Fractional Fourier Transform: Fractional Wiener Filter in Scilab

1. Fα(x) = Cαeiπy2
cot α
f (x)eiπx2
cot α
e−i 2π
sin α xy
dx
Aplicaci´on en Scilab para el tratamiento de
se˜nales con la transformaci´on de Fourier
fraccionaria: Filtro de Wiener fraccionario
Marcos Amaris Gonz´alez1
marcos.amaris@gmail.com
Rafael ´Angel Torres2
rafantoram@uis.edu.co
1Autor
2
Director de Tesis
Abril de 2009
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2. Planteamiento del Problema
Se˜nales estacionarias y no estacionarias.
Representaci´on en Tiempo y/o Frecuencia.
Transformaci´on de Fourier.
F(y) =
∞
−∞
f (x)e−2ixy
dx (1)
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3. Planteamiento del Problema
Se˜nales estacionarias y no estacionarias.
Representaci´on en Tiempo y/o Frecuencia.
Transformaci´on de Fourier.
F(y) =
∞
−∞
f (x)e−2ixy
dx (1)
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4. Planteamiento del Problema
Se˜nales estacionarias y no estacionarias.
Representaci´on en Tiempo y/o Frecuencia.
Transformaci´on de Fourier.
F(y) =
∞
−∞
f (x)e−2ixy
dx (1)
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5. STFT
G(τ, y) =
∞
−∞
f (x)g(x − τ)e−2ixy
dx (2)
La ecuaci´on 2 se puede interpretar como los resultado de la
transformaci´on de Fourier est´andar para cada punto G(τ, y)
Figura: Ventana Rectangular
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6. Transformaci´on Wavelet
w(t) =
1
|a|
w
t − b
a
(3)
donde a es la escala y es b la traslaci´on.
Figura: Wavelet.
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7. Distribuci´on de Wigner
Wf (x, y) =
∞
−∞
f x +
x
2
f x −
x
2
e−2πix y
dx (4)
Valor de amplitud en cada punto W (x, y) asociados a un una
funci´on f (x) y a su transformada F(y).
|f (x) |2
=
∞
−∞
Wf (x, y) dy
|F (y) |2
=
∞
−∞
Wf (x, y) dx
|fα (xα) |2
=
∞
−∞
Wf (x cos α − y sen α, x sen α + y cos α)dy
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8. Distribuci´on de Wigner
Wf (x, y) =
∞
−∞
f x +
x
2
f x −
x
2
e−2πix y
dx (4)
Figura: Gr´afica de una distribuci´on de WignerMarcos Amaris Gonz´alez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab ⇒5/22

9. Marco Te´orico
N. Wiener, 1929; V. Namias, 1980; L. Almeida, 1993.
La expresi´on propuesta por Nam´ıas est´a dada por la siguiente
ecuaci´on:
Fα(y) = Cαeiπy2 cot α
f (x)eiπx2 cot α
e−i 2π
sin α
xy
dx. (5)
donde α = aπ/2, a es un n´umero real.
Cα =
ei(s(α)π
4
−α
2
)
| sin α|
(6)
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10. Propiedades de la FrFT
Linealidad: c1 y c2 son constantes.
Fα[c1f (x) + c2g(x)] = c1Fα[f (x)] + c2Fα[g(x)] (7)
Conservaci´on de la energ´ıa:
f (x)g ∗ (x)dx = fα(y)g ∗α (y)dy (8)
Corrimiento: ς variable de corrimiento.
Fα[f (x − ς)] = Fα(y − ς cot α)eiπ sin α(ς2 cos α−2yς)
(9)
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11. Propiedades de la FrFT
Modulaci´on:
Fα[f (x)ei2πδx
] = Fα(y − δ sin α)e−iπ cos α(δ2 sin α−2δy)
(7)
Escalamiento: m variable de escala.
Fα[f (mx)] = cos β/ cos αe
1
2
(α−β)
eiπy
2 cot α(1−
cos2 β
cos2 α
)
fβ(y
sin β
m sin α
)
(8)
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12. Casos particulares
a α = aπ/2 Operador Operaci´on
0 ´o 4 0 ´o 2π F0 = F4 = I Identidad
1 π/2 F1 = F FT
2 π F2 = FF = P Reflexi´on
3 3π/2 F3 = FF2 = F−1 FT inversa
Tabla: Casos particulares de la FrFT
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13. Justificaci´on
Viabilidad T´ecnica.
Tratamiento de se˜nales en dominios de Fourier fraccionarios
sobre la plataforma Scilab.
Viabilidad T´ecnica.
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14. Justificaci´on
Viabilidad T´ecnica.
Tratamiento de se˜nales en dominios de Fourier fraccionarios
sobre la plataforma Scilab.
Viabilidad T´ecnica.
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15. Justificaci´on
Viabilidad Econ´omica.
Tratamiento de se˜nales en dominios de Fourier fraccionarios
sobre la plataforma Scilab.
Viabilidad T´ecnica.
Viabilidad Econ´omica.
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16. Justificaci´on
Viabilidad Social.
Tratamiento de se˜nales en dominios de Fourier fraccionarios
sobre la plataforma Scilab.
Viabilidad T´ecnica.
Viabilidad Econ´omica.
Viabilidad Social.
GOTS IDETISUM
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17. Hip´otesis
Discretizaci´on de la ecuaci´on 5
x = n∆x y = k∆y
Teorema de muestreo est´andar de Shannon-Whittaker.
∆x =
ξ
N
∆y =
ζ
N
Seg´un lo anterior obtenemos la siguiente expresi´on:
fα(k) = Cαe
iπk2ζ2 cot α
N2
n=N/2−1
n=N/2
f (n)e
iπn2ξ2 cot α
N2 e
−2iπnkζξ
N2 sin α (9)
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18. Algoritmos fracF.m y fracft.m
fα(y) = Cα
∞
∞
f (x)eiπ(y2 cot α+x2 cot α−2xy csc α)
dx (10)
x2
csc α − x2
csc α + y2
csc α − y2
csc α = 0
y la ecuaci´on 10 queda de la siguiente manera:
fα(y) = Cα
∞
∞
f (x)eiπ(y2(cot α−csc α)+x2(cot α−csc α)+(x−y)2 csc α)
dx
(11)
cot α − csc α = tan α/2 se reemplaza en la ecuaci´on 11:
Fα(y) = Cαe−iπ tan(α/2)y2
∞
−∞
eiπ csc α(y−x)2
[e−iπ tan(α/2)x2
f (x)]dx .
(12)
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19. Teorema de muestreo en Dominios fraccionarios
Teorema (Muestreo en Dominios fraccionarios)
Sea f (x) una funci´on tal que su Fα(y) tiene soporte compacto
finito ζ, f (x) puede ser muestreada y reconstruida perfectamente
si las muestras se toman a una tasa ∆x ≤ sin α/ζ.
Figura: ∆x en dominios fraccionarios.1
1
R. Torres, et al. Sampling theorem in fractional Fourier domains. (SPIE)”. P´ag. 1188-1192. A Marano, J. L.
Paz (2004).
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20. Algoritmo Propuesto
ξ
N
=
sin α
ζ
⇒ ξζ = N sin α ξ = ζ =
√
N sin α
y al implementar esto en la ecuaci´on 9,
fα(k) = Cαe
iπk2 cos α
N
n=N/2−1
n=N/2
f (n)e
iπn2 cos α
N e
−2iπnk
N (13)
Intervalo de acci´on del Kernel 0,5 ≤ |a| ≤ 1,5.
fα(k) = Cαe
iπk2 cos α
N F f (n)e
iπn2 cos α
N . (14)
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21. Convoluci´on fraccionaria
La convoluci´on fraccionaria f
α
∗ g de dos funciones f (x) y g(x) se
define de la siguiente manera:
[f
α
∗ g] = F−α[Fα[f ]Fα[g]] (15)
Soluci´on Forma de operadores:
[f ∗α g](x) = F−α[Fα[f ](xα)Fα[g](xα)eiπx2 cot α
](x). (16)
Soluci´on en forma de integral:
[f ∗α g](x) = f (y)g(x − y)e2iπy(x−y) cot α
dy. (17)
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22. Filtro de Wiener fraccionario
f (x) = e(x) + r(x) (18)
Funci´on de filtro:
Gα
(vα) =
Eα
S (vα)
Eα
S (vα) + Rα
R (vα)
e−iπv2
α cot α
(19)
donde Eα
S (vα) es el cuadrado en el dominio de Fourier fraccionario
de la se˜nal sin el ruido y Rα
R (vα) es el cuadrado en el dominio
fraccionario del ruido.
ˆhy (x) = [Fy ∗α g](x) (20)
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23. Filtro de Wiener fraccionario
Figura: Proceso de distorsi´on en el dominio fraccionario de Fourier.
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24. Metodolog´ıa Xtremme Programing
• XP es exitosa.
• Proyectos de corto plazo,
corto equipo y cuyo plazo de
entrega era ayer.
• Buenos valores y pr´acticas
de programaci´on.
• Aumentar la productividad.
Fases
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25. Desarrollo de la aplicaci´on
global fc, fy, dwf, dwF, fc2d, Fy2d;
stacksize();
figure();
uimenu();
exec();
plot(); imread(); imshow();
Figura: Men´u principal de la aplicaci´on
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26. Desarrollo de la aplicaci´on
Funci´on Rect´angulo
fc = [zeros(1, 50), ones(1, 28), zeros(1, 50)];
Figura: Se˜nal Rect´angulo
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27. Desarrollo de la aplicaci´on
Funci´on Triangulo
fc = [zeros(1, 50), linspace(0, 1, 14), linspace(1, 0, 14), zeros(1, 50)];
Figura: Se˜nal Triangulo
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28. Desarrollo de la aplicaci´on
Funci´on Coseno
x = [linspace(− %pi, %pi, 28)];
fc = [zeros(1, 50), cos( %pi ∗ x), zeros(1, 50)];
Figura: Se˜nal Coseno
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29. Desarrollo de la aplicaci´on
Funci´on Seno
x = [linspace(− %pi, %pi, 28)];
fc = [zeros(1, 50), sin( %pi ∗ x), zeros(1, 50)];
Figura: Se˜nal Seno
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30. Desarrollo de la aplicaci´on
Funci´on Chirp
x = [−7 : 0,5 : 6,5];
fc = [zeros(1, 50), exp( %i ∗ (0,2 ∗ %pi ∗ x. ∗ x)/2), zeros(1, 50)];
Figura: Se˜nal Chrirp
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31. Desarrollo de la aplicaci´on
Funci´on Gauss
x = [−7 : 0,5 : 6,5];
fc = [zeros(1, 50), (5 ∗ exp(−(x. ∗ x)/0,5)), zeros(1, 50)]
Figura: Se˜nal Gauss
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32. Desarrollo de la aplicaci´on
Funci´on Chirp*Gauss
x = [−7 : 0,5 : 6,5];
exp( %i ∗ (2 ∗ %pi ∗ x. ∗ x)/0,5). ∗ (2 ∗ exp(−(x. ∗ x)/20))
Figura: Se˜nal Rect´angulo
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33. Demostraci´on y Resultados
Propiedad de escalamiento de la FrFT
f (x/m)
F
−→ |M|F(my).
Figura: Se˜nal escalada y su transformada de Fourier fraccionaria.
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34. Demostraci´on y Resultados
FrFT de una funci´on rect´angulo
Entre a m´as tiende a 0, se obtiene un espectro frecuencial muy
parecido a la funci´on de entrada.
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35. Demostraci´on y Resultados
Distribuci´on de Wigner
Figura: Distribuci´on de Wigner de una se˜nal rect´angulo
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36. Demostraci´on y Resultados
Distribuci´on de Wigner
Figura: Rotaci´on de la DW de la se˜nal rect´angulo por la FrFT
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37. Demostraci´on y Resultados
Im´agenes
Figura: Imagen Tru.jpg de Scilab Image Processing.
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38. Demostraci´on y Resultados
Im´agenes
Figura: FrFT de la imagen Tru.jpg con a = 0,5 en las filas y columnas.
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39. Demostraci´on y Resultados
Im´agenes
Figura: Prpiedad de Aditividad de la transformaci´on.
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40. Demostraci´on y Resultados
Im´agenes
Figura: Imagen onion de Matlab.
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41. Demostraci´on y Resultados
Im´agenes
Figura: FrFT de la imagen onion con a = 0,25 en la filas y a = 0,75 en
las columnas.
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42. Demostraci´on y Resultados
Im´agenes
Figura: imagen onion en su dominio directo, luego de haber estado en el
dominio fraccionario.
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43. Demostraci´on y Resultados
Filtro de Wiener fraccionario
Figura: Filtro creado.
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44. Demostraci´on y Resultados
Filtro de Wiener fraccionario
Figura: Luego del proceso de filtrado por convoluci´on fraccionaria.
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45. Limitaciones e Inconvenientes
♣ I think LATEX is fun
.
♠ stacksize
No. de muestras Dimensi´on fracF FrFT0 DFrFT
128 1 0 0 0.094
256 1 0.16 0.023 0.312
512 1 0.16 0.017 1.052
1024 1 0.18 0.016 4.657
128 2 1.265 1.219 20.937
256 2 2.813 2.828 177.984
512 2 6.672 7.141 1259.312
1024 2 17.515 19.843 6167.481
Tabla: Duraci´on de FrFT a se˜nales 1D y 2D con los algoritmos
implementados
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46. Limitaciones e Inconvenientes
Inconvenientes en las Fases de los algoritmos
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47. Conclusiones
† Investigaci´on en diferentes ´areas.
† An´alisis, estudio y tratamiento de se˜nales no estacionarias son
muchas de las ventajas de la FrFT.
† La convoluci´on fraccionaria y el filtro de Wiener fraccionario, se
implementan de tal forma que minimiza el error al momento de la
separaci´on de dos se˜nales en el dominio de Fourier fraccionario.
† FrFT y Distribuci´on de Wigner.
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48. Preguntas
¿ ? ¿ ? ¿ ?
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49. Gracias por su atenci´on
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