¿Qué tan difícil es encontrar una solución a un problema matemático?

1. Problemas del Milenio: P
VS NP. ¿Qué tan fácil es
encontrar una solución a un
problema matemático?
Marzo de 2013
CCH Oriente

2. El Instituto Clay de Matemáticas en
EEUU ofrece un premio de 1,000,000
de dólares a quien resuelva uno de 7
problemas matemáticos aun no
resueltos

3. Uno de los 7 problemas ya fue resuelto
por Grigori Perelman en 2003 después
de que lo planteara Henri Poincaré en
1904

4. ¿Qué dice
el
problema
P vs NP?

5. ¿Cómo
podemos
entenderlo?
“Toda la
matemática
se entiende
con
ejemplos”
V. I. Arnold

6. ¿Cómo
podemos
entenderlo?
“Toda la
matemática
se entiende
con
ejemplos”
V. I. Arnold

7. Voy a contar
una historia
para
entender
P vs NP

8. ¿Quiénes
son los
héroes de
nuestra
historia?
Alan Turing
Pierre de Fermat
Euclides

9. Nuestra historia es acerca de
el encriptamiento

10. ¿Qué dice? !!!!!!!!!!!
12 12 2
Este mensaje esta encriptado con
RSA Ron Rivest, Adi Shamir, y Leonard Adleman

11. Muchas culturas de la antigüedad
descubrieron que todo número
es un múltiplo de primos:
35=5*7
60=2*2*3*5
17=17
361=19*19

12. Euclides demostró
que los números
primos son “infinitos”
Si 2, 3, 5, 7…p(n) son todos los
primos entonces a
2*3*5*7* * *p(n)+1 no lo divide
ni 2, ni 3, ni 5,…, ni p(n)

13. Fermat uso la
aritmética modular
para encontrar
propiedades de los números.
Ejemplo:
Los relojes 60≡0, 18 ≡ 6 (mod 12)
La medida en grados:
378≡18, 400 ≡ 40
(mod 360)

14. Para encriptar un mensaje en RSA se
usan:
• Dos primos p y q.
• Su resultado n=p*q
• Y su clave de codificación E (llave
publica).
• Para codificar el mensaje anterior
usamos p=3, q=5, n=15, E=3

15. El mecanismo de desencriptar
consiste en tener una clave
de descodificación que en
este caso la elegimos como
D=3 (llave privada)
Para descodificar tenemos que elevar cada
cifra del mensaje al cubo y sacar su módulo
n=15
M ≡ C^D (mod n)
En este caso:
M ≡ C^3 (mod 15)

16. Codificación Eleva al
cubo
Modulo
15
Traducción a
letras
12 1728 3 C
12 1728 3 C
2 8 8 H

17. El mecanismo de encriptar
consiste en tener una clave
de codificación que en
este caso la elegimos como
E=3 (llave publica)
Para codificar tenemos que elevar cada cifra
del mensaje al cubo y sacar su módulo n=15
C ≡ M^E (mod n)
En este caso:
C ≡ M^3 (mod 15)

18. Mensaje Traducción
a números
Eleva
Al cubo
Módulo 15
C 3 27 12
C 3 27 12
H 8 512 2

19. La clave para ser un “hacker” es justo
descubrir la llave privada D
Esta clave tiene como fórmula que
D*E ≡ 1 (mod (p-1)*(q-1))
En nuestro caso
3*3 ≡ 1 (mod 2*4)

20. Esto en nuestro caso ha sido complicado
En el mundo real todo mundo conoce n y E
pero no p y q. Por ejemplo piensen como
descomponer en sus primos un número como
n=2^67-1 y de ahí deducir E

21. Para descubrir D por “prueba y error” se
puede usar una máquina (de Turing)
Y probar descomponer n=2^67-1 en sus
primos.

22. O bien dedicar muchas máquinas probando
distintos números aleatoriamente (máquina
de Turing aleatoria)
Y probar descomponer n=2^67-1 en sus
primos. O bien tratando de que alguna
máquina le atine a D

23. El problema al que nos enfrentamos es un
problema NP del cual podemos esperar que
para resolver por “fuerza bruta” tardemos en
algunos caso tanto tiempo como la edad del
Universo.

24. La pregunta básica de P vs NP es si P=NP o
P<>NP. Es decir en los problemas de
matemática:
¿Puede la mente humana siempre descubrir
una estrategia o algoritmo para resolver un
problema en un tiempo “razonable”?

25. De corazón espero que en este siglo, que
alguno de ustedes:
Premio Clay
Tú
P vs NP

26. Muchas gracias