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UNIVERSIDAD POLITECNICA
SALESIANA
MATEMATICAS III
INDICE
INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
DEFINICION Y TERMINOLOGIA
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
SOLUCIONES EXPLICITAS Y PARTICULAR
PROBLEMAS
U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
 1.1 DEFINICION Y TERMINOLOGIA
Es una ecuación que relacione variables dependientes, sus derivadas y variables
independientes.
CLASIFICACION
- EC diferenciales ordinarias (EDO): presentan una sola variable dependiente e
independiente. y´´-y´=1
- EC diferenciales parciales (EDP): presentan dos variables dependientes o
independientes.
𝜕2 𝑥
𝜕𝑦2 −
𝜕2 𝑧
𝜕𝑡2 = 1 + 𝑡 − 𝑦
ORDEN
El orden de una ecuación diferencial va ha estar dado por la mayor derivada posible.
U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
ORDEN
El orden de una ecuación diferencial va ha estar dado por la mayor derivada posible.
𝑦´ = −
𝑦
𝑥
(PRIMER ORDEN)
𝑦´´ − 𝑦 = 1 (SEGUNDO ORDEN)
LINEALIDAD
Una EDO es lineal si tiene la forma:
𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 + 𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
1.2 SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
Una función y=x es una solución de una EDO de orden ¨n¨ en un intervalo ¨I¨, ssi sus
¨n¨ derivadas existen en un intervalo I, y al reemplazarlas en la EDO se obtiene su
identidad.
1.3 SOLUCIONES EXPLICITAS Y PARTICULAR
Orden ¨n¨ => solución: G(x,y,c1,c2,…,cn)=0 => familia de la solución n-paramétrica.
Orden ¨1¨ => solución: G(x,y,C)=0 => familia de solución uniparametricas.
Cuando existe condiciones iniciales en el problema podemos obtener una solución
particular.
U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
1.4 PROBLEMAS
𝑦´ + 2𝑥𝑦2
= 0 𝑦 =
1
𝑥2+𝐶
(sol. General)
𝑦´ =-2𝑥𝑦2
𝑦 =
1
𝑥2+1
(sol. Particular)
𝑦(0)= -1
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLE SEPARABLE
FACTOR DE INTEGRACION PARA EDO´S LINEALES DE ORDEN 1
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
SUSTITUCIONES Y TRANSFORMACIONES
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLE SEPARABLE
Dada la ED
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 . Si 𝑓 𝑥, 𝑦 se puede separar en 2 factores g(x) y f(x), entonces
se habla de una ED de unidades separables.
SOLUCION EDO´S DE VARIABLE SEPARABLE
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 𝑥ℎ 𝑦 𝑃 𝑦 =
1
ℎ(𝑌)
1
ℎ(𝑌)
=𝑔 𝑥 dx
𝑃 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
P(y)=G(x) +C//
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
EJERCICIO:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦
y 4 = 3
𝑦 𝑑𝑦 = −𝑥 𝑑𝑥
𝑦2
2
= −
𝑥2
2
+ 𝐶
𝑦2
= −𝑥2
+ 𝐶
𝑦 = 𝐶 − 𝑥2
−3 = 𝐶 − 42
9=C-16
C=25 entonces 𝑦 = − 25 − 𝑥2 (sol. Particular)
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
2.2 FACTOR DE INTEGRACION PARA EDO´S LINEALES DE ORDEN 1
𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) ( EDO lineal orden 1), si le dividimos para 𝑎1 𝑥 , tenemos
𝑦´ +
𝑎0 𝑥 𝑦
𝑎1 𝑥
=
𝑔(𝑥)
𝑎1 𝑥
p(x)=
𝑎0 𝑥
𝑎1 𝑥
f(x)=
𝑔(𝑥)
𝑎1 𝑥
, reemplazamos y obtenemos la
forma estándar:
𝑦´ + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Factor intengrante :
𝑢 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑢 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
PROCEDIMIENTO
1)Escribir la ED en su forma estándar
𝑦´ + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
2)Encontrar el factor integrante
𝑢 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
3)Escribir
𝑢. 𝑦 = 𝑢. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
4)Resolver la integral y despejar y
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
EJERCICIO:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 0 𝑃 x = 3; f x = 0 ; 𝑢 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒−3𝑥
𝑒−3𝑥. 𝑦 = 𝑒−3𝑥. 0 𝑑𝑥
𝑒−3𝑥
. 𝑦 = 0 𝑑𝑥
𝑒−3𝑥
. 𝑦 = 𝐶
𝑦 = 𝐶. 𝑒3𝑥(sol. General)
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 =>𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
FORMA NORMAL=>FORMA DIFERENCIAL
Una ED 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0, es exacta si una función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0, tal que
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝑀(𝑥, 𝑦) y
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦).
Una ED exacta cumple que:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
PROCEDIMIENTO
1)Verificar si 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 es exacta:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
2) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥)
3)
𝜕
𝜕𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔´(𝑥)
4)Despejar 𝑔(𝑥)
5)Reemplazar en 2
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
EJERCICIO:
2𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 − 2𝑦 𝑑𝑦 = 0
1)
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 1 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
2) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥)
= 𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑔(𝑥)
3)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥 + 𝑔´(𝑥)
4) 𝑔´ 𝑥 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
− 𝑥
𝑔´ 𝑥 = 𝑥 − 2𝑦 − 𝑥
𝑔´ 𝑥 𝑑𝑦 = −2𝑦𝑑𝑦
𝑔 𝑥 = −𝑦2
+ 𝑐
5) ) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑥𝑦 − 𝑦2
𝑥2
+ 𝑥𝑦 − 𝑦2
= 𝐶//
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
2.4 SUSTITUCIONES Y TRANSFORMACIONES
2.4.1 ECUACIONES HOMOGENEAS
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺
𝑦
𝑥
F. Normal F. Homogénea
𝑧 =
𝑥
𝑦
; 𝑦 = 𝑧. 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
= 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧
𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧 = 𝐺(𝑧)
𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝐺 𝑧 − 𝑧
𝑑𝑧
𝐺 𝑧 − 𝑧
=
𝑑𝑥
𝑥
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
 EJERCICIO:
𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 𝑥2
𝑑𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑦 = 𝑜(F. diferen)
𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥𝑦+𝑦2+𝑥2
𝑥2 (F. normal)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
+ (
𝑦
𝑥
)2
+1(Ec. Homogénea)
𝑧 =
𝑥
𝑦
;
𝑑𝑦
𝑑𝑧
= 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧
𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧 = 𝑧 + 𝑧2
+ 1
𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑧2 + 1
𝑑𝑧
𝑧2 + 1
=
𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑧
𝑧2 + 1
=
𝑑𝑥
𝑥
𝑎𝑟𝑐 tan 𝑧 = ln 𝑥 + 𝐶
𝑦
𝑥
= tan (ln 𝑥 + 𝐶)
𝑦 = 𝑥 tan (ln 𝑥 + 𝐶)
Sol. general
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
 2.4.2 ECUACIONES DE LA FORMA
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺(𝑎𝑥 + 𝑏𝑥)
𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 ;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑎 + 𝑏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
−
𝑎
𝑏
1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
−
𝑎
𝑏
= 𝐺 𝑧
1
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝐺 𝑧 +
𝑎
𝑏
𝑑𝑧
𝐺 𝑧 +
𝑎
𝑏
= bdx
Variables
separables
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
 EJERCICIO:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑥 + 𝑦 + 2)2
𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑧
𝑑𝑥
− 1
𝑑𝑧
𝑑𝑥
− 1 = (𝑧 + 2)2
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= (𝑧 + 2)2
+1
𝑑𝑧
(𝑧 + 2)2+1
= 𝑑𝑥
u=z+2
du=dz
𝑑𝑢
𝑢2 + 1
= 𝑑𝑥
𝑎𝑟𝑐 tan 𝑢 = 𝑥 + 𝐶
𝑢 = tan 𝑥 + 𝐶
𝑧 + 2 = tan 𝑥 + 𝐶
𝑥 + 𝑦 + 2 = tan 𝑥 + 𝐶
𝑦 = tan 𝑥 + 𝐶 − 𝑥 − 2//
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
 2.4.3 ECUACION DE BERNOULLI
1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 = 𝑄 𝑥 𝑦
1 x 𝑐
2)𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦−𝑛 = 𝑄 𝑥
3)𝑣 = 𝑦−𝑛
;
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (1 − 𝑛) 𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
4) 𝑦−𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
(1−𝑛)
𝑑𝑣
𝑑𝑥
3 y 4 en 2
1
(1 − 𝑛)
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ P x v = Q(x)
Ec. No lineal
Ec. lineal
Ec. lineal
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
 EJERCICIO:
1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦 = −
5
2
𝑦3
1 x 𝑦−3
2) 𝑦−3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦−2
= −
5
2
3) 𝑣 = 𝑦1−3
= 𝑦−2
;
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (2) 𝑦−3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
4) 𝑦−3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
(2)
𝑑𝑣
𝑑𝑥
3 y 4 en 2
(-
1
(2)
𝑑𝑣
𝑑𝑥
− 5𝑣 = −
5
2
) x 2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 10𝑣 = 5
𝑃 x = 10; f x = 5 ; 𝑢 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒10𝑥
𝑒10𝑥
. 𝑣 = 𝑒10𝑥
. 5 𝑑𝑥
𝑒10𝑥
. 𝑣 = 5 𝑒10𝑥
𝑑𝑥
𝑒10𝑥
. 𝑣 =
1
2
𝑒10𝑥
+ 𝐶
𝑣 =
1
2
𝑒10𝑥
+ 𝐶/𝑒10𝑥
𝑦 = (
1
2
+ 𝐶𝑒−10𝑥
)−
1
2
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
 2.4.4 ECUACION DE RICCATI
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 𝑦 + 𝑅 𝑥 𝑦2
si se tiene un a solución particular:
𝑦 = 𝑦1 + 𝑢
𝑦´ = 𝑦1´ + 𝑢´
𝑦1´ + 𝑢´ = 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 (𝑦1 + 𝑢) + 𝑅 𝑥 (𝑦1 + 𝑢)2
𝑢´ = 𝑦1´ − 𝑦 + (𝑄 𝑥 + 2𝑅 𝑥 𝑦1)𝑢 + 𝑅(𝑥)𝑢2
𝑢´ − (𝑄 𝑥 + 2𝑅 𝑥 𝑦1)𝑢 = 𝑅(𝑥)𝑢2
Ecuación de
Bernoulli
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
 EJERCICIO: parte 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
4
𝑥2 −
𝑦
𝑥
+ 𝑦2
𝑦1 =
2
𝑥
𝑦1 =
2
𝑥
+ 𝑢
𝑦1´ = −
2
𝑥2 + 𝑢´
−
2
𝑥2
+ 𝑢´ = −
4
𝑥2
−
2
𝑥
+ 𝑢
𝑥
+ (
2
𝑥
+ 𝑢 )2
𝑢´ = −
4
𝑥2 −
2
𝑥2 −
𝑢
𝑥
+
4
𝑥2 +
4𝑢
𝑥
+ 𝑢2
+
2
𝑥2
𝑢´ =
3𝑢
𝑥
+ 𝑢2
1)𝑢´ −
3𝑢
𝑥
= 𝑢2
(Ec. Bernoulli)
𝑣 = 𝑢1−2
= 𝑢−1
𝑣´ = −𝑢−2. 𝑢´ ⇒ 𝑢−2. 𝑢´ = −𝑣´
1 x 𝑢−2
𝑢−2
. 𝑢´ −
3𝑢−1
𝑥
= 1
−𝑣´ −
3𝑣
𝑥
= 1
𝑣´ −
3𝑣
𝑥
= −1
U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
 EJERCICIO: parte 2
𝑣´ −
3𝑣
𝑥
= −1 𝑃 x =
3
𝑥
; f x = −1 ; 𝑢 = 𝑒
3
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑥3
𝑥3
. 𝑣 = 𝑥3
. −1 𝑑𝑥
𝑥3
. 𝑣 = −
𝑥4
4
+ C
𝑣 = −
𝑥
4
+ C𝑥3
𝑢−1
= −
𝑥
4
+ C𝑥3
𝑢 = (−
𝑥
4
+ C𝑥3
)−1
𝑦 −
2
𝑥
= (−
𝑥
4
+ C𝑥3
)−1
𝑦 −
2
𝑥
= (
4𝐶 − 𝑥4
4𝑥3
)−1
𝑦 =
4𝑥3
4𝐶 − 𝑥4
+
2
𝑥
U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN
ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
ORDINARIAS
FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. EL WRONSKIANO.
REDUCCIÓN DE ORDEN PARA ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN
 3.1 ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN ORDINARIAS
Una ecuación diferencial lineal de segundo orden para una función 𝑥 = 𝑥(𝑡)es
una ecuación de la forma.
𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑡 𝑥´ + 𝑏 𝑡 𝑥 = 𝑓(𝑡)
donde a(t), b(t) y f(t) son funciones dadas, definidas en un intervalo J. Cuando f(t) es la
función nula se dice que (1) es una ecuación lineal homogénea.
U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
 3.2 FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. EL WRONSKIANO.
Se dice que las funciones y1,y2,….,yn son lienalmente independientes si la única
solución de la ecuación:
𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 + 𝐶3 𝑦3+. . +𝐶 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + 𝐶 𝑛 𝑦 𝑛 = 0
Donde: 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶3 =. . 𝐶 𝑛 = 0
En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son
linealmente dependientes.
U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
 EL WRONSKIANO
Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski,
especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano
se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de
funciones y sus derivadas.
𝑊(𝑦1, 𝑦2,.., 𝑦 𝑛) =
𝑦1 𝑦2 𝑦 𝑛
𝑦´1 𝑦´2 𝑦´ 𝑛
𝑦 𝑛−1
1 𝑦 𝑛−1
2 𝑦 𝑛−1
𝑛
𝑊 = 0 (dependencia lineal)
𝑊 ≠ 0 (linealmente independiente)
U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
 3.3 REDUCCIÓN DE ORDEN PARA ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Dada: 1)𝑎2 𝑥 𝑦´´ + 𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 = 0 1/𝑎2 𝑥 entonces.
𝑦´´ + 𝑃 𝑥 𝑦´ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 0 (forma estándar)
Si y1 es solución particular de 1.
Entonces se puede definir otra solución particular LINEALMENDE INDEPENDIENTE y2,
como:
𝑦2 = 𝑦1
𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2 𝑑𝑥 entonces
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 (sol. General)
U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
 EJERCICIO:
1)𝑥2
𝑦´´ − 3𝑥𝑦´ + 4𝑦 = 0
Donde: 𝑦1 = 𝑥2 es una sol. Particular
𝑦1 = 𝑥2
𝑦1´ = 2𝑥
𝑦1´´ = 2
1/𝑥2entonces:
𝑦´´ −
3
𝑥
𝑦´ +
4
𝑥2 𝑦 = 0
𝑦2 = 𝑦1
𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2 𝑑𝑥
𝑦2 = 𝑥2 𝑒
−
3
𝑥
𝑑𝑥
(𝑥2)2 𝑑𝑥
𝑦2 = 𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑑𝑥
𝑦2 = 𝑥2 ln 𝑥
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑥2 + 𝐶2 𝑥2 ln 𝑥
Solución general
U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR
DEFINICIÓN DE ECUACIONES LINEALES DE N-ÉSIMO ORDEN
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES.
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR
 4.1 DEFINICIÓN DE ECUACIONES LINEALES DE N-ÉSIMO ORDEN
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 +….+𝑎2 𝑥 𝑦´´ + 𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
En donde 𝑓 𝑥 = 0 la ecuación lineal se denomina homogénea pero si 𝑓 𝑥 ≠ 0 la
ecuación se denomina no homogénea.
U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
 4.2 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES.
PROBLEMAS CON VARIABLES INICIALES (n-esimo orden)
Resolver: 𝑎𝑛 𝑥 .
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔 𝑥
Sujeto a: 𝑦 𝑥0 = 𝑦0, 𝑦´ 𝑥0 = 𝑦1, 𝑦 𝑛 𝑥0 = 𝑦 𝑛
EXISTENCIA Y UNIDAD DE UNA PVI (n-esimo orden)
Sean 𝑎 𝑛(𝑥), 𝑎 𝑛−1(𝑥),…., 𝑎1(𝑥), 𝑎0(𝑥) y g(x) funciones continuas en un intervalo I,
entonces existe una única solución y(x) y 𝑎 𝑛(𝑥) ≠ 0 en todo el intervalo.
U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
 EJERCICIO:
Comprobar que 𝒚 = 𝟑𝒆 𝟐𝒙
+ 𝒆−𝟐𝒙
− 𝟑𝒙
es una solución única de:
1)𝒚´ − 𝟒𝒚 = 𝟏𝟐𝒙
2)𝒚 𝟎 = 𝟒 ; 𝒚´ 𝟎 = 𝟏
𝑦 = 3𝑒2𝑥
+ 𝑒−2𝑥
− 3𝑥
𝑦´ = 6𝑒2𝑥
− 2𝑒−2𝑥
− 3
𝑦´´ = 12𝑒2𝑥 + 4𝑒−2𝑥
12𝑒2𝑥
+ 4𝑒−2𝑥
− 4 3𝑒2𝑥
+ 𝑒−2𝑥
− 3𝑥 = 12𝑥
12𝑒2𝑥
+ 4𝑒−2𝑥
− 12𝑒2𝑥
− 4𝑒−2𝑥
+ 12𝑥 = 12𝑥
12𝑥 = 12𝑥
Es solución en PVI
U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
 4.3 ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES.
4.3.1COEFICIENTES INDETERMINADAS
METODO DE SUPERPOSICION
𝑎 𝑛 𝑦 𝑛
+ 𝑎1 𝑦´ + 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥) debe ser una función:
-polimonial:
𝑔 𝑥 = 𝑘
𝑔 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵
𝑔 𝑥 = 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶
𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎1x + 𝑎0
-Exponencial: 𝐴𝑒 𝛼𝑥
-Seno o Coseno: 𝐴𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥
U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
 EJERCICIO:
𝑦´´ − 5𝑦´ + 4𝑦 = 8𝑒 𝑥
1)𝑚2 − 5𝑚 + 4 = 0
𝑚 − 4 m − 1 = 0
𝑚1 = 4
𝑚2 = 1
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑒4𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑥
3) 𝑦 𝑔 = 𝐶1 𝑒4𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑥
−
8
3
𝑥𝑒 𝑥
2) 𝑦𝑝 = (𝐴𝑒 𝑥
)𝑥
𝑦´ = 𝐴𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥𝑒 𝑥
𝑦´´ = 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐴𝑥𝑒 𝑥
𝑦´´ = 2 𝐴𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥𝑒 𝑥
2 𝐴𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥𝑒 𝑥
− 5 𝐴𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥𝑒 𝑥
+ 4 𝐴𝑥𝑒 𝑥
= 8𝑒 𝑥
2𝐴𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥𝑒 𝑥
− 5𝐴𝑒 𝑥
− 5𝐴𝑥𝑒 𝑥
+ 4𝐴𝑥𝑒 𝑥
= 8𝑒 𝑥
2𝐴 − 5𝐴 𝑒 𝑥
+ 𝐴 − 5𝐴 + 4 𝑥𝑒 𝑥
= 8𝑒 𝑥
−3𝐴𝑒 𝑥 = 8𝑒 𝑥
𝐴 = −
8
3
𝑦𝑝 = −
8
3
𝑥𝑒 𝑥
U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
METODO DEL ANULADOR
SI L 𝑓 𝑥 = 0, entonces L es el anulador de 𝑓 𝑥
PROCEDIMIENTO
1)Escribir la ED en su forma estándar.
2)Determinar el anulador de g(x)
3)Aplicar el anulador a ambos lados de la EC
4)Resolver la EC obtenida
5)Deducir yp comparando con yc
6)Hallar el coeficiente indeterminado
U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
4.3.2 VARACION DE PARAMETROS
𝑦´´ + 𝑃 𝑥 𝑦´ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 ⇒ 𝐶1 𝑦𝐶2 pasan a ser funciones 𝑢1 𝑦𝑢2
𝑤(𝑦1, 𝑦2) ≠ 0
𝑤(𝑦1, 𝑦2) =
𝑦1 𝑦2
𝑦´1 𝑦´2
𝑢´1 = −
𝑦2 𝑓 𝑥
𝑤
𝑢´2 =
𝑦1 𝑓 𝑥
𝑤
U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
 PROCEDIMIENTO:
1)Pasar a 𝑦´´ + 𝑃 𝑥 𝑦´ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥
2) 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 ⇒ 𝐶1 𝑦𝐶2
3) 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2
4) 𝑢´1 = −
𝑦2 𝑓 𝑥
𝑤
𝑢´2 =
𝑦1 𝑓 𝑥
𝑤
U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE
ORDEN SUPERIOR
 EJERCICIOS:
4𝑦´´ + 36𝑦 = 𝑐𝑠𝑐3𝑥
𝑦´´ + 9𝑦 =
𝑐𝑠𝑐3𝑥
4
𝑚2
+ 9 = 0
𝑚2 = −9
𝑚 = −9
𝑚 = ±3𝑖
𝛼 = 0
𝛽 = 3
𝑦𝑐 = 𝐶1cos3x + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑦𝑝 = 𝑢1cos3x + 𝑢2 𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑦1 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑤 =
𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥
−3𝑠𝑒𝑛3𝑥 3𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑤 = 3𝑐𝑜𝑠23𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛23𝑥
𝑤 = 3
𝑢´1 = −
𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑐𝑠𝑐3𝑥
4
3
𝑢1 = −
𝑥
12
𝑢´2 =
𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑐𝑠𝑐3𝑥
4
3
𝑢2 =
1
36
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  • 2. INDICE INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
  • 3. U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICION Y TERMINOLOGIA SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL SOLUCIONES EXPLICITAS Y PARTICULAR PROBLEMAS
  • 4. U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES  1.1 DEFINICION Y TERMINOLOGIA Es una ecuación que relacione variables dependientes, sus derivadas y variables independientes. CLASIFICACION - EC diferenciales ordinarias (EDO): presentan una sola variable dependiente e independiente. y´´-y´=1 - EC diferenciales parciales (EDP): presentan dos variables dependientes o independientes. 𝜕2 𝑥 𝜕𝑦2 − 𝜕2 𝑧 𝜕𝑡2 = 1 + 𝑡 − 𝑦 ORDEN El orden de una ecuación diferencial va ha estar dado por la mayor derivada posible.
  • 5. U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDEN El orden de una ecuación diferencial va ha estar dado por la mayor derivada posible. 𝑦´ = − 𝑦 𝑥 (PRIMER ORDEN) 𝑦´´ − 𝑦 = 1 (SEGUNDO ORDEN) LINEALIDAD Una EDO es lineal si tiene la forma: 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 + 𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
  • 6. U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.2 SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL Una función y=x es una solución de una EDO de orden ¨n¨ en un intervalo ¨I¨, ssi sus ¨n¨ derivadas existen en un intervalo I, y al reemplazarlas en la EDO se obtiene su identidad. 1.3 SOLUCIONES EXPLICITAS Y PARTICULAR Orden ¨n¨ => solución: G(x,y,c1,c2,…,cn)=0 => familia de la solución n-paramétrica. Orden ¨1¨ => solución: G(x,y,C)=0 => familia de solución uniparametricas. Cuando existe condiciones iniciales en el problema podemos obtener una solución particular.
  • 7. U1:INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.4 PROBLEMAS 𝑦´ + 2𝑥𝑦2 = 0 𝑦 = 1 𝑥2+𝐶 (sol. General) 𝑦´ =-2𝑥𝑦2 𝑦 = 1 𝑥2+1 (sol. Particular) 𝑦(0)= -1
  • 8. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLE SEPARABLE FACTOR DE INTEGRACION PARA EDO´S LINEALES DE ORDEN 1 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS SUSTITUCIONES Y TRANSFORMACIONES
  • 9. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLE SEPARABLE Dada la ED 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 . Si 𝑓 𝑥, 𝑦 se puede separar en 2 factores g(x) y f(x), entonces se habla de una ED de unidades separables. SOLUCION EDO´S DE VARIABLE SEPARABLE 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑥ℎ 𝑦 𝑃 𝑦 = 1 ℎ(𝑌) 1 ℎ(𝑌) =𝑔 𝑥 dx 𝑃 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 P(y)=G(x) +C//
  • 10. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJERCICIO: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑥 𝑦 y 4 = 3 𝑦 𝑑𝑦 = −𝑥 𝑑𝑥 𝑦2 2 = − 𝑥2 2 + 𝐶 𝑦2 = −𝑥2 + 𝐶 𝑦 = 𝐶 − 𝑥2 −3 = 𝐶 − 42 9=C-16 C=25 entonces 𝑦 = − 25 − 𝑥2 (sol. Particular)
  • 11. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2.2 FACTOR DE INTEGRACION PARA EDO´S LINEALES DE ORDEN 1 𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) ( EDO lineal orden 1), si le dividimos para 𝑎1 𝑥 , tenemos 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑎1 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑎1 𝑥 p(x)= 𝑎0 𝑥 𝑎1 𝑥 f(x)= 𝑔(𝑥) 𝑎1 𝑥 , reemplazamos y obtenemos la forma estándar: 𝑦´ + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Factor intengrante : 𝑢 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑢 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
  • 12. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN PROCEDIMIENTO 1)Escribir la ED en su forma estándar 𝑦´ + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 2)Encontrar el factor integrante 𝑢 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 3)Escribir 𝑢. 𝑦 = 𝑢. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 4)Resolver la integral y despejar y
  • 13. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJERCICIO: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 3𝑦 = 0 𝑃 x = 3; f x = 0 ; 𝑢 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−3𝑥 𝑒−3𝑥. 𝑦 = 𝑒−3𝑥. 0 𝑑𝑥 𝑒−3𝑥 . 𝑦 = 0 𝑑𝑥 𝑒−3𝑥 . 𝑦 = 𝐶 𝑦 = 𝐶. 𝑒3𝑥(sol. General)
  • 14. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 =>𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 FORMA NORMAL=>FORMA DIFERENCIAL Una ED 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0, es exacta si una función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0, tal que 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦). Una ED exacta cumple que: 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥
  • 15. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN PROCEDIMIENTO 1)Verificar si 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 es exacta: 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 2) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥) 3) 𝜕 𝜕𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔´(𝑥) 4)Despejar 𝑔(𝑥) 5)Reemplazar en 2
  • 16. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJERCICIO: 2𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 − 2𝑦 𝑑𝑦 = 0 1) 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 1 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 2) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑔(𝑥) 3) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥 + 𝑔´(𝑥) 4) 𝑔´ 𝑥 = 𝜕𝑓 𝜕𝑦 − 𝑥 𝑔´ 𝑥 = 𝑥 − 2𝑦 − 𝑥 𝑔´ 𝑥 𝑑𝑦 = −2𝑦𝑑𝑦 𝑔 𝑥 = −𝑦2 + 𝑐 5) ) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 𝑦2 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 𝑦2 = 𝐶//
  • 17. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2.4 SUSTITUCIONES Y TRANSFORMACIONES 2.4.1 ECUACIONES HOMOGENEAS 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑦 𝑥 F. Normal F. Homogénea 𝑧 = 𝑥 𝑦 ; 𝑦 = 𝑧. 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 = 𝐺(𝑧) 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑧 − 𝑧 𝑑𝑧 𝐺 𝑧 − 𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥
  • 18. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN  EJERCICIO: 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑦 = 𝑜(F. diferen) 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦+𝑦2+𝑥2 𝑥2 (F. normal) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑥 + ( 𝑦 𝑥 )2 +1(Ec. Homogénea) 𝑧 = 𝑥 𝑦 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 = 𝑧 + 𝑧2 + 1 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑧2 + 1 𝑑𝑧 𝑧2 + 1 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑧 𝑧2 + 1 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑧 = ln 𝑥 + 𝐶 𝑦 𝑥 = tan (ln 𝑥 + 𝐶) 𝑦 = 𝑥 tan (ln 𝑥 + 𝐶) Sol. general
  • 19. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN  2.4.2 ECUACIONES DE LA FORMA 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐺(𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 ; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑎 + 𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑏 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 𝑎 𝑏 1 𝑏 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 𝑎 𝑏 = 𝐺 𝑧 1 𝑏 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑧 + 𝑎 𝑏 𝑑𝑧 𝐺 𝑧 + 𝑎 𝑏 = bdx Variables separables
  • 20. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN  EJERCICIO: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (𝑥 + 𝑦 + 2)2 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =⇒ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 1 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 1 = (𝑧 + 2)2 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = (𝑧 + 2)2 +1 𝑑𝑧 (𝑧 + 2)2+1 = 𝑑𝑥 u=z+2 du=dz 𝑑𝑢 𝑢2 + 1 = 𝑑𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑢 = 𝑥 + 𝐶 𝑢 = tan 𝑥 + 𝐶 𝑧 + 2 = tan 𝑥 + 𝐶 𝑥 + 𝑦 + 2 = tan 𝑥 + 𝐶 𝑦 = tan 𝑥 + 𝐶 − 𝑥 − 2//
  • 21. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN  2.4.3 ECUACION DE BERNOULLI 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 = 𝑄 𝑥 𝑦 1 x 𝑐 2)𝑦−𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦−𝑛 = 𝑄 𝑥 3)𝑣 = 𝑦−𝑛 ; 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = (1 − 𝑛) 𝑦−𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4) 𝑦−𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 (1−𝑛) 𝑑𝑣 𝑑𝑥 3 y 4 en 2 1 (1 − 𝑛) 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + P x v = Q(x) Ec. No lineal Ec. lineal Ec. lineal
  • 22. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN  EJERCICIO: 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 5𝑦 = − 5 2 𝑦3 1 x 𝑦−3 2) 𝑦−3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 5𝑦−2 = − 5 2 3) 𝑣 = 𝑦1−3 = 𝑦−2 ; 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = (2) 𝑦−3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4) 𝑦−3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 1 (2) 𝑑𝑣 𝑑𝑥 3 y 4 en 2 (- 1 (2) 𝑑𝑣 𝑑𝑥 − 5𝑣 = − 5 2 ) x 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 10𝑣 = 5 𝑃 x = 10; f x = 5 ; 𝑢 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒10𝑥 𝑒10𝑥 . 𝑣 = 𝑒10𝑥 . 5 𝑑𝑥 𝑒10𝑥 . 𝑣 = 5 𝑒10𝑥 𝑑𝑥 𝑒10𝑥 . 𝑣 = 1 2 𝑒10𝑥 + 𝐶 𝑣 = 1 2 𝑒10𝑥 + 𝐶/𝑒10𝑥 𝑦 = ( 1 2 + 𝐶𝑒−10𝑥 )− 1 2
  • 23. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN  2.4.4 ECUACION DE RICCATI 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 𝑦 + 𝑅 𝑥 𝑦2 si se tiene un a solución particular: 𝑦 = 𝑦1 + 𝑢 𝑦´ = 𝑦1´ + 𝑢´ 𝑦1´ + 𝑢´ = 𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 (𝑦1 + 𝑢) + 𝑅 𝑥 (𝑦1 + 𝑢)2 𝑢´ = 𝑦1´ − 𝑦 + (𝑄 𝑥 + 2𝑅 𝑥 𝑦1)𝑢 + 𝑅(𝑥)𝑢2 𝑢´ − (𝑄 𝑥 + 2𝑅 𝑥 𝑦1)𝑢 = 𝑅(𝑥)𝑢2 Ecuación de Bernoulli
  • 24. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN  EJERCICIO: parte 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 4 𝑥2 − 𝑦 𝑥 + 𝑦2 𝑦1 = 2 𝑥 𝑦1 = 2 𝑥 + 𝑢 𝑦1´ = − 2 𝑥2 + 𝑢´ − 2 𝑥2 + 𝑢´ = − 4 𝑥2 − 2 𝑥 + 𝑢 𝑥 + ( 2 𝑥 + 𝑢 )2 𝑢´ = − 4 𝑥2 − 2 𝑥2 − 𝑢 𝑥 + 4 𝑥2 + 4𝑢 𝑥 + 𝑢2 + 2 𝑥2 𝑢´ = 3𝑢 𝑥 + 𝑢2 1)𝑢´ − 3𝑢 𝑥 = 𝑢2 (Ec. Bernoulli) 𝑣 = 𝑢1−2 = 𝑢−1 𝑣´ = −𝑢−2. 𝑢´ ⇒ 𝑢−2. 𝑢´ = −𝑣´ 1 x 𝑢−2 𝑢−2 . 𝑢´ − 3𝑢−1 𝑥 = 1 −𝑣´ − 3𝑣 𝑥 = 1 𝑣´ − 3𝑣 𝑥 = −1
  • 25. U2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN  EJERCICIO: parte 2 𝑣´ − 3𝑣 𝑥 = −1 𝑃 x = 3 𝑥 ; f x = −1 ; 𝑢 = 𝑒 3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 𝑥3 . 𝑣 = 𝑥3 . −1 𝑑𝑥 𝑥3 . 𝑣 = − 𝑥4 4 + C 𝑣 = − 𝑥 4 + C𝑥3 𝑢−1 = − 𝑥 4 + C𝑥3 𝑢 = (− 𝑥 4 + C𝑥3 )−1 𝑦 − 2 𝑥 = (− 𝑥 4 + C𝑥3 )−1 𝑦 − 2 𝑥 = ( 4𝐶 − 𝑥4 4𝑥3 )−1 𝑦 = 4𝑥3 4𝐶 − 𝑥4 + 2 𝑥
  • 26. U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN ORDINARIAS FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. EL WRONSKIANO. REDUCCIÓN DE ORDEN PARA ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
  • 27. U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN  3.1 ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN ORDINARIAS Una ecuación diferencial lineal de segundo orden para una función 𝑥 = 𝑥(𝑡)es una ecuación de la forma. 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑡 𝑥´ + 𝑏 𝑡 𝑥 = 𝑓(𝑡) donde a(t), b(t) y f(t) son funciones dadas, definidas en un intervalo J. Cuando f(t) es la función nula se dice que (1) es una ecuación lineal homogénea.
  • 28. U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN  3.2 FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES. EL WRONSKIANO. Se dice que las funciones y1,y2,….,yn son lienalmente independientes si la única solución de la ecuación: 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 + 𝐶3 𝑦3+. . +𝐶 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + 𝐶 𝑛 𝑦 𝑛 = 0 Donde: 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶3 =. . 𝐶 𝑛 = 0 En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes.
  • 29. U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN  EL WRONSKIANO Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas. 𝑊(𝑦1, 𝑦2,.., 𝑦 𝑛) = 𝑦1 𝑦2 𝑦 𝑛 𝑦´1 𝑦´2 𝑦´ 𝑛 𝑦 𝑛−1 1 𝑦 𝑛−1 2 𝑦 𝑛−1 𝑛 𝑊 = 0 (dependencia lineal) 𝑊 ≠ 0 (linealmente independiente)
  • 30. U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN  3.3 REDUCCIÓN DE ORDEN PARA ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Dada: 1)𝑎2 𝑥 𝑦´´ + 𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 = 0 1/𝑎2 𝑥 entonces. 𝑦´´ + 𝑃 𝑥 𝑦´ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 0 (forma estándar) Si y1 es solución particular de 1. Entonces se puede definir otra solución particular LINEALMENDE INDEPENDIENTE y2, como: 𝑦2 = 𝑦1 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑦1 2 𝑑𝑥 entonces 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 (sol. General)
  • 31. U3:ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN  EJERCICIO: 1)𝑥2 𝑦´´ − 3𝑥𝑦´ + 4𝑦 = 0 Donde: 𝑦1 = 𝑥2 es una sol. Particular 𝑦1 = 𝑥2 𝑦1´ = 2𝑥 𝑦1´´ = 2 1/𝑥2entonces: 𝑦´´ − 3 𝑥 𝑦´ + 4 𝑥2 𝑦 = 0 𝑦2 = 𝑦1 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑦1 2 𝑑𝑥 𝑦2 = 𝑥2 𝑒 − 3 𝑥 𝑑𝑥 (𝑥2)2 𝑑𝑥 𝑦2 = 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑑𝑥 𝑦2 = 𝑥2 ln 𝑥 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑥2 + 𝐶2 𝑥2 ln 𝑥 Solución general
  • 32. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR DEFINICIÓN DE ECUACIONES LINEALES DE N-ÉSIMO ORDEN ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
  • 33. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR  4.1 DEFINICIÓN DE ECUACIONES LINEALES DE N-ÉSIMO ORDEN Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma: 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 +….+𝑎2 𝑥 𝑦´´ + 𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) En donde 𝑓 𝑥 = 0 la ecuación lineal se denomina homogénea pero si 𝑓 𝑥 ≠ 0 la ecuación se denomina no homogénea.
  • 34. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR  4.2 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES. PROBLEMAS CON VARIABLES INICIALES (n-esimo orden) Resolver: 𝑎𝑛 𝑥 . 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔 𝑥 Sujeto a: 𝑦 𝑥0 = 𝑦0, 𝑦´ 𝑥0 = 𝑦1, 𝑦 𝑛 𝑥0 = 𝑦 𝑛 EXISTENCIA Y UNIDAD DE UNA PVI (n-esimo orden) Sean 𝑎 𝑛(𝑥), 𝑎 𝑛−1(𝑥),…., 𝑎1(𝑥), 𝑎0(𝑥) y g(x) funciones continuas en un intervalo I, entonces existe una única solución y(x) y 𝑎 𝑛(𝑥) ≠ 0 en todo el intervalo.
  • 35. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR  EJERCICIO: Comprobar que 𝒚 = 𝟑𝒆 𝟐𝒙 + 𝒆−𝟐𝒙 − 𝟑𝒙 es una solución única de: 1)𝒚´ − 𝟒𝒚 = 𝟏𝟐𝒙 2)𝒚 𝟎 = 𝟒 ; 𝒚´ 𝟎 = 𝟏 𝑦 = 3𝑒2𝑥 + 𝑒−2𝑥 − 3𝑥 𝑦´ = 6𝑒2𝑥 − 2𝑒−2𝑥 − 3 𝑦´´ = 12𝑒2𝑥 + 4𝑒−2𝑥 12𝑒2𝑥 + 4𝑒−2𝑥 − 4 3𝑒2𝑥 + 𝑒−2𝑥 − 3𝑥 = 12𝑥 12𝑒2𝑥 + 4𝑒−2𝑥 − 12𝑒2𝑥 − 4𝑒−2𝑥 + 12𝑥 = 12𝑥 12𝑥 = 12𝑥 Es solución en PVI
  • 36. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR  4.3 ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES. 4.3.1COEFICIENTES INDETERMINADAS METODO DE SUPERPOSICION 𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎1 𝑦´ + 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) debe ser una función: -polimonial: 𝑔 𝑥 = 𝑘 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎1x + 𝑎0 -Exponencial: 𝐴𝑒 𝛼𝑥 -Seno o Coseno: 𝐴𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥
  • 37. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR  EJERCICIO: 𝑦´´ − 5𝑦´ + 4𝑦 = 8𝑒 𝑥 1)𝑚2 − 5𝑚 + 4 = 0 𝑚 − 4 m − 1 = 0 𝑚1 = 4 𝑚2 = 1 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑒4𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 3) 𝑦 𝑔 = 𝐶1 𝑒4𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 − 8 3 𝑥𝑒 𝑥 2) 𝑦𝑝 = (𝐴𝑒 𝑥 )𝑥 𝑦´ = 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐴𝑥𝑒 𝑥 𝑦´´ = 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐴𝑥𝑒 𝑥 𝑦´´ = 2 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐴𝑥𝑒 𝑥 2 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐴𝑥𝑒 𝑥 − 5 𝐴𝑒 𝑥 + 𝐴𝑥𝑒 𝑥 + 4 𝐴𝑥𝑒 𝑥 = 8𝑒 𝑥 2𝐴𝑒 𝑥 + 𝐴𝑥𝑒 𝑥 − 5𝐴𝑒 𝑥 − 5𝐴𝑥𝑒 𝑥 + 4𝐴𝑥𝑒 𝑥 = 8𝑒 𝑥 2𝐴 − 5𝐴 𝑒 𝑥 + 𝐴 − 5𝐴 + 4 𝑥𝑒 𝑥 = 8𝑒 𝑥 −3𝐴𝑒 𝑥 = 8𝑒 𝑥 𝐴 = − 8 3 𝑦𝑝 = − 8 3 𝑥𝑒 𝑥
  • 38. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR METODO DEL ANULADOR SI L 𝑓 𝑥 = 0, entonces L es el anulador de 𝑓 𝑥 PROCEDIMIENTO 1)Escribir la ED en su forma estándar. 2)Determinar el anulador de g(x) 3)Aplicar el anulador a ambos lados de la EC 4)Resolver la EC obtenida 5)Deducir yp comparando con yc 6)Hallar el coeficiente indeterminado
  • 39. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4.3.2 VARACION DE PARAMETROS 𝑦´´ + 𝑃 𝑥 𝑦´ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 ⇒ 𝐶1 𝑦𝐶2 pasan a ser funciones 𝑢1 𝑦𝑢2 𝑤(𝑦1, 𝑦2) ≠ 0 𝑤(𝑦1, 𝑦2) = 𝑦1 𝑦2 𝑦´1 𝑦´2 𝑢´1 = − 𝑦2 𝑓 𝑥 𝑤 𝑢´2 = 𝑦1 𝑓 𝑥 𝑤
  • 40. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR  PROCEDIMIENTO: 1)Pasar a 𝑦´´ + 𝑃 𝑥 𝑦´ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 2) 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 ⇒ 𝐶1 𝑦𝐶2 3) 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 4) 𝑢´1 = − 𝑦2 𝑓 𝑥 𝑤 𝑢´2 = 𝑦1 𝑓 𝑥 𝑤
  • 41. U4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR  EJERCICIOS: 4𝑦´´ + 36𝑦 = 𝑐𝑠𝑐3𝑥 𝑦´´ + 9𝑦 = 𝑐𝑠𝑐3𝑥 4 𝑚2 + 9 = 0 𝑚2 = −9 𝑚 = −9 𝑚 = ±3𝑖 𝛼 = 0 𝛽 = 3 𝑦𝑐 = 𝐶1cos3x + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑦𝑝 = 𝑢1cos3x + 𝑢2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑦1 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑤 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 −3𝑠𝑒𝑛3𝑥 3𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑤 = 3𝑐𝑜𝑠23𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛23𝑥 𝑤 = 3 𝑢´1 = − 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑠𝑐3𝑥 4 3 𝑢1 = − 𝑥 12 𝑢´2 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑐𝑠𝑐3𝑥 4 3 𝑢2 = 1 36 ln(𝑠𝑒𝑛3𝑥)