Teécnicas de conteo

1. ANÁLISIS COMBINATORIO

2.  Análisis Combinatorio : Es la rama de la
matemática que estudia los diversos arreglos o
selecciones que podemos formar con los
elementos de un conjunto dado, los cuales nos
permite resolver muchos problemas prácticos.
Por ejemplo podemos averiguar cuántos
números diferentes de teléfonos , placas o
loterías se pueden formar utilizando un
conjunto dado de letras y dígitos.
Además el estudio y comprensión del análisis
combinatorio nos va ha servir de andamiaje
para poder resolver y comprender problemas
sobre probabilidades

3.  De cuántas maneras se puede ordenar los
siguientes objetos?

4. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
 En la mayoría de los problemas de
análisis combinatorio se observa que
existen operaciones que se realizan en
forma repetitiva por lo que es necesario
conocer las formas o técnicas cómo se
realiza dicha operación.
 Por ejemplo si analizamos los
siguientes eventos o sucesos:

5.  Señalar las maneras diferentes de vestir
de una persona, utilizando un número
determinado de prendas de vestir
 Ordenar 5 artículos en 7 casilleros
 Contestar 7 preguntas de un examen de
10
 Designar 4 personas de un total 7 para
integrar una comisión
 Sentarse en una fila de 5 asientos 4
personas
 Escribir una palabra de 7 letras utilizando
4 consonantes y 3 vocales

6. Elegir una
comisión de 4
personas de un
total de 7
Elegir un traje
Cuántos números
de placas
diferentes se
utiliza

7.  1. Principio de la
Multiplicación:
 Si un evento o suceso "A" puede ocurrir
, en forma independiente, de "m"
maneras diferentes y otro suceso de "n"
maneras diferentes, entonces el
número de maneras distintas en que
pueden suceder ambos sucesos es "m .
n"

8. EJEMPLOS:
 1.De una ciudad A a otra B hay 2 caminos
diferentes y de la ciudad B a la ciudad C,
de 3 maneras diferentes. ¿ De cuántas
maneras diferentes se puede viajar de A a
C ?

9.  2. ¿Cuántas placas para automóviles
pueden hacerse si cada placa consta
de dos letras diferentes seguidas de
tres dígitos diferentes? (considerar 26
letras del alfabeto)

10. 2. PRINCIPIO DE ADICIÓN
 Supongamos que un evento A se puede realizar
de "m" maneras y otro evento B se puede
realizar de "n" maneras diferentes, además, no
es posible que ambos eventos se realicen
juntos , entonces el evento A o el evento B se
realizarán de ( m + n) maneras.
 Ejemplo 1:
 Un repuesto de automóvil se venden en 6
tiendas en la Victoria o en 8 tiendas de
Breña.¿De cuántas formas se puede adquirir el
repuesto?

11.  Se desea cruzar un río, para ello se
dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1
deslizador. ¿De cuantas formas se
puede cruzar el río utilizando los
medios de transporte señalados?

12. TECNICAS DE CONTEO
PERMUTACIONE
S
COMBINACIONE
S
P. Lineales.
P. Circulares.
P. Con elem.
repetidos
Combinación
Simple

13. PERMUTACIONES
 Es cada uno de los diferentes arreglos que
pueden hacerse con una parte o con todos
los elementos de un conjunto.
 El orden es una característica de
especial importancia en una permutación.
EJEMPLO:
1. ¿De cuántas modos es posible ordenar 5
estudiantes en una carpeta de 5
asientos?
2. ¿De cuántas maneras se puede exhibir 7
juguetes diferentes si el estante sólo
tiene 3 lugares posibles?

14. I. PERMUTACIONES LINEALES
 Es un ordenamiento en fila. El número de
permutaciones que se puede realizar con ‘’n’’
elementos tomándoles de ‘’r’’ en ‘’r’’ es
 EJEMPLO:
 1. Calcular el número de palabras (no
necesariamente pronunciables ) que se
pueden formar con las letras de la palabra
‘’EVA’’

15.  2. Un entrenador de basketball dispone
de 8 jugadores para jugar en cualquier
posición ¿Cuántas diferentes quintas de
basquetball se pueden formarse?

16. II. PERMUTACIONES CON ELEMENTOS
REPETIDOS
 Es un ordenamiento o arreglo de elementos, en
los cuales algunos son de la misma clase.
 Si se disponen de ‘’n’’ elementos en los cuales
hay:
n1 de primera clase
n2 de segunda clase
n3 de tercera clase
nk de una K-ésima
El número de permutaciones en fila que se pueden
hacer con estos elementos se denota asi:

17. III. PERMUTACIONES CIRCULARES
 Es un ordenamiento o arreglo de los
elementos, alrededor de un punto de
referencia(formando una línea cerrada ).
Dado n objetos diferentes estos se pueden
ordenar circularmente y el total de
ordenamiento se calcula así:

18. EJEMPLO:
 ?De cuántas maneras se podrán sentar las
personas A, B y C en una mesa circular de 3
asientos?
 Con 8 perlas de colores distintos ?Cuántas
pulseras distintas se podrán confeccionar?

19. IV. COMBINACIONES
 Son los diferentes grupos o subconjuntos
que se pueden formar con todos o algunos
elementos de un conjunto dado.
Si se dispone de n elementos diferentes y
se les quiere combinar ‘’agrupar’’ de ‘’r’’ en
‘’r’’ el número de combinaciones se calcula:

20. EJEMPLO:
 Al último seminario de aritmética llegaron 16
tardones, de los cuales, el coordinador sólo
puede dejar ingresar a 3 ? De cuántas
maneras los puede escoger el coordinador,
sin importar el orden en que lo haga?.
 ¿Cuántos comités de 6 personas se pueden
formar de un grupo de 9 personas?