2. INDICE
INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
3. U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
DEFINICION Y TERMINOLOGIA
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
SOLUCIONES EXPLICITAS Y PARTICULAR
PROBLEMAS
4. U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
1.1 DEFINICION Y TERMINOLOGIA
Es una ecuación que relacione variables dependientes, sus derivadas y variables
independientes.
CLASIFICACION
- EC diferenciales ordinarias (EDO): presentan una sola variable dependiente e
independiente. y´´-y´=1
- EC diferenciales parciales (EDP): presentan dos variables dependientes o
independientes.
𝜕2 𝑥
𝜕𝑦2 −
𝜕2 𝑧
𝜕𝑡2 = 1 + 𝑡 − 𝑦
ORDEN
El orden de una ecuación diferencial va ha estar dado por la mayor derivada posible.
5. U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
ORDEN
El orden de una ecuación diferencial va ha estar dado por la mayor derivada posible.
𝑦´ = −
𝑦
𝑥
(PRIMER ORDEN)
𝑦´´ − 𝑦 = 1 (SEGUNDO ORDEN)
LINEALIDAD
Una EDO es lineal si tiene la forma:
𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 + 𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
6. U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
1.2 SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
Una función y=x es una solución de una EDO de orden ¨n¨ en un intervalo ¨I¨, ssi sus
¨n¨ derivadas existen en un intervalo I, y al reemplazarlas en la EDO se obtiene su
identidad.
1.3 SOLUCIONES EXPLICITAS Y PARTICULAR
Orden ¨n¨ => solución: G(x,y,c1,c2,…,cn)=0 => familia de la solución n-paramétrica.
Orden ¨1¨ => solución: G(x,y,C)=0 => familia de solución uniparametricas.
Cuando existe condiciones iniciales en el problema podemos obtener una solución
particular.
8. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLE SEPARABLE
FACTOR DE INTEGRACION PARA EDO´S LINEALES DE ORDEN 1
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
SUSTITUCIONES Y TRANSFORMACIONES
9. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLE SEPARABLE
Dada la ED
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 . Si 𝑓 𝑥, 𝑦 se puede separar en 2 factores g(x) y f(x), entonces
se habla de una ED de unidades separables.
SOLUCION EDO´S DE VARIABLE SEPARABLE
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 𝑥ℎ 𝑦 𝑃 𝑦 =
1
ℎ(𝑌)
1
ℎ(𝑌)
=𝑔 𝑥 dx
𝑃 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
P(y)=G(x) +C//
11. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
2.2 FACTOR DE INTEGRACION PARA EDO´S LINEALES DE ORDEN 1
𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) ( EDO lineal orden 1), si le dividimos para 𝑎1 𝑥 , tenemos
𝑦´ +
𝑎0 𝑥 𝑦
𝑎1 𝑥
=
𝑔(𝑥)
𝑎1 𝑥
p(x)=
𝑎0 𝑥
𝑎1 𝑥
f(x)=
𝑔(𝑥)
𝑎1 𝑥
, reemplazamos y obtenemos la
forma estándar:
𝑦´ + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Factor intengrante :
𝑢 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑢 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
12. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
PROCEDIMIENTO
1)Escribir la ED en su forma estándar
𝑦´ + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
2)Encontrar el factor integrante
𝑢 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
3)Escribir
𝑢. 𝑦 = 𝑢. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
4)Resolver la integral y despejar y
13. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
EJERCICIO:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 0 𝑃 x = 3; f x = 0 ; 𝑢 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒−3𝑥
𝑒−3𝑥. 𝑦 = 𝑒−3𝑥. 0 𝑑𝑥
𝑒−3𝑥
. 𝑦 = 0 𝑑𝑥
𝑒−3𝑥
. 𝑦 = 𝐶
𝑦 = 𝐶. 𝑒3𝑥(sol. General)
14. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 =>𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
FORMA NORMAL=>FORMA DIFERENCIAL
Una ED 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0, es exacta si una función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0, tal que
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝑀(𝑥, 𝑦) y
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦).
Una ED exacta cumple que:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
15. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
PROCEDIMIENTO
1)Verificar si 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 es exacta:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
2) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥)
3)
𝜕
𝜕𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔´(𝑥)
4)Despejar 𝑔(𝑥)
5)Reemplazar en 2
26. U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN
ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
ORDINARIAS
FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. EL WRONSKIANO.
REDUCCIÓN DE ORDEN PARA ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
27. U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN
3.1 ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN ORDINARIAS
Una ecuación diferencial lineal de segundo orden para una función 𝑥 = 𝑥(𝑡)es
una ecuación de la forma.
𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑡 𝑥´ + 𝑏 𝑡 𝑥 = 𝑓(𝑡)
donde a(t), b(t) y f(t) son funciones dadas, definidas en un intervalo J. Cuando f(t) es la
función nula se dice que (1) es una ecuación lineal homogénea.
28. U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
3.2 FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. EL WRONSKIANO.
Se dice que las funciones y1,y2,….,yn son lienalmente independientes si la única
solución de la ecuación:
𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 + 𝐶3 𝑦3+. . +𝐶 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + 𝐶 𝑛 𝑦 𝑛 = 0
Donde: 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶3 =. . 𝐶 𝑛 = 0
En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son
linealmente dependientes.
29. U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
EL WRONSKIANO
Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski,
especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano
se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de
funciones y sus derivadas.
𝑊(𝑦1, 𝑦2,.., 𝑦 𝑛) =
𝑦1 𝑦2 𝑦 𝑛
𝑦´1 𝑦´2 𝑦´ 𝑛
𝑦 𝑛−1
1 𝑦 𝑛−1
2 𝑦 𝑛−1
𝑛
𝑊 = 0 (dependencia lineal)
𝑊 ≠ 0 (linealmente independiente)
30. U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
3.3 REDUCCIÓN DE ORDEN PARA ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Dada: 1)𝑎2 𝑥 𝑦´´ + 𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 = 0 1/𝑎2 𝑥 entonces.
𝑦´´ + 𝑃 𝑥 𝑦´ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 0 (forma estándar)
Si y1 es solución particular de 1.
Entonces se puede definir otra solución particular LINEALMENDE INDEPENDIENTE y2,
como:
𝑦2 = 𝑦1
𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2 𝑑𝑥 entonces
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 (sol. General)
32. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR
DEFINICIÓN DE ECUACIONES LINEALES DE N-ÉSIMO ORDEN
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES.
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
33. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR
4.1 DEFINICIÓN DE ECUACIONES LINEALES DE N-ÉSIMO ORDEN
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 +….+𝑎2 𝑥 𝑦´´ + 𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
En donde 𝑓 𝑥 = 0 la ecuación lineal se denomina homogénea pero si 𝑓 𝑥 ≠ 0 la
ecuación se denomina no homogénea.
34. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
4.2 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES.
PROBLEMAS CON VARIABLES INICIALES (n-esimo orden)
Resolver: 𝑎𝑛 𝑥 .
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔 𝑥
Sujeto a: 𝑦 𝑥0 = 𝑦0, 𝑦´ 𝑥0 = 𝑦1, 𝑦 𝑛 𝑥0 = 𝑦 𝑛
EXISTENCIA Y UNIDAD DE UNA PVI (n-esimo orden)
Sean 𝑎 𝑛(𝑥), 𝑎 𝑛−1(𝑥),…., 𝑎1(𝑥), 𝑎0(𝑥) y g(x) funciones continuas en un intervalo I,
entonces existe una única solución y(x) y 𝑎 𝑛(𝑥) ≠ 0 en todo el intervalo.
35. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
EJERCICIO:
Comprobar que 𝒚 = 𝟑𝒆 𝟐𝒙
+ 𝒆−𝟐𝒙
− 𝟑𝒙
es una solución única de:
1)𝒚´ − 𝟒𝒚 = 𝟏𝟐𝒙
2)𝒚 𝟎 = 𝟒 ; 𝒚´ 𝟎 = 𝟏
𝑦 = 3𝑒2𝑥
+ 𝑒−2𝑥
− 3𝑥
𝑦´ = 6𝑒2𝑥
− 2𝑒−2𝑥
− 3
𝑦´´ = 12𝑒2𝑥 + 4𝑒−2𝑥
12𝑒2𝑥
+ 4𝑒−2𝑥
− 4 3𝑒2𝑥
+ 𝑒−2𝑥
− 3𝑥 = 12𝑥
12𝑒2𝑥
+ 4𝑒−2𝑥
− 12𝑒2𝑥
− 4𝑒−2𝑥
+ 12𝑥 = 12𝑥
12𝑥 = 12𝑥
Es solución en PVI
36. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
4.3 ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES.
4.3.1COEFICIENTES INDETERMINADAS
METODO DE SUPERPOSICION
𝑎 𝑛 𝑦 𝑛
+ 𝑎1 𝑦´ + 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥) debe ser una función:
-polimonial:
𝑔 𝑥 = 𝑘
𝑔 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵
𝑔 𝑥 = 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶
𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎1x + 𝑎0
-Exponencial: 𝐴𝑒 𝛼𝑥
-Seno o Coseno: 𝐴𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥
38. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
METODO DEL ANULADOR
SI L 𝑓 𝑥 = 0, entonces L es el anulador de 𝑓 𝑥
PROCEDIMIENTO
1)Escribir la ED en su forma estándar.
2)Determinar el anulador de g(x)
3)Aplicar el anulador a ambos lados de la EC
4)Resolver la EC obtenida
5)Deducir yp comparando con yc
6)Hallar el coeficiente indeterminado
