Una plática relacionando las ecuaciones de mecánica de fluidos con la ecuación de Schrodinger

1. 6o Congreso Internacional
sobre la Enseñanza y
Aplicación de las Matemáticas-
FES CuautitlánEcuación de Navier-Stokes,
teoría de campos y
mecánica cuántica
Manuel Hernández Rosales

2. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.La ecuación de Navier-Stokes es la ecuación que
obedecen los fluidos viscosos a “primer orden” en las
velocidades.
𝜌
𝐷 𝑣
𝑑𝑡
= 𝜌
𝜕 𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑣 ∙ 𝛻 𝑣 = −𝛻𝑝 + 𝜃∆ 𝑣
donde 𝑣 es la velocidad del fluido como función de las
coordenadas espaciales y el tiempo, 𝑝 es la presión a la
que esta sometido y 𝜗 es el coeficiente de viscosidad
dinámica. Se añade la condición de que es un fluido
incompresible: 𝛻 ∙ 𝑣 = 0

3. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.
El Instituto Clay de Matemáticas en EE.UU. ofrece un
premio de 1,000,000 de dólares a quien descubra el
carácter de las soluciones de la ecuación de Navier
Stokes:
1. ¿Existe una solución a ellas que sea diferenciable en
todo tiempo? i.e. ¿tienen sentido las soluciones en todo
tiempo?
2. ¿Son estables las soluciones? ¿Perturbaciones
pequeñas disminuyen con el tiempo? (turbulencia, para
𝜃s grandes se sabe que es estable, muy complicado)

5. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.
Hay además otras preguntas más ambiciosas:
1. ¿Describe el flujo turbulento y el flujo alrededor de un
cuerpo en general la ecuación de Navier Stokes?
2. ¿Es posible dar una solución general de la ecuación de
Navier Stokes? (problema de movimiento de océanos,
atmosférico, etc.).
3. ¿Existes soluciones de tipo “solitón”? La respuesta es
sí. ¿En que condiciones?

6. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.
Viscosidad
La ecuación de Navier Stokes supone que existe
viscosidad cuando en un fluido existe una rotación no
uniforme en donde unas partículas del fluido se mueven
con diferente velocidad que sus vecinas, i.e. cuando el
rotacional del rotacional es distinto de cero. En ese caso
existe disipación de la energía dada por:
𝑑𝐸 𝑘
𝑑𝑡
= −
1
2
𝜃 (
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥 𝑘
+
𝜕𝑣 𝑘
𝜕𝑥𝑖
)2 𝑑𝑉

7. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.
¿Qué movimientos “rotatorios” de un
fluido viscoso no pierden energía?
Hay dos muy simples y el segundo es sorprendente:
𝑣1 = 𝜇 × 𝑟
𝑣2 =
𝜇 × 𝑟
𝑟3
𝛻 × 𝑣1 = 𝜇
𝛻 × 𝑣2 = −
𝜇
𝑟3
+
3 𝜇 ∙ 𝑟
𝑟5
𝑟
El rotacional del rotacional de ambos da cero.

8. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.¿Qué movimientos “rotatorios” de un fluido viscoso no
pierden energía?
𝛻 × 𝑣1 = 𝜇 𝛻 × 𝑣2 = −
𝜇
𝑟3
+
3 𝜇 ∙ 𝑟
𝑟5
𝑟
Los vectores del rotacional del flujo son como los de un campo magnético constante
Y el de un imán

9. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.
¿Cuáles son soluciones estacionarias de la ecuación de
Navier Stokes sin perdida de energía?
Para solucionar se supone una solución dividida en su
parte gradiente y en su parte rotacional:
𝑣 = 𝛻𝑆 +
𝜇 × 𝑟
𝑟3
Y luego se hace un cambio de variable del siguiente
modo:
𝑆 = ℎ𝑙𝑛𝜑
De lo cual se obtiene una ecuación:
ℎ2
2
∆𝜑 + 𝑝 −
1
2
𝜇2
𝑟2
+
2 𝜇 ∙ 𝑟 2
𝑟3
𝜑 = 𝐸𝜑

10. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.
¿Cuáles son soluciones estacionarias de la ecuación de
Navier Stokes sin perdida de energía?
No existe solución para todo E en la ecuación anterior
sino solamente para valores especiales los cuales son
llamados valores propios (eigenvalues).
Para cada valor E, una solución estacionaria es de la
forma:
𝑣 𝐸 = ℎ
∆𝜑 𝐸
𝜑 𝐸
+
𝜇 × 𝑟
𝑟3
Estas soluciones no dependen del tiempo. Si el flujo tiene
este movimiento así permanece

11. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.
¿Cuáles son las soluciones de la ecuación de Navier
Stokes sin perdida de energía?
Las soluciones serán de la forma
𝑣 = ℎ
𝐸 𝑛
exp(−
𝐸 𝑛
ℎ
𝑡)∆𝜑 𝐸 𝑛
𝐸 𝑛
exp(−
𝐸 𝑛
ℎ
𝑡)𝜑 𝐸 𝑛
+
𝜇 × 𝑟
𝑟3
Si 𝐸0 es el valor más pequeño cuando 𝑡 ∞ tendremos:
𝑣 ℎ
∆𝜑 𝐸0
𝜑 𝐸0
+
𝜇 × 𝑟
𝑟3

12. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.
Teoría de campos.
La concepción de un campo de fuerzas por primera vez
surgió con Michael Faraday (vivió en el siglo XIX) quien no
estaba satisfecho con la descripción mecanicista del
mundo.
Para él la entidad básica para describir el Universo no era
la materia sino más bien “la fuerza”.
Faraday no sabía mas allá de aritmética elemental y sin
embargo fue en algún sentido una gran mente
matemática.
Fue el primero que afirmo que la luz debían ser ondas en
el campo de fuerzas electromagnético.

13. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.
Teoría de campos.
Faraday es tal vez el físico experimental más importante de la
historia y uno de los hombres más notables que han existido
posiblemente en el mundo del pensamiento.
Descubrió las líneas de fuerza magnéticas, el principio del motor
eléctrico, la inducción eléctrica, magnética, la inducción
electromagnética, la influencia de los campos electromagnéticos en
la polarización de la luz entre otros muchos, la posible cuantización
de la carga. Sus descubrimientos están contenidos en el
“Experimental Researches on electricity”. Puesto que el no sabia
matemáticas sus aportaciones teóricas no se volvieron importantes
hasta que James Clerck Maxwell leyo su libro y convirtio algunas de
sus ideas en ecuaciones.

14. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.Teoría de campos.
Las ecuaciones de Maxwell son las siguientes:
𝛻 ∙ 𝐸 = 4𝜋𝜌
𝛻 ∙ 𝐵 = 0
𝛻 × 𝐸 = −
1
𝑐
𝜕𝐵
𝜕𝑡
𝛻 × 𝐵 =
1
𝑐
𝜕𝐸
𝜕𝑡
+
4𝜋𝜌
𝑐
𝑣
Donde 𝐸 es el campo eléctrico, 𝐵 el campo magnético, 𝜌
la densidad de carga, 𝑐 la velocidad de la luz y 𝑣 la
velocidad de la carga eléctrica.

15. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.Teoría de campos.
Si sacamos el rotacional de la cuarta ecuación de Maxwell
y tomamos en cuenta la tercera obtenemos:
∆𝐵 −
1
𝑐2
𝜕2
𝐵
𝜕𝑡
= −
4𝜋
𝑐
𝛻 × (𝜌 𝑣)
La primera parte de la ecuación describe una onda de
“fuerza magnética”. Esta onda tiene como “fuente” la
segunda parte de la ecuación.
Aunque las ecuaciones de Maxwell son exitosas para
describir todos los fenómenos electromagnéticos
macroscópicos no sirven para describir el movimiento de
los electrones en torno del núcleo.

16. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.Mecánica cuántica.
Según las ecuaciones de Maxwell el electrón debería caer
al núcleo pues perdería energía en forma de radiación al
girar en torno del núcleo.

17. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.Mecánica cuántica.
De Broglie sin embargo propuso que los electrones se
comportan como ondas de longitud de onda dada por:
𝑙 =
ℎ
𝑝
donde h es una constante llamada de Planck.

18. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.Mecánica cuántica.
Schrödinger propuso la siguiente ecuación estacionaria
para describir a las ondas de “de Broglie”:

19. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.Mecánica cuántica.
Schrödinger eligió hacer depender del tiempo a la
función de onda del siguiente modo:
Esto para dar una interpretación de que el cuadrado de la amplitud de la
función de onda. De su elección nacieron los saltos cuánticos
y la interpretación probabilística.

20. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.¿Una nueva interpretación de la física cuántica?
Observemos la similitud entre la ecuación estacionaria de
Schrödinger y la ecuación estacionaria para la función 𝜑
que aparecía en la ecuación de Navier-Stokes.
ℎ2
2
∆𝜑 + 𝑝 −
1
2
𝜇2
𝑟2 +
2 𝜇 ∙ 𝑟 2
𝑟3 𝜑 = 𝐸𝜑

21. Ecuación de Navier-Stokes, teoría de campos
y
mecánica cuántica.¿Una nueva interpretación de la física cuántica?
En la teoría electromagnética:
𝐵 = 𝛻 × 𝐴
1. En la ecuación deducida de NS el sistema tiende al
estado base
2. En la ecuación deducida de NS lo que se deduce es el
campo de fuerzas del potencial 𝐴 y no un campo de
probabilidades.
3. La ecuación de NS se puede generalizar para que no
haya disipación de energía sino radiación:
𝜌
𝜕 𝐴
𝜕𝐴
+ 𝐴 ∙ 𝛻 𝐴 = −𝛻𝑝𝑜𝑡 +
ℎ
2𝑚𝑐
(∆ 𝐴 −
1
𝑐2
𝜕2 𝐴
𝜕𝑡2 )