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Hallar los vértices y los focos, además su ecuación ordinaria y gráfica de la
ecuación de la hipérbola: 𝟗𝒙 𝟐
− 𝟒𝒚 𝟐
− 𝟏𝟖𝒙 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟐𝟗 = 𝟎
Solución:
Datos del problema: 9𝑥2
− 4𝑦2
− 18𝑥 − 16𝑦 + 29 = 0
9𝑥2
− 4𝑦2
− 18𝑥 − 16𝑦 + 29 = 0 → (9𝑥2
− 18𝑥) − (4𝑦2
+ 16𝑦) = −29
(9𝑥2
− 18𝑥) − (4𝑦2
+ 16𝑦) = −29 → 9( 𝑥2
− 2𝑥) − 4( 𝑦2
+ 4𝑦) = −29
9( 𝑥2
− 2𝑥 + 1 − 1) − 4( 𝑦2
+ 4𝑦 + 4 − 4) = −29
9( 𝑥 − 1)2 − 9 − 4( 𝑦 + 2)2 + 16 = −29 → 9( 𝑥 − 1)2 − 4( 𝑦 + 2)2 = −29 + 9 − 16
9( 𝑥 − 1)2 − 4( 𝑦 + 2)2 = −36 → 4( 𝑦 + 2)2 − 9( 𝑥 − 1)2 = 36
4( 𝑦 + 2)2
36
−
9( 𝑥 − 1)2
36
=
36
36
→
( 𝑦 + 2)2
9
−
( 𝑥 − 1)2
4
= 1
La ecuación de la hipérbola ordinaria es la siguiente:
( 𝑦+2)2
9
−
( 𝑥−1)2
4
= 1, con centroen
𝐶(1,−2) → ℎ = 1; 𝑘 = −2 ; y es una hipérbola vertical de la forma
( 𝑦−𝑘)2
𝑎2
−
( 𝑥−ℎ)2
𝑏2
= 1.
Dónde: 𝑎2 = 9: 𝑎 = ±3; 𝑏2 = 4: 𝑏 = ±2; el valor “c” se obtiene aplicando la relación
pitagórica para las hipérbolas: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 → 𝑐2 = 9 + 4 → 𝑐2 = 13; 𝑐 = ±√13
Las coordenadas de los vértices real e imaginario son:
𝑉2(ℎ. 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉1 (ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝑉2(1,−5) 𝑦 𝑉1(1,3)
𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵1 (ℎ + 𝑏, 𝑘) → 𝐵2(−1, −2) 𝑦 𝐵1 (3,−2)
Las coordenadas de los focos:
𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2(1,−2 − √13) 𝑦 𝐹1(1,−2 + √13)
Las Asíntotas son: 𝐴:𝑦 = 𝑘 ±
𝑎
𝑏
(𝑥 − ℎ)
𝐴2:𝑦 = 𝑘 −
𝑎
𝑏
(𝑥 − ℎ)
𝐴1: 𝑦 = 𝑘 +
𝑎
𝑏
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Las Directrices son: 𝐷: 𝑦 = 𝑘 ±
𝑎2
𝑐
𝐷1: 𝑦 = 𝑘 +
𝑎2
𝑐
𝐷2: 𝑦 = 𝑘 −
𝑎2
𝑐
La excentricidad es 𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑒 =
√13
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≅ 3,61 > 1
El lado recto 𝐿 𝑅 =
2𝑏2
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𝐿 𝑅 =
2𝑏2
𝑎
→ 𝐿 𝑅 =
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La gráfica de la hipérbola y las asíntotas y directrices son:
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Hipérbola resuelta. problema 7

  • 1. Hallar los vértices y los focos, además su ecuación ordinaria y gráfica de la ecuación de la hipérbola: 𝟗𝒙 𝟐 − 𝟒𝒚 𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟐𝟗 = 𝟎 Solución: Datos del problema: 9𝑥2 − 4𝑦2 − 18𝑥 − 16𝑦 + 29 = 0 9𝑥2 − 4𝑦2 − 18𝑥 − 16𝑦 + 29 = 0 → (9𝑥2 − 18𝑥) − (4𝑦2 + 16𝑦) = −29 (9𝑥2 − 18𝑥) − (4𝑦2 + 16𝑦) = −29 → 9( 𝑥2 − 2𝑥) − 4( 𝑦2 + 4𝑦) = −29 9( 𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1) − 4( 𝑦2 + 4𝑦 + 4 − 4) = −29 9( 𝑥 − 1)2 − 9 − 4( 𝑦 + 2)2 + 16 = −29 → 9( 𝑥 − 1)2 − 4( 𝑦 + 2)2 = −29 + 9 − 16 9( 𝑥 − 1)2 − 4( 𝑦 + 2)2 = −36 → 4( 𝑦 + 2)2 − 9( 𝑥 − 1)2 = 36 4( 𝑦 + 2)2 36 − 9( 𝑥 − 1)2 36 = 36 36 → ( 𝑦 + 2)2 9 − ( 𝑥 − 1)2 4 = 1 La ecuación de la hipérbola ordinaria es la siguiente: ( 𝑦+2)2 9 − ( 𝑥−1)2 4 = 1, con centroen 𝐶(1,−2) → ℎ = 1; 𝑘 = −2 ; y es una hipérbola vertical de la forma ( 𝑦−𝑘)2 𝑎2 − ( 𝑥−ℎ)2 𝑏2 = 1. Dónde: 𝑎2 = 9: 𝑎 = ±3; 𝑏2 = 4: 𝑏 = ±2; el valor “c” se obtiene aplicando la relación pitagórica para las hipérbolas: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 → 𝑐2 = 9 + 4 → 𝑐2 = 13; 𝑐 = ±√13 Las coordenadas de los vértices real e imaginario son: 𝑉2(ℎ. 𝑘 − 𝑎) 𝑦 𝑉1 (ℎ, 𝑘 + 𝑎) → 𝑉2(1,−5) 𝑦 𝑉1(1,3) 𝐵2(ℎ − 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵1 (ℎ + 𝑏, 𝑘) → 𝐵2(−1, −2) 𝑦 𝐵1 (3,−2) Las coordenadas de los focos: 𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐) 𝑦 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝐹2(1,−2 − √13) 𝑦 𝐹1(1,−2 + √13) Las Asíntotas son: 𝐴:𝑦 = 𝑘 ± 𝑎 𝑏 (𝑥 − ℎ) 𝐴2:𝑦 = 𝑘 − 𝑎 𝑏 (𝑥 − ℎ) 𝐴1: 𝑦 = 𝑘 + 𝑎 𝑏 (𝑥 − ℎ) Las Directrices son: 𝐷: 𝑦 = 𝑘 ± 𝑎2 𝑐 𝐷1: 𝑦 = 𝑘 + 𝑎2 𝑐 𝐷2: 𝑦 = 𝑘 − 𝑎2 𝑐
  • 2. La excentricidad es 𝑒 = 𝑐 𝑎 → 𝑒 = √13 3 ≅ 3,61 > 1 El lado recto 𝐿 𝑅 = 2𝑏2 𝑎 𝐿 𝑅 = 2𝑏2 𝑎 → 𝐿 𝑅 = 2·4 3 → 𝐿 𝑅 = 8 3 La gráfica de la hipérbola y las asíntotas y directrices son: