MÉTODO DE EULER PARA EDO Y DE ORDEN SUPERIOR USANDO SCILAB 5.5

1. Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la
Educación
UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA
FÍSICA TEÓRICA COMPUTACIONAL II
“APLICACIÓN CON EL MÉTODO DE EULER PARA
EDO Y DE ORDEN SUPERIOR USANDO SCILAB 5.5”
MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
ESCUELA PROFESIONAL DE: FÍSICA
𝒅𝒙 𝟏
𝒅𝒕
= 𝟐𝟎 +
𝒙 𝟐
𝟖𝟎
−
𝒙|
𝟐𝟎
𝒙′
= 𝒙 − 𝒙𝒚,
𝒚′
= −𝒚 + 𝒙𝒚
𝒙"( 𝒕) + 𝟐𝟓𝒙( 𝒕) = 𝟖𝒔𝒆𝒏( 𝒕)
15 -04-2015

2. Enunciado del problema 1: Considere, estas dos ecuaciones.
Tasa (g/min) a la que se contamina el tanque A:
𝒅𝒙 𝟏
𝒅𝒕
= 𝟐𝟎 +
𝒙 𝟐
𝟖𝟎
−
𝒙|
𝟐𝟎
Tasa (g/min) a la que se contamina el tanque B:
𝒅𝒙 𝟐
𝒅𝒕
= 𝟑𝟓 +
𝒙 𝟏
𝟒𝟎
−
𝒙 𝟐
𝟒𝟎
Sean x1 y x2 las concentraciones (g) contaminantes en los tanques A y B.
Si inicialmente el lago A tiene x1(0)=50g y el lago B tiene x2(0)=20g con h=0.2 y t
[0,5].
a) Hacer el programa por el método de Euler y graficar el comportamiento de la
variación de la concentración del lago A y B en una misma gráfica.
B) ¿En qué tiempo los lagos A y B presentan la misma concentración de
contaminantes?
c) ¿Cuánto tiempo le tomarán a los lagos A y B en alcanzar un nivel constante de
contaminantes?
SOLUCIÓN:
a)
clc
clear
//modelamiento de la tasa de contaminación
h=0.2;
n=5/h;
x1(1)=50;//gramos en el lago A
x2(1)=20;//gramos en el lago B
t=0:h:5;
for i=1:n;
dx1=20+(x2(i)/80)-(x1(i)/20);
x1(i+1)=x1(i)+h*dx1;
dx2=35+(x1(i)/40)-(x2(i)/40);
x2(i+1)=x2(i)+h*dx2;
end
plot(t,x1,'r*o-')
plot(t,x2,'b*-')
title("variación de la concentración en los lagos A y B",'fontsize',4)
xlabel('tiempo(segundos)','fontsize',4)
ylabel('concentraciones','fontsize',4)
legend("concentración A","Concentración B")

3. b) en 1,69 minutos aproximadamente.

4. c)
clc
clear
//modelamiento de la tasa de contaminación
h=0.2;
n=600/h;
x1(1)=50;//gramos en el lago A
x2(1)=20;//gramos en el lago B
t=0:h:600;
for i=1:n;
dx1=20+(x2(i)/80)-(x1(i)/20);
x1(i+1)=x1(i)+h*dx1;
dx2=35+(x1(i)/40)-(x2(i)/40);
x2(i+1)=x2(i)+h*dx2;
end
plot(t,x1,'r*-')
plot(t,x2,'b*-')
title('nivel constante de concentración en los lagos A y B','fontsize',4)
xlabel('tiempo(segundos)','fontsize',4)
ylabel('concentraciones','fontsize',4)
legend("concentración A","Concentración B")
xgrid

5. Para el lago A aproximadamente 400 minutos, mientras para el lago B 420 minutos
aproximadamente.
Enunciado del problema 2:
Mostrar la forma de la gráfica de:
𝒙′
= 𝒙 − 𝒙𝒚,
𝒚′
= −𝒚 + 𝒙𝒚
Con [0,8] tomando h=0.1, con las siguientes condiciones iniciales, x(0)=2 e y(0)=1.
Construir para cada condición inicial y explicar el comportamiento, mediante el
método de Euler.
SOLUCIÓN:
clc
clear
//ecuacion de euler con condiciones iniciales
h=0.1;
n=8/h;
x(1)=2;
y(1)=1;
t=0:h:8;
for i=1:n;
dx=x(i)-(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*dx;
dy=-y(i)+(x(i)*y(i));
y(i+1)=y(i)+h*dy;
end
scf(1);
clf(1);
plot(t,x,'b*-',t,y,'k*o-')
title('ecuacion de euler con condiciones iniciales','fontsize',5)
xlabel('Tiempo t (segundos)','fontsize',4)
ylabel('Variables x,y','fontsize',4)
legend("variable x","variable y")
xgrid

6. Enunciado del problema 4:
El movimiento de un péndulo viene dado por las dos ecuaciones:
𝒅𝒚 𝟏
𝒅𝒕
= 𝒚 𝟐
𝒅𝒚 𝟐
𝒅𝒕
= −𝟏𝟓𝒔𝒆𝒏(𝒚 𝟏)
Considerando y1 como el desplazamiento angular e y2 la velocidad angular. Use el
método de Euler.
SOLUCIÓN:
clear
clc
//EL MOVIMIENTO DE UN PÉNDULO
h=0.05;
n=2/h;
y(1)=1;
z(1)=0;
t=0:h:2;
for i=1:n;
dz=-15*sin(t(i));
z(i+1)=z(i)+h*dz;
y(i+1)=y(i)+h*z(i);
end
scf(1);

7. clf(1);
plot(t,y,'r*o-')
title('Movimiento de un péndulo','fontsize',5);
xlabel('tiempo(segundos)')
ylabel('desplazamiento angular')
legend("desplazamiento angular")
xgrid
scf(2);
clf(2);
plot(t,z,'k*-')
title('Movimiento de un péndulo','fontsize',5);
xlabel('tiempo(segundos)')
ylabel('velocidad angular')
legend("velocidad angular")
xgrid

8. Enunciado del problema 5:
El modelo más simple de la evolución de la concentración de un fármaco en el
estómago supone que la cantidad de droga que se absorbe por unidad de tiempo
es proporcional a la concentración de la misma. Esto es, si llamamos Ce(t) a la
concentración del fármaco en el estómago y a la concentración de fármaco en la
sangre Cs(t).
El sistema de ecuaciones diferenciales es entonces el siguiente.
𝑪 𝒆
′ ( 𝒕) = 𝑪 𝒆( 𝒕) − 𝒓 𝒂. 𝑪 𝒆( 𝒕)
𝑪 𝒔
′ ( 𝒕) = 𝒓 𝒂. 𝑪 𝒆( 𝒕) − 𝒓 𝒆. 𝑪 𝒔( 𝒕)
Este sistema es lineal,de segundo orden(hay dos variables de estado),
estacionario y autónomo.
Considerando las condiciones iniciales Ce(0)=1, Ce(0)=0, ra=2, re=1
SOLUCIÓN:
clc
clear
//MODELO de evolución de la concentración de un fármaco
h=0.1;
n=20/h;
x(1)=1;//Concentración de fármaco para el estómago
y(1)=1;// Concentración de fármaco para la sangre
ra=2;re=1;
t=0:h:20;

9. for i=1:n;
dx=(x(i))-(ra*x(i));
x(i+1)=x(i)+h*dx;
dy=(ra*x(i))-(re*y(i));
y(i+1)=y(i)+h*dy;
end
plot(t,x,'r*-')
title('evolución de la concentración de un fármaco en el estómago')
xlabel('tiempo(segundos)')
ylabel('concentración en el estómago')
legend("concentraciónen el estómago")
xgrid
clc
clear
//MODELO de evolución de la concentración de un fármaco
h=0.1;
n=20/h;
x(1)=1;//Concentración de fármaco para el estómago
y(1)=1;// Concentración de fármaco para la sangre
ra=2;re=1;
t=0:h:20;

10. for i=1:n;
dx=(x(i))-(ra*x(i));
x(i+1)=x(i)+h*dx;
dy=(ra*x(i))-(re*y(i));
y(i+1)=y(i)+h*dy;
end
plot(t,y,'k*-')
title('evolución de la concentración de un fármaco en la sangre')
xlabel('tiempo(segundos)')
ylabel('concentración en la sangre')
legend("concentración en la sangre")
xgrid
Enunciado del problema 6:
Un cierto sistema resonante de muelles sobre el que se ejerce una fuerza externa
periódica se modela mediante la ecuación.
𝒙"( 𝒕) + 𝟐𝟓𝒙( 𝒕) = 𝟖𝒔𝒆𝒏( 𝒕) , x(0)=0 y x’(0)=0
Use el método de Euler, para resolver la ecuación diferencial en el intervalo de [0,2]
usando h=0.05.

11. SOLUCIÓN:
clc
clear
//FUERZA EXTERNA EN UN SISTEMA RESONANTE
h=0.05;
n=2/h;
y(1)=0;
z(1)=0;
x=0:h:2;
for i=1:n;
z(i+1)=z(i)+h*(8*sin(x(i))-25*y(i));
y(i+1)=y(i)+h*z(i);
end
plot(x,y,'r*-')
title("fuerza externa periódica sobre un muelle",'fontsize',4)
xlabel('Tiempo','fontsize',4)
ylabel('Desplazamiento','fontsize',4)
legend("desplazamiento")
xgrid