultima prueba y se debe volver a calcular multiplicando por la relaci´on promedio entre dos pruebas
consecutivas.
Tema 1 slide 41
aJuan Jones-Parra, Elementos de Ingenier´ıa de Yacimientos, EdIT Ediciones Innovaci´on Tecnol´ogica, Caracas, 1989. pp. 3.2-3.4.
Acu´ıferos y descensos leves de presi´on
Cuando el acu´ıfero es muy activo o la capa de gas es muy grande, los cambios de presi´on a trav´es del yacimiento son
muy leves.
Esta situaci´on acarrea dificultades en la aplicaci´on de la EBM, principalmente debido a que las diferencias de las
propiedades PVT no son significativas y tambi´en influye la precisi´on con que se hayan medido en el laboratorio los
par´ametros Bo, Rs y Bg.
Tema 1 slide 42
Estimados de m
La EBM supone que todo el gas libre del yacimiento se encuentra en la capa de gas y que todo el petr´oleo en la zona de
petr´oleo. Sin embargo, en algunas oportunidades ocurre que existe saturaci´on de petr´oleo en la capa de gas y saturaci´on
de gas en la zona de petr´oleo.
En esos casos, el valor de m debe ser calculado utilizando todo el gas libre y todo el petr´oleo en estado l´ıquido,
independientemente donde se encuentren.
Tema 1 slide 43
18
Petr´oleo activo
Existen casos en los cuales los descensos de presi´on causados por la producci´on e inyecci´on de fluidos no afectan la
totalidad de hidrocarburos contenidos en el yacimiento. Esto ocurre bajo diferentes circunstancias: cuando el yacimiento
es muy grande y ha habido poca producci´on; cuando en el yacimiento existen zonas con bajas permeabilidad las cuales
no han sido afectadas por los descensos de presi´on que hay en aquellas zonas mas permeables; etc.
En estas situaciones existen dos valores de N; petr´oleo activo (N activo) y petr´oleo inactivo (N inactivo). Se puede
notar que la suma del petr´oleo activo y el inactivo conforman el petr´oleo total en sitio (N).
Se sabe que el petr´oleo original en sitio no cambia, pero si lo hace la relaci´on del volumen activo al inactivo con el
tiempo, mas a´un, el volumen de petr´oleo activo crece con el tiempo mientras el volumen del petr´oleo inactivo disminuye
con el tiempo, hasta llegar al punto que todo el petr´oleo activo es igual al petr´oleo original en sitio.
Para estas situaciones, los resultados de los c´alculos con la EBM generan valores de N que corresponden al volumen de
petr´oleo activo y no al petr´oleo original en sitio, y por esta raz´on, a medida que transcurre el tiempo y se repite el
c´alculo, el valor de N aumenta debido a que representa el volumen de petr´oleo activo.
Tema 1 slide 44
19
Linealizaci´on slide 45
Linealizaci´on
Havlena-Odeh
T´erminos
Mecanismos de Empuje
Empuje por gas en soluci´on
Yacimiento subsaturado
Yacimiento saturado
Empuje por expansi´on de la capa de gas
Empuje por influjo de agua
Empuje combinado
Ecuaci´on lineal
Indice de mecanismos de empuje
Tema 1 slide 46
Havlena-Odeh
La EBM expresada como una l´ınea recta fue propuesta por Havlena y Odeha
. El m´etodo de Havlena-Odeh consiste en
agrupar ciertos t´erminos en la EBM y graficar un conjunto de variables con respecto a otro.
Dependiendo del mecanismo principal de empuje, se grafican diferentes conjuntos de t´erminos en funci´on de otros,
resultando que si el mecanismo de empuje elegido es el correcto, al igual que otros par´ametros, se obtiene una relaci´on
lineal entre las variables graficadas. Esto permite la estimaci´on de los par´ametros N, m, y/o We, a partir del
comportamiento lineal observado.
La secuencia y direcci´on de los puntos graficados, as´ı como la forma del gr´afico le imprime un sentido din´amico a la EBM.
Tema 1 slide 47
aD. Havlena y A.S. Odeh, The material balance as an equation of a straight line, SPE Production Research Symposium, Norman, OK. SPE 559., 1963.
T´erminos
Definimos los siguientes t´erminos:
F = Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] + WpBw
Eo = Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg
Eg = Bo
Bg
Bgi
− 1
Efw = Boi
cwSwc+Cr
1−Swc
∆p
Et = Eo + mEg + (1 + m)Efw
La EBM queda de la siguiente forma:
F = NEt + We (9)
Si esta ecuaci´on se escribe como: F − We = NEt, entonces ´esta es una ecuaci´on lineal con pendiente igual a N
(petr´oleo original en sitio) y debe pasar por el punto (0,0).
Tema 1 slide 48
20
Mecanismos de Empuje
En caso que ninguno de los t´erminos en la EBM sean despreciables, se puede decir que el yacimiento tiene una
combinaci´on de mecanismos de empuje.
Esto significa que todas las fuentes posibles de energ´ıa contribuyen significativamente en la producci´on de los fluidos del
yacimiento. Sin embargo, en algunos casos, los yacimientos pueden ser descritos como si tuvieran un mecanismo
predominante de empuje.
Los principales mecanismos de empuje son:
I Empuje por gas en soluci´on
I Empuje por expansi´on de la capa de gas
I Empuje por influjo de agua
I Empuje por compactaci´on
Tema 1 slide 49
Empuje por gas en soluci´on
Figura 5: Yacimiento con empuje por gas en soluci´on (a) por debajo de la presi´on de burbujeo; expansi´on del petr´oleo
l´ıquido, (b) por debajo de la presi´on de burbujeo; expansi´on del petr´oleo l´ıquido m´as expansi´on del gas liberado
Tema 1 slide 50
21
Empuje por gas en soluci´on
Figura 6: Historia de producci´on de un yacimiento con empuje por gas en soluci´on
Tema 1 slide 51
Empuje por gas en soluci´on
Figura 7: Yacimiento bajo un esquema de recuperaci´on secundaria (inyecci´on de agua y gas)
Tema 1 slide 52
22
Yacimiento subsaturado
En un yacimiento subsaturado todo el gas producido debe estar disuelto en el petr´oleo en el yacimiento. Suponiendo que
no existe una capa de gas inicial (m = 0) y el influjo de agua es despreciable (We = 0), la EBM se puede reducir a:
NpBo = NBoi
Bo − Boi
Boi
+
cwSwi + cf
1 − Swc
∆p
La compresibilidad del petr´oleo se puede expresar como:
co =
Bo − Boi
Boi∆p
La EBM se puede escribir como:
NpBo = NBoi
coSo + cwSwi + cf
1 − Swc
∆p
Finalmente,
NpBo = NBoiCe∆p (10)
Tema 1 slide 53
Yacimiento saturado
Por debajo de la presi´on de burbujeo, el gas es liberado del petr´oleo saturado y se desarrollar´a una capa de gas libre
dentro del yacimiento. Suponiendo que no existe una capa de gas inicial (m = 0) y el influjo de agua es despreciable
(We = 0), la EBM queda:
Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] = N [Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg] (11)
Tema 1 slide 54
Empuje por expansi´on de la capa de gas
Figura 8: Yacimiento con expansi´on de la capa de gas
Tema 1 slide 55
23
Empuje por expansi´on de la capa de gas
Suponiendo que el influjo de agua es despreciable (We = 0), la EBM se puede reducir a:
Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] = NBoi [Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg] /Boi
+ mNBoi
Bg
Bgi
− 1 (12)
Tema 1 slide 56
Empuje por influjo de agua
Figura 9: Producci´on de un yacimiento subsaturado con fuerte influjo de agua de un acu´ıfero asociado
Tema 1 slide 57
Empuje combinado
La ecuaci´on general de balance de materiales considera todos los mecanismos de empuje activos en el yacimiento:
Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] + WpBw = NBoi [Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg] /Boi
+ mNBoi
Bg
Bgi
− 1
+ (1 + m)NBoi
cwSwc + cr
1 − Swc
∆p
+ We (13)
Tema 1 slide 58
24
Empuje combinado
1. Expansión de roca y fluidos
2. Gas en solución
3. Capa de gas
4. Influjo de agua
5. Segregación gravitacional
Figura 10: Eficiencia de mecanismos de recobro en t´erminos del factor de recobro
Tema 1 slide 59
Ecuaci´on lineal
La ecuaci´on general del balance de materiales es:
Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] − WpBw = NBoi [Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg] /Boi
+ mNBoi
Bg
Bgi
− 1
+ (1 + m)NBoi
cwSwc + cr
1 − Swc
∆p
+ We
Definimos:
F = Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] + WpBw
Eo = Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg
Eg = Bo
Bg
Bgi
− 1
Efw = Boi
cwSwc+cr
1−Swc
∆p
Et = Eo + mEg + (1 + m)Efw
Tema 1 slide 60
Ecuaci´on lineal
En consecuencia, la ecuaci´on general del balance de materiales se puede escribir como:
F = N [Eo + mEg + (1 + m) Efw] + We (14)
F = NEt + We (15)
Tema 1 slide 61
25
Indice de mecanismos de empuje
La ecuaci´on lineal de balance de materiales puede ser escrita de una forma que permite ser utilizada para cuantificar la
contribuci´on relativa de cada mecanismo de empuje:
N
Eo
F
+ mN
Eg
F
+ (1 + m) N
Efw
F
+
We
F
= 1 (16)
Io + Ig + Ifw + Iw = 1 (17)
Tema 1 slide 62
26
M´etodos slide 63
M´etodos
M´etodos de Balance de Materiales
M´etodo F vs. Et
M´etodo de la capa de gas
M´etodo del acu´ıfero
Tema 1 slide 64
M´etodos de Balance de Materiales
Los principales m´etodos de resoluci´on de la ecuaci´on de balance de materiales son m´etodos gr´aficos que permiten
calcular las variables desconocidas (N, m) con base en los datos de producc´on, PVT, influjo de agua, partiendo de la
ecuaci´on lineal de balance de materiales. Entre los principales m´etodo de resoluci´on de la EBM se encuentran:
I M´etodo F vs. Et
I M´etodo de la capa de gas (F/Eo vs. Eg/Eo)
I M´etodo del acu´ıfero (F/Et vs. We/Et)
I M´etodo F vs. Et iterativo (c´alculo simult´aneo de N y m)
Otros m´etodos m´as robustos y sin las limitaciones inherentes a los m´etodos gr´aficos anteriores son:
I M´etodo de regresi´on planar
I M´etodo de Tehrani (Minimizaci´on de desviaciones de presi´on)
Tema 1 slide 65
M´etodos de Balance de Materiales
Los m´etodos pioneros de balance de materiales consisten en procesos iterativos para en estimar la RGP y resolver ∆Np
hasta que el valor calculado de N coincide con el valor inicialmente supuesto.
N =
Np [Bo + (Rp − Rs) Bg]
Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg + mBoi
Bg
Bgi
− 1
(18)
Entre estos m´etodos se encuentran:
I M´etodo de Tracy (1955)a
I M´etodo de Tarner (1944)
I M´etodo de Muskat-Taylor (1946)
Estos m´etodos son utilizados para predecir el comportamiento de producci´on de yacimientosb
.
Tema 1 slide 66
aAIME, 1955, 204, 243-246
bFern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov
2006
M´etodo F vs. Et
Suponiendo que se tiene un yacimiento volum´etrico (We = 0), sin capa de gas (m = 0) y con expansi´on despreciable de
la roca y el agua connata, donde el principal mecanismo de empuje es el gas en soluci´on, la ecuaci´on lineal de balance de
materiales es:
F = NEo (19)
En este caso, el vaciamiento (F) y el expansi´on del petr´oleo y gas en soluci´on (Eo) conocidos, por lo que al realizar un
gr´afico de F vs. Eo se obtiene una linea recta que debe pasar por el origen (0,0) y la pendiente es igual al petr´oleo
original en sitio (N).
Tema 1 slide 67
27
M´etodo F vs. Et
Cuando existe influjo de agua (We = 0), la ecuaci´on lineal de balance de materiales se puede escribir como:
F − We = NEo, y el m´etodo consiste en graficar (F − We) vs. (Eo).
Al suponer que la expansi´on de la roca y el agua connta no son despreciables (Efw = 0), la ecuaci´on lineal de balance de
materiales se puede escribir como: F − We = N [Eo + Efw], y el m´etodo consiste en graficar (F − We) vs. (Eo + Efw)
En caso que se disponga un valor estimado de la capa de gas, la ecuaci´on lineal de balance de materiales se puede
escribir como: F − We = N [Eo + mEg + (1 + m) Efw], y el m´etodo consiste en graficar (F − We) vs.
(Eo + mEg + (1 + m) Efw). Este m´etodo supone que el valor de m es correcto o cercano al verdadero, al igual que los
valores de We, as´ı como todas las otras suposiciones intr´ınsecas a la EBM. Si el valor de m es mayor o menor que el
valor verdadero de m, el gr´afico se desviar´a por encima o por debajo, respectivamente, de la l´ınea recta correspondiente
al valor correcto de m.
En general, el fundamento del m´etodo es graficar (F − We) en funci´on de Et, donde Et depende de los mecanismos de
empuje activos en el yacimiento.
Tema 1 slide 68
M´etodo F vs. Et
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0
1
2
3
4
5
Metodo F−We vs. Et
Et
(bbl/STB)
F−We
(MMbbl)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Tema 1 slide 69
M´etodo de la capa de gas
Este m´etodo permite calcular simult´aneamente los valores de N y m. Graficando (F − We)/Eo en funci´on de Eg/Eo se
obtiene una l´ınea recta cuyo intercepto con el eje Y es N, y la pendiente es mN.
Si se tiene un yacimiento donde no existe influjo de agua, el gr´afico resultante es: F/Eo en funci´on de Eg/Eo.
Se puede observar que si no existe capa de gas, el gr’afico resultante ser´ıa una l´ınea horizontal con intercepto N.
En el caso que todos los mecanismos de empuje se encuentren activos (se incluyen todos los t´erminos de la EBM), el
m´etodo consiste en graficar: (F − We)/(Eo + Efw) en funci´on de (Eg + Efw)/(Eo + Efw).
Tema 1 slide 70
28
M´etodo de la capa de gas
0 1 2 3 4
80
100
120
140
160
180
200
220
Metodo (F−We
)/Eo
vs. Eg
/Eo
Eg
/Eo
(F−We
)/Eo
(MMSTB)
1
2
3
4
5
6
7
8
91011121314
Tema 1 slide 71
M´etodo del acu´ıfero
F
Eo
= N +
We
Eo
(20)
Este m´etodo permite calcular N imponiendo una restricci´on adicional: adem´as de mostrar un comportamiento lineal, la
pendiente de la l´ınea recta debe ser igual a 1.
Si existen valores err´oneos para el t´ermino relacionado con el influjo de agua (We), se obtendr´a un comportamiento
alejado de la tendencia lineal. Espec´ıficamente, si We asumido es demasiado grande, la tendencia es hacia abajo del
comportamiento lineal; si el We asumido es demasiado peque˜no, la tendencia es hacia arriba.
Tema 1 slide 72
29
M´etodo del acu´ıfero
0 400 800 1200 1600 2000
0
500
1000
1500
2000
2500
Metodo F/Et
vs. We
/Et
We
/Et
(MMSTB)
F/Et
(MMSTB)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Tema 1 slide 73
30
Ejemplos slide 74
Ejemplos
Descripci´on
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Tema 1 slide 75
Descripci´on
Ejemplo 1: Yacimiento inicialmente saturado asociado a un acuifero de estado estable y con expansi´on de roca y agua
connata despreciable
Ejemplo 2: Yacimiento inicialmente saturado asociado a un acuifero de estado estable
Ejemplo 3: Yacimiento con capa de gas libre y asociado a un acuifero de estado estable
Tema 1 slide 76
Ejemplo 1
Este es un ejemplo de un yacimiento de petr´oleo con gas disuelto asociado a un ac´ıfero lateral de estado estable. Los
datos de producci´on y PVT se muestran a continuaci´on:
1990 1992 1994 1996 1998 2000
3900
4000
4100
4200
4300
4400
4500
pressure(psi)
1990 1992 1994 1996 1998 2000
0
1
2
3
4
5
Np
(MMSTB)
1990 1992 1994 1996 1998 2000
0
1000
2000
3000
4000
Gp
(MMSCF)
1990 1992 1994 1996 1998 2000
−1
−0.5
0
0.5
1
Wp
(MMSTB)
3800 4000 4200 4400 4600
1.38
1.4
1.42
1.44
1.46
Bo
(bbl/STB)
3800 4000 4200 4400 4600
7
7.2
7.4
7.6
7.8
8
8.2
x 10
−4
Bg
(bbl/SCF)
3800 4000 4200 4400 4600
700
720
740
760
780
800
820
840
Rs
(SCF/STB)
Tema 1 slide 77
31
Ejemplo 1
Si el yacimiento se encuentra inicialmente saturado (m = 0) y la expansi´on de roca y agua connata son despreciables (Efw = 0) obtenemos:
0 0.01 0.02 0.03 0.04
0
1
2
3
4
5
N=103 MMSTB
C=[101.6 104.4]
ρ=0.9987
e=0.04 MMbbl
Method F−We vs. E
t
Et
(bbl/STB)
F−W
e
(MMbbl)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 20 40 60 80 100
100
120
140
160
180
200
220
N=102.9 MMSTB
C=[100.9 104.9]
ρ=0.9893
e=2.79 MMSTB
Method F/Et
vs. We
/Et
We
/Et
(MMSTB)
F/E
t
(MMSTB)
1
2
3
4 5
6
7
8 9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Recovery Mechanisms
Iw
Io
Ig
Ifw
Tema 1 slide 78
Ejemplo 1
Si el yacimiento se encuentra inicialmente saturado (m = 0) y la expansi´on de roca y agua connata no son despreciables (cr=3 µpsi−1
, cf =4
µpsi−1
, Swi = 20%; Efw = 0) obtenemos:
0 0.02 0.04 0.06
0
1
2
3
4
5
6
N=90.3 MMSTB
C=[88.7 92]
ρ=0.9975
e=0.06 MMbbl
Method F−We vs. E
t
Et
(bbl/STB)
F−W
e
(MMbbl)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 20 40 60 80 100
80
100
120
140
160
180
200
N=89.3 MMSTB
C=[87.4 91.1]
ρ=0.9891
e=2.6 MMSTB
Method F/Et
vs. We
/Et
We
/Et
(MMSTB)
F/E
t
(MMSTB)
1
2
3
4 5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Recovery Mechanisms
Iw
Io
Ig
Ifw
Tema 1 slide 79
32
Ejemplo 1
Si el yacimiento se encuentra saturado (m = 0) y la expansi´on de roca y agua connata no son despreciables (cr=3 µpsi−1
, cf =4 µpsi−1
,
Swi = 20%; Efw = 0) obtenemos:
0 0.02 0.04 0.06
0
1
2
3
4
5
6
N=84.9 MMSTB
C=[83.8 86.1]
ρ=0.9986
e=0.05 MMbbl
Method F−We vs. E
t
Et
(bbl/STB)
F−W
e
(MMbbl)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4
84
86
88
90
92
94
N=84.7 MMSTB, m=0.02
C=[76.4 92.9]
ρ=0.0729
e=2.51 MMSTB
Method (F−W
e
)/(E
o
+E
fw
) vs. (E
g
+E
fw
)/(E
o
+E
fw
)
(Eg
+Efw
)/(Eo
+Efw
)
(F−We
)/(Eo
+Efw
)(MMSTB)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 20 40 60 80 100
80
100
120
140
160
180
200
N=84.7 MMSTB
C=[83.1 86.4]
ρ=0.9894
e=2.3 MMSTB
Method F/Et
vs. We
/Et
We
/Et
(MMSTB)
F/E
t
(MMSTB)
1 2
3
4 5
6
7
8 9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Recovery Mechanisms
Iw
Io
Ig
Ifw
Tema 1 slide 80
Ejemplo 2
Este es un ejemplo de un yacimiento inicialmente saturado (m = 0) asociado a un acuifero de estado estable y con expansi´on de roca y agua connata
(cr=3 µpsi−1
, cf =4 µpsi−1
, Swi = 20%; Efw = 0). Los datos de producci´on y PVT se muestran a continuaci´on:
1990 1995 2000 2005
3800
3900
4000
4100
4200
4300
4400
4500
pressure(psi)
1990 1995 2000 2005
0
2
4
6
8
10
Np
(MMSTB)
1990 1995 2000 2005
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x 10
4
Gp
(MMSCF)
1990 1995 2000 2005
−1
−0.5
0
0.5
1
Wp
(MMSTB)
3800 4000 4200 4400 4600
1.38
1.4
1.42
1.44
1.46
1.48
Bo
(bbl/STB)
3800 4000 4200 4400 4600
7
7.2
7.4
7.6
7.8
8
8.2
x 10
−4
Bg
(bbl/SCF)
3800 4000 4200 4400 4600
650
700
750
800
850
Rs
(SCF/STB)
Tema 1 slide 81
33
Ejemplo 2
0 0.02 0.04 0.06
0
2
4
6
8
10
12
14
N=200 MMSTB
C=[200 200]
ρ=1
e=0 MMbbl
Method F−We vs. E
t
E
t
(bbl/STB)
F−W
e
(MMbbl)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1314
0 100 200 300
200
250
300
350
400
450
500
550
N=200 MMSTB
C=[200 200]
ρ=1
e=0.01 MMSTB
Method F/E
t
vs. W
e
/E
t
W
e
/E
t
(MMSTB)
F/E
t
(MMSTB)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Recovery Mechanisms
Iw
Io
Ig
Ifw
Tema 1 slide 82
Ejemplo 3
Este es un ejemplo de un yacimiento saturado (m = 0) asociado a un acuifero de estado estable y con expansi´on de roca y agua connata (cr=3
µpsi−1
, cf =4 µpsi−1
, Swi = 20%; Efw = 0). Los datos de producci´on y PVT se muestran a continuaci´on:
1990 1995 2000 2005
3800
3900
4000
4100
4200
4300
4400
4500
pressure(psi)
1990 1995 2000 2005
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Np
(MMSTB)
1990 1995 2000 2005
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10
4
Gp
(MMSCF)
1990 1995 2000 2005
−1
−0.5
0
0.5
1
Wp
(MMSTB)
3800 4000 4200 4400 4600
1.38
1.4
1.42
1.44
1.46
1.48
Bo
(bbl/STB)
3800 4000 4200 4400 4600
7
7.2
7.4
7.6
7.8
8
8.2
x 10
−4
Bg
(bbl/SCF)
3800 4000 4200 4400 4600
650
700
750
800
850
Rs
(SCF/STB)
Tema 1 slide 83
34
Ejemplo 3
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0
2
4
6
8
10
12
N=100 MMSTB
C=[100 100]
ρ=1
e=0 MMbbl
Method F−We vs. E
t
E
t
(bbl/STB)
F−W
e
(MMbbl)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1314
0 1 2 3 4
100
120
140
160
180
200
N=100 MMSTB, m=0.25
C=[100 100.1]
ρ=1
e=0.01 MMSTB
Method (F−W
e
)/(E
o
+E
fw
) vs. (E
g
+E
fw
)/(E
o
+E
fw
)
(E
g
+E
fw
)/(E
o
+E
fw
)
(F−W
e
)/(E
o
+E
fw
)(MMSTB)
1
2
3
4
56
78
91011121314
0 50 100 150 200
100
150
200
250
300
350
N=100 MMSTB
C=[100 100]
ρ=1
e=0.01 MMSTB
Method F/E
t
vs. W
e
/E
t
W
e
/E
t
(MMSTB)
F/E
t
(MMSTB)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Recovery Mechanisms
Iw
Io
Ig
Ifw
Tema 1 slide 84
35
PVT slide 85
PVT
Muestras de fluidos
Experimentos
Ajuste de Bo y Rs a condiciones de campo
Tema 1 slide 86
Muestras de fluidos
Las muestras de fluidos se recolectan usualmente durante la etapa temprana de producci´on de un yacimiento. Existen dos formas de recolectar las
muestras de fluidos:
I Muestreo de fondo
I Muestreo por recombinaci´on superficial
Tema 1 slide 87
Muestras de fluidos
Figura 11: Recolecci´on de una muestra PVT de fondo
Tema 1 slide 88
36
Muestras de fluidos
Figura 12: Recolecci´on de una muestra PVT por recombinaci´on superficial
Tema 1 slide 89
Conversi´on condiciones laboratorio-campo
El an´alisis de laboratorio consiste de:
I Expansi´on instant´anea de la muestra de fluido para determinar la presi´on de burbujeo
I Expansi´on diferencial de la muestra de fluido para determinar Bo y Rs
I Expansi´on instant´anea de la muestra de fluido a trav´es de varias separadores para obtener los par´ametros que permiten ajustar los datos PVT de
laboratorio para cotejar las condiciones del separador de campo
Tema 1 slide 90
Conversi´on condiciones laboratorio-campo
Figura 13: Celda PVT
Tema 1 slide 91
37
Conversi´on condiciones laboratorio-campo
Figura 14: (a) Expansi´on instant´anea (b) Expansi´on diferencial
Tema 1 slide 92
Experimentos
I Datos PVT de laboratorio:
- Volumen relativo (vo)
- Relaci´on gas-petr´oleo (Rsdif
)
- Factor volum´etrico de formaci´on del petr´oleo (Bodif
)
I Datos PVT del separador a diferentes presiones (psep) y temperatura constante (Tsep)
- Relaci´on gas-petr´oleo (Rssep )
- Factor volum´etrico de formaci´on del petr´oleo (Bosep )
Tema 1 slide 93
Ajuste de Bo y Rs a condiciones de campo
I Para p > pb:
Bo = voBosep
I Para p < pb:
Bo = Bodif
Bosep
Bobdif
Rs = Rsdif
Rssep
Rsbdif
Tabla 1: Prueba del separador
psep (psi) Tsep (F) Rssep API Bosep
0 74 620 29.9 1.382
50 75 539 31.5 1.340
100 76 505 31.9 1.335
200 77 459 31.8 1.341
Tema 1 slide 94
38
Influjo de Agua slide 95
Influjo de Agua
Introducci´on
Reconocimiento del empuje por agua
Clasificaci´on
Grado de mantenimiento de presi´on
Condici´on de borde externo
Reg´ımenes de flujo
Geometr´ıas de flujo
Modelos de acu´ıfero
Pot
Schilthuis
Hurst
van Everdingen-Hurst
Tema 1 slide 96
Introducci´on
I Una gran catidad de yacimientos de petr´oleo y gas tienen un acu´ıfero asociado que representa una fuente importante de energ´ıa de yacimiento
I Esta energ´ıa provee un mecanismo de empuje para la producci´on de fluidos cuando los yacimientos son sometidos a producci´on
I Se cree que el gran n´umero de yacimientos con empuje de agua esta relacionado con el origen marino de muchos yacimientos
I En los casos que el volumen del acu´ıfero es menos de 10 veces el volumen del yacimiento, el mecanismo de empuje por agua es considerado
peque˜no. Si el tama˜no del acu´ıfero es significativamente mayor (> 10x), el mecanismo de empuje por agua puede ser la principal fuente de
energ´ıa de yacimiento
I Cuando la presi´on del yacimiento disminuye, se crean un diferencial de presi´on a trav´es del contacto agua-petr´oleo (agua-gas) y en consecuencia,
el acu´ıfero reacciona porporcionando los siguientes mecanismos de empuje:
N Expansi´on del agua en el acu´ıfero
N Reducci´on del volumen poroso del acu´ıfero causado por examnsi´on de la roca
N Expansi´on de otros yacimientos a trav´es de acu´ıferos comunes
N Flujo artesiano
I En yacimientos de petr´oleo con empuje por agua, el factor de recobro puede variar entre 35%-65% del POES, mientras que en el caso de empuje
por gas en soluci´on, se obtiene entre 10%-25%. Por el contrario, en yacimientos de gas, el mecanismo de empuje por agua puede obtener factores
de recoboro entre 35%-65% del GOES, mientras con expansi´on del gas libre, el recobro puede variar entre 70%-90%.
Tema 1 slide 97
39
Reconocimiento del empuje por agua
I Disminuci´on de la tasa de declinaci´on de presi´on con incremento del vaciamiento acumulado
I Incremento gradual de la RGP en yacimientos inicialmente saturados
I Balance de materiales
Figura 15: M´etodo de Campbell
Tema 1 slide 98
Clasificaci´on
Los acu´ıferos se puede clasificar de acuerdo a:
I Grado de mantenimiento de presi´on
I Condici´on de borde externo
I Reg´ımenes de flujo
I Geometr´ıas de flujo
Tema 1 slide 99
Grado de mantenimiento de presi´on
Los tipos de empuje por agua son:
I Activo
El influjo de agua es igual al vacimiento total
La presi´on permanace constante
qe = qoBo + qgBg + qwBw (21)
qe = qoBo + (RGP − Rs) qoBg + qwBw (22)
I Parcial
I Limitado
Tema 1 slide 100
40
Condici´on de borde externo
I Infinito
El efecto de la declinaci´on de presi´on no se siente en el borde externo
La presi´on en el borde externo es igual a pi
I Finito
El efecto de la declinaci´on de presi´on se siente en el borde externo
La presi´on en el borde externo cambia en funci´on del tiempo
Tema 1 slide 101
Reg´ımenes de flujo
Existen tres regimenes de flujo que influencian la tasa de influjo de agua hacia el yacimiento:
I Estado estable
La ca´ıda de presi´on se transmite en todo el yacimiento y el acu´ıfero reacciona en forma instant´anea
I Estado inestable
La ca´ıda de presi´on se transmite en todo el yacimiento y el acu´ıfero reacciona en forma gradual
Tema 1 slide 102
Geometr´ıas de flujo
Los sistemas yacimiento-acu´ıfero se pueden clasificar con base a las geometr´ıas de flujo como:
I Empuje lateral
I Empuje lineal
I Empuje de fondo
Tema 1 slide 103
41
Geometr´ıas de flujo
Figura 16: Geometr´ıas de flujo
Tema 1 slide 104
Modelos de acu´ıfero
Los modelos matem´aticos de influjo de agua comunmente utilizados en la industria petrolera son:
1. Estado estable
(a) Pot
(b) Schithuis (1936)
(c) Hurst (1943)
2. Estado inestable
(a) van Everdingen-Hurst (1949)
(b) Carter-Tracy (1960)
(c) Fetkovich (1971)
(d) Allard-Chen (1984)
Tema 1 slide 105
42
Pot
I El modelo Pot es el modelo m´as simple que puede ser utilizado para estimar el influjo de agua a un yacimiento
I Esta basado en la definici´on b´asica de compresibilidad
I Una ca´ıda de presi´on en el yacimiento debido a la producci´onde fluidos causa que el agua del acu´ıfero se expanda y
fluya hacia el yacimiento
I Usualmente se utiliza para acu´ıferos peque˜nos, del mismo tama˜no del yacimiento
Aplicando al definici´on de compresibilidad al acu´ıfero se tiene:
We = (cw + cf ) Wi (pi − p) (23)
donde:
We: influjo de agua acumulado [MMbbl]
cw: compresibilidad del agua [psi−1
]
cf : compresibilidad de la roca [psi−1
]
Wi: volumen de agua iniccial en el acu´ıfero [MMbbl]
pi: presi´on inicial del yacimiento [psi]
p: presi´on actual del yacimiento (en el OWC) [psi]
Tema 1 slide 106
Pot
El vomuen de agua inicial en un acu´ıfero radial es:
Wi =
π r2
a − r2
o hφ
5.615
donde:
ra: radio del acu´ıfero [ft]
ro: radio del yacimiento [ft]
h: espesor del acu´ıfero [ft]
φ: porosidad en el acu´ıfero
En el caso que la influencia del acu´ıfero no sea completamente radial, se define un factor de forma:
We = (cw + cf ) Wif (pi − p) (24)
donde:
f = θ
360
Tema 1 slide 107
43
Pot
Figura 17: Modelo de acu´ıfero radial
Tema 1 slide 108
Pot
Balance de materiales
Al combinar la Ec. 24 con la Ec. 20 obtenemos
F
Eo
= N + (cw + cf ) Wif
∆p
Eo
(25)
Debido a que las propiedades del acu´ıfero (cw, cf , h, ra, θ) pueden variar de forma poco significativa, es conveniente
agrupar estas propiedades en una variable desconocia K:
F
Eo
= N + K
∆p
Eo
(26)
Tema 1 slide 109
44
Pot
Balance de materiales
Figura 18: M´etodo F/Eo vs. ∆p/Eo
Tema 1 slide 110
Schilthuis
I El comportamiento de flujo esta descrito por la Ley de Darcy
I Regimen de flujo en estado estable
La tasa de influjo de agua se puede describir aplicando la Ley de Darcy:
dWe
dt
=
0.00708kh
µw ln ra
ro
(pi − p) (27)
dWe
dt
= C (pi − p) (28)
donde:
k: permeabilidad del acu´ıfero [md]
h: espesor del acu´ıfero [ft]
ra: radio del acu´ıfero [ft]
ro: radio del yacimiento [ft]
t: tiempo [d]
C: constante de influjo de agua [bbl/d/psi]
Tema 1 slide 111
45
Schilthuis
Integrando obtenemos:
We
0
dWe =
t
0
C (pi − p) dt ⇒ We = C
t
0
(pi − p) dt
Utilizando un m´etodo de integraci´on num´erico obtenemos:
Wk
e = C
k
j=1
∆pj∆tj
Tambi´en se puede expresar como:
Wk
e = C
k
j=1
pi −
1
2
(¯pj−1 + ¯pj) ∆tj (29)
donde:
j: paso de tiempo
k: n´umero de intervalos de tiempo
Tema 1 slide 112
Hurst
I El radio “aparente” del acu´ıfero ra se incrementa con el tiempo
I La relaci´on adimensional ra/ro se reemplaza por una funci´on que depende del tiempo ra/ro = at
Sustituyendo en la Ec. 27 obtenemos:
dWe
dt
=
0.00708kh
µw ln (at)
(pi − p) (30)
dWe
dt
=
C (pi − p)
ln (at)
(31)
Integrando obtenemos:
We = C
t
0
(pi − p)
ln (at)
dt (32)
Tema 1 slide 113
Hurst
Utilizando un m´etodo de integraci´on num´erico obtenemos:
Wk
e = C
k
j=1
∆pj
ln (at)
∆tj (33)
El modelo de acu´ıfero de estado estable de Hurst continen dos par´ametros desconocidos: a y C. Estos par´ametros se
pueden determinar a partir del comportamiento de presi´on e historia de influjo de agua. Utilizando la Ec. 31 se tiene:
pi − p
dWe
dt
=
1
C
ln at
pi − p
dWe
dt
=
1
C
ln a +
1
C
ln t (34)
La Ec. 34 indica que un gr´afico de pi−p
dWe
dt
en funci´on de ln t debe ser una l´ınea recta con pendiente 1
C
y cuando t = 1 se
obtiene 1
C
ln a
Tema 1 slide 114
46
Hurst
Figura 19: M´etodo pi−p
dWe
dt
vs. ln t
Tema 1 slide 115
van Everdingen-Hurst
van Everdingen y Hurst resolvieron la ecuaci´on de influjo para un sistema yacimiento-acu´ıfero aplicando la transformada
de Laplace a la ecuaci´on de difusividada
que describe el flujo bajo condiciones transientes.
∂2
pD
∂2rD
+
1
rD
∂pD
∂rD
=
∂pD
∂tD
(35)
Esto conduce a la determinaci´on del influjo de agua como funci´on de una ca´ıda de presi´on dada en el borde interno del
sistema yacimiento-acu´ıfero.
Tema 1 slide 116
aLa ecuaci´on de difusividad ser´a desarrollada en el Tema 3 (An´alisis de Presiones)
47
van Everdingen-Hurst
Figura 20: Influjo de agua a un yacimiento cil´ındrico
Tema 1 slide 117
van Everdingen-Hurst
van Everdingen-Hurst propusieron una soluci´on a la ecuaci´on adimensional de difusividad que utiliza la condici´on de
presi´on constante y las siguientes condiciones condiciones iniciales y de borde:
I Condici´on inicial: p = pi, ∀t
I Condici´on de borde interno: p = pi − ∆p, r = ro, ∀t
I Condici´on de borde exterior:
N Acu´ıfero infinito: p = pi, r → ∞
N Acu´ıfero finito: ∂p
∂r
= 0, r = ra
Adicinalmente, van Everdingen-Hurst asumieron que el acu´ıfero estaba caracterizado por:
I Espersor uniforme
I Permeabilidad constante
I Posoridad constante
I Compresibilidad de roca y agua constante
Tema 1 slide 118
48
van Everdingen-Hurst
La soluci´on a la Ec. 35 para un sistema yacimiento-acu´ıfero, considerando las condiciones de borde descritas, permite
calcular el influjo de agua en forma de un par´ametro adimensional denominado influjo de agua adimensional WeD, el
cual es funci´on del tiempo adimensional tD y el radio adimensional rD:
WeD = f (tD, rD) (36)
WeD se encuentra en forma tabular para diversas geometr´ıas de sistema yacimiento-acu´ıfero
El influjo acumulado de agua se calcula de la siguiente expresi´on:
We = B∆pWeD (37)
donde:
We: influjo de agua acumulado [bbl]
B: constante de influjo de agua (depende del modelo geom´etrico) [bbl/psi]
∆p = pi − p
WeD: influjo de agua adimensional
Tema 1 slide 119
van Everdingen-Hurst
El valor de tD y B se muestran a continuaci´on:
Modelo geom´etrico Tiempo adimensional Constante del acu´ıfero
Radial tD = 2.309 kt
φµwctr2
o
B = 1.119φctr2
ohf
Lineal tD = 2.309 kt
φµwctL2 B = 0.178WLhct
Fondo tD = 2.309 kt
φµwctL2
a
B = 0.178Vact
donde:
k: permeabilidad del acu´ıfero [md]
t: tiempo [a˜nos]
h: espesor del yacimiento [ft] φ: porosidad del acu´ıfero
µw: viscosidad del agua en el acu´ıfero [cp]
ra: radio del acu´ıfero [ft], ro: radio del yacimiento [ft]
cw: compresibilidad del agua [psi−1
], cr: compresibilidad de la roca [psi−1
]
ct = cw + cr: compresibilidad total [psi−1
]
L: longitud del acu´ıfero [ft]
W: ancho del yacimiento [ft]
Va: volumen del acu´ıfero [ft3
], La = Va
πr2
oφ
Tema 1 slide 120
49
van Everdingen-Hurst
Tema 1 slide 121
50
van Everdingen-Hurst
Tema 1 slide 122
van Everdingen-Hurst
Principio de superposici´on
I Existe una ca´ıda de presi´on en el contacto agua-petr´oleo debido a la producci´on de fluidos en un yacimiento asociado
a un acu´ıfero
I El agua se expande y la ca´ıda de presi´on se propaga dentro del acu´ıfero hacia el borde exterior
I Debido a que las ca´ıdas de presi´on ocurren en forma independiente, el agua se expande a consecuencia de sucesivas
ca´ıdas de presi´on
Tema 1 slide 123
51
van Everdingen-Hurst
Principio de superposici´on
Figura 21: Presi´on en el contacto agua-petr´oleo
Tema 1 slide 124
van Everdingen-Hurst
Principio de superposici´on
La presi´on promedio es:
¯pj =
pj−1 + pj
2
La ca´ıda de presi´on es:
∆pj =
pj−1 − pj+1
2
Para calcular el influjo acumulado de agua a un tiempo arbitrario t, el cual corresponde al paso de tiempo n, se requiere
la superposici´on de las soluciones de la Ec. 37:
We (tn) = B∆p0WD (tDn ) + B∆p1WD tDn−1 + . . . +
+ B∆pjWD tDn−j + . . . + B∆pn−1WD (tD1 ) (38)
Sumando obtenemos:
We (tn) = B
n−1
j=0
∆pjWD tDn−j (39)
Tema 1 slide 125
52
van Everdingen-Hurst
Principio de superposici´on
Figura 22: Ilustraci´on del principio de superposici´on
Tema 1 slide 126
van Everdingen-Hurst
Balance de materiales
La constante del acu´ıfero B puede ser determinado mediante la soluci´on del m´etodo gr´afico de balance de materiales.
Para ello se tiene:
F = NEt + We
F = NEt + B
n−1
j=0
∆pjWD tDn−j
Por lo que:
F
Et
= N + B
n−1
j=0
∆pjWD tDn−j
Et
(40)
La soluci´on de la ecuaci´on lineal de balance de materiales mediante el m´etodo gr´afico puede ser utilizada para determinar
el valor de un par´ametro desconocido del acu´ıfero cuando el resto de los par´ametros son conocidos.
Tema 1 slide 127
53
van Everdingen-Hurst
An´alisis de sensibilidad
F/Et vs. We/Et
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 100 200 300 400 500 600
We/Et
F/Et
h=50 pies
h=100 pies
h=150 pies
Figura 23: Espesor del acu´ıfero
Tema 1 slide 128
van Everdingen-Hurst
An´alisis de sensibilidad
F/Et vs. We/Et
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 100 200 300 400 500 600
We/Et
F/Et
ro=4600’
ro=9200’
ro=13800’
Figura 24: Radio del yacimiento
Tema 1 slide 129
54
van Everdingen-Hurst
An´alisis de sensibilidad
F/Et vs. We/Et
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 100 200 300 400 500 600
We/Et
F/Et
Ae=100°
Ae=150°
Ae=200°
Figura 25: Angulo θ
Tema 1 slide 130
van Everdingen-Hurst
An´alisis de sensibilidad
F/Et vs. We/Et
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 100 200 300 400 500 600
We/Et
F/Et
K=82 mD
K=164 mD
K=246 mD
Figura 26: Permeabilidad del acu´ıfero
Tema 1 slide 131
55
Predicci´on slide 132
Predicci´on
Introducci´on
Par´ametros
M´ecanismos de Recobro
M´etodo de Tracy
M´etodo de Tarner
M´etodo de Muskat
Ejemplo
Esta secci´on fue desarrollada por el Br. Bernardo Bohorquez y la Br. Johanna Fern´andez, Escuela de Ingenier´ıa de
Petr´oleo, UCVa
.
Tema 1 slide 133
aFern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov
2006
Introducci´on
I La predicci´on del comportamiento de un yacimiento en funci´on del tiempo puede dividirse en 3 fases principales:
N Comportamiento del yacimiento: Esta fase requiere del uso de la EBM de una manera predictiva, cuyo fin ser´ıa
estimar la producci´on acumulada de hidrocarburos y la relaci´on gas–petr´oleo instant´anea (RGP) en funci´on del
agotamiento de presi´on del yacimiento.
N Comportamiento del pozo: Esta fase genera el comportamiento individual de cada pozo en la medida en la cual
avanza el agotamiento de la presi´on.
N Relaci´on del comportamiento del yacimiento con el tiempo: Esta fase, los datos del yacimiento y de los pozos
son vinculados con el tiempo, considerando cantidades y tasa de producci´on de cada uno de los mismos.
Tema 1 slide 134
Par´ametros
Para realizar una predicci´on de la producci´on de hidrocarburos relacionada con la presi´on promedio del yacimiento, se
necesitan conocer el comportamiento de los siguientes par´ametros:
RGP instant´anea: La relaci´on gas–petr´oleo instant´anea representa la raz´on entre los pies c´ubicos est´andar de gas
producidos y los barriles est´andar de petr´oleo producidos al mismo instante. Se encuentra definida por:
RGP =
Rsqo + qg
qo
= Rs +
krg
kro
µoβo
µgβg
Esta ecuaci´on permite describir el comportamiento de la relaci´on gas–petr´oleo instant´anea en cualquier momento
durante el agotamiento de presi´on del yacimiento.
Tema 1 slide 135
56
Par´ametros
Relaci´on entre Rs y RGP vs Np
a
Tema 1 slide 136
aTarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005.
Par´ametros
El gas acumulado producido puede vincularse a la RGP de la siguiente manera:
Relaci´on RGP vs Np
a
Tema 1 slide 137
aTarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005.
57
Par´ametros
Saturaci´on de petr´oleo remanente para cada paso de presi´on: Se tiene un yacimiento volum´etrico (We = 0), sin capa
inicial de gas, con N barriles est´andar iniciales y una presi´on inicial pi, en donde Soi = 1 − Swi. El c´alculo de N
volum´etrico viene representado por la siguiente ecuaci´on:
N =
Aφh(1 − Swi)
βoi
Si expresamos el t´ermino Aφh como Vp o volumen poroso se puede despejar de la siguiente manera:
Volumen poroso =
Nβoi
1 − Swi
Si el yacimiento ha producido un volumen Np, la cantidad remanente de petr´oleo viene dada por:
Volumen remanente de petr´oleo = (N − Np)βo
Tema 1 slide 138
Par´ametros
Si se tiene que So se encuentra definido por:
So =
Volumen de petr´oleo
Volumen poroso
Utilizando esta definici´on, y combin´andola con las anteriores ecuaciones se tiene que:
So = (1 − Swi) 1 −
Np
N
βo
βoi
Es importante destacar que se supone la distribuci´on uniforme de las saturaciones de los fluidos a lo largo de todo el
yacimiento. Por otra parte, de existir otros mecanismos de empuje, es necesario el desarrollo de ecuaciones distintas cuyo
fin sea contabilizar migraci´on de fluidos, vol´umenes de petr´oleo atrapados en zonas de agua o gas, entre otros aspectos.
Tema 1 slide 139
M´ecanismos de Recobro
Yacimientos de petr´oleo subsaturado
Cuando la presi´on del yacimiento se encuentra por encima de la presi´on de burbujeo, es decir p > pb, el yacimiento es
considerado como subsaturado. Asumiendo que no se tiene capa inicial de gas (m = 0) y que el yacimiento es
volum´etrico (We = 0), la EBM se puede expresar de la siguiente manera:
Npβo = Nβoi
SoiCo + SwiCw + Cf
1 − Swi
∆p
Despejando Np se tiene la ecuaci´on:
Np = NCe
βo
βoi
∆p
Donde el t´ermino Ce =
SoiCo+SwiCw+Cf
1−Swi
representa la compresibilidad efectiva. El c´alculo de la producci´on futura de
hidrocarburos no requiere de un proceso de ensayo cuando el yacimiento es subsaturado, con las suposiciones
anteriormente mencionadas.
Tema 1 slide 140
58
M´ecanismos de Recobro
Yacimientos de petr´oleo saturado
Para un yacimiento saturado donde el ´unico mecanismo de producci´on presente es el empuje por gas en soluci´on,
volum´etrico y que no presenta inyeccion de fluidos, la EBM se puede expresar mediante la siguiente ecuaci´on:
N =
Npβo + (Gp − NpRs) βg
(βo − βoi) + (Rsi − Rs) βg
Si N y los datos PVT son variables conocidas, Np y Gp son variables desconocidas. Para su c´alculo, es necesario utilizar
unos m´etodos los cuales combinan la EBM con la Relaci´on Gas–Petr´oleo, utilizando informaci´on sobre la saturaci´on
inicial de los fluidos presente, y datos de permeabilidades relativas.
Tema 1 slide 141
M´etodo de Tracy
Tracy (1955) sugiri´o que la EBM puede ser reescrita y expresada en funci´on de tres (3) par´ametros PVT. Despejando N
de la siguiente manera:
N =
Np (βo − Rsβg) + Gpβg + (Wpβw − We)
(βo − βoi) + (Rsi − Rs) βg + mβoi
βg
βgi
− 1
Se pueden definir los par´ametros φo, φg y φw seg´un las siguientes ecuaciones:
φo =
βo−Rsβg
den
φg =
βg
den
φw = 1
den
den = (βo − βoi) + (Rsi − Rs) βg + mβoi
βg
βgi
− 1
La EBM queda reescrita de la siguiente manera:
N = Npφo + Gpφg + (Wpβw − We) φw
Considerando un yacimiento con empuje por gas en soluci´on se tiene que:
N = Npφo + Gpφg
Tema 1 slide 142
M´etodo de Tracy
Por cada paso de presi´on se debe considerar el aumento de la producci´on de gas y de petr´oleo (∆Gp y ∆Np
respectivamente):
Np = N∗
p + ∆Np
Gp = G∗
p + ∆Gp
Donde el valor con un * representa el correspondiente a la presi´on superior de cada paso. Sustituyendo se tiene que:
N = N∗
p + ∆Np φo + G∗
p + ∆Gp φg
Combinando esta ecuaci´on con el concepto de la Relaci´on Gas–Petr´oleo, se obtiene:
N = N∗
p + ∆Np φo + G∗
p + ∆Np (RGP)prom φg
Tema 1 slide 143
59
M´etodo de Tracy
Despejando ∆Np:
∆Np =
1 − N∗
p φo + G∗
pφg
φo + (RGP)prom φg
Esta ecuaci´on presenta dos variables desconocidas, el incremento de producci´on de petr´oleo ∆Np y la Relaci´on
Gas–Petr´oleo (RGP)prom . La metodolog´ıa utilizada para la resoluci´on de esta ecuaci´on consiste en una t´ecnica iterativa
teniendo como objetivo la convergencia a los valores futuros de RGP. A continuaci´on los pasos para su resoluci´on:
1.- Seleccionar una presi´on p por debajo de la presi´on en donde se tienen los dem´as valores conocidos p∗
.
2.- Calcular los valores de las funciones PVT, φo y φg, para la presi´on p .
3.- Estimar un valor de RGP, el cual se denotar´a por (RGP)est, para la presi´on estimada en el paso 1
Tema 1 slide 144
M´etodo de Tracy
4.- Calcular la RGP instant´anea promedio:
(RGP)prom =
RGP∗
+ (RGP)est
2
5.- Calcular el incremento de producci´on de petr´oleo acumulado ∆Np:
∆Np =
1 − N∗
p φo + G∗
pφg
φo + (RGP)prom φg
6.- Calcular la producci´on de petr´oleo Np .
Np = N∗
p + ∆Np
7.- Calcular la saturaci´on de petr´oleo a la presi´on seleccionada:
So = (1 − Swi) 1 −
Np
N
βo
βoi
Tema 1 slide 145
M´etodo de Tracy
8.- Obtener la raz´on de permeabilidades relativas Krg/Kro utilizando la informaci´on disponible, tal como pruebas de
laboratorio, pozos cercanos o correlaciones emp´ıricas.
9.- Utilizando el valor obtenido en el paso anterior, calcular RGP:
(RGP)cal = Rs +
Krg
Kro
µoβo
µgβg
10.- Comparar el valor estimado de RGP en el paso 3, con el valor calculado en el paso anterior:
0.999 ≤
(RGP)cal
(RGP)est
≤ 1.001
Si estos valores se encuentran dentro de una tolerancia permitida se procede con el siguiente paso. De no cumplirse esto,
se hace (RGP)est del paso 3 igual a (RGP)cal, se repiten desde el paso 4 hasta 10 logrando que se cumpla la tolerancia.
Tema 1 slide 146
60
M´etodo de Tracy
11.- Calcular la producci´on acumulada de gas:
Gp = G∗
p + (RGP)prom ∆Np
12.- Repetir desde el paso 1 seleccionando un nuevo paso de presi´on, haciendo:
p∗
= p
(RGP)∗
= (RGP)
G∗
p = Gp
N∗
p = Np
Tema 1 slide 147
M´etodo de Tarner
En 1944, Tarner sugiri´o un m´etodo iterativo para predecir la producci´on acumulada de hidrocarburos (Np y Gp) como
funci´on de la presi´on. Este m´etodo se basa en resolver la EBM y la ecuaci´on de RGP instant´anea simult´aneamente para
obtener dos valores de la producci´on acumulada de gas Gp, realizando posteriormente un proceso comparativo de los
mismos y determinar si las suposiciones realizadas son correctas. La pasos para esta metodolog´ıa son los siguiente:
1.- Asumir una presi´on futura p por debajo de la presi´on inicial y conocida, p∗
.
2.- Estimar la producci´on acumulada de petr´oleo Np correspondiente a la presi´on p.
3.- Resolver la EBM para calcular Gp
Gp1 = N (Rsi − Rs) −
βoi − βo
βg
− Np
βo
βg
− Rs
4.- Calcular la saturaci´on de petr´oleo correspondiente a la presi´on p.
So = (1 − Swi) 1 −
Np
N
βo
βoi
Tema 1 slide 148
M´etodo de Tarner
5.- Obtener el coeficiente de permeabilidades
krg
kro
correspondiente a la saturaci´on de petr´oleo del paso anterior. Con
estos datos, obtener la RGP instant´anea. Los datos PVT empleados corresponden a la presi´on asumida p.
6.- Calcular nuevamente la producci´on acumulada de gas Gp a la presi´on p aplicando la siguiente ecuaci´on:
Gp2 = G∗
p + (RGP)prom ∆Np
Donde RGP∗
corresponde a la presi´on p∗
7.- Estableciendo un margen de error determinado, comparar los valores de Gp1 y Gp2. Si el error se encuentra dentro
del margen permitido, se ha conseguido el valor de Np correspondiente a la presi´on p. Lo cual permite seleccionar una
nueva presi´on. De lo contrario, si el error no se encuentra dentro del margen permitido, se debe seleccionar un nuevo
valor de Np y repetir los pasos desde el 2 hasta el 6.
Tema 1 slide 149
61
M´etodo de Muskat
Muskat present´o este m´etodo en 1945 y expuso que el valor de un n´umero de variables que afectan la producci´on de gas
y de petr´oleo y los valores de las tasas de cambio de estas con la presi´on, se pueden evaluar en cada paso de
agotamiento. Para este m´etodo se utiliza la siguiente ecuaci´on:
dSo
dp
=
Soβg
βo
dRs
dp
+ So
βo
kg
ko
µo
µg
dβo
dp
− (1−So−Sw)
βg
dβg
dp
1 +
kg
ko
µo
µg
Los diferenciales de So y p se pueden aproximar utilizando ∆So = S∗
o − So y ∆p = p∗
− p respectivamente. Craft (1990)
sugiri´o que los c´alculos pueden ser facilitados si se identifican tres grupos dependientes de la presi´on, y posteriormente se
grafican.
Tema 1 slide 150
M´etodo de Muskat
Estos grupos son los siguientes:
X(p) =
βg
βo
dRs
dp
Y (p) = 1
βg
µo
µg
dβo
dp
Z(p) = 1
βg
dβg
dp
Combinando estos grupos con la ecuaci´on propuesta por Muskat se obtiene:
∆So
∆p
=
SoX(p) + So
krg
kro
Y (p) − (1 − So − Swi)Z(p)
1 +
kg
ko
µo
µg
Esta ecuaci´on puede ser utilizada para predecir el comportamiento de la producci´on y la saturaci´on de fluidos del
yacimiento dando como dato un ∆p utilizando los siguientes pasos:
1.- Graficar los valores de Rs, βo y βg vs p y calcular la derivada de las propiedades PVT a varios valores de presi´on.
2.- Calcular los grupos dependientes X(p), Y (p) y Z(p) para cada presi´on seleccionada para el paso 1.
3.- Graficar los valores de los grupos dependiente en funci´on de la presi´on como se ilustra en la figura:
Tema 1 slide 151
M´etodo de Muskat
Grupos dependientes vs presi´on.a
Tema 1 slide 152
aTarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005.
62
M´etodo de Muskat
4.- Asumir una ca´ıda de presi´on desde la presi´on actual p∗
a una presi´on seleccionada p. Determinar los valores de
X(p), Y (p) y Z(p).
5.- Resolver la ecuaci´on de Muskat usando la saturaci´on actual de petr´oleo al principio de la presion p∗
.
∆So
∆p
=
S∗
o X(p∗
) + S∗
o
krg
kro
Y (p∗
) − (1 − S∗
o − Swi)Z(p∗
)
1 +
kg
ko
µo
µg
6.- Determinar la saturaci´on de petroleo So a la presi´on promedio del yacimiento selecionada p:
So = S∗
o − (p∗
− p)
∆So
∆p
7.- Utilizando la saturaci´on de petr´oleo calculada en el paso anterior, calcular el valor del cociente de permeabilidades
relativas.
Tema 1 slide 153
M´etodo de Muskat
Obtener (∆So/∆p) utilizando los nuevos valores para la presi´on p.
∆So
∆p
=
SoX(p) + So
krg
kro
Y (p) − (1 − So − Swi)Z(p)
1 +
kg
ko
µo
µg
8.- Calcular un valor promedio entre los valores obtenidos del paso anterior y el paso n´umero 5.
∆So
∆p prom
=
1
2
∆So
∆p 5
+
∆So
∆p 7
9.- Utilizando este promedio, calcular la saturaci´on de petr´oleo correspondiente a la presi´on p:
So = S∗
o − (p∗
− p)
∆So
∆p prom
Tema 1 slide 154
M´etodo de Muskat
10.- Utilizando la saturaci´on calculada en el paso anterior, calcular RGP
RGP = Rs +
krg
ro
µoβo
µgβg
11.- Calcular la producci´on de petr´oleo acumulada, utilizando la informci´on de So calculada en el paso n´umero 9
Np = N 1 −
βoi
βo
So
(1 − Swi)
12.- Utilizando la definici´on de RGP, calcular el incremento de la producci´on acumulada de gas:
(RGP)prom =
RGP∗
+ RGP
2
Gp = G∗
p + (RGP)prom∆Np
Tema 1 slide 155
63
M´etodo de Muskat
Repetir desde el paso 4 hasta el 12 con todos los pasos de presi´on en estudio haciendo:
p∗
= p
(RGP)∗
= (RGP)
G∗
p = Gp
N∗
p = Np
S∗
o = So
Como se observa, este m´etodo no realiza c´alculos iterativos para lograr una convergencia de los valores obtenidos; el
m´etodo de Muskat se puede presentar como una herramienta confiable al momento de realizar predicciones del
comportamiento del yacimiento, solo cuando no se disponga de herramientas computacionales que faciliten cualquiera de
los otros dos m´etodos.
Tema 1 slide 156
Ejemplo
Se dispone de la siguiente informaci´on:
Prueba Liberacin Diferencial
p βo βg Rs µo µg
[lpc] [BY/BN] [BY/PCN] [PCN/BN] [cP] [cP]
4350 1.3935 0.000678 840.00 1.6182 0.0248
4061 1.3628 0.000713 773.56 1.7311 0.0237
3772 1.3331 0.000753 708.13 1.8598 0.0226
3483 1.3041 0.000803 643.72 2.0081 0.0215
3194 1.2761 0.000864 580.38 2.1802 0.0204
2905 1.2490 0.000941 518.19 2.3822 0.0193
2616 1.2229 0.001040 457.26 2.6220 0.0181
2327 1.1995 0.001168 401.68 2.8888 0.0171
2038 1.1765 0.001338 346.30 3.2165 0.0161
1749 1.1560 0.001573 295.93 3.5880 0.0152
1460 1.1366 0.001909 247.24 4.0399 0.0145
1171 1.1176 0.002421 198.79 4.6182 0.0138
882 1.0997 0.003280 152.10 5.3541 0.0133
593 1.0837 0.004992 109.32 6.2606 0.0130
304 1.0686 0.009986 67.95 7.4668 0.0127
14.7 1.0446 0.211740 0.00 10.7660 0.0125
Informaci´on del Yacimiento
N [MMBN] 100
pi [lpc] 4350
pf [lpc] 1000
RGPi [PCN/BN] 840
Swi 0.3
pb [lpc] 4350
Tema 1 slide 157
64
Ejemplo
Se desea estimar Np, Gp y RGP para la presin de abandono pf = 1000lpc.
Para resolver este problema, se utilizan los m´etodos de predicci´on estudiados anteriormente.
Tracy Tarner Muskat
p Np Np Np
[lpc] [MMBN] [MMBN] [MMBN]
4350 0 0 0
4111 0.9763 0.9763 0.9742
3871 2.1851 2.2005 2.2007
3632 3.6098 3.6410 3.6404
3393 5.1448 5.1365 5.1350
3154 6.6254 6.4783 6.4801
2914 7.9319 7.5716 7.5898
2675 9.0446 8.4443 8.4518
2436 9.9478 9.1171 9.1453
2196 10.6980 9.6582 9.6863
1957 11.3260 10.1000 10.1210
1718 11.8540 10.4630 10.4930
1479 12.3220 10.7800 10.8130
1239 12.7620 11.0730 11.1010
1000 13.1780 11.3450 11.3670
Tema 1 slide 158
Ejemplo
10001500200025003000350040004500
0
2
4
6
8
10
12
14
Producción de Petróleo
Presión [lpc]
Np
(MMBN)
Tracy
Tarner
Muskat
Relaci´on Np vs pa
.
Tema 1 slide 159
aFern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov
2006
65
Ejemplo
Tracy Tarner Muskat
p Gp Gp Gp
[lpc] [MMPCN] [MMPCN] [MMPCN]
4350 0 0 0
4111 796 796 795
3871 1785 1769 1769
3632 3061 3029 3029
3393 4789 4797 4795
3154 7153 7283 7287
2914 10261 10553 10613
2675 14179 14621 14638
2436 18667 19213 19386
2196 23725 24327 24519
1957 29234 29850 29969
1718 34989 35582 35862
1479 41074 41618 41980
1239 47632 48101 48378
1000 54378 54757 54904
Tema 1 slide 160
Ejemplo
10001500200025003000350040004500
0
10
20
30
40
50
60
Producción de Gas
Presión [lpc]
G
p
(MMMPCN)
Tracy
Tarner
Muskat
Relaci´on Gp vs pa
.
Tema 1 slide 161
aFern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov
2006
66
Ejemplo
Tracy Tarner Muskat
p RGP RGP RGP
[lpc] [PCN/BN] [PCN/BN] [PCN/BN]
4350 840 840 840
4111 792 792 792
3871 796 796 796
3632 951 954 954
3393 1412 1409 1410
3154 2353 2295 2295
2914 3918 3699 3688
2675 6203 5641 5634
2436 9097 8052 8017
2196 12643 10923 10878
1957 16714 14157 14116
1718 20948 17500 17430
1479 25169 20771 20684
1239 28960 23616 23535
1000 31584 25467 25400
Tema 1 slide 162
Ejemplo
10001500200025003000350040004500
0
5
10
15
20
25
30
35
Gas−−Oil Ratio
Presión [lpc]
RPG(MPCN/BY)
Tracy
Tarner
Muskat
Relaci´on RGP vs pa
.
Tema 1 slide 163
aFern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov
2006
67
Referencias slide 164
Referencias
[1] L.P. Dake. Fundamentals of Reservoir Engineering. Elsevier Science B.V., Amsterdam, The Netherlands, fiftheenth
edition, 1977.
[2] B.C Craft and M.F. Hawkins. Applied Petroleum Reservoir Engineering. PTR Prentice Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey 07632, second edition, 1991.
[3] Tarek Ahmed and Paul D. McKinney. Reservoir Engineering Handbook. Gulf Professional Publishing, Houston,
Texas, USA, 2001.
[4] Tarek Ahmed and Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005.
[5] Charles Smith, G.W. Tracy, and R. Lance. Applied Reservoir Engineering, volume 2, chapter 12. OGCI Publications.
[6] R.J. Schithuis. Active Oil ans Reservoir Energy. In Trans., AIME, 188, 33ff.
[7] W. Hurst. Water Influx Into a Reservoir and Its Applications to the Equation of Volumetric Balance. In Trans.,
AIME, 151, 57ff, 1943.
[8] M.J. Fetkovich. A Simplified Approach to Water Influx Calculations - Finite Aquifer Systems. Journal of Petroleum
Technology, 1971.
[9] Ed Turek and Randy Morris. Black-oil properties correlations - AMOCO Corporation R , 1995.
Tema 1 slide 164
68
Antecedentes de EBM slide 165
Antecedentes de EBM
Antecedentes
Coleman, Wilde y Moore
Schilthuis
Odd
Woods y Muskat
van Everdingen, Timmerman y Mcmahon
Hawkins
Tracy
Havlena y Odeh
Dake
Tema 1 slide 166
Antecedentes
Existen diversos trabajos publicados acerca de los m´etodos de estimaci´on de reservas de hidrocarburos. La mayor´ıa de los
trabajos se enfocan en varios aspectos del tema, que incluyen las leyes y principios fundamentales que gobiernan la
extracci´on de fluidos, la derivaci´on de las ecuaciones con base en la relaci´on entre la cantidad de fluidos producidos y las
propiedades del yacimiento, entre otros.
Esta secci´on esta basada en el trabajo realizado por Carlos Garc´ıaa
.
Tema 1 slide 167
aC. Garc´ıa, An´alisis de errores de presi´on y PVT sobre las estimaciones de balance de materiales, Tesis de Pregrado, Universidad Central de Venezuela, 2005
Coleman, Wilde y Moore
Dentro de los primeros trabajos realizados acerca del tema se encuentra el de Coleman, Wilde y Moorea
. Su estudio se
bas´o en la declinaci´on de la presi´on del yacimiento posterior a la producci´on de petr´oleo y gas. Presentaron una ecuaci´on
que relaciona la presi´on del yacimiento, la cantidad de petr´oleo y gas producido, la cantidad de gas en el yacimiento y las
propiedades de los fluidos del yacimiento.
Tema 1 slide 168
aS.P. Coleman, H.D. Wilde and T.V. Moore, Quantitative effects of GOR on decline of average rock pressure. Trans. AIME (1930). 86. 174. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 6.)
Schilthuis
Schilthuisa
, present´o una forma modificada de la ecuaci´on de Coleman, Wilde y Moore. La ecuaci´on de Schilthuis se puede describir como un balance
volum´etrico entre las cantidades de petr´oleo, gas y agua producida, con la declinaci´on de presi´on del yacimiento, la cantidad total de agua que pudo
haber entrado al yacimiento y la cantidad total de petr´oleo y gas del yacimiento. La ecuaci´on de Coleman, Wilde y Moore est´a basada en las leyes de
gases perfectos y soluciones perfectas, a diferencia de ´esta, la ecuaci´on de Schilthuis usa la relaci´on entre la presi´on y el volumen obtenido en el
laboratorio a partir de muestras de petr´oleo y gas del yacimiento, resultando que la ecuaci´on sea aplicable al estudio de yacimientos de alta presi´on.
Otra mejora de la ecuaci´on de Schilthuis sobre la de Coleman, Wilde y Moore es una simplificaci´on del procedimiento de c´alculo involucrado, la
mayor´ıa de los t´erminos usados en la ecuaci´on de Schilthuis pueden ser le´ıdos directamente de curvas provenientes del laboratorio.
Schilthuis, en la derivaci´on de la ecuaci´on, supuso que existe un estado de equilibrio instant´aneo en el yacimiento. Esta suposici´on de equilibrio es tal
que el yacimiento se comporta como si tuviese cantidades m´as peque˜nas de petr´oleo y gas de las que realmente contiene. Tal estado de equilibrio
nunca se alcanza. Una consecuencia de esto es que el contenido de hidrocarburos calculado mediante la ecuaci´on de Schilthuis es siempre menor que
el contenido real.
Se cree que la cantidad calculada de petr´oleo es esa porci´on del petr´oleo contenida en la parte permeable e interconectada que contribuye activamente
al mantenimiento de la presi´on del yacimiento. Schilthuis llam´o a este fen´omeno “petr´oleo activo”.
La ecuaci´on de Schilthuis no toma en cuenta la disminuci´on en el volumen poroso debido al efecto combinado de la expansi´on del agua connata y la
reducci´on del volumen poroso del yacimiento. Schilthuis tambi´en propuso un modelo de influjo de agua el cual expresa la tasa de influjo de agua
dentro del yacimiento a un tiempo cualquiera, proporcional a la diferencia de presi´on entre la presi´on original del yacimiento y la presi´on en el
yacimiento en un instante dado.
Tema 1 slide 169
aR.J. Schilthuis, Active Oil Reservoir Energy. TRANS AIME(1936). 118. 32. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 6.)
69
Odd
Olda
expuso el uso simult´aneo de la EBM y la ecuaci´on de Hurst, aplicado al c´alculo de las reservas de hidrocarburos.
Estudi´o el comportamiento de un yacimiento de petr´oleo y evalu´o las fuerzas naturales que actuaban en el yacimiento.
Old afirm´o que un uso importante de ´este m´etodo de an´alisis consiste en determinar el comportamiento de presi´on.
Tema 1 slide 170
aR. F. Jr. Old, Analyzing of reservoir performance. Trans. AIME( 1943). 151. 86. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 8.)
Woods y Muskat
Woods y Muskata
presentaron un procedimiento de an´alisis de m´ınimos cuadrados para resolver la ecuaci´on de balance
de materiales y su aplicaci´on para estimar el petr´oleo en sitio a partir de observaciones de campo. El estudio concluy´o
que el balance de materiales por si mismo no puede, con seguridad, proporcionar una determinaci´on ´unica de las
caracter´ısticas f´ısicas b´asicas del petr´oleo que se produce de un yacimiento. Sin embargo, el m´etodo proporciona una
herramienta ´util para estimar la intrusi´on de agua o para predecir el comportamiento futuro de un yacimiento, cuando
existen datos de control determinados independientemente, tales como valores de petr´oleo y gas inicial en sitio.
Tema 1 slide 171
aR. E. Woods y M. Muskat, An Analysis of material balance calculations. Trans AIME (1943). 151. 73. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 9.)
van Everdingen, Timmerman y Mcmahon
Everdingen, Timmerman y Mcmahona
presentaron una forma modificada de la ecuaci´on de balance de materiales
aplicable a yacimientos con empuje parcial de agua. El m´etodo combin´o la ecuaci´on de balance de materiales con la
ecuaci´on de influjo de agua de Hurst-Van Everdingen, para obtener valores confiables del petr´oleo activo original en sitio
y una evaluaci´on cuantitativa del influjo de agua acumulado. El m´etodo de soluci´on usa el m´etodo de m´ınimos
cuadrados para obtener dos ecuaciones normales a partir de un cierto n´umero de ecuaciones de balance de materiales. El
m´etodo de desviaci´on normales fue utilizado para determinar el valor de petr´oleo en sitio asociado con el valor m´as
confiable de los intervalos de tiempo reducidos.
Tema 1 slide 172
aA.F. Van Everdingen,E.H. Timmerman y J.J. Mcmahon, Application of the material balance equation to a partial water drive reservoirs. Trans. AIME (1953). 198. 51. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp.
9.)
Hawkins
Hawkinsa
present´o una extensi´on de la ecuaci´on de balance de materiales aplicable a yacimientos volum´etricos
subsaturados por encima del punto de burbujeo mediante la inclusi´on de un t´ermino que toma en cuenta la presencia de
agua intersticial y su compresibilidad.
Tema 1 slide 173
a M. F. Jr. Hawkins, Material balance in expansion type reservoir above bubblepoint. Trans. AIME (1953). 204. 267. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 10.)
Tracy
Tracya
present´o una forma simplificada de la ecuaci´on de balance de materiales de Schilthuis. En la ecuaci´on, los
t´erminos de petr´oleo producido acumulado, gas producido acumulado e influjo neto de agua se multiplican por diferentes
factores de presi´on. El m´etodo estima tasas gas-petr´oleo instant´aneas junto con producci´on incremental de petr´oleo.
Tema 1 slide 174
aG. W. Tracy, Simplified form of the material balance equation. SPE Reprint Series No 3. 1970. pp 62. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp 11.)
70
Havlena y Odeh
Havlena y Odeha
presentaron un m´etodo en el cual la ecuaci´on de balance de materiales se expresa como la ecuaci´on de
una l´ınea recta. El m´etodo consiste en graficar un conjunto de variables versus otro, dependiendo de los mecanismos de
empuje del yacimiento del yacimiento. Este m´etodo proporciona un tercer y necesario criterio que s´olo una soluci´on
exitosa de la ecuaci´on de balance de materieales deber´ıa satisfacer. El m´etodo fue aplicado a varios casos de campo. El
m´etodo ha demostrado ser el mejor en t´erminos de la interpretaci´on de los c´alculos de balance de materiales.
Tema 1 slide 175
aD. Havlena y A.S. Odeh. The material balance as an equation of a straight line, SPE Production Research Symposium, Norman, Okla. SPE 559., 1963.
Dake
Dakea
consider´o la disminuci´on en el volumen poroso de hidrocarburos debido al efecto combinado de la expansi´on del
agua connata y la reducci´on en el volumen poroso, la cual no fue tomada en cuenta por Schilthuis al derivar la forma
general de la ecuaci´on de balance de materiales.
Tema 1 slide 176
aL. Dake, Fundamentals of Reservoir Engineering, Elsevier, The Netherlands, 1978
71
M´ınimos Cuadrados slide 177
M´ınimos Cuadrados
Introducci´on
Derivaci´on
Tema 1 slide 178
Introducci´on
El ajuste de m´ınimos cuadradosa,b
es un procedimiento matem´atico para obtener la curva que mejor ajuste un conjunto
dado de puntos mediante la minimizaci´on de la suma de los cuadrados de los residuales de los puntos de la curva.
Figura B.1: Ajuste de m´ınimos cuadrados
Tema 1 slide 179
ahttp://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html
bhttp://www.keypress.com
Derivaci´on
La suma de los cuadrados de las desviaciones verticales R2
de un conjuntos de n puntos a la funci´on f es:
R2
= [yi − f (xi, a1, a2, . . . , an)]2
(B.1)
La condici´on para que R2
sea m´ınimo es:
∂ R2
∂ai
= 0 (B.2)
Para i = 1, . . . n
Tema 1 slide 180
72
Derivaci´on
Para el ajuste lineal f (a, b) = a + bx, se tiene:
R2
(a, b) =
n
i=1
[yi − (a + bxi)]2
(B.3)
∂ R2
∂a
= −2
n
i=1
[yi − (a + bxi)] = 0 (B.4)
∂ R2
∂b
= −2
n
i=1
[yi − (a + bxi)] xi = 0 (B.5)
Tema 1 slide 181
Derivaci´on
Finalmente:
a
b
=
1
n
n
i=1
x2
i −
n
i=1
xi
2
n
i=1
yi
n
i=1
x2
i −
n
i=1
xi
n
i=1
xiyi
n
n
i=1
xiyi −
n
i=1
xi
n
i=1
yi
Es decir:
a =
n
i=1
yi
n
i=1
x2
i −
n
i=1
xi
n
i=1
xiyi
n
n
i=1
x2
i −
n
i=1
xi
2
(B.6)
b =
n
n
i=1
xiyi −
n
i=1
xi
n
i=1
yi
n
n
i=1
x2
i −
n
i=1
xi
2
(B.7)
Tema 1 slide 182
Derivaci´on
En el caso del ajuste lineal f (b) = bx, se obtiene:
b =
n
i=1
yi
n
i=1
xi
(B.8)
Tema 1 slide 183
73
Par´ametros Estad´ısticos slide 184
Par´ametros Estad´ısticos
Introducci´on
Coeficiente de correlaci´on
Error del ajuste (RSME)
Intervalo de confianza
Tema 1 slide 185
Introducci´on
Entre los principales par´ametros estad´ısticos se encuentran:
1. Coeficiente de correlaci´on
2. Error del ajuste (RSME)
3. Intervalo de confianza
Tema 1 slide 186
Coeficiente de correlaci´on
El coeficiente de correlaci´on es una medida de la calidad de un ajuste de m´ınimos cuadrados de un conjuntos de datos.
Tema 1 slide 187
Coeficiente de correlaci´on
El coeficiente de correlaci´on r (tambi´en denotado como R) esta definido por:
r =
n
n
i=1
xiyi −
n
i=1
xi
n
i=1
yi
n
n
i=1
x2
i −
n
i=1
xi
2
n
n
i=1
y2
i −
n
i=1
yi
2
(C.1)
Tema 1 slide 188
74
Error del ajuste (RSME)
El RSME es la raiz cuadrada del promedio del cuadrado de los valores de las diferencias entre los puntos y la curva
(offset) de un ajuste lineal.
El RSME esta definido por la siguiente expresi´on:
RSME =
1
n
n
i=1
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(C.2)
Tema 1 slide 189
Intervalo de confianza
El intervalo de confianza es un intervalo en el cual la medida cae de acuerdo a una probabilidad dada. Usualmente, el
intervalo de confianza de inter´es est´a sim´etricamente centrado alrededor de la media, as´ı que un 50% del intervalo de
confianza para una funci´on de probabilidad sim´etrica es el intervalo tal que:
1
2
=
a
−a
P (x) dx (C.3)
Tema 1 slide 190
75
MBO slide 191
MBO
Introducci´on
Archivos
Ejecuci´on
Tema 1 slide 192
Introducci´on
MBO es un toolbox de MATLAB que implementa los m´etodos m´as importantes de resoluci´on de la ecuaci´on de balance
de materiales para los c´alculos de petr´oleo original en sitio (POES) para yacimientos de petr´oleo con gas en soluci´ona
.
MBO utiliza los datos de producci´on, datos PVT y par´ametros de yacimiento y acu´ıfero para resolver la ecuaci´on de
balance de materiales y calcular el POES, GOES e ´ındice de mecanismos de empuje utilizando diversos m´etodos de
resoluci´on.
La documentaci´on de MBO, as´ı como algunos ejemplos tutoriales, se puede obtener a trav´es del web site:
http://www.atgig.com/eam/mbo/mbo-es.html
Tema 1 slide 193
aC. Garc´ıa, An´alisis de errores de presi´on y PVT sobre las estimaciones de balance de materiales, Tesis de Pregrado, Universidad Central de Venezuela, 2005
Archivos
MBO requiere cinco archivos de entrada:
<file>.rsv: Datos del yacimiento
<file>.prd: Datos producci´on
<file>.pvt: Datos PVT
<file>.aqu: Modelo de acu´ıfero
<file>.rmd: Especificaci´on de los m´etodos de balance de materiales
Los archivos de salida son:
<file>.oip: POES y GOES calculado por cada m´etodo de resoluci´on
<file>.hoe: T´erminos de expansi´on de fluidos y roca
Tema 1 slide 194
76
Ejecuci´on
MBO se puede ejecutar desde la l´ınea de comando de DOS de la siguiente forma:
mbo <file>
Figura D.1: Ventana de ejecuci´on de MBO
Tema 1 slide 195
77
Unidades slide 196
Unidades
Unidades
Tema 1 slide 197
Unidades
Las siguientes abreviaciones de unidades han sido adoptadas por la Society of Petroleum Engineers (SPE) y son
apropiadas para las mayor´ıa de las publicacionesa
.
I darcy [d]
I grados (American Petroleum Institute) [ ◦
API]
I libras por pulgada cuadrada [psi]
I barriles a condiciones normales [STB]
I barriles por d´ıa a condiciones normales [STB/d]
I barriles a condiciones de yacimiento [bbl]
I pies c´ubicos de gas a condiciones normales [SCF]
I pies c´ubicos por d´ıa de gas a condiciones normales [SCF/d]
I pies c´ubicos de gas a condiciones de yacimiento [ft3
]
Tema 1 slide 198
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Balance de materiales en yacimientos de petoleo con gas disuelto

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  • 2. Tema 1 Balance de Materiales en Yacimientos de Petr´oleo con Gas Disuelto Prof. Jos´e R. Villa Ingenier´ıa de Yacimientos II - 7413 Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo Universidad Central del Venezuela Versi´on 3.2 c 2003-2007 Introducci´on 3 Mecanismos de empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Par´ametros PVT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Factor volum´etrico de formaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Solubilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Curvas PVT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 EBM 12 Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Modelo de tanque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Balance volum´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Expansi´on del petr´oleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Expansi´on del gas en soluci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Expansi´on del petr´oleo + gas en soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Expansi´on de la capa de gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Expansi´on agua connata y volumen poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Influjo de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Vaciamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ecuaci´on general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Mecanismos de recobro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Aspectos relevantes de la EBM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Fuentes de error 35 Fuentes de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Supersaturaci´on de hidrocarburos l´ıquidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Selecci´on inadecuada de PVT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Presi´on promedio de yacimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Medici´on de fluidos producidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Acu´ıferos y descensos leves de presi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Estimados de m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Petr´oleo activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Linealizaci´on 45 Havlena-Odeh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 T´erminos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1
  • 3. Mecanismos de Empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Empuje por gas en soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Yacimiento subsaturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Yacimiento saturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Empuje por expansi´on de la capa de gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Empuje por influjo de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Empuje combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Ecuaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Indice de mecanismos de empuje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 M´etodos 63 M´etodos de Balance de Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 M´etodo F vs. Et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 M´etodo de la capa de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 M´etodo del acu´ıfero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ejemplos 74 Descripci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 PVT 85 Muestras de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Ajuste de Bo y Rs a condiciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Influjo de Agua 95 Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Reconocimiento del empuje por agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Clasificaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Grado de mantenimiento de presi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Condici´on de borde externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Reg´ımenes de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Geometr´ıas de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Modelos de acu´ıfero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Pot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Schilthuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 van Everdingen-Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Predicci´on 132 Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 M´ecanismos de Recobro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 M´etodo de Tracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 M´etodo de Tarner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 M´etodo de Muskat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Referencias 164 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Antecedentes de EBM 165 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Coleman, Wilde y Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Schilthuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Odd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Woods y Muskat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2
  • 4. van Everdingen, Timmerman y Mcmahon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Hawkins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Tracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Havlena y Odeh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Dake. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 M´ınimos Cuadrados 177 Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Par´ametros Estad´ısticos 184 Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Coeficiente de correlaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Error del ajuste (RSME) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Intervalo de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 MBO 191 Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Archivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Ejecuci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Unidades 196 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 3
  • 5. Contenido Introducci´on EBM Fuentes de error Linealizaci´on M´etodos Ejemplos PVT Influjo de Agua Predicci´on Referencias Antecedentes de EBM M´ınimos Cuadrados Par´ametros Estad´ısticos MBO Unidades Tema 1 slide 2 4
  • 6. Introducci´on slide 3 Introducci´on Mecanismos de empuje Par´ametros PVT Factor volum´etrico de formaci´on Solubilidad Curvas PVT Tema 1 slide 4 Mecanismos de empuje I Expansi´on del l´ıquido y gas en soluci´on I Expansi´on del gas en la capa de gas I Expansi´on del agua connata I Reducci´on del volumen poroso por compactaci´on de la roca I Influjo de agua Tema 1 slide 5 Par´ametros PVT Cada fase (p) contiene dos componentes (¯c): I Componente asociado con la misma fase I Componente asociado con otra fase Vol´umenes: I Vp: El volumen de la fase p a condiciones de yacimiento (py, Ty) I V¯c,p: El volumen del componente ¯c a condiciones normales que es liberado de la fase p Tema 1 slide 6 5
  • 7. Par´ametros PVT Figura 1: Par´ametros PVT: (a) encima del punto de burbujero (b) debajo del punto de burbujeo Tema 1 slide 7 Factor volum´etrico de formaci´on El factor volum´etrico de formaci´on de la fase p se define como la relaci´on entre el volumen de la fase p a condiciones de yacimiento y el volumen del componente asociado con la misma fase a condiciones normalesa Bp = Vp V¯p,p =    Bo = Vo V¯o,o Bw = Vw V ¯w,w Bg = Vg V¯g,g Tema 1 slide 8 a14.7 psi, 60 ◦F Solubilidad La solubilidad del componente ¯c en la fase p se define como la relaci´on entre el volumen de este componente en la fase p a condiciones normales y el volumen del componente asociado con la fase p a condiciones normales. R¯c,p = V¯c,p V¯p,p = R¯g,o = V¯g,o V¯o,o Relaci´on gas-petr´oleo (Rs) R¯o,g = V¯o,g V¯g,g Relaci´on condensado-gas (Rv) Tema 1 slide 9 6
  • 8. Solubilidad Figura 2: Par´ametros PVT por encima de la presi´on de burbujeo Tema 1 slide 10 Curvas PVT 0 1000 2000 3000 4000 1 1.1 1.2 1.3 1.4 presion (psi) B o (bbl/STB) FVF Petroleo 0 1000 2000 3000 4000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 presion (psi) R s (MSCF/STB) Relacion Gas−Petroleo en Solucion 0 1000 2000 3000 4000 0 2 4 6 8 10 presion (psi) B g (bbl/MSCF) FVF Gas 0 1000 2000 3000 4000 0.8 0.85 0.9 0.95 1 presion (psi) Z g Factor de Compresibilidad del Gas Figura 3: Comportamiento de propiedades PVT (T=190 ◦ F, Rsi=725 MSCF/STB, γg=0.7, Grav=30 ◦ API, pi=4000 psia) Tema 1 slide 11 7
  • 9. EBM slide 12 EBM Definici´on Caracter´ısticas Modelo de tanque Balance volum´etrico Par´ametros Derivaci´on Expansi´on del petr´oleo Expansi´on del gas en soluci´on Expansi´on del petr´oleo + gas en soluci´on Expansi´on de la capa de gas Expansi´on agua connata y volumen poroso Influjo de agua Vaciamiento Ecuaci´on general Mecanismos de recobro Aspectos relevantes de la EBM Tema 1 slide 13 Definici´on La ecuaci´on de balance de materiales (EBM) se deriva como el balance volum´etrico que iguala la producci´on acumulada de fluidos, expresada como un vaciamiento, y la expansi´on de los fluidos como resultado de una ca´ıda de presi´on en el yacimientoa . La forma general de la EBM fue desarrollada inicialmente por Schilthuis en 1941b . La EBM establece que la diferencia entre la cantidad de fluidos iniciales en el yacimiento y la cantidad de fluidos remanentes en el yacimiento es igual a la cantidad de fluidos producidos. Cantidad de fluidos presentes inicialmente en el yacimiento (MMbbl) - Cantidad de fluidos producidos (MMbbl) = Cantidad de fluidos remanentes en el yacimiento (MMbbl) Tema 1 slide 14 aL. Dake, Fundamentals of Reservoir Engineering, Elsevier, The Netherlands, 1978, pp. 73 bR. J. Schilthuis, Active Oil and Reservoir Energy, Trans., AIME, 118:33-52 Caracter´ısticas I La EBM representa un balance volum´etrico aplicado a un volumen de control, definido como los l´ımites iniciales de aquellas zonas ocupadas por hidrocarburos. I La suma algebraica de todos los cambios volum´etricos que ocurren en cada una de las zonas definidas dentro del volumen de control es igual a cero. I Para el an´alisis volum´etrico se definen tres zonas: la zona de petr´oleo, la zona de gas y la zona de agua que existe dentro del volumen de control. I Una de las principales suposiciones es que las tres fases (petr´oleo, gas y agua) siempre est´an en un equilibrio instant´aneo dentro del yacimiento. I Los cambios de vol´umenes ocurren a partir de un tiempo t=0 a un tiempo t=t cualquiera. Primero se procede a definir los vol´umenes iniciales en cada una de las zonas, luego los vol´umenes remanentes al tiempo t=t, y por ´ultimo la diferencia entre ´estos representa la disminuci´on en cada zona. I Posteriormente se seguir´a una serie de manipulaciones matem´aticas para llegar a la ecuaci’on generalizada de balance de materiales. Todo los vol´umenes est´an expresados a condiciones de yacimiento. Tema 1 slide 15 8
  • 10. Modelo de tanque Agua Petróleo Gas Agua Petróleo Gas Agua Petróleo Gas Etapa Inicial (1) Etapa Final (2) Producción: petróleo, Np gas, Gp agua, Wp Influjo de Agua agua, We Inyección: gas, Gi agua, Wi Agua Petróleo Gas Agua Petróleo Gas Agua Petróleo Gas Etapa Inicial (1) Etapa Final (2) Producción: petróleo, Np gas, Gp agua, Wp Influjo de Agua agua, We Inyección: gas, Gi agua, Wi Referencia: http://www.ipt.ntnu.no/˜kleppe/TPG4150/matbal.ppt Tema 1 slide 16 Balance volum´etrico Vaciamiento = {Expansi´on del petr´oleo + gas en soluci´on} + {Expansi´on del gas de la capa de gas} + {Expansi´on del agua connata + reducci´on del volumen poroso} + {Influjo de agua de acu´ıfero} + {Inyecci´on de gas/agua} Tema 1 slide 17 Par´ametros I N: Volumen inicial de petr´oleo en sitio a condiciones normales [MMSTB] I Gf : Volumen inicial de gas en la capa de gas (gas libre) a condiciones normales [MMMSCF] I Gs: Volumen inicial de gas disuelto en el petr´oleo a condiciones normales [MMMSCF] I G: Volumen total inicial de gas en sitio a condiciones normales [MMMSCF] G = Gf + Gs Tema 1 slide 18 9
  • 11. Par´ametros I m: Relaci´on entre volumen inicial de gas en la capa de gas y el volumen inicial de petr´oleo + gas disuelto en la zona de petr´oleo (m es constante y adimensional) m = Gf Bgi NBoi I NBoi: Volumen de petr´oleo + gas disuelto inicial a condiciones de yacimiento [MMbbl] I mNBoi: Volumen inicial de gas en la capa de gas a condiciones de yacimiento [MMbbl] I NRsiBgi: Volumen inicial de gas disuelto en el petr´oleo a condiciones de yacimiento [MMbbl] I G: Volumen total inicial de gas en sitio a condiciones normales [MMMSCF] G = NRsi + mN Boi Bgi I Np: Petr´oleo producido acumulado a condiciones normales [MSTB] I Gp: Gas producido acumulado a condiciones normales [MMSCF] I Rp: Relaci´on gas-petr´oleo acumulado [MSCF/STB] Rp = Gp Np Tema 1 slide 19 Derivaci´on La derivaci´on de la EBM contempla el desarrollo de los t´erminos que caracterizan el comportamiento volum´etrico de yacimientos de petr´oleo: I Expansi´on del petr´oleo I Expansi´on del gas en soluci´on I Expansi´on de la capa de gas I Expansi´on del agua connata y reducci´on del volumen poroso I Influjo de agua I Inyecci´on de gas/agua I Vaciamiento Tema 1 slide 20 10
  • 12. Expansi´on del petr´oleo NBoi: volumen de petr´oleo inicial a condiciones de yacimiento [MMbbl] NBo: volumen de petr´oleo actual a condiciones de yacimiento [MMbbl] La expansi´on del petr´oleo es [MMbbl]: N (Bo − Boi) (1) 0 1000 2000 3000 4000 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 presion (psi) Bo (bbl/STB) FVF Petroleo Tema 1 slide 21 Expansi´on del gas en soluci´on NRsi: gas en soluci´on inicial a condiciones normales [MMMSCF] NRsiBgi: gas en soluci´on inicial a condiciones de yacimiento [MMbbl] NRsBg: gas en soluci´on actual a condiciones de yacimiento [MMbbl] La expansi´on del gas en soluci´on [MMbbl] NBg (Rsi − Rs) (2) 0 1000 2000 3000 4000 0 2 4 6 8 10 presion (psi) Bg Rsi (bbl/STB) Relacion Gas−Petroleo en Solucion 0 1000 2000 3000 4000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 presion (psi) Bg Rs (bbl/STB) Relacion Gas−Petroleo en Solucion Tema 1 slide 22 11
  • 13. Expansi´on del petr´oleo + gas en soluci´on La expansi´on del gas en soluci´on + gas en soluci´on [MMbbl] N [Bo − Boi + Bg (Rsi − Rs)] (3) Reescribiendo: N [(Bo + Bg (Rsi − Rs)) − (Boi)] Haciendo uso del concepto del factor volum´etrico de formaci´on bif´asico se tiene: N [Bt − Bti] Bt: Factor volum´etrico de formaci´on bif´asico (2F) Bt = Bo + Bg (Rsi − Rs) Tema 1 slide 23 Expansi´on del petr´oleo + gas en soluci´on 0 1000 2000 3000 4000 0 2 4 6 8 10 presion (psi) Bt (bbl/STB) FVF Bifasico Tema 1 slide 24 Expansi´on de la capa de gas mNBoi: volumen inicial de gas en la capa de gas a condiciones de yacimiento [MMbbl] mNBoi Bgi : volumen inicial de gas en la capa de gas a condiciones normales [MMMSCF] mNBoi Bgi Bg: volumen actual de gas en la capa de gas a condiciones de yacimiento [MMbbl] mNBoi Bgi Bg − mNBoi La expansi´on del gas en la capa de gas [MMbbl] mNBoi Bg Bgi − 1 (4) Tema 1 slide 25 12
  • 14. Expansi´on agua connata y volumen poroso La compresibilidad isot´ermica se define como: c = − 1 V dV dp El cambio en el volumen de agua y la roca debido a la disminuci´on de presi´on es: ∆Vw = cwVw∆p ∆Vr = crVr∆p El volumen total de agua y roca es: Vw = VrSwi = (1 + m) NBoi 1−Swi Swi Vr = (1 + m) NBoi 1−Swi La expansi´on del agua connata y reducci´on del volumen poroso es [MMbbl]: ∆Vw + ∆Vr = (1 + m) NBoi cwSwi + cr 1 − Swi ∆p (5) Tema 1 slide 26 Influjo de agua La expresi´on m´as simple para calcular el volumen de influjo de agua a un yacimiento es: We = cW (pi − p) W: volumen inicial de agua en el acu´ıfero (depende de la geometr´ıa del acu´ıfero) pi: presi´on inicial del yacimiento/acu´ıfero p: presi´on actual del yacimiento/acu´ıfero (presi´on en el contacto agua-petr´oleo) c: compresibilidad total (c = cw + cr) Esta ecuaci´on esta basada en la definici´on de compresibilidad isot´ermica y puede ser aplicada para acu´ıferos muy peque˜nos. Para acu´ıferos grandes se requiere un modelo matem´atico que incluya la dependecia del tiempo para tomar en cuenta el hecho que el acu´ıfero requiere un cierto tiempo para responder a un cambio en la presi´on del yacimiento. En la l´amina 96 se explicar´a la secci´on correspondiente a influjo de agua. Tema 1 slide 27 13
  • 15. Vaciamiento La producci´on acumulada de petr´oleoa , gasb y aguac es: NpBo: producci´on de petr´oleo [MMbbl] GpBg: producci´on de gas [MMbbl] NpRsBg: producci´on del gas en soluci´on [MMbbl] WpBw: producci´on de agua [MMbbl] La inyecci´on acumulada de fluidos es: WiBw + GiBg: inyecci´on de agua y gas [MMbbl] Definimos: Rp = Gp Np : relaci´on gas-petr´oleo acumulada [MSCF/STB] El vaciamiento total es [MMbbl] Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] + WpBw − WiBw − GiBg (6) Tema 1 slide 28 aNp = t 0 qodt ≈ n i=1 ¯qo∆t bGp = t 0 qgdt ≈ n i=1 ¯qg∆t cWp = t 0 qwdt ≈ n i=1 ¯qw∆t Vaciamiento Figura 4: Producci´on de petr´oleo, gas y agua Tema 1 slide 29 14
  • 16. Ecuaci´on general Combinando las expresiones 3, 4, 5 y 6 obtenemos la ecuaci´on general del balance de materiales: Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] + WpBw = NBoi [Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg] /Boi + mNBoi Bg Bgi − 1 + (1 + m)NBoi cwSwc + cr 1 − Swc ∆p + We (7) Se puede observar que el vaciamiento (lado izquierdo de la ecuaci´on) es igual a la expansi´on de las zonas de petr´oleo y gas libre, expansi´on de la roca y agua connata y al influjo de agua. Tema 1 slide 30 Ecuaci´on general Suponiendo que se conoce el tama˜no de la capa de gas (m) y el comportamiento de influjo de agua (We), es posible calcular el volumen de petr´oleo original en sitio (N): N = Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] + WpBw − We Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg + mBoi Bg Bgi − 1 + (1 + m)Boi cwSwc+cr 1−Swc ∆p (8) En consecuencia, al graficar el valor de N calculado en funci´on de la producci´on acumulada de petr´oleo (Np), se obtiene una l´ınea recta con pendiente igual a ceroa . Tema 1 slide 31 aEste m´etodo fue posteriormente modificado para diagnosticar la presencia de un acu´ıfero asociado a un yacimiento (M´etodo de Campbell) 15
  • 17. Ecuaci´on general 0 2 4 6 8 10 98 99 100 101 102 Metodo N vs. Np Np (MMSTB) N(MMSTB) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Tema 1 slide 32 Mecanismos de recobro La EBM permite identificar cada uno de los procesos que ocurren en el yacimiento: I Expansi´on en la zona de petr´oleo: N [Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg] I Expansi´on de la zona de gas libre: mNBoi( Bg Bgi − 1) I Expansi´on de la roca y agua connata: (1 + m)NBoi cwSwc+cr 1−Swc ∆p I Producci´on de petr´oleo y gas: Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] I Producci´on de agua: WpBw Tema 1 slide 33 Aspectos relevantes de la EBM I Es cero dimensional, s´olo se eval´ua en un punto del yacimiento I Muestra independencia del tiempo, aunque en algunos modelos de influjo de agua se muestra dependencia expl´ıcita del tiempo I Aunque la presi´on aparece s´olo expl´ıcitamente en el t´ermino de la expansi´on de la roca y el agua connata, se encuentra impl´ıcita en los par´ametros PVT (Bo, Rs, y Bg), los cuales son dependientes de la presi´on. Tambi´en es de hacer notar que los c´alculos de influjo de agua son dependientes de la presi´on. I No tiene forma diferencial, la EBM fue derivada comparando los vol´umenes actuales a la presi´on p, con los vol´umenes iniciales a la presi´on pi. Tema 1 slide 34 16
  • 18. Fuentes de error slide 35 Fuentes de error Fuentes de error Supersaturaci´on de hidrocarburos l´ıquidos Selecci´on inadecuada de PVT Presi´on promedio de yacimiento Medici´on de fluidos producidos Acu´ıferos y descensos leves de presi´on Estimados de m Petr´oleo activo Tema 1 slide 36 Fuentes de error Essenfeld y Barberiia plantean varias situaciones posibles en las cuales no se cumplen los supuestos utilizados en la derivaci´on de la EBM, esto se debe principalmente a que la suposici´on de equilibrio total e instant´aneo entre las fases es bastante ideal y generalmente no ocurre. I Supersaturaci´on de hidrocarburos l´ıquidos del yacimiento I Selecci´on inadecuada de PVT I Presi´on promedio del yacimiento I Errores de medici´on en los vol´umenes de fluidos producidos I Acu´ıferos activos y descensos leves de presi´on I Estimados de m I Concepto de petr´oleo activo Tema 1 slide 37 aM. Essenfeld y E. Barberii, Yacimientos de Hidrocarburos, FONCIED Fondo Editorial del Centro Internacional de Educaci´on y Desarrollo, Caracas, 2001. pp. 141-148, 171-176. Supersaturaci´on de hidrocarburos l´ıquidos Existen ciertos casos en los que al caer la presi´on en un yacimiento que contiene crudo saturado, el gas de soluci´on es liberado pero en un volumen inferior al pronosticado al an´alisis PVT, efectuado bajo condiciones de equilibrio, es decir, se encuentra supersaturado con gas. Este efecto causa que la presi´on del yacimiento sea m´as baja de lo que ser´ıa si el equilibrio se hubiera alcanzado. Tema 1 slide 38 Selecci´on inadecuada de PVT Al usar la EBM es fundamental seleccionar un an´alisis PVT que a diferentes presiones represente apropiadamente, en su totalidad, la secuencia de fen´omenos que actuan en la producci´on de los fluidos, desde el yacimiento, pasando por el pozo hasta el separador. Diversas investigacionesa,b han mostrado que errores asociados a los datos PVT pueden producir grandes errores en los c´alculos de los hidrocarburos en sitio. Tema 1 slide 39 aI. S. Agbon, G. J. Aldana, J. C. Araque, A. A. Mendoza, M. E. Ramirez, Resolving uncertainties in historical data and the redevelopment of mature fields, SPE Latin America and Caribbean Petroleum Engineering Conference held in Port-of-Spain, Trinidad, West Indies. SPE 81101., P´aginas 16, 2003. bPhillip L. Moses, Engineering applications of phase behavior of crude oil and condensate systems, Journal of Petroleum Technology. SPE 15835., P´aginas 715723, July 1986. 17
  • 19. Presi´on promedio de yacimiento Debido a la naturaleza 0-D de la EBM y recordando la suposici´on del equilibrio total e instant´aneo, el yacimiento se comporta como un tanque ubicado en un “volumen de control”. De all´ı la suposici´on que todos los hidrocarburos, para un momento dado, se encuentran a la misma presi´on. Se debe tener en cuenta que las presiones utilizadas en la EBM deben ser representativas del sistema, y cuando sea factible debe utilizarse una ponderaci´on volum´etrica de las presiones medidas. Tema 1 slide 40 Medici´on de fluidos producidos Una de las principales fuentes de error en la aplicaci´on de la EBM son los valores err´oneas de la producci´on de fluidos. Se sabe que para yacimientos con crudo subsaturado, con errores de medici´on, los estimados de N y We son muy altos. Jones-Parraa explica la situaci´on de medici´on de los vol´umenes de fluidos producidos: el petr´oleo fiscal no se mide necesariamente por yacimiento, se mide en estaciones de flujo y luego se prorratea al yacimiento. Cuando se prueba un pozo, se pasa de un separador de producci´on, a determinadas presi´on y temperatura, a un separador de prueba en el que las condiciones de presi´on y temperatura no son necesariamente las mismas. Una vez probados todos los pozos que fluyen a una estaci´on se suma su tasa de producci´on para obtener una producci´on te´orica por estaci´on y determinar la fracci´on que cada pozo contribuye. Esta fracci´on se multiplica por la tasa de producci´on real de la estaci´on para determinar el petr´oleo que se considera que es el volumen producido del yacimiento. La producci´on de gas est´a sujeta a un control a´un menos efectivo. Generalmente se hacen pruebas mensuales de la relaci´on gas-petr´oleo, promedi´andose los valores obtenidos y multiplic´andose por la producci´on de petr´oleo para obtener el volumen de gas producido. El volumen de agua que se produce tambi´en se mide en pruebas peri´odicas; pero como el agua no tiene ning´un valor comercial se mide con muy poca precisi´on. Tomando en cuenta la incertidumbre en las mediciones de los vol´umenes producidos, con frecuencia es necesario rectificar las cifras reportadas. El gas producido a veces se calcula multiplicando el volumen de petr´oleo producido por la relaci´on gas-petr´oleo de la ´ultima prueba y se debe volver a calcular multiplicando por la relaci´on promedio entre dos pruebas consecutivas. Tema 1 slide 41 aJuan Jones-Parra, Elementos de Ingenier´ıa de Yacimientos, EdIT Ediciones Innovaci´on Tecnol´ogica, Caracas, 1989. pp. 3.2-3.4. Acu´ıferos y descensos leves de presi´on Cuando el acu´ıfero es muy activo o la capa de gas es muy grande, los cambios de presi´on a trav´es del yacimiento son muy leves. Esta situaci´on acarrea dificultades en la aplicaci´on de la EBM, principalmente debido a que las diferencias de las propiedades PVT no son significativas y tambi´en influye la precisi´on con que se hayan medido en el laboratorio los par´ametros Bo, Rs y Bg. Tema 1 slide 42 Estimados de m La EBM supone que todo el gas libre del yacimiento se encuentra en la capa de gas y que todo el petr´oleo en la zona de petr´oleo. Sin embargo, en algunas oportunidades ocurre que existe saturaci´on de petr´oleo en la capa de gas y saturaci´on de gas en la zona de petr´oleo. En esos casos, el valor de m debe ser calculado utilizando todo el gas libre y todo el petr´oleo en estado l´ıquido, independientemente donde se encuentren. Tema 1 slide 43 18
  • 20. Petr´oleo activo Existen casos en los cuales los descensos de presi´on causados por la producci´on e inyecci´on de fluidos no afectan la totalidad de hidrocarburos contenidos en el yacimiento. Esto ocurre bajo diferentes circunstancias: cuando el yacimiento es muy grande y ha habido poca producci´on; cuando en el yacimiento existen zonas con bajas permeabilidad las cuales no han sido afectadas por los descensos de presi´on que hay en aquellas zonas mas permeables; etc. En estas situaciones existen dos valores de N; petr´oleo activo (N activo) y petr´oleo inactivo (N inactivo). Se puede notar que la suma del petr´oleo activo y el inactivo conforman el petr´oleo total en sitio (N). Se sabe que el petr´oleo original en sitio no cambia, pero si lo hace la relaci´on del volumen activo al inactivo con el tiempo, mas a´un, el volumen de petr´oleo activo crece con el tiempo mientras el volumen del petr´oleo inactivo disminuye con el tiempo, hasta llegar al punto que todo el petr´oleo activo es igual al petr´oleo original en sitio. Para estas situaciones, los resultados de los c´alculos con la EBM generan valores de N que corresponden al volumen de petr´oleo activo y no al petr´oleo original en sitio, y por esta raz´on, a medida que transcurre el tiempo y se repite el c´alculo, el valor de N aumenta debido a que representa el volumen de petr´oleo activo. Tema 1 slide 44 19
  • 21. Linealizaci´on slide 45 Linealizaci´on Havlena-Odeh T´erminos Mecanismos de Empuje Empuje por gas en soluci´on Yacimiento subsaturado Yacimiento saturado Empuje por expansi´on de la capa de gas Empuje por influjo de agua Empuje combinado Ecuaci´on lineal Indice de mecanismos de empuje Tema 1 slide 46 Havlena-Odeh La EBM expresada como una l´ınea recta fue propuesta por Havlena y Odeha . El m´etodo de Havlena-Odeh consiste en agrupar ciertos t´erminos en la EBM y graficar un conjunto de variables con respecto a otro. Dependiendo del mecanismo principal de empuje, se grafican diferentes conjuntos de t´erminos en funci´on de otros, resultando que si el mecanismo de empuje elegido es el correcto, al igual que otros par´ametros, se obtiene una relaci´on lineal entre las variables graficadas. Esto permite la estimaci´on de los par´ametros N, m, y/o We, a partir del comportamiento lineal observado. La secuencia y direcci´on de los puntos graficados, as´ı como la forma del gr´afico le imprime un sentido din´amico a la EBM. Tema 1 slide 47 aD. Havlena y A.S. Odeh, The material balance as an equation of a straight line, SPE Production Research Symposium, Norman, OK. SPE 559., 1963. T´erminos Definimos los siguientes t´erminos: F = Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] + WpBw Eo = Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg Eg = Bo Bg Bgi − 1 Efw = Boi cwSwc+Cr 1−Swc ∆p Et = Eo + mEg + (1 + m)Efw La EBM queda de la siguiente forma: F = NEt + We (9) Si esta ecuaci´on se escribe como: F − We = NEt, entonces ´esta es una ecuaci´on lineal con pendiente igual a N (petr´oleo original en sitio) y debe pasar por el punto (0,0). Tema 1 slide 48 20
  • 22. Mecanismos de Empuje En caso que ninguno de los t´erminos en la EBM sean despreciables, se puede decir que el yacimiento tiene una combinaci´on de mecanismos de empuje. Esto significa que todas las fuentes posibles de energ´ıa contribuyen significativamente en la producci´on de los fluidos del yacimiento. Sin embargo, en algunos casos, los yacimientos pueden ser descritos como si tuvieran un mecanismo predominante de empuje. Los principales mecanismos de empuje son: I Empuje por gas en soluci´on I Empuje por expansi´on de la capa de gas I Empuje por influjo de agua I Empuje por compactaci´on Tema 1 slide 49 Empuje por gas en soluci´on Figura 5: Yacimiento con empuje por gas en soluci´on (a) por debajo de la presi´on de burbujeo; expansi´on del petr´oleo l´ıquido, (b) por debajo de la presi´on de burbujeo; expansi´on del petr´oleo l´ıquido m´as expansi´on del gas liberado Tema 1 slide 50 21
  • 23. Empuje por gas en soluci´on Figura 6: Historia de producci´on de un yacimiento con empuje por gas en soluci´on Tema 1 slide 51 Empuje por gas en soluci´on Figura 7: Yacimiento bajo un esquema de recuperaci´on secundaria (inyecci´on de agua y gas) Tema 1 slide 52 22
  • 24. Yacimiento subsaturado En un yacimiento subsaturado todo el gas producido debe estar disuelto en el petr´oleo en el yacimiento. Suponiendo que no existe una capa de gas inicial (m = 0) y el influjo de agua es despreciable (We = 0), la EBM se puede reducir a: NpBo = NBoi Bo − Boi Boi + cwSwi + cf 1 − Swc ∆p La compresibilidad del petr´oleo se puede expresar como: co = Bo − Boi Boi∆p La EBM se puede escribir como: NpBo = NBoi coSo + cwSwi + cf 1 − Swc ∆p Finalmente, NpBo = NBoiCe∆p (10) Tema 1 slide 53 Yacimiento saturado Por debajo de la presi´on de burbujeo, el gas es liberado del petr´oleo saturado y se desarrollar´a una capa de gas libre dentro del yacimiento. Suponiendo que no existe una capa de gas inicial (m = 0) y el influjo de agua es despreciable (We = 0), la EBM queda: Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] = N [Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg] (11) Tema 1 slide 54 Empuje por expansi´on de la capa de gas Figura 8: Yacimiento con expansi´on de la capa de gas Tema 1 slide 55 23
  • 25. Empuje por expansi´on de la capa de gas Suponiendo que el influjo de agua es despreciable (We = 0), la EBM se puede reducir a: Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] = NBoi [Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg] /Boi + mNBoi Bg Bgi − 1 (12) Tema 1 slide 56 Empuje por influjo de agua Figura 9: Producci´on de un yacimiento subsaturado con fuerte influjo de agua de un acu´ıfero asociado Tema 1 slide 57 Empuje combinado La ecuaci´on general de balance de materiales considera todos los mecanismos de empuje activos en el yacimiento: Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] + WpBw = NBoi [Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg] /Boi + mNBoi Bg Bgi − 1 + (1 + m)NBoi cwSwc + cr 1 − Swc ∆p + We (13) Tema 1 slide 58 24
  • 26. Empuje combinado 1. Expansión de roca y fluidos 2. Gas en solución 3. Capa de gas 4. Influjo de agua 5. Segregación gravitacional Figura 10: Eficiencia de mecanismos de recobro en t´erminos del factor de recobro Tema 1 slide 59 Ecuaci´on lineal La ecuaci´on general del balance de materiales es: Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] − WpBw = NBoi [Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg] /Boi + mNBoi Bg Bgi − 1 + (1 + m)NBoi cwSwc + cr 1 − Swc ∆p + We Definimos: F = Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] + WpBw Eo = Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg Eg = Bo Bg Bgi − 1 Efw = Boi cwSwc+cr 1−Swc ∆p Et = Eo + mEg + (1 + m)Efw Tema 1 slide 60 Ecuaci´on lineal En consecuencia, la ecuaci´on general del balance de materiales se puede escribir como: F = N [Eo + mEg + (1 + m) Efw] + We (14) F = NEt + We (15) Tema 1 slide 61 25
  • 27. Indice de mecanismos de empuje La ecuaci´on lineal de balance de materiales puede ser escrita de una forma que permite ser utilizada para cuantificar la contribuci´on relativa de cada mecanismo de empuje: N Eo F + mN Eg F + (1 + m) N Efw F + We F = 1 (16) Io + Ig + Ifw + Iw = 1 (17) Tema 1 slide 62 26
  • 28. M´etodos slide 63 M´etodos M´etodos de Balance de Materiales M´etodo F vs. Et M´etodo de la capa de gas M´etodo del acu´ıfero Tema 1 slide 64 M´etodos de Balance de Materiales Los principales m´etodos de resoluci´on de la ecuaci´on de balance de materiales son m´etodos gr´aficos que permiten calcular las variables desconocidas (N, m) con base en los datos de producc´on, PVT, influjo de agua, partiendo de la ecuaci´on lineal de balance de materiales. Entre los principales m´etodo de resoluci´on de la EBM se encuentran: I M´etodo F vs. Et I M´etodo de la capa de gas (F/Eo vs. Eg/Eo) I M´etodo del acu´ıfero (F/Et vs. We/Et) I M´etodo F vs. Et iterativo (c´alculo simult´aneo de N y m) Otros m´etodos m´as robustos y sin las limitaciones inherentes a los m´etodos gr´aficos anteriores son: I M´etodo de regresi´on planar I M´etodo de Tehrani (Minimizaci´on de desviaciones de presi´on) Tema 1 slide 65 M´etodos de Balance de Materiales Los m´etodos pioneros de balance de materiales consisten en procesos iterativos para en estimar la RGP y resolver ∆Np hasta que el valor calculado de N coincide con el valor inicialmente supuesto. N = Np [Bo + (Rp − Rs) Bg] Bo − Boi + (Rsi − Rs) Bg + mBoi Bg Bgi − 1 (18) Entre estos m´etodos se encuentran: I M´etodo de Tracy (1955)a I M´etodo de Tarner (1944) I M´etodo de Muskat-Taylor (1946) Estos m´etodos son utilizados para predecir el comportamiento de producci´on de yacimientosb . Tema 1 slide 66 aAIME, 1955, 204, 243-246 bFern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov 2006 M´etodo F vs. Et Suponiendo que se tiene un yacimiento volum´etrico (We = 0), sin capa de gas (m = 0) y con expansi´on despreciable de la roca y el agua connata, donde el principal mecanismo de empuje es el gas en soluci´on, la ecuaci´on lineal de balance de materiales es: F = NEo (19) En este caso, el vaciamiento (F) y el expansi´on del petr´oleo y gas en soluci´on (Eo) conocidos, por lo que al realizar un gr´afico de F vs. Eo se obtiene una linea recta que debe pasar por el origen (0,0) y la pendiente es igual al petr´oleo original en sitio (N). Tema 1 slide 67 27
  • 29. M´etodo F vs. Et Cuando existe influjo de agua (We = 0), la ecuaci´on lineal de balance de materiales se puede escribir como: F − We = NEo, y el m´etodo consiste en graficar (F − We) vs. (Eo). Al suponer que la expansi´on de la roca y el agua connta no son despreciables (Efw = 0), la ecuaci´on lineal de balance de materiales se puede escribir como: F − We = N [Eo + Efw], y el m´etodo consiste en graficar (F − We) vs. (Eo + Efw) En caso que se disponga un valor estimado de la capa de gas, la ecuaci´on lineal de balance de materiales se puede escribir como: F − We = N [Eo + mEg + (1 + m) Efw], y el m´etodo consiste en graficar (F − We) vs. (Eo + mEg + (1 + m) Efw). Este m´etodo supone que el valor de m es correcto o cercano al verdadero, al igual que los valores de We, as´ı como todas las otras suposiciones intr´ınsecas a la EBM. Si el valor de m es mayor o menor que el valor verdadero de m, el gr´afico se desviar´a por encima o por debajo, respectivamente, de la l´ınea recta correspondiente al valor correcto de m. En general, el fundamento del m´etodo es graficar (F − We) en funci´on de Et, donde Et depende de los mecanismos de empuje activos en el yacimiento. Tema 1 slide 68 M´etodo F vs. Et 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0 1 2 3 4 5 Metodo F−We vs. Et Et (bbl/STB) F−We (MMbbl) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Tema 1 slide 69 M´etodo de la capa de gas Este m´etodo permite calcular simult´aneamente los valores de N y m. Graficando (F − We)/Eo en funci´on de Eg/Eo se obtiene una l´ınea recta cuyo intercepto con el eje Y es N, y la pendiente es mN. Si se tiene un yacimiento donde no existe influjo de agua, el gr´afico resultante es: F/Eo en funci´on de Eg/Eo. Se puede observar que si no existe capa de gas, el gr’afico resultante ser´ıa una l´ınea horizontal con intercepto N. En el caso que todos los mecanismos de empuje se encuentren activos (se incluyen todos los t´erminos de la EBM), el m´etodo consiste en graficar: (F − We)/(Eo + Efw) en funci´on de (Eg + Efw)/(Eo + Efw). Tema 1 slide 70 28
  • 30. M´etodo de la capa de gas 0 1 2 3 4 80 100 120 140 160 180 200 220 Metodo (F−We )/Eo vs. Eg /Eo Eg /Eo (F−We )/Eo (MMSTB) 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314 Tema 1 slide 71 M´etodo del acu´ıfero F Eo = N + We Eo (20) Este m´etodo permite calcular N imponiendo una restricci´on adicional: adem´as de mostrar un comportamiento lineal, la pendiente de la l´ınea recta debe ser igual a 1. Si existen valores err´oneos para el t´ermino relacionado con el influjo de agua (We), se obtendr´a un comportamiento alejado de la tendencia lineal. Espec´ıficamente, si We asumido es demasiado grande, la tendencia es hacia abajo del comportamiento lineal; si el We asumido es demasiado peque˜no, la tendencia es hacia arriba. Tema 1 slide 72 29
  • 31. M´etodo del acu´ıfero 0 400 800 1200 1600 2000 0 500 1000 1500 2000 2500 Metodo F/Et vs. We /Et We /Et (MMSTB) F/Et (MMSTB) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Tema 1 slide 73 30
  • 32. Ejemplos slide 74 Ejemplos Descripci´on Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Tema 1 slide 75 Descripci´on Ejemplo 1: Yacimiento inicialmente saturado asociado a un acuifero de estado estable y con expansi´on de roca y agua connata despreciable Ejemplo 2: Yacimiento inicialmente saturado asociado a un acuifero de estado estable Ejemplo 3: Yacimiento con capa de gas libre y asociado a un acuifero de estado estable Tema 1 slide 76 Ejemplo 1 Este es un ejemplo de un yacimiento de petr´oleo con gas disuelto asociado a un ac´ıfero lateral de estado estable. Los datos de producci´on y PVT se muestran a continuaci´on: 1990 1992 1994 1996 1998 2000 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 pressure(psi) 1990 1992 1994 1996 1998 2000 0 1 2 3 4 5 Np (MMSTB) 1990 1992 1994 1996 1998 2000 0 1000 2000 3000 4000 Gp (MMSCF) 1990 1992 1994 1996 1998 2000 −1 −0.5 0 0.5 1 Wp (MMSTB) 3800 4000 4200 4400 4600 1.38 1.4 1.42 1.44 1.46 Bo (bbl/STB) 3800 4000 4200 4400 4600 7 7.2 7.4 7.6 7.8 8 8.2 x 10 −4 Bg (bbl/SCF) 3800 4000 4200 4400 4600 700 720 740 760 780 800 820 840 Rs (SCF/STB) Tema 1 slide 77 31
  • 33. Ejemplo 1 Si el yacimiento se encuentra inicialmente saturado (m = 0) y la expansi´on de roca y agua connata son despreciables (Efw = 0) obtenemos: 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0 1 2 3 4 5 N=103 MMSTB C=[101.6 104.4] ρ=0.9987 e=0.04 MMbbl Method F−We vs. E t Et (bbl/STB) F−W e (MMbbl) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 20 40 60 80 100 100 120 140 160 180 200 220 N=102.9 MMSTB C=[100.9 104.9] ρ=0.9893 e=2.79 MMSTB Method F/Et vs. We /Et We /Et (MMSTB) F/E t (MMSTB) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Recovery Mechanisms Iw Io Ig Ifw Tema 1 slide 78 Ejemplo 1 Si el yacimiento se encuentra inicialmente saturado (m = 0) y la expansi´on de roca y agua connata no son despreciables (cr=3 µpsi−1 , cf =4 µpsi−1 , Swi = 20%; Efw = 0) obtenemos: 0 0.02 0.04 0.06 0 1 2 3 4 5 6 N=90.3 MMSTB C=[88.7 92] ρ=0.9975 e=0.06 MMbbl Method F−We vs. E t Et (bbl/STB) F−W e (MMbbl) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 20 40 60 80 100 80 100 120 140 160 180 200 N=89.3 MMSTB C=[87.4 91.1] ρ=0.9891 e=2.6 MMSTB Method F/Et vs. We /Et We /Et (MMSTB) F/E t (MMSTB) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Recovery Mechanisms Iw Io Ig Ifw Tema 1 slide 79 32
  • 34. Ejemplo 1 Si el yacimiento se encuentra saturado (m = 0) y la expansi´on de roca y agua connata no son despreciables (cr=3 µpsi−1 , cf =4 µpsi−1 , Swi = 20%; Efw = 0) obtenemos: 0 0.02 0.04 0.06 0 1 2 3 4 5 6 N=84.9 MMSTB C=[83.8 86.1] ρ=0.9986 e=0.05 MMbbl Method F−We vs. E t Et (bbl/STB) F−W e (MMbbl) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 84 86 88 90 92 94 N=84.7 MMSTB, m=0.02 C=[76.4 92.9] ρ=0.0729 e=2.51 MMSTB Method (F−W e )/(E o +E fw ) vs. (E g +E fw )/(E o +E fw ) (Eg +Efw )/(Eo +Efw ) (F−We )/(Eo +Efw )(MMSTB) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 20 40 60 80 100 80 100 120 140 160 180 200 N=84.7 MMSTB C=[83.1 86.4] ρ=0.9894 e=2.3 MMSTB Method F/Et vs. We /Et We /Et (MMSTB) F/E t (MMSTB) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Recovery Mechanisms Iw Io Ig Ifw Tema 1 slide 80 Ejemplo 2 Este es un ejemplo de un yacimiento inicialmente saturado (m = 0) asociado a un acuifero de estado estable y con expansi´on de roca y agua connata (cr=3 µpsi−1 , cf =4 µpsi−1 , Swi = 20%; Efw = 0). Los datos de producci´on y PVT se muestran a continuaci´on: 1990 1995 2000 2005 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 pressure(psi) 1990 1995 2000 2005 0 2 4 6 8 10 Np (MMSTB) 1990 1995 2000 2005 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10 4 Gp (MMSCF) 1990 1995 2000 2005 −1 −0.5 0 0.5 1 Wp (MMSTB) 3800 4000 4200 4400 4600 1.38 1.4 1.42 1.44 1.46 1.48 Bo (bbl/STB) 3800 4000 4200 4400 4600 7 7.2 7.4 7.6 7.8 8 8.2 x 10 −4 Bg (bbl/SCF) 3800 4000 4200 4400 4600 650 700 750 800 850 Rs (SCF/STB) Tema 1 slide 81 33
  • 35. Ejemplo 2 0 0.02 0.04 0.06 0 2 4 6 8 10 12 14 N=200 MMSTB C=[200 200] ρ=1 e=0 MMbbl Method F−We vs. E t E t (bbl/STB) F−W e (MMbbl) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 0 100 200 300 200 250 300 350 400 450 500 550 N=200 MMSTB C=[200 200] ρ=1 e=0.01 MMSTB Method F/E t vs. W e /E t W e /E t (MMSTB) F/E t (MMSTB) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Recovery Mechanisms Iw Io Ig Ifw Tema 1 slide 82 Ejemplo 3 Este es un ejemplo de un yacimiento saturado (m = 0) asociado a un acuifero de estado estable y con expansi´on de roca y agua connata (cr=3 µpsi−1 , cf =4 µpsi−1 , Swi = 20%; Efw = 0). Los datos de producci´on y PVT se muestran a continuaci´on: 1990 1995 2000 2005 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 pressure(psi) 1990 1995 2000 2005 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Np (MMSTB) 1990 1995 2000 2005 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 10 4 Gp (MMSCF) 1990 1995 2000 2005 −1 −0.5 0 0.5 1 Wp (MMSTB) 3800 4000 4200 4400 4600 1.38 1.4 1.42 1.44 1.46 1.48 Bo (bbl/STB) 3800 4000 4200 4400 4600 7 7.2 7.4 7.6 7.8 8 8.2 x 10 −4 Bg (bbl/SCF) 3800 4000 4200 4400 4600 650 700 750 800 850 Rs (SCF/STB) Tema 1 slide 83 34
  • 36. Ejemplo 3 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 2 4 6 8 10 12 N=100 MMSTB C=[100 100] ρ=1 e=0 MMbbl Method F−We vs. E t E t (bbl/STB) F−W e (MMbbl) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 0 1 2 3 4 100 120 140 160 180 200 N=100 MMSTB, m=0.25 C=[100 100.1] ρ=1 e=0.01 MMSTB Method (F−W e )/(E o +E fw ) vs. (E g +E fw )/(E o +E fw ) (E g +E fw )/(E o +E fw ) (F−W e )/(E o +E fw )(MMSTB) 1 2 3 4 56 78 91011121314 0 50 100 150 200 100 150 200 250 300 350 N=100 MMSTB C=[100 100] ρ=1 e=0.01 MMSTB Method F/E t vs. W e /E t W e /E t (MMSTB) F/E t (MMSTB) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Recovery Mechanisms Iw Io Ig Ifw Tema 1 slide 84 35
  • 37. PVT slide 85 PVT Muestras de fluidos Experimentos Ajuste de Bo y Rs a condiciones de campo Tema 1 slide 86 Muestras de fluidos Las muestras de fluidos se recolectan usualmente durante la etapa temprana de producci´on de un yacimiento. Existen dos formas de recolectar las muestras de fluidos: I Muestreo de fondo I Muestreo por recombinaci´on superficial Tema 1 slide 87 Muestras de fluidos Figura 11: Recolecci´on de una muestra PVT de fondo Tema 1 slide 88 36
  • 38. Muestras de fluidos Figura 12: Recolecci´on de una muestra PVT por recombinaci´on superficial Tema 1 slide 89 Conversi´on condiciones laboratorio-campo El an´alisis de laboratorio consiste de: I Expansi´on instant´anea de la muestra de fluido para determinar la presi´on de burbujeo I Expansi´on diferencial de la muestra de fluido para determinar Bo y Rs I Expansi´on instant´anea de la muestra de fluido a trav´es de varias separadores para obtener los par´ametros que permiten ajustar los datos PVT de laboratorio para cotejar las condiciones del separador de campo Tema 1 slide 90 Conversi´on condiciones laboratorio-campo Figura 13: Celda PVT Tema 1 slide 91 37
  • 39. Conversi´on condiciones laboratorio-campo Figura 14: (a) Expansi´on instant´anea (b) Expansi´on diferencial Tema 1 slide 92 Experimentos I Datos PVT de laboratorio: - Volumen relativo (vo) - Relaci´on gas-petr´oleo (Rsdif ) - Factor volum´etrico de formaci´on del petr´oleo (Bodif ) I Datos PVT del separador a diferentes presiones (psep) y temperatura constante (Tsep) - Relaci´on gas-petr´oleo (Rssep ) - Factor volum´etrico de formaci´on del petr´oleo (Bosep ) Tema 1 slide 93 Ajuste de Bo y Rs a condiciones de campo I Para p > pb: Bo = voBosep I Para p < pb: Bo = Bodif Bosep Bobdif Rs = Rsdif Rssep Rsbdif Tabla 1: Prueba del separador psep (psi) Tsep (F) Rssep API Bosep 0 74 620 29.9 1.382 50 75 539 31.5 1.340 100 76 505 31.9 1.335 200 77 459 31.8 1.341 Tema 1 slide 94 38
  • 40. Influjo de Agua slide 95 Influjo de Agua Introducci´on Reconocimiento del empuje por agua Clasificaci´on Grado de mantenimiento de presi´on Condici´on de borde externo Reg´ımenes de flujo Geometr´ıas de flujo Modelos de acu´ıfero Pot Schilthuis Hurst van Everdingen-Hurst Tema 1 slide 96 Introducci´on I Una gran catidad de yacimientos de petr´oleo y gas tienen un acu´ıfero asociado que representa una fuente importante de energ´ıa de yacimiento I Esta energ´ıa provee un mecanismo de empuje para la producci´on de fluidos cuando los yacimientos son sometidos a producci´on I Se cree que el gran n´umero de yacimientos con empuje de agua esta relacionado con el origen marino de muchos yacimientos I En los casos que el volumen del acu´ıfero es menos de 10 veces el volumen del yacimiento, el mecanismo de empuje por agua es considerado peque˜no. Si el tama˜no del acu´ıfero es significativamente mayor (> 10x), el mecanismo de empuje por agua puede ser la principal fuente de energ´ıa de yacimiento I Cuando la presi´on del yacimiento disminuye, se crean un diferencial de presi´on a trav´es del contacto agua-petr´oleo (agua-gas) y en consecuencia, el acu´ıfero reacciona porporcionando los siguientes mecanismos de empuje: N Expansi´on del agua en el acu´ıfero N Reducci´on del volumen poroso del acu´ıfero causado por examnsi´on de la roca N Expansi´on de otros yacimientos a trav´es de acu´ıferos comunes N Flujo artesiano I En yacimientos de petr´oleo con empuje por agua, el factor de recobro puede variar entre 35%-65% del POES, mientras que en el caso de empuje por gas en soluci´on, se obtiene entre 10%-25%. Por el contrario, en yacimientos de gas, el mecanismo de empuje por agua puede obtener factores de recoboro entre 35%-65% del GOES, mientras con expansi´on del gas libre, el recobro puede variar entre 70%-90%. Tema 1 slide 97 39
  • 41. Reconocimiento del empuje por agua I Disminuci´on de la tasa de declinaci´on de presi´on con incremento del vaciamiento acumulado I Incremento gradual de la RGP en yacimientos inicialmente saturados I Balance de materiales Figura 15: M´etodo de Campbell Tema 1 slide 98 Clasificaci´on Los acu´ıferos se puede clasificar de acuerdo a: I Grado de mantenimiento de presi´on I Condici´on de borde externo I Reg´ımenes de flujo I Geometr´ıas de flujo Tema 1 slide 99 Grado de mantenimiento de presi´on Los tipos de empuje por agua son: I Activo El influjo de agua es igual al vacimiento total La presi´on permanace constante qe = qoBo + qgBg + qwBw (21) qe = qoBo + (RGP − Rs) qoBg + qwBw (22) I Parcial I Limitado Tema 1 slide 100 40
  • 42. Condici´on de borde externo I Infinito El efecto de la declinaci´on de presi´on no se siente en el borde externo La presi´on en el borde externo es igual a pi I Finito El efecto de la declinaci´on de presi´on se siente en el borde externo La presi´on en el borde externo cambia en funci´on del tiempo Tema 1 slide 101 Reg´ımenes de flujo Existen tres regimenes de flujo que influencian la tasa de influjo de agua hacia el yacimiento: I Estado estable La ca´ıda de presi´on se transmite en todo el yacimiento y el acu´ıfero reacciona en forma instant´anea I Estado inestable La ca´ıda de presi´on se transmite en todo el yacimiento y el acu´ıfero reacciona en forma gradual Tema 1 slide 102 Geometr´ıas de flujo Los sistemas yacimiento-acu´ıfero se pueden clasificar con base a las geometr´ıas de flujo como: I Empuje lateral I Empuje lineal I Empuje de fondo Tema 1 slide 103 41
  • 43. Geometr´ıas de flujo Figura 16: Geometr´ıas de flujo Tema 1 slide 104 Modelos de acu´ıfero Los modelos matem´aticos de influjo de agua comunmente utilizados en la industria petrolera son: 1. Estado estable (a) Pot (b) Schithuis (1936) (c) Hurst (1943) 2. Estado inestable (a) van Everdingen-Hurst (1949) (b) Carter-Tracy (1960) (c) Fetkovich (1971) (d) Allard-Chen (1984) Tema 1 slide 105 42
  • 44. Pot I El modelo Pot es el modelo m´as simple que puede ser utilizado para estimar el influjo de agua a un yacimiento I Esta basado en la definici´on b´asica de compresibilidad I Una ca´ıda de presi´on en el yacimiento debido a la producci´onde fluidos causa que el agua del acu´ıfero se expanda y fluya hacia el yacimiento I Usualmente se utiliza para acu´ıferos peque˜nos, del mismo tama˜no del yacimiento Aplicando al definici´on de compresibilidad al acu´ıfero se tiene: We = (cw + cf ) Wi (pi − p) (23) donde: We: influjo de agua acumulado [MMbbl] cw: compresibilidad del agua [psi−1 ] cf : compresibilidad de la roca [psi−1 ] Wi: volumen de agua iniccial en el acu´ıfero [MMbbl] pi: presi´on inicial del yacimiento [psi] p: presi´on actual del yacimiento (en el OWC) [psi] Tema 1 slide 106 Pot El vomuen de agua inicial en un acu´ıfero radial es: Wi = π r2 a − r2 o hφ 5.615 donde: ra: radio del acu´ıfero [ft] ro: radio del yacimiento [ft] h: espesor del acu´ıfero [ft] φ: porosidad en el acu´ıfero En el caso que la influencia del acu´ıfero no sea completamente radial, se define un factor de forma: We = (cw + cf ) Wif (pi − p) (24) donde: f = θ 360 Tema 1 slide 107 43
  • 45. Pot Figura 17: Modelo de acu´ıfero radial Tema 1 slide 108 Pot Balance de materiales Al combinar la Ec. 24 con la Ec. 20 obtenemos F Eo = N + (cw + cf ) Wif ∆p Eo (25) Debido a que las propiedades del acu´ıfero (cw, cf , h, ra, θ) pueden variar de forma poco significativa, es conveniente agrupar estas propiedades en una variable desconocia K: F Eo = N + K ∆p Eo (26) Tema 1 slide 109 44
  • 46. Pot Balance de materiales Figura 18: M´etodo F/Eo vs. ∆p/Eo Tema 1 slide 110 Schilthuis I El comportamiento de flujo esta descrito por la Ley de Darcy I Regimen de flujo en estado estable La tasa de influjo de agua se puede describir aplicando la Ley de Darcy: dWe dt = 0.00708kh µw ln ra ro (pi − p) (27) dWe dt = C (pi − p) (28) donde: k: permeabilidad del acu´ıfero [md] h: espesor del acu´ıfero [ft] ra: radio del acu´ıfero [ft] ro: radio del yacimiento [ft] t: tiempo [d] C: constante de influjo de agua [bbl/d/psi] Tema 1 slide 111 45
  • 47. Schilthuis Integrando obtenemos: We 0 dWe = t 0 C (pi − p) dt ⇒ We = C t 0 (pi − p) dt Utilizando un m´etodo de integraci´on num´erico obtenemos: Wk e = C k j=1 ∆pj∆tj Tambi´en se puede expresar como: Wk e = C k j=1 pi − 1 2 (¯pj−1 + ¯pj) ∆tj (29) donde: j: paso de tiempo k: n´umero de intervalos de tiempo Tema 1 slide 112 Hurst I El radio “aparente” del acu´ıfero ra se incrementa con el tiempo I La relaci´on adimensional ra/ro se reemplaza por una funci´on que depende del tiempo ra/ro = at Sustituyendo en la Ec. 27 obtenemos: dWe dt = 0.00708kh µw ln (at) (pi − p) (30) dWe dt = C (pi − p) ln (at) (31) Integrando obtenemos: We = C t 0 (pi − p) ln (at) dt (32) Tema 1 slide 113 Hurst Utilizando un m´etodo de integraci´on num´erico obtenemos: Wk e = C k j=1 ∆pj ln (at) ∆tj (33) El modelo de acu´ıfero de estado estable de Hurst continen dos par´ametros desconocidos: a y C. Estos par´ametros se pueden determinar a partir del comportamiento de presi´on e historia de influjo de agua. Utilizando la Ec. 31 se tiene: pi − p dWe dt = 1 C ln at pi − p dWe dt = 1 C ln a + 1 C ln t (34) La Ec. 34 indica que un gr´afico de pi−p dWe dt en funci´on de ln t debe ser una l´ınea recta con pendiente 1 C y cuando t = 1 se obtiene 1 C ln a Tema 1 slide 114 46
  • 48. Hurst Figura 19: M´etodo pi−p dWe dt vs. ln t Tema 1 slide 115 van Everdingen-Hurst van Everdingen y Hurst resolvieron la ecuaci´on de influjo para un sistema yacimiento-acu´ıfero aplicando la transformada de Laplace a la ecuaci´on de difusividada que describe el flujo bajo condiciones transientes. ∂2 pD ∂2rD + 1 rD ∂pD ∂rD = ∂pD ∂tD (35) Esto conduce a la determinaci´on del influjo de agua como funci´on de una ca´ıda de presi´on dada en el borde interno del sistema yacimiento-acu´ıfero. Tema 1 slide 116 aLa ecuaci´on de difusividad ser´a desarrollada en el Tema 3 (An´alisis de Presiones) 47
  • 49. van Everdingen-Hurst Figura 20: Influjo de agua a un yacimiento cil´ındrico Tema 1 slide 117 van Everdingen-Hurst van Everdingen-Hurst propusieron una soluci´on a la ecuaci´on adimensional de difusividad que utiliza la condici´on de presi´on constante y las siguientes condiciones condiciones iniciales y de borde: I Condici´on inicial: p = pi, ∀t I Condici´on de borde interno: p = pi − ∆p, r = ro, ∀t I Condici´on de borde exterior: N Acu´ıfero infinito: p = pi, r → ∞ N Acu´ıfero finito: ∂p ∂r = 0, r = ra Adicinalmente, van Everdingen-Hurst asumieron que el acu´ıfero estaba caracterizado por: I Espersor uniforme I Permeabilidad constante I Posoridad constante I Compresibilidad de roca y agua constante Tema 1 slide 118 48
  • 50. van Everdingen-Hurst La soluci´on a la Ec. 35 para un sistema yacimiento-acu´ıfero, considerando las condiciones de borde descritas, permite calcular el influjo de agua en forma de un par´ametro adimensional denominado influjo de agua adimensional WeD, el cual es funci´on del tiempo adimensional tD y el radio adimensional rD: WeD = f (tD, rD) (36) WeD se encuentra en forma tabular para diversas geometr´ıas de sistema yacimiento-acu´ıfero El influjo acumulado de agua se calcula de la siguiente expresi´on: We = B∆pWeD (37) donde: We: influjo de agua acumulado [bbl] B: constante de influjo de agua (depende del modelo geom´etrico) [bbl/psi] ∆p = pi − p WeD: influjo de agua adimensional Tema 1 slide 119 van Everdingen-Hurst El valor de tD y B se muestran a continuaci´on: Modelo geom´etrico Tiempo adimensional Constante del acu´ıfero Radial tD = 2.309 kt φµwctr2 o B = 1.119φctr2 ohf Lineal tD = 2.309 kt φµwctL2 B = 0.178WLhct Fondo tD = 2.309 kt φµwctL2 a B = 0.178Vact donde: k: permeabilidad del acu´ıfero [md] t: tiempo [a˜nos] h: espesor del yacimiento [ft] φ: porosidad del acu´ıfero µw: viscosidad del agua en el acu´ıfero [cp] ra: radio del acu´ıfero [ft], ro: radio del yacimiento [ft] cw: compresibilidad del agua [psi−1 ], cr: compresibilidad de la roca [psi−1 ] ct = cw + cr: compresibilidad total [psi−1 ] L: longitud del acu´ıfero [ft] W: ancho del yacimiento [ft] Va: volumen del acu´ıfero [ft3 ], La = Va πr2 oφ Tema 1 slide 120 49
  • 52. van Everdingen-Hurst Tema 1 slide 122 van Everdingen-Hurst Principio de superposici´on I Existe una ca´ıda de presi´on en el contacto agua-petr´oleo debido a la producci´on de fluidos en un yacimiento asociado a un acu´ıfero I El agua se expande y la ca´ıda de presi´on se propaga dentro del acu´ıfero hacia el borde exterior I Debido a que las ca´ıdas de presi´on ocurren en forma independiente, el agua se expande a consecuencia de sucesivas ca´ıdas de presi´on Tema 1 slide 123 51
  • 53. van Everdingen-Hurst Principio de superposici´on Figura 21: Presi´on en el contacto agua-petr´oleo Tema 1 slide 124 van Everdingen-Hurst Principio de superposici´on La presi´on promedio es: ¯pj = pj−1 + pj 2 La ca´ıda de presi´on es: ∆pj = pj−1 − pj+1 2 Para calcular el influjo acumulado de agua a un tiempo arbitrario t, el cual corresponde al paso de tiempo n, se requiere la superposici´on de las soluciones de la Ec. 37: We (tn) = B∆p0WD (tDn ) + B∆p1WD tDn−1 + . . . + + B∆pjWD tDn−j + . . . + B∆pn−1WD (tD1 ) (38) Sumando obtenemos: We (tn) = B n−1 j=0 ∆pjWD tDn−j (39) Tema 1 slide 125 52
  • 54. van Everdingen-Hurst Principio de superposici´on Figura 22: Ilustraci´on del principio de superposici´on Tema 1 slide 126 van Everdingen-Hurst Balance de materiales La constante del acu´ıfero B puede ser determinado mediante la soluci´on del m´etodo gr´afico de balance de materiales. Para ello se tiene: F = NEt + We F = NEt + B n−1 j=0 ∆pjWD tDn−j Por lo que: F Et = N + B n−1 j=0 ∆pjWD tDn−j Et (40) La soluci´on de la ecuaci´on lineal de balance de materiales mediante el m´etodo gr´afico puede ser utilizada para determinar el valor de un par´ametro desconocido del acu´ıfero cuando el resto de los par´ametros son conocidos. Tema 1 slide 127 53
  • 55. van Everdingen-Hurst An´alisis de sensibilidad F/Et vs. We/Et 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 100 200 300 400 500 600 We/Et F/Et h=50 pies h=100 pies h=150 pies Figura 23: Espesor del acu´ıfero Tema 1 slide 128 van Everdingen-Hurst An´alisis de sensibilidad F/Et vs. We/Et 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 100 200 300 400 500 600 We/Et F/Et ro=4600’ ro=9200’ ro=13800’ Figura 24: Radio del yacimiento Tema 1 slide 129 54
  • 56. van Everdingen-Hurst An´alisis de sensibilidad F/Et vs. We/Et 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 100 200 300 400 500 600 We/Et F/Et Ae=100° Ae=150° Ae=200° Figura 25: Angulo θ Tema 1 slide 130 van Everdingen-Hurst An´alisis de sensibilidad F/Et vs. We/Et 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 100 200 300 400 500 600 We/Et F/Et K=82 mD K=164 mD K=246 mD Figura 26: Permeabilidad del acu´ıfero Tema 1 slide 131 55
  • 57. Predicci´on slide 132 Predicci´on Introducci´on Par´ametros M´ecanismos de Recobro M´etodo de Tracy M´etodo de Tarner M´etodo de Muskat Ejemplo Esta secci´on fue desarrollada por el Br. Bernardo Bohorquez y la Br. Johanna Fern´andez, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCVa . Tema 1 slide 133 aFern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov 2006 Introducci´on I La predicci´on del comportamiento de un yacimiento en funci´on del tiempo puede dividirse en 3 fases principales: N Comportamiento del yacimiento: Esta fase requiere del uso de la EBM de una manera predictiva, cuyo fin ser´ıa estimar la producci´on acumulada de hidrocarburos y la relaci´on gas–petr´oleo instant´anea (RGP) en funci´on del agotamiento de presi´on del yacimiento. N Comportamiento del pozo: Esta fase genera el comportamiento individual de cada pozo en la medida en la cual avanza el agotamiento de la presi´on. N Relaci´on del comportamiento del yacimiento con el tiempo: Esta fase, los datos del yacimiento y de los pozos son vinculados con el tiempo, considerando cantidades y tasa de producci´on de cada uno de los mismos. Tema 1 slide 134 Par´ametros Para realizar una predicci´on de la producci´on de hidrocarburos relacionada con la presi´on promedio del yacimiento, se necesitan conocer el comportamiento de los siguientes par´ametros: RGP instant´anea: La relaci´on gas–petr´oleo instant´anea representa la raz´on entre los pies c´ubicos est´andar de gas producidos y los barriles est´andar de petr´oleo producidos al mismo instante. Se encuentra definida por: RGP = Rsqo + qg qo = Rs + krg kro µoβo µgβg Esta ecuaci´on permite describir el comportamiento de la relaci´on gas–petr´oleo instant´anea en cualquier momento durante el agotamiento de presi´on del yacimiento. Tema 1 slide 135 56
  • 58. Par´ametros Relaci´on entre Rs y RGP vs Np a Tema 1 slide 136 aTarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005. Par´ametros El gas acumulado producido puede vincularse a la RGP de la siguiente manera: Relaci´on RGP vs Np a Tema 1 slide 137 aTarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005. 57
  • 59. Par´ametros Saturaci´on de petr´oleo remanente para cada paso de presi´on: Se tiene un yacimiento volum´etrico (We = 0), sin capa inicial de gas, con N barriles est´andar iniciales y una presi´on inicial pi, en donde Soi = 1 − Swi. El c´alculo de N volum´etrico viene representado por la siguiente ecuaci´on: N = Aφh(1 − Swi) βoi Si expresamos el t´ermino Aφh como Vp o volumen poroso se puede despejar de la siguiente manera: Volumen poroso = Nβoi 1 − Swi Si el yacimiento ha producido un volumen Np, la cantidad remanente de petr´oleo viene dada por: Volumen remanente de petr´oleo = (N − Np)βo Tema 1 slide 138 Par´ametros Si se tiene que So se encuentra definido por: So = Volumen de petr´oleo Volumen poroso Utilizando esta definici´on, y combin´andola con las anteriores ecuaciones se tiene que: So = (1 − Swi) 1 − Np N βo βoi Es importante destacar que se supone la distribuci´on uniforme de las saturaciones de los fluidos a lo largo de todo el yacimiento. Por otra parte, de existir otros mecanismos de empuje, es necesario el desarrollo de ecuaciones distintas cuyo fin sea contabilizar migraci´on de fluidos, vol´umenes de petr´oleo atrapados en zonas de agua o gas, entre otros aspectos. Tema 1 slide 139 M´ecanismos de Recobro Yacimientos de petr´oleo subsaturado Cuando la presi´on del yacimiento se encuentra por encima de la presi´on de burbujeo, es decir p > pb, el yacimiento es considerado como subsaturado. Asumiendo que no se tiene capa inicial de gas (m = 0) y que el yacimiento es volum´etrico (We = 0), la EBM se puede expresar de la siguiente manera: Npβo = Nβoi SoiCo + SwiCw + Cf 1 − Swi ∆p Despejando Np se tiene la ecuaci´on: Np = NCe βo βoi ∆p Donde el t´ermino Ce = SoiCo+SwiCw+Cf 1−Swi representa la compresibilidad efectiva. El c´alculo de la producci´on futura de hidrocarburos no requiere de un proceso de ensayo cuando el yacimiento es subsaturado, con las suposiciones anteriormente mencionadas. Tema 1 slide 140 58
  • 60. M´ecanismos de Recobro Yacimientos de petr´oleo saturado Para un yacimiento saturado donde el ´unico mecanismo de producci´on presente es el empuje por gas en soluci´on, volum´etrico y que no presenta inyeccion de fluidos, la EBM se puede expresar mediante la siguiente ecuaci´on: N = Npβo + (Gp − NpRs) βg (βo − βoi) + (Rsi − Rs) βg Si N y los datos PVT son variables conocidas, Np y Gp son variables desconocidas. Para su c´alculo, es necesario utilizar unos m´etodos los cuales combinan la EBM con la Relaci´on Gas–Petr´oleo, utilizando informaci´on sobre la saturaci´on inicial de los fluidos presente, y datos de permeabilidades relativas. Tema 1 slide 141 M´etodo de Tracy Tracy (1955) sugiri´o que la EBM puede ser reescrita y expresada en funci´on de tres (3) par´ametros PVT. Despejando N de la siguiente manera: N = Np (βo − Rsβg) + Gpβg + (Wpβw − We) (βo − βoi) + (Rsi − Rs) βg + mβoi βg βgi − 1 Se pueden definir los par´ametros φo, φg y φw seg´un las siguientes ecuaciones: φo = βo−Rsβg den φg = βg den φw = 1 den den = (βo − βoi) + (Rsi − Rs) βg + mβoi βg βgi − 1 La EBM queda reescrita de la siguiente manera: N = Npφo + Gpφg + (Wpβw − We) φw Considerando un yacimiento con empuje por gas en soluci´on se tiene que: N = Npφo + Gpφg Tema 1 slide 142 M´etodo de Tracy Por cada paso de presi´on se debe considerar el aumento de la producci´on de gas y de petr´oleo (∆Gp y ∆Np respectivamente): Np = N∗ p + ∆Np Gp = G∗ p + ∆Gp Donde el valor con un * representa el correspondiente a la presi´on superior de cada paso. Sustituyendo se tiene que: N = N∗ p + ∆Np φo + G∗ p + ∆Gp φg Combinando esta ecuaci´on con el concepto de la Relaci´on Gas–Petr´oleo, se obtiene: N = N∗ p + ∆Np φo + G∗ p + ∆Np (RGP)prom φg Tema 1 slide 143 59
  • 61. M´etodo de Tracy Despejando ∆Np: ∆Np = 1 − N∗ p φo + G∗ pφg φo + (RGP)prom φg Esta ecuaci´on presenta dos variables desconocidas, el incremento de producci´on de petr´oleo ∆Np y la Relaci´on Gas–Petr´oleo (RGP)prom . La metodolog´ıa utilizada para la resoluci´on de esta ecuaci´on consiste en una t´ecnica iterativa teniendo como objetivo la convergencia a los valores futuros de RGP. A continuaci´on los pasos para su resoluci´on: 1.- Seleccionar una presi´on p por debajo de la presi´on en donde se tienen los dem´as valores conocidos p∗ . 2.- Calcular los valores de las funciones PVT, φo y φg, para la presi´on p . 3.- Estimar un valor de RGP, el cual se denotar´a por (RGP)est, para la presi´on estimada en el paso 1 Tema 1 slide 144 M´etodo de Tracy 4.- Calcular la RGP instant´anea promedio: (RGP)prom = RGP∗ + (RGP)est 2 5.- Calcular el incremento de producci´on de petr´oleo acumulado ∆Np: ∆Np = 1 − N∗ p φo + G∗ pφg φo + (RGP)prom φg 6.- Calcular la producci´on de petr´oleo Np . Np = N∗ p + ∆Np 7.- Calcular la saturaci´on de petr´oleo a la presi´on seleccionada: So = (1 − Swi) 1 − Np N βo βoi Tema 1 slide 145 M´etodo de Tracy 8.- Obtener la raz´on de permeabilidades relativas Krg/Kro utilizando la informaci´on disponible, tal como pruebas de laboratorio, pozos cercanos o correlaciones emp´ıricas. 9.- Utilizando el valor obtenido en el paso anterior, calcular RGP: (RGP)cal = Rs + Krg Kro µoβo µgβg 10.- Comparar el valor estimado de RGP en el paso 3, con el valor calculado en el paso anterior: 0.999 ≤ (RGP)cal (RGP)est ≤ 1.001 Si estos valores se encuentran dentro de una tolerancia permitida se procede con el siguiente paso. De no cumplirse esto, se hace (RGP)est del paso 3 igual a (RGP)cal, se repiten desde el paso 4 hasta 10 logrando que se cumpla la tolerancia. Tema 1 slide 146 60
  • 62. M´etodo de Tracy 11.- Calcular la producci´on acumulada de gas: Gp = G∗ p + (RGP)prom ∆Np 12.- Repetir desde el paso 1 seleccionando un nuevo paso de presi´on, haciendo: p∗ = p (RGP)∗ = (RGP) G∗ p = Gp N∗ p = Np Tema 1 slide 147 M´etodo de Tarner En 1944, Tarner sugiri´o un m´etodo iterativo para predecir la producci´on acumulada de hidrocarburos (Np y Gp) como funci´on de la presi´on. Este m´etodo se basa en resolver la EBM y la ecuaci´on de RGP instant´anea simult´aneamente para obtener dos valores de la producci´on acumulada de gas Gp, realizando posteriormente un proceso comparativo de los mismos y determinar si las suposiciones realizadas son correctas. La pasos para esta metodolog´ıa son los siguiente: 1.- Asumir una presi´on futura p por debajo de la presi´on inicial y conocida, p∗ . 2.- Estimar la producci´on acumulada de petr´oleo Np correspondiente a la presi´on p. 3.- Resolver la EBM para calcular Gp Gp1 = N (Rsi − Rs) − βoi − βo βg − Np βo βg − Rs 4.- Calcular la saturaci´on de petr´oleo correspondiente a la presi´on p. So = (1 − Swi) 1 − Np N βo βoi Tema 1 slide 148 M´etodo de Tarner 5.- Obtener el coeficiente de permeabilidades krg kro correspondiente a la saturaci´on de petr´oleo del paso anterior. Con estos datos, obtener la RGP instant´anea. Los datos PVT empleados corresponden a la presi´on asumida p. 6.- Calcular nuevamente la producci´on acumulada de gas Gp a la presi´on p aplicando la siguiente ecuaci´on: Gp2 = G∗ p + (RGP)prom ∆Np Donde RGP∗ corresponde a la presi´on p∗ 7.- Estableciendo un margen de error determinado, comparar los valores de Gp1 y Gp2. Si el error se encuentra dentro del margen permitido, se ha conseguido el valor de Np correspondiente a la presi´on p. Lo cual permite seleccionar una nueva presi´on. De lo contrario, si el error no se encuentra dentro del margen permitido, se debe seleccionar un nuevo valor de Np y repetir los pasos desde el 2 hasta el 6. Tema 1 slide 149 61
  • 63. M´etodo de Muskat Muskat present´o este m´etodo en 1945 y expuso que el valor de un n´umero de variables que afectan la producci´on de gas y de petr´oleo y los valores de las tasas de cambio de estas con la presi´on, se pueden evaluar en cada paso de agotamiento. Para este m´etodo se utiliza la siguiente ecuaci´on: dSo dp = Soβg βo dRs dp + So βo kg ko µo µg dβo dp − (1−So−Sw) βg dβg dp 1 + kg ko µo µg Los diferenciales de So y p se pueden aproximar utilizando ∆So = S∗ o − So y ∆p = p∗ − p respectivamente. Craft (1990) sugiri´o que los c´alculos pueden ser facilitados si se identifican tres grupos dependientes de la presi´on, y posteriormente se grafican. Tema 1 slide 150 M´etodo de Muskat Estos grupos son los siguientes: X(p) = βg βo dRs dp Y (p) = 1 βg µo µg dβo dp Z(p) = 1 βg dβg dp Combinando estos grupos con la ecuaci´on propuesta por Muskat se obtiene: ∆So ∆p = SoX(p) + So krg kro Y (p) − (1 − So − Swi)Z(p) 1 + kg ko µo µg Esta ecuaci´on puede ser utilizada para predecir el comportamiento de la producci´on y la saturaci´on de fluidos del yacimiento dando como dato un ∆p utilizando los siguientes pasos: 1.- Graficar los valores de Rs, βo y βg vs p y calcular la derivada de las propiedades PVT a varios valores de presi´on. 2.- Calcular los grupos dependientes X(p), Y (p) y Z(p) para cada presi´on seleccionada para el paso 1. 3.- Graficar los valores de los grupos dependiente en funci´on de la presi´on como se ilustra en la figura: Tema 1 slide 151 M´etodo de Muskat Grupos dependientes vs presi´on.a Tema 1 slide 152 aTarek Ahmed y Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005. 62
  • 64. M´etodo de Muskat 4.- Asumir una ca´ıda de presi´on desde la presi´on actual p∗ a una presi´on seleccionada p. Determinar los valores de X(p), Y (p) y Z(p). 5.- Resolver la ecuaci´on de Muskat usando la saturaci´on actual de petr´oleo al principio de la presion p∗ . ∆So ∆p = S∗ o X(p∗ ) + S∗ o krg kro Y (p∗ ) − (1 − S∗ o − Swi)Z(p∗ ) 1 + kg ko µo µg 6.- Determinar la saturaci´on de petroleo So a la presi´on promedio del yacimiento selecionada p: So = S∗ o − (p∗ − p) ∆So ∆p 7.- Utilizando la saturaci´on de petr´oleo calculada en el paso anterior, calcular el valor del cociente de permeabilidades relativas. Tema 1 slide 153 M´etodo de Muskat Obtener (∆So/∆p) utilizando los nuevos valores para la presi´on p. ∆So ∆p = SoX(p) + So krg kro Y (p) − (1 − So − Swi)Z(p) 1 + kg ko µo µg 8.- Calcular un valor promedio entre los valores obtenidos del paso anterior y el paso n´umero 5. ∆So ∆p prom = 1 2 ∆So ∆p 5 + ∆So ∆p 7 9.- Utilizando este promedio, calcular la saturaci´on de petr´oleo correspondiente a la presi´on p: So = S∗ o − (p∗ − p) ∆So ∆p prom Tema 1 slide 154 M´etodo de Muskat 10.- Utilizando la saturaci´on calculada en el paso anterior, calcular RGP RGP = Rs + krg ro µoβo µgβg 11.- Calcular la producci´on de petr´oleo acumulada, utilizando la informci´on de So calculada en el paso n´umero 9 Np = N 1 − βoi βo So (1 − Swi) 12.- Utilizando la definici´on de RGP, calcular el incremento de la producci´on acumulada de gas: (RGP)prom = RGP∗ + RGP 2 Gp = G∗ p + (RGP)prom∆Np Tema 1 slide 155 63
  • 65. M´etodo de Muskat Repetir desde el paso 4 hasta el 12 con todos los pasos de presi´on en estudio haciendo: p∗ = p (RGP)∗ = (RGP) G∗ p = Gp N∗ p = Np S∗ o = So Como se observa, este m´etodo no realiza c´alculos iterativos para lograr una convergencia de los valores obtenidos; el m´etodo de Muskat se puede presentar como una herramienta confiable al momento de realizar predicciones del comportamiento del yacimiento, solo cuando no se disponga de herramientas computacionales que faciliten cualquiera de los otros dos m´etodos. Tema 1 slide 156 Ejemplo Se dispone de la siguiente informaci´on: Prueba Liberacin Diferencial p βo βg Rs µo µg [lpc] [BY/BN] [BY/PCN] [PCN/BN] [cP] [cP] 4350 1.3935 0.000678 840.00 1.6182 0.0248 4061 1.3628 0.000713 773.56 1.7311 0.0237 3772 1.3331 0.000753 708.13 1.8598 0.0226 3483 1.3041 0.000803 643.72 2.0081 0.0215 3194 1.2761 0.000864 580.38 2.1802 0.0204 2905 1.2490 0.000941 518.19 2.3822 0.0193 2616 1.2229 0.001040 457.26 2.6220 0.0181 2327 1.1995 0.001168 401.68 2.8888 0.0171 2038 1.1765 0.001338 346.30 3.2165 0.0161 1749 1.1560 0.001573 295.93 3.5880 0.0152 1460 1.1366 0.001909 247.24 4.0399 0.0145 1171 1.1176 0.002421 198.79 4.6182 0.0138 882 1.0997 0.003280 152.10 5.3541 0.0133 593 1.0837 0.004992 109.32 6.2606 0.0130 304 1.0686 0.009986 67.95 7.4668 0.0127 14.7 1.0446 0.211740 0.00 10.7660 0.0125 Informaci´on del Yacimiento N [MMBN] 100 pi [lpc] 4350 pf [lpc] 1000 RGPi [PCN/BN] 840 Swi 0.3 pb [lpc] 4350 Tema 1 slide 157 64
  • 66. Ejemplo Se desea estimar Np, Gp y RGP para la presin de abandono pf = 1000lpc. Para resolver este problema, se utilizan los m´etodos de predicci´on estudiados anteriormente. Tracy Tarner Muskat p Np Np Np [lpc] [MMBN] [MMBN] [MMBN] 4350 0 0 0 4111 0.9763 0.9763 0.9742 3871 2.1851 2.2005 2.2007 3632 3.6098 3.6410 3.6404 3393 5.1448 5.1365 5.1350 3154 6.6254 6.4783 6.4801 2914 7.9319 7.5716 7.5898 2675 9.0446 8.4443 8.4518 2436 9.9478 9.1171 9.1453 2196 10.6980 9.6582 9.6863 1957 11.3260 10.1000 10.1210 1718 11.8540 10.4630 10.4930 1479 12.3220 10.7800 10.8130 1239 12.7620 11.0730 11.1010 1000 13.1780 11.3450 11.3670 Tema 1 slide 158 Ejemplo 10001500200025003000350040004500 0 2 4 6 8 10 12 14 Producción de Petróleo Presión [lpc] Np (MMBN) Tracy Tarner Muskat Relaci´on Np vs pa . Tema 1 slide 159 aFern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov 2006 65
  • 67. Ejemplo Tracy Tarner Muskat p Gp Gp Gp [lpc] [MMPCN] [MMPCN] [MMPCN] 4350 0 0 0 4111 796 796 795 3871 1785 1769 1769 3632 3061 3029 3029 3393 4789 4797 4795 3154 7153 7283 7287 2914 10261 10553 10613 2675 14179 14621 14638 2436 18667 19213 19386 2196 23725 24327 24519 1957 29234 29850 29969 1718 34989 35582 35862 1479 41074 41618 41980 1239 47632 48101 48378 1000 54378 54757 54904 Tema 1 slide 160 Ejemplo 10001500200025003000350040004500 0 10 20 30 40 50 60 Producción de Gas Presión [lpc] G p (MMMPCN) Tracy Tarner Muskat Relaci´on Gp vs pa . Tema 1 slide 161 aFern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov 2006 66
  • 68. Ejemplo Tracy Tarner Muskat p RGP RGP RGP [lpc] [PCN/BN] [PCN/BN] [PCN/BN] 4350 840 840 840 4111 792 792 792 3871 796 796 796 3632 951 954 954 3393 1412 1409 1410 3154 2353 2295 2295 2914 3918 3699 3688 2675 6203 5641 5634 2436 9097 8052 8017 2196 12643 10923 10878 1957 16714 14157 14116 1718 20948 17500 17430 1479 25169 20771 20684 1239 28960 23616 23535 1000 31584 25467 25400 Tema 1 slide 162 Ejemplo 10001500200025003000350040004500 0 5 10 15 20 25 30 35 Gas−−Oil Ratio Presión [lpc] RPG(MPCN/BY) Tracy Tarner Muskat Relaci´on RGP vs pa . Tema 1 slide 163 aFern´andez, J., Bohorquez, B., M´etodos de predicci´on del comportamiento de producci´on de yacimientos mediante balance de materiales, Trabajo de Pasant´ıa, Escuela de Ingenier´ıa de Petr´oleo, UCV, Nov 2006 67
  • 69. Referencias slide 164 Referencias [1] L.P. Dake. Fundamentals of Reservoir Engineering. Elsevier Science B.V., Amsterdam, The Netherlands, fiftheenth edition, 1977. [2] B.C Craft and M.F. Hawkins. Applied Petroleum Reservoir Engineering. PTR Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632, second edition, 1991. [3] Tarek Ahmed and Paul D. McKinney. Reservoir Engineering Handbook. Gulf Professional Publishing, Houston, Texas, USA, 2001. [4] Tarek Ahmed and Paul D. McKinney. Advanced Reservoir Engineering. Elsevier, Burlington, MA, USA, 2005. [5] Charles Smith, G.W. Tracy, and R. Lance. Applied Reservoir Engineering, volume 2, chapter 12. OGCI Publications. [6] R.J. Schithuis. Active Oil ans Reservoir Energy. In Trans., AIME, 188, 33ff. [7] W. Hurst. Water Influx Into a Reservoir and Its Applications to the Equation of Volumetric Balance. In Trans., AIME, 151, 57ff, 1943. [8] M.J. Fetkovich. A Simplified Approach to Water Influx Calculations - Finite Aquifer Systems. Journal of Petroleum Technology, 1971. [9] Ed Turek and Randy Morris. Black-oil properties correlations - AMOCO Corporation R , 1995. Tema 1 slide 164 68
  • 70. Antecedentes de EBM slide 165 Antecedentes de EBM Antecedentes Coleman, Wilde y Moore Schilthuis Odd Woods y Muskat van Everdingen, Timmerman y Mcmahon Hawkins Tracy Havlena y Odeh Dake Tema 1 slide 166 Antecedentes Existen diversos trabajos publicados acerca de los m´etodos de estimaci´on de reservas de hidrocarburos. La mayor´ıa de los trabajos se enfocan en varios aspectos del tema, que incluyen las leyes y principios fundamentales que gobiernan la extracci´on de fluidos, la derivaci´on de las ecuaciones con base en la relaci´on entre la cantidad de fluidos producidos y las propiedades del yacimiento, entre otros. Esta secci´on esta basada en el trabajo realizado por Carlos Garc´ıaa . Tema 1 slide 167 aC. Garc´ıa, An´alisis de errores de presi´on y PVT sobre las estimaciones de balance de materiales, Tesis de Pregrado, Universidad Central de Venezuela, 2005 Coleman, Wilde y Moore Dentro de los primeros trabajos realizados acerca del tema se encuentra el de Coleman, Wilde y Moorea . Su estudio se bas´o en la declinaci´on de la presi´on del yacimiento posterior a la producci´on de petr´oleo y gas. Presentaron una ecuaci´on que relaciona la presi´on del yacimiento, la cantidad de petr´oleo y gas producido, la cantidad de gas en el yacimiento y las propiedades de los fluidos del yacimiento. Tema 1 slide 168 aS.P. Coleman, H.D. Wilde and T.V. Moore, Quantitative effects of GOR on decline of average rock pressure. Trans. AIME (1930). 86. 174. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 6.) Schilthuis Schilthuisa , present´o una forma modificada de la ecuaci´on de Coleman, Wilde y Moore. La ecuaci´on de Schilthuis se puede describir como un balance volum´etrico entre las cantidades de petr´oleo, gas y agua producida, con la declinaci´on de presi´on del yacimiento, la cantidad total de agua que pudo haber entrado al yacimiento y la cantidad total de petr´oleo y gas del yacimiento. La ecuaci´on de Coleman, Wilde y Moore est´a basada en las leyes de gases perfectos y soluciones perfectas, a diferencia de ´esta, la ecuaci´on de Schilthuis usa la relaci´on entre la presi´on y el volumen obtenido en el laboratorio a partir de muestras de petr´oleo y gas del yacimiento, resultando que la ecuaci´on sea aplicable al estudio de yacimientos de alta presi´on. Otra mejora de la ecuaci´on de Schilthuis sobre la de Coleman, Wilde y Moore es una simplificaci´on del procedimiento de c´alculo involucrado, la mayor´ıa de los t´erminos usados en la ecuaci´on de Schilthuis pueden ser le´ıdos directamente de curvas provenientes del laboratorio. Schilthuis, en la derivaci´on de la ecuaci´on, supuso que existe un estado de equilibrio instant´aneo en el yacimiento. Esta suposici´on de equilibrio es tal que el yacimiento se comporta como si tuviese cantidades m´as peque˜nas de petr´oleo y gas de las que realmente contiene. Tal estado de equilibrio nunca se alcanza. Una consecuencia de esto es que el contenido de hidrocarburos calculado mediante la ecuaci´on de Schilthuis es siempre menor que el contenido real. Se cree que la cantidad calculada de petr´oleo es esa porci´on del petr´oleo contenida en la parte permeable e interconectada que contribuye activamente al mantenimiento de la presi´on del yacimiento. Schilthuis llam´o a este fen´omeno “petr´oleo activo”. La ecuaci´on de Schilthuis no toma en cuenta la disminuci´on en el volumen poroso debido al efecto combinado de la expansi´on del agua connata y la reducci´on del volumen poroso del yacimiento. Schilthuis tambi´en propuso un modelo de influjo de agua el cual expresa la tasa de influjo de agua dentro del yacimiento a un tiempo cualquiera, proporcional a la diferencia de presi´on entre la presi´on original del yacimiento y la presi´on en el yacimiento en un instante dado. Tema 1 slide 169 aR.J. Schilthuis, Active Oil Reservoir Energy. TRANS AIME(1936). 118. 32. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 6.) 69
  • 71. Odd Olda expuso el uso simult´aneo de la EBM y la ecuaci´on de Hurst, aplicado al c´alculo de las reservas de hidrocarburos. Estudi´o el comportamiento de un yacimiento de petr´oleo y evalu´o las fuerzas naturales que actuaban en el yacimiento. Old afirm´o que un uso importante de ´este m´etodo de an´alisis consiste en determinar el comportamiento de presi´on. Tema 1 slide 170 aR. F. Jr. Old, Analyzing of reservoir performance. Trans. AIME( 1943). 151. 86. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 8.) Woods y Muskat Woods y Muskata presentaron un procedimiento de an´alisis de m´ınimos cuadrados para resolver la ecuaci´on de balance de materiales y su aplicaci´on para estimar el petr´oleo en sitio a partir de observaciones de campo. El estudio concluy´o que el balance de materiales por si mismo no puede, con seguridad, proporcionar una determinaci´on ´unica de las caracter´ısticas f´ısicas b´asicas del petr´oleo que se produce de un yacimiento. Sin embargo, el m´etodo proporciona una herramienta ´util para estimar la intrusi´on de agua o para predecir el comportamiento futuro de un yacimiento, cuando existen datos de control determinados independientemente, tales como valores de petr´oleo y gas inicial en sitio. Tema 1 slide 171 aR. E. Woods y M. Muskat, An Analysis of material balance calculations. Trans AIME (1943). 151. 73. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 9.) van Everdingen, Timmerman y Mcmahon Everdingen, Timmerman y Mcmahona presentaron una forma modificada de la ecuaci´on de balance de materiales aplicable a yacimientos con empuje parcial de agua. El m´etodo combin´o la ecuaci´on de balance de materiales con la ecuaci´on de influjo de agua de Hurst-Van Everdingen, para obtener valores confiables del petr´oleo activo original en sitio y una evaluaci´on cuantitativa del influjo de agua acumulado. El m´etodo de soluci´on usa el m´etodo de m´ınimos cuadrados para obtener dos ecuaciones normales a partir de un cierto n´umero de ecuaciones de balance de materiales. El m´etodo de desviaci´on normales fue utilizado para determinar el valor de petr´oleo en sitio asociado con el valor m´as confiable de los intervalos de tiempo reducidos. Tema 1 slide 172 aA.F. Van Everdingen,E.H. Timmerman y J.J. Mcmahon, Application of the material balance equation to a partial water drive reservoirs. Trans. AIME (1953). 198. 51. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 9.) Hawkins Hawkinsa present´o una extensi´on de la ecuaci´on de balance de materiales aplicable a yacimientos volum´etricos subsaturados por encima del punto de burbujeo mediante la inclusi´on de un t´ermino que toma en cuenta la presencia de agua intersticial y su compresibilidad. Tema 1 slide 173 a M. F. Jr. Hawkins, Material balance in expansion type reservoir above bubblepoint. Trans. AIME (1953). 204. 267. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp. 10.) Tracy Tracya present´o una forma simplificada de la ecuaci´on de balance de materiales de Schilthuis. En la ecuaci´on, los t´erminos de petr´oleo producido acumulado, gas producido acumulado e influjo neto de agua se multiplican por diferentes factores de presi´on. El m´etodo estima tasas gas-petr´oleo instant´aneas junto con producci´on incremental de petr´oleo. Tema 1 slide 174 aG. W. Tracy, Simplified form of the material balance equation. SPE Reprint Series No 3. 1970. pp 62. (citado por Omole-Ojo. 1993. pp 11.) 70
  • 72. Havlena y Odeh Havlena y Odeha presentaron un m´etodo en el cual la ecuaci´on de balance de materiales se expresa como la ecuaci´on de una l´ınea recta. El m´etodo consiste en graficar un conjunto de variables versus otro, dependiendo de los mecanismos de empuje del yacimiento del yacimiento. Este m´etodo proporciona un tercer y necesario criterio que s´olo una soluci´on exitosa de la ecuaci´on de balance de materieales deber´ıa satisfacer. El m´etodo fue aplicado a varios casos de campo. El m´etodo ha demostrado ser el mejor en t´erminos de la interpretaci´on de los c´alculos de balance de materiales. Tema 1 slide 175 aD. Havlena y A.S. Odeh. The material balance as an equation of a straight line, SPE Production Research Symposium, Norman, Okla. SPE 559., 1963. Dake Dakea consider´o la disminuci´on en el volumen poroso de hidrocarburos debido al efecto combinado de la expansi´on del agua connata y la reducci´on en el volumen poroso, la cual no fue tomada en cuenta por Schilthuis al derivar la forma general de la ecuaci´on de balance de materiales. Tema 1 slide 176 aL. Dake, Fundamentals of Reservoir Engineering, Elsevier, The Netherlands, 1978 71
  • 73. M´ınimos Cuadrados slide 177 M´ınimos Cuadrados Introducci´on Derivaci´on Tema 1 slide 178 Introducci´on El ajuste de m´ınimos cuadradosa,b es un procedimiento matem´atico para obtener la curva que mejor ajuste un conjunto dado de puntos mediante la minimizaci´on de la suma de los cuadrados de los residuales de los puntos de la curva. Figura B.1: Ajuste de m´ınimos cuadrados Tema 1 slide 179 ahttp://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html bhttp://www.keypress.com Derivaci´on La suma de los cuadrados de las desviaciones verticales R2 de un conjuntos de n puntos a la funci´on f es: R2 = [yi − f (xi, a1, a2, . . . , an)]2 (B.1) La condici´on para que R2 sea m´ınimo es: ∂ R2 ∂ai = 0 (B.2) Para i = 1, . . . n Tema 1 slide 180 72
  • 74. Derivaci´on Para el ajuste lineal f (a, b) = a + bx, se tiene: R2 (a, b) = n i=1 [yi − (a + bxi)]2 (B.3) ∂ R2 ∂a = −2 n i=1 [yi − (a + bxi)] = 0 (B.4) ∂ R2 ∂b = −2 n i=1 [yi − (a + bxi)] xi = 0 (B.5) Tema 1 slide 181 Derivaci´on Finalmente: a b = 1 n n i=1 x2 i − n i=1 xi 2 n i=1 yi n i=1 x2 i − n i=1 xi n i=1 xiyi n n i=1 xiyi − n i=1 xi n i=1 yi Es decir: a = n i=1 yi n i=1 x2 i − n i=1 xi n i=1 xiyi n n i=1 x2 i − n i=1 xi 2 (B.6) b = n n i=1 xiyi − n i=1 xi n i=1 yi n n i=1 x2 i − n i=1 xi 2 (B.7) Tema 1 slide 182 Derivaci´on En el caso del ajuste lineal f (b) = bx, se obtiene: b = n i=1 yi n i=1 xi (B.8) Tema 1 slide 183 73
  • 75. Par´ametros Estad´ısticos slide 184 Par´ametros Estad´ısticos Introducci´on Coeficiente de correlaci´on Error del ajuste (RSME) Intervalo de confianza Tema 1 slide 185 Introducci´on Entre los principales par´ametros estad´ısticos se encuentran: 1. Coeficiente de correlaci´on 2. Error del ajuste (RSME) 3. Intervalo de confianza Tema 1 slide 186 Coeficiente de correlaci´on El coeficiente de correlaci´on es una medida de la calidad de un ajuste de m´ınimos cuadrados de un conjuntos de datos. Tema 1 slide 187 Coeficiente de correlaci´on El coeficiente de correlaci´on r (tambi´en denotado como R) esta definido por: r = n n i=1 xiyi − n i=1 xi n i=1 yi n n i=1 x2 i − n i=1 xi 2 n n i=1 y2 i − n i=1 yi 2 (C.1) Tema 1 slide 188 74
  • 76. Error del ajuste (RSME) El RSME es la raiz cuadrada del promedio del cuadrado de los valores de las diferencias entre los puntos y la curva (offset) de un ajuste lineal. El RSME esta definido por la siguiente expresi´on: RSME = 1 n n i=1 (∆y)2 (C.2) Tema 1 slide 189 Intervalo de confianza El intervalo de confianza es un intervalo en el cual la medida cae de acuerdo a una probabilidad dada. Usualmente, el intervalo de confianza de inter´es est´a sim´etricamente centrado alrededor de la media, as´ı que un 50% del intervalo de confianza para una funci´on de probabilidad sim´etrica es el intervalo tal que: 1 2 = a −a P (x) dx (C.3) Tema 1 slide 190 75
  • 77. MBO slide 191 MBO Introducci´on Archivos Ejecuci´on Tema 1 slide 192 Introducci´on MBO es un toolbox de MATLAB que implementa los m´etodos m´as importantes de resoluci´on de la ecuaci´on de balance de materiales para los c´alculos de petr´oleo original en sitio (POES) para yacimientos de petr´oleo con gas en soluci´ona . MBO utiliza los datos de producci´on, datos PVT y par´ametros de yacimiento y acu´ıfero para resolver la ecuaci´on de balance de materiales y calcular el POES, GOES e ´ındice de mecanismos de empuje utilizando diversos m´etodos de resoluci´on. La documentaci´on de MBO, as´ı como algunos ejemplos tutoriales, se puede obtener a trav´es del web site: http://www.atgig.com/eam/mbo/mbo-es.html Tema 1 slide 193 aC. Garc´ıa, An´alisis de errores de presi´on y PVT sobre las estimaciones de balance de materiales, Tesis de Pregrado, Universidad Central de Venezuela, 2005 Archivos MBO requiere cinco archivos de entrada: <file>.rsv: Datos del yacimiento <file>.prd: Datos producci´on <file>.pvt: Datos PVT <file>.aqu: Modelo de acu´ıfero <file>.rmd: Especificaci´on de los m´etodos de balance de materiales Los archivos de salida son: <file>.oip: POES y GOES calculado por cada m´etodo de resoluci´on <file>.hoe: T´erminos de expansi´on de fluidos y roca Tema 1 slide 194 76
  • 78. Ejecuci´on MBO se puede ejecutar desde la l´ınea de comando de DOS de la siguiente forma: mbo <file> Figura D.1: Ventana de ejecuci´on de MBO Tema 1 slide 195 77
  • 79. Unidades slide 196 Unidades Unidades Tema 1 slide 197 Unidades Las siguientes abreviaciones de unidades han sido adoptadas por la Society of Petroleum Engineers (SPE) y son apropiadas para las mayor´ıa de las publicacionesa . I darcy [d] I grados (American Petroleum Institute) [ ◦ API] I libras por pulgada cuadrada [psi] I barriles a condiciones normales [STB] I barriles por d´ıa a condiciones normales [STB/d] I barriles a condiciones de yacimiento [bbl] I pies c´ubicos de gas a condiciones normales [SCF] I pies c´ubicos por d´ıa de gas a condiciones normales [SCF/d] I pies c´ubicos de gas a condiciones de yacimiento [ft3 ] Tema 1 slide 198 aSPE Letter and Computer Symbols Standard, 1986 78