guía de ejercicios maría reyes

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Maracay
Estudiante:
María Reyes 21207446
Optimización de Sistemas y Funciones

2. 1. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura (concavidad y convexidad) de
las siguientes funciones:
a) y=
𝑥
𝑥2−1
Hallamos y’
Y’=
( 𝑥2−1)( 𝑥)′−(𝑥)( 𝑥2−1)
′
( 𝑥2−1)
2
Y’=
( 𝑥2−1)−(𝑥)(2𝑥)
( 𝑥2−1)
2
Y’=
𝑥2−1−2𝑥2
( 𝑥2−1)
2
Y’=
− 𝑥2−1
( 𝑥2−1)
2
Igualamos la ecuación a cero para obtener las raíces
− 𝑥2 − 1
( 𝑥2 − 1)
2 = 0
− 𝑥2 − 1 = 0 ∗ ( 𝑥2 − 1)
2
− 𝑥2 − 1 = 0
(-1)- 𝑥2
= 1
√ 𝑥2 = √1
𝑥 = ±1
Hallamos y’’
Y’’=
(−𝑥2−1)
′
( 𝑥4−2𝑥2+1)−[(− 𝑥2−1)( 𝑥4−2𝑥2+1)
′
]
( 𝑥4−2𝑥2+1)
2
Y’’=
−2𝑥( 𝑥4−2𝑥2+1)−[(−𝑥2−1)(4𝑥3
−4𝑥)]
( 𝑥4−2𝑥2+1)
2
Y’’=
−2𝑥5+4𝑥3−2𝑥−(−4𝑥5+4𝑥3−4𝑥3+4𝑥)
( 𝑥4−2𝑥2+1)
2

3. Y’’= =
−2𝑥5+4𝑥3−2𝑥+4𝑥5−4𝑥3+4𝑥3−4𝑥)
( 𝑥4−2𝑥2+1)
2
Y’’=
2𝑥5+4𝑥3−6𝑥
( 𝑥4−2𝑥2+1)
2
Puntos de inflexión
Igualamos y’’ a cero
2𝑥5 + 4𝑥3 − 6𝑥
( 𝑥4 − 2𝑥2 + 1)
2 = 0
2𝑥5
+ 4𝑥3
− 6𝑥 = 0 ∗ ( 𝑥4
− 2𝑥2
+ 1)2
2𝑥( 𝑥4 + 2𝑥2 − 3) = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 1 𝑥 = −1 𝑥 = √3 PUNTO DE INFLEXION
Hallamos y’’’ para verificar que se cumpla la condición de los puntos de inflexión y’’’≠ 0
Y’’’=
−6𝑥12−12𝑥10+102𝑥8−168𝑥6+102𝑥4−12𝑥2−6
( 𝑥4−2𝑥2+1)
4
Esto quiere decir que si es un punto de inflexión ya que y’’’ nos da distinto de 0
Grafica de Concavidad y convexidad
−√𝟑 -1 0 1 √𝟑
Segundo ejercicio
b) y=
3𝑥
𝑥2+1
Hallamos y’
Y’=
(3𝑥)′( 𝑥2+1)−(3𝑥)( 𝑥2+1)
′
( 𝑥2−1)
2
Y’=
3( 𝑥2−1)−(3𝑥)(2𝑥)
( 𝑥2−1)
2

4. Y’=
3 𝑥2+3−6𝑥2
( 𝑥2−1)
2
Y’=
−3 𝑥2+3
( 𝑥2−1)
2
Hallamos y’’
Y’’=
(−3 𝑥2+3)
′
( 𝑥4+2𝑥2+1)−[(−3 𝑥2+3)( 𝑥4+2𝑥2+1)
′
]
( 𝑥4+2𝑥2+1)
2
Y’’=
−6𝑥( 𝑥4+2𝑥2+1)−[(−3 𝑥2+3)(4𝑥3
+4𝑥)]
( 𝑥4+2𝑥2+1)
2
Y’’=
−6𝑥5−12𝑥3−6𝑥+12𝑥5+12𝑥3−12𝑥3−12𝑥
( 𝑥4+2𝑥2+1)
2
Y’’=
6𝑥5−12𝑥3−18𝑥
( 𝑥4+2𝑥2+1)
2
Puntos de inflexión
Igualamos y’’ a cero
6𝑥5 − 12𝑥3 − 18𝑥
( 𝑥4 + 2𝑥2 + 1)
2 = 0
6𝑥5
− 12𝑥3
− 18𝑥 = 0 ∗ ( 𝑥4
+ 2𝑥2
+ 1)2
6𝑥5
− 12𝑥3
− 18𝑥 = 0
6𝑥( 𝑥4 − 2𝑥2 − 3) = 0
6𝑥( 𝑥2 − 3)(𝑥2 + 1) = 0
𝑥 = 0 𝑥2
= 3 𝑥2
= −1 (−1)
𝑥 = ±√3 𝑥 = √1
𝑥 = ±1
PUNTOS DE INFLEXION

5. Hallamos y’’’ para verificar que se cumpla la condición de los puntos de inflexión y’’’≠ 0
Y’’’=
30(𝑥4+2𝑥2+1)
2
𝑥4−36(𝑥4+2𝑥2+1)
2
𝑥2−18(𝑥4+2𝑥2+1)
2
−48𝑥12−48𝑥10+288𝑥8+672𝑥6+528𝑥4+144𝑥2
(𝑥4−2𝑥2+1)4
Esto quiere decir que si es un punto de inflexión ya que y’’’ nos da distinto de 0
Grafica de Concavidad y convexidad
2. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura (concavidad y convexidad) de
las siguientes funciones:
Primer ejercicio
a) y=𝑥3
− 9𝑥2
+ 27𝑥 − 26
Hallamos y’
Y’=3𝑥3
− 18𝑥 + 27
Igualamos la ecuación a cero para obtener las raíces
3𝑥3
− 18𝑥 + 27 = 0
3(𝑥2
− 6𝑥 + 9) = 0
3(𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = 0
𝑥 = 3

6. Hallamos y’’
Y’’=6𝑥 − 18
Puntos de inflexión
Igualamos y’’ a cero
6𝑥 − 18 = 0
6𝑥 = 18
𝑥 =
18
6
𝑥 = 3 PUNTO DE INFLEXION
Hallamos y’’’ para verificar que se cumpla la condición de los puntos de inflexión y’’’≠ 0
Y’’’=6 esto quiere decir que si es un punto de inflexión ya que y’’’ nos da distinto de 0
Grafica de Concavidad y convexidad
Segundo ejercicio
b) y=−𝑥3
+ 3𝑥2
− 2

7. Hallamos y’
Y’=−3𝑥2
+ 6𝑥
Igualamos la ecuación a cero para obtener las raíces
−3𝑥2
+ 6𝑥 = 0
−3𝑥(𝑥 − 2) = 0
3𝑥 = 0 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 2
Hallamos y’’
Y’’=−6𝑥 + 6
Puntos de inflexión
Igualamos y’’ a cero
−6𝑥 + 6 = 0
𝑥 =
−6
−6
𝑥 = 1 PUNTO DE INFLEXION
Hallamos y’’’ para verificar que se cumpla la condición de los puntos de inflexión y’’’≠ 0
Y’’’=-6 esto quiere decir que si es un punto de inflexión ya que y’’’ nos da distinto de 0
Grafica de Concavidad y convexidad

8. 3. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determina la monotonía (intervalos de
crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:
Primer ejercicio
a) Y=
𝑥4+1
𝑥2
Hallamos y’
Y’=
(𝑥4+1)′(𝑥2)−(𝑥4+1)(𝑥2)′
(𝑥2)2
Y’=
4𝑥3(𝑥2)−(𝑥4+1)2𝑥
𝑥4
Y’=
2𝑥5−2𝑥
𝑥4
Y’=
𝑥(2𝑥4−2)
𝑥4
Y’=
2𝑥4−2
𝑥3
Igualamos la ecuación a cero para obtener las raíces
2𝑥4
− 2
𝑥4
= 0
2𝑥4
− 2 = 0
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)( 𝑥2
+ 1) = 0
𝑥 = 1 𝑥 = −1 𝑥2
= −1 (−1)
√𝑥2 = √1
𝑥 = ±1
Hallamos y’’ para obtener los máximos y mínimos relativos
Y’’=
8𝑥3(𝑥3)−(2𝑥4−2)3𝑥2
𝑥6
Y’’=
8𝑥6−6𝑥6+6𝑥2
𝑥6
Y’’=
2𝑥6+6𝑥2
𝑥6
Y’’=
𝑥2(2𝑥4+6)
𝑥6

9. Y’’=
2𝑥4+6
𝑥4
Hallamos el valor minimo o maximo relativo sustituyendo la raiz en y’’
Y’’(1)=
2(1)4+6
(1)4
= 8
Y’’(-1)=
2(−1)4+6
(−1)4
= 8 es un valor minimo relativo ya que y’’>0
La funcion no presenta maximo relativo ya que al evaluar la 2da derivada no se cumple la
condicion correspoindiente y’’<0.
Imagen del minimo
Y(-1)=
(−1)4+1
(−1)2 = 2 (-1,2)
Crecimiento y Decrecimiento
(−∞, −1) (−1,1) (1, +∞)
Y(-2)=
(−2)4+1
(−2)2
= 4,25
Y(0)=
(0)4+1
(0)2
= 0
Y(2)=
(2)4+1
(2)2
= 4.25
Decrece= (−∞, −1)𝑈 (−1,1)
Crece=(1, +∞)
Segundo ejercicio
b) Y=
𝑥2
𝑥2−9
Hallamos y’
Y’=
(2𝑥)′(𝑥2−9)−𝑥2(𝑥2−9)′
(𝑥2−9)2
Y’=
2𝑥3−18𝑥−2𝑥3
(𝑥2−9)2
Y’=
−18𝑥
(𝑥2−9)2

10. Igualamos la ecuación a cero para obtener las raíces
−18𝑥
(𝑥2−9)2=0
−18𝑥 = 0
𝑥 = 0 Raíz
Hallamos y’’ para obtener los máximos y mínimos relativos
Y’’=
−18𝑥
(𝑥2−9)2
Y’’=
(18𝑥)′(𝑥4−18𝑥2+81)−[(−18𝑥)(𝑥4−18𝑥2+81)′]
(𝑥2−9)4
Y’’=
−18𝑥4+324𝑥2−1458−(−72𝑥4+648𝑥2)
(𝑥2−9)4
Y’’=
−18𝑥4+324𝑥2−1458+72𝑥4−648𝑥2
(𝑥2−9)4
Y’’=
54𝑥4−324𝑥2−1458
(𝑥2−9)4
Hallamos el valor minimo o maximo relativo sustituyendo la raiz en y’’
Y’’(0)=
54(0)4−324(0)2−1458
(02−9)4
= −0.2 es un valor maximo relativo ya que y’’<0
Imagen del maximo
Y(0)=
02
02−9
= 0 (0,0)
Crecimiento y Decrecimiento
Tercer ejercicio
c) Y=√𝑥2 + 4
Hallamos y’
Y’=
2𝑥
2√𝑥2+4
Y’=
𝑥
√𝑥2+4

11. Igualamos la ecuación a cero para obtener las raíces
𝑥
√𝑥2 + 4
= 0
𝑥 = 0 ∗ √ 𝑥2 + 4
𝑥 = 0
Hallamos y’’ para obtener los máximos y mínimos relativos
Y’’=
(𝑥)′(√𝑥2+4)−(𝑥)(√𝑥2+4)
′
(√𝑥2+4)2
Y’’=
√𝑥2+4−(
𝑥2
√ 𝑥2+4
)
𝑥2+4
Y’’=
(√ 𝑥2+4)2−𝑥2
√ 𝑥2+4
𝑥2+4
Y’’=
𝑥2+4−𝑥2
√ 𝑥2+4
𝑥2+4
Y’’=
4
√ 𝑥2+4
𝑥2+4
Y’’=
4
(√ 𝑥2+4)(𝑥2+4)
Hallamos el valor minimo o maximo relativo sustituyendo la raiz en y’’
Y’’=
4
(√02
+4)(02
+4)
= 0.5 es un valor minimo relativo ya que y’’>0
La funcion no presenta maximo relativo ya que al evaluar la 2da derivada no se cumple la
condicion correspoindiente y’’<0.
Imagen del minimo
Y(0)=√02 + 4 = 2 (0,2)
Crecimiento y Decrecimiento

12. 4. Determine los puntos críticos (fronteras, estacionarios y singulares) para las
siguientes funciones:
a) f(x)=3𝑥4
− 4𝑥3
− 12𝑥2
+ 17 en [-2,3]
Punto frontera 𝑥0 = −2 𝑥0 = 3
f’(x)= 12𝑥3
− 12𝑥2
+ 24𝑥
Igualamos nuestra primera derivada a 0 para obtener nuestros puntos estacionarios
12𝑥3
− 12𝑥2
+ 24𝑥 = 0
12𝑥(𝑥2
− 𝑥 − 2) = 0
12𝑥 = 0 (𝑥2
− 𝑥 − 2) = 0
𝑥0 = 0 (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
𝑥0 = −1 𝑥0 = 2
Sustituimos los valores obtenidos en f’(x) para verificar que de 0 y cumpla con las condiciones de
los puntos estacionarios
f’(0) = 12(0)3
− 12(0)2
− 24(0) = 0
f’(−1) = 12(−1)3
− 12(−1)2
− 24(−1) = 0
f’(2) = 12(2)3
− 12(2)2
− 24(2) = 0
Puntos singulares: no existen porque la derivada está definida.
Sustituimos todos los puntos 𝑥0 en f(x) para obtener el valor mínimo y valor máximo
f(−2) = 3(−2)4
− 4(−2)3
− 12(−2)2
+ 17 = 49
f(3) = 3(3)4
− 4(3)3
− 12(3)2
+ 17 = 44
f(0) = 3(0)4
− 4(0)3
− 12(0)2
+ 17 = 17
f(−1) = 3(−1)4
− 4(−1)3
− 12(−1)2
+ 17 = 12
f(2) = 3(2)4
− 4(2)3
− 12(2)2
+ 17 = −15
En 𝑥0 = −2 valor máximo
𝑥0 = 2 valor mínimo

13. b) f(x)=
𝑥5
5
−
4
3
𝑥3
en [-3,3]
Punto frontera 𝑥0 = −3 𝑥0 = 3
f’(x)=
5𝑥4
5
−
12
3
𝑥2
f’(x)= 𝑥4
−4𝑥2
Igualamos nuestra primera derivada a 0 para obtener nuestros puntos estacionarios
𝑥4
−4𝑥2
= 0
𝑥2(𝑥2
− 4) = 0
𝑥2
= 0 𝑥2
− 4 = 0
𝑥0 = 0 𝑥0 = 2
𝑥0 = −2
Sustituimos los valores obtenidos en f’(x) para verificar que de 0 y cumpla con las condiciones de
los puntos estacionarios
f’(0)= (0)4
− 4(0)2
= 0
f’(2)= (2)4
− 4(2)2
= 0
f’(-2)= (−2)4
− 4(−2)2
= 0
Puntos singulares: no existen porque la derivada está definida.
Sustituimos todos los puntos 𝑥0 en f(x) para obtener el valor mínimo y valor máximo
f(-3)=
(−3)5
5
−
4
3
(−3)3
= −12,6
f(3)=
(3)5
5
−
4
3
(3)3
= 12,6
f(0)=
(0)5
5
−
4
3
(0)3
= 0
f(2)=
(2)5
5
−
4
3
(2)3
= −4,26
f(-2)=
(−2)5
5
−
4
3
(−2)3
= 4,26

14. En 𝑥0 = 3 valor máximo
𝑥0 = −3 valor mínimo
c) f(x)=
1
3
𝑥3
− 4𝑥 + 2 en [-5.3]
Punto frontera 𝑥0 = −5 𝑥0 = 3
f’(x)=
3
3
𝑥2
− 4
f’(x)= 𝑥2
− 4
Igualamos nuestra primera derivada a 0 para obtener nuestros puntos estacionarios
𝑥2
− 4 = 0
𝑥0 = 2
𝑥0 = −2
Sustituimos los valores obtenidos en f’(x) para verificar que de 0 y cumpla con las condiciones de
los puntos estacionarios
f’(2)= (2)2
− 4
f’(-2)= (−2)2
− 4
Puntos singulares: no existen porque la derivada está definida.
Sustituimos todos los puntos 𝑥0 en f(x) para obtener el valor mínimo y valor máximo
f(−5) =
1
3
(−5)3
− 4(−5) + 2 = 19,6
f(3) =
1
3
(3)3
− 4(3) + 2 = −1
f(2) =
1
3
(2)3
− 4(2) + 2 = −3,33
f(−2) =
1
3
(−2)3
− 4(−2) + 2 = 7,33

15. En 𝑥0 = −2 valor máximo
𝑥0 = −5 valor mínimo