1. •
Q1 Q2
P1
P2
Elipse

2. Se denomina elipse al conjunto de puntos del plano
tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos
llamados focos, es una constante.
Siendo F1 y F2 focos de la elipse
∀ ∈P a la elipse ⇒ + =PF PF a1 2 2
P(x;y)
B1
B2
F2 F1
RA2 A1
-x x
y
-y
• •
O •
•

3. Elementos:
Eje mayor : A A a1 2 2=
Semieje mayor :A O OA a1 2= =
Eje menor : B B b1 2 2=
Semieje menor : B O OB b1 2= =
Vértices : A a A a B b B b1 2 1 20 0 0 0( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; )− −
P(x;y)
B1
B2
F2 F1
RA2 A1
-x x
y
-y
• •
O •
•

4. Eje focal : F F c1 2 2=
Semieje focal : F O OF c1 2= =
Focos : F c F c1 20 0( ; ); ( ; )−
a la elipse y satisface al condición :
F B B F a1 1 1 2 2+ =
F B B F a b c a b a c1 1 1 2
2 2 2 2 2 2
= = ⇒ + = ⇒ = −
B1
a
b
cF1 F2
por relación pitagórica.

5. x
a
y
b
2
2
2
2
1+ =La ecuación
Se puede escribir b x a y a b2 2 2 2 2 2
0+ − =
caso particular de la ecuación general
de 2º grado en x e y.
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ = Ecuación
Canónica

6. Ecuación explícita
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ =
despejamos y ⇒ = ± −y
b
a
a x2 2
y=b
x=ax= -a
y= -b
-x x
-y
y
L1
L2
F1F2

7. despejamos x : ⇒ = ± −x
a
b
b y2 2
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ =
x= -a
-x
y=b
x=a
y= -b
x
-y
y
L1
L2
F1F2

8. Deducimos:
Propiedad 1: La elipse es simétrica
respecto al origen y a los ejes coordenados.
Propiedad 2: La elipse es interior al rectángulo
limitado por las rectas :
x a y b= ± ∧ = ±y=b
x=a
x= -a
y= -b
-x x
-y
y
L1
L2
F1F2

9. Lado recto.: (Lr)
Es el segmento perpendicular al eje coordenado,
que pasando por el foco, une dos puntos de la
elipse.
Lr
b
a
=
2 2
y=b
x=ax= -a
y= -b
-x x
-y
y
L1
L2
F1F2
Excentricidad.
a
c
e =
c a e< ⇒ < 1
; como
Si c = 0 ⇒ e = 0 :
los focos coinciden y la curva es una
circunferencia

10. Posiciones
Dada una elipse mediante su ecuación canónica, el
eje mayor (eje focal) corresponde al eje
coordenado de la variable que tiene mayor
denominador.
eje mayor sobre el eje x :
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ =
-4 -2.64 2.64 4
-3
3
B1
B2
A1
A2
F2 F1
y
x

11. Posiciones
eje mayor sobre el eje y :
x
b
y
a
2
2
2
2
1+ =
y
x
F1
F2
B2
B1
A2 A1

12. Ecuación de la elipse referida a un sistema de
ejes paralelos
y´
x´
P
o´
x´
y´
x
β
α
y
x
o
( )O′ α β;
x
a
y
b
′
+
′
=
2
2
2
2
1
referido al
sistema O´.
x x
y y
′ = −
′ = −



α
β
( ) ( )
⇒
−
+
−
=
x
a
y
b
α β
2
2
2
2
1
eje focal paralelo
al eje x.
( ) ( )⇒
−
+
−
=
y
a
x
b
β α
2
2
2
2
1
eje focal es paralelo
al eje y