Interpolación de Neville

1. 3.3 M´todo de Neville
e
Se desea aproximar f (x∗ ) dada la siguiente tabla de valores para f :
x f (x)
x0 f (x0 )
x1 f (x1 )
.
. .
.
. .
xn f (xn )

2. xii 1. Interpolaci´n y aproximaciones polin´micas
o o
Se genera la tabla de f (x∗ )
x0 P0
x1 P1 P0,1
x2 P2 P1,2 P0,1,2
x3 P3 P2,3 P1,2,3 P0,1,2,3
x4 P4 P3,4 P2,3,4 P1,2,3,4 P0,1,2,3,4
.
. .
. .
. .
. .
. ..
. . . . . .
xn Pn Pn−1,n Pn−2,n−1,n Pn−3,n−2,n−1,n ... P0,1,...,n
Con Pi (x) = f (xi ) una funci´n constante, polinomio de Lagrange de grado
o
0. Esta tabla pude ser calculada usando el Teorema anterior, veamos al-
gunos ejemplos:
(x − x0 )P1 − (x − x1 )P0
P0,1 (x) =
(x1 − x0 )
(x − x1 )P2 − (x − x2 )P1
P1,2 (x) =
(x2 − x1 )
.
.
.
(x − xn−1 )Pn − (x − xn )Pn−1
Pn−1,n (x) =
(xn − xn−1 )
(x − x0 )P1,2 − (x − x2 )P0,1
P0,1,2 (x) =
(x2 − x0 )
(x − x1 )P2,3 − (x − x3 )P1,2
P1,2,3 (x) =
(x3 − x1 )
.
.
.
(x − xn−2 )Pn−1,n − (x − xn )Pn−2,n−1
Pn−2,n−1,n (x) =
(xn − xn−2 )
(x − x0 )P1,2,3 − (x − x3 )P0,1,2
P0,1,2,3 (x) =
(x3 − x0 )
(x − x1 )P2,3,4 − (x − x4 )P1,2,3
P1,2,3,4 (x) =
(x4 − x1 )
.
.
.
Ejemplo 6 Aproxime f (2.5) dada la siguiente tabla

3. 1. Interpolaci´n y aproximaciones polin´micas
o o xiii
x f (x)
x0 2.0 0.5103757
x1 2.2 0.5207843 .
x2 2.4 0.5104147
x3 2.6 0.4813306
x4 2.8 0.4359160
Soluci´n:
o
x0 P0
x1 P1 P0,1
x2 P2 P1,2 P0,1,2 f (2, 5)
x3 P3 P2,3 P1,2,3 P0,1,2,3 ↓
x4 P4 P3,4 P2,3,4 P1,2,3,4 P0,1,2,3,4
La tabla de Neville es
2.0 0.5103757
2.2 0.5207843 0.5363972 ← P0,1
2.4 0.5104147 0.5052299 0.4974380
2.6 0.4813306 0.4958726 0.4982119 0.4980829
2.8 0.4359160 0.5040379 0.4979139 0.4980629 0.49807047
De donde f (2.5) ≈ 0.49807047. Un ejemplo del c´lculo la matriz anterior
a
es:
(x − x0 )P1 − (x − x1 )P0
P0,1 (x) =
(x1 − x0 )
(2.5 − 2.0)0.5207843 − (2.5 − 2.2)0.5103757
=
2.2 − 2.0
= 0.5363972.
Notaci´n 1 Se denota por Qij el polinomio interpolante de Lagrange de
o
grado j que pasa por los j + 1 nodos siguientes:
xi−j , xi−j+1 , . . . , xi−1 , xi
es decir
Qij = Pi−j,i−j+1,...,i−1,i (x).
Ahora usando el m´todo de Neville (Teorema anterior)
e

4. xiv 1. Interpolaci´n y aproximaciones polin´micas
o o
(x − xi )Pi−j,i−j+1,...,i−1 (x) − (x − xi−j )Pi−j+1,...,i−1,i (x)
Qij =
xi−j − xi
(x − xi−j )Pi−j+1,...,i−1,i (x) − (x − xi )Pi−j,i−j+1,...,i−1 (x)
=
xi − xi−j
(x − xi−j )Qi,j−1 − (x − xi )Qi−1,j−1 (x)
= .
xi − xi−j
Pues
Pi−j+1,i−j+2,...,i−1,i = Qi,j−1 dado que (i − (j − 1) = i − j + 1)
Pi−j,i−j+1,...,i−1 = Qi−1,j−1 dado que (i − 1 − (j − 1) = i − j)
Note que:
Qi0 = Pi = f (xi ), ∀ i = 0, 1, . . . , n
Con esta nueva notaci´n, la tabla de Neville se puede escribir como:
o
x0 Q00
x1 Q10 Q11
x2 Q20 Q21 Q22
x3 Q30 Q31 Q32 Q33
.
. .
. .
. .
. .
. ..
. . . . . .
xn Qn0 Qn1 Qn2 Qn3 ... Qnn
Pues por ejemplo:
Q22 = P0,1,2 Qnn = P0,1,...,n
Algoritmo 1 Para calcular la tabla de Neville y aproximar f (x∗ ) ≈ Pn (x∗ ).
Entrada: Los nodos x0 , x1 , . . . , xn . Sus im´genes f (x0 ), f (x1 ), . . . , f (xn )
a
como primera columna de la matriz Q, es decir Q00 , Q10 , Qn0 .
Salida: La tabla o matriz Q, donde f (x∗ ) ≈ Qnn .
Paso1: Para i = 1 hasta n
Para j = 1, 2, . . . , i
(x − xi−j )Qi,j−i − (x − xi )Qi−1,j−1
Qij =
xi − xi−j
Paso2: Salida Qnn parar.
FIN
NOTA: Ver neville.nb el programa en Mathematica.