El documento presenta 4 ejercicios relacionados con el análisis de señales y la representación de funciones mediante series de funciones ortogonales. El ejercicio 1 pide demostrar un teorema sobre la energía de señales. El ejercicio 2 implica representar una función rectangular usando polinomios de Legendre. El ejercicio 3 verifica la ortogonalidad de polinomios de Legendre y representa una señal con ellos. El ejercicio 4 trata sobre funciones Walsh, su ortogonalidad y aproximación de una señal con ellas

1. Ejercicio 1
Sea una funci´n g(t) dada como:
o
∞
g(t) = ci ϕi (t)
i=1
Demostrar el teorema de Parseval para se˜ales de energ´
n ıa:
∞
Eg = c 2 Eϕi
i
i=1
Jorge A. Rodr´
ıguez Ejercicios Para el Segundo Parcial

2. Ejercicio 2
Hacer la representaci´n de la funci´n rectangular de la figura mediante poli-
o o
nomios de Legendre por los primeros dos t´rminos diferentes de cero. Encontrar
e
el error cuadr´tico medio de la aproximaci´n cuando solo se tiene (a) el primer
a o
t´rmino y (b) el primero y el segundo t´rmino. ¿Que se puede concluir de la
e e
comparaci´n entre esta aproximaci´n y la que se obtiene mediante t´rminos
o o e
sinusoidales?
Nota:
4 1 1
f (t) = sen(t) + sen(3t) + sen(5t) + ...
π 3 5
Se puede definir los polinomios de Legendre por medio de la f´rmula de Ro-
o
dr´
ıguez:
1 dn 2 n
Pn (t) = n n
t −1 ; n = 0, 1, 2, ...
2 n! dt
Jorge A. Rodr´
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3. f (t)
1
π 2π
t
−1
Figura: Se˜al rectangular para el ejercicio 2
n
Jorge A. Rodr´
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4. Ejercicio 3
Un grupo de polinomios de Legendre Pn (t), (n = 0, 1, 2, ...) forman un espacio
completo de funciones ortogonales en el intervalo (−1, 1).
(a) Verifique la ortogonalidad para los tres primeros t´rmino del espacio
e
funcional de Legendre.
(b) Represente la se˜al f (t) = − |t| en el intervalo (−1, 1) usando el conjunto
n
de funciones verificado en el numeral anterior (a).
(c) Calcular el error de la representaci´n de la se˜al.
o n
Jorge A. Rodr´
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5. Ejercicio 4
Las funciones Walsh forman un conjunto ortogonal completo, son muy utilizadas
en representaciones digitales y en ingenier´ el´ctrica fue usada para encontrar
ıa e
transposiciones de cables que pudieran disminuir el efecto de diafon´ La sigu-
ıa.
iente imagen muestra un conjunto de estas funciones.
(a) Verificar su ortogonalidad
(b) Son ortogonales?
(c) Encuentre una aproximaci´n de la se˜al f (t) = 2t en el intervalo (0, 1) con
o n
este conjunto de se˜ales
n
(d) Encuentre el error cuadr´tico de esta aproximaci´n.
a o
Jorge A. Rodr´
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6. 1
1
1
1
1/2
−1
1
1
1/4 1/2 3/4
−1
Figura: Conjunto de se˜ales Walsh
n
Jorge A. Rodr´
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