MAterial complementario para el curso de Matemática en el área de Igngenieria industrial

1. INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA PARA
INGENIERÍA
DOCENTE : HEBETH CUEVA VALLADOLID

2. INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA PARA
INGENIERÍA
LÍMITES,DERIVADAS E INTEGRALES

3. Logro de la Sesión
Al finalizar la unidad el estudiante utiliza los conceptos de los
límites ,las derivadas e integrales en la resolución de problemas
aplicados a la ingeniería

4. 2V
V
1 u
ALCANZARÁ
AQUILES A LA
TORTUGA
PARADOJA DE
ZENÓN DE ELEA

5. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
L
x
f
a
x


)
(
lim

6. DEFINICIÓN DE LÍMITE

















L
x
f
a
x
Si
Talque
L
x
f
a
x
)
(
0
0
,
0
)
(
lim

7. DEFINICIÓN DE LÍMITE

8. DEFINICIÓN DE LÍMITE

9. DEFINICIÓN DE LÍMITE

10. TEOREMAS DE LÍMITES
L
x
f
c
x


)
(
lim K
x
g
c
x


)
(
lim
 
 
  n
n
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
L
x
f
K
K
L
x
g
x
f
K
L
x
g
x
f
K
L
x
g
x
f
bL
x
bf



















)
(
lim
0
,
)
(
)
(
lim
.
)
(
).
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
lim

11. TIPOS DE LÍMITES
LIMITES
DETERMINADOS
LIMITES
INDETERMINADOS
LIMITES INFINITOS
LIMITES
TRIGONOMÉTRICOS

12. LIMITES DETERMINADO
Un límite será determinado cuando al calcular el límite se obtiene
un valor en un conjunto numérico.
2
1
lim
1



x
x

13. LIMITES DETERMINADO
1
1
1
lim
3
1
lim
3
3
0
2
1










x
x
x
x
x
x

14. LIMITES INDETERMINADO
Un límite será indeterminado cuando al calcular el límite se
obtiene .



 1
;
;
0
0

15. LIMITES INDETERMINADO
Caso 1. La indeterminación se levanta factorizando
,racionalizando ,usando productos notables,etc
0
0
3
6
lim
1
1
lim
2
3
3
1 






 x
x
x
x
x
x
x

16. LIMITES INDETERMINADO
1
1
lim
3
1 

 x
x
x

17. LIMITES INDETERMINADO
3
6
lim
2
3 



 x
x
x
x

18. LIMITES INDETERMINADO
x
x
x
1
1
lim
0




19. LIMITES INDETERMINADO
4
7
3
lim 2
3





x
x
x

20. LIMITES INDETERMINADO
Caso 2. La indeterminación se levanta usando las
propiedades algebraicas de los números reales












 3
2 8
12
2
1
lim
x
x
x

21. LIMITES INDETERMINADO









 3
2 8
12
2
1
lim
x
x
x

22. LIMITES INDETERMINADO









 x
x
x
x
x
1
1
3
lim
2
0

23. En el límite, cuando h tiende a cero, la recta secante
se confunde con la recta tangente en x0 , y podemos
decir que :
h
x
f
h
x
f
Lím
m
h
LT
)
(
)
( 0
0
0




LA DERIVADA

24. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
Regla de la Potencia
1
)
(
)
(
:
k
real,
número
cualquier
Para





 k
k
x
k
x
f
x
x
f
y

25. Derivada de función constante
0



 y
c
y
Derivada de una función por una constante
f
c
y
f
c
y 



 .
.
Derivada de la suma y diferencia de funciones
g
f
y
g
f
y 








26. Derivada de producto de funciones
Derivada de cociente de funciones
g
f
g
f
y
g
f
y 





 .
.
.
Si : 0
, 
 g
g
f
y
Entonces:
2
.
.
g
g
f
g
f
y






27. EJERCICIOS
9
3
)
( 2
4


 x
x
x
F

28. EJERCICIOS
  
8
5
4
1
4
)
( 2
3
2





 x
x
x
x
x
x
F

29. EJERCICIOS
5
2
3
1
3
)
( 2
3
2






x
x
x
x
x
x
F

30. EJERCICIOS
4
3
)
ln(
)
4
(
)
( 


 x
e
x
Ln
x
F

31. EJERCICIOS
 
x
Sen
x
Tan
x
F )
(
)
( 

32. EJERCICIOS
)
5
(
)
( 4
x
Cos
x
F 

33. EJERCICIOS
)
2
(
)
( 4x
e
Ln
x
F 



34. EJERCICIOS
)
2
(
)
3
(
)
( 3
x
Cos
x
Tag
x
F 


35. EJERCICIOS
x
Ln
x
Ln
x
F 

 )
6
(
)
( 3

36. EJERCICIOS
x
x
x
F



3
2
)
(

37. EJERCICIOS
7
5
1
)
( 







x
x
x
F

39. La función se le llama anti derivada o primitiva
de .Si para todo elemento que pertenece a I se
cumple que :
Definición de la Integral Indefinida
)
(
)
(
' x
f
x
F 
R
I
F 
:
R
I
f 
:

40. Sea la anti derivada de
Ala anti derivada general se la representa por :
R
I
F 
: R
I
f 
:
 
 C
x
F
dx
x
f )
(
)
(
Definición de la Integral Indefinida

41. Propiedades de la Integral
Indefinida
 
 
  C
x
f
dx
x
f
dx
d
x
f
dx
x
f
d
x
f
dx
x
f
dx
d







)
(
)
(
)
3
)
(
)
(
)
2
)
(
)
(
)
1

42. Fórmulas
C
a
u
a
u
a
a
u
du
C
a
u
a
a
u
du
C
a
a
du
a
C
x
u
du
C
n
u
du
u
u
u
n
n

































ln
2
1
)
5
arctan
1
)
4
)
ln(
)
3
)
ln(
)
2
1
)
1
2
2
2
2
1

43. Ejercicios
  dx
x
x
  3
)
1 2

44. Ejercicios
dx
x
x



3
4
2
)
2
2

45. Ejercicios
dx
e x

2
3
)
3

46. Ejercicios
dx
e
e
x
x


4
2
1
)
4

47. Ejercicios
dx
x
x
x


 4
2
2
)
5
3

48. Cambio de variable
dx
e
e
x
x
  4
)
6 3
3

49. Cambio de variable
dx
x
x
  4
3
3
)
7

50. Cambio de variable
dx
x
x
 1
)
8 2

51. Cambio de variable
dx
x
x
  3
2
1
)
9

52. Conclusiones
1.El límite de una función es la aproximación que presenta dicha función cuando nos
acercamos a un valor determinado de la preimagen por derecha o por izquierda.
2.La interpretación geométrica que se le dá a la derivada es que ésta representa a la pendiente
de la recta tangente.
3.Una integral es la antiderivada general de una función.