Extremos de una funcion, criterios de la primera y segunda derivada, concavidad, máximos y mínimos, trazado de curvas polinomicas

1. Brian Bastidas
Aplicaciones de las Derivadas
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Docente: Brian Bastidas
Aplicaciones de las Derivadas
Temas a trabajar:
• Extremos de una función
• Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función
• Criterios de la primera derivada
• Concavidad de una función
• Criterios de la segunda derivada
• Máximos y mínimos
• Puntos de Inflexión
• Trazado de una curva
En los siguientes temas vamos a analizar y a graficar las funciones polinómicas, a continuación, podemos ver
algunas graficas de polinomios:

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Extremos de una función
Trabajamos anteriormente la función , la cual al graficar obtenemos una parábola, su punto
más importante es el vértice, dado que, a la derecha y a la izquierda de él se comporta como un espejo, podemos
ver en las gráficas anteriores que parecen parábolas pegadas, unas cóncavas hacia arriba y otras hacia abajo. Al
igual que en la parábola, en este caso no vamos a tener un vértice, sino uno o varios extremos también
denominados puntos críticos. Dichos puntos son los más importantes de estas curvas, podemos ver en las gráficas
anteriores los puntos azules el comportamiento de la gráfica es igual a pesar de no tener la misma pendiente
hasta llegar a otro punto crítico, por ejemplo en la grafica 2 , la gráfica decrece hasta llegar al
primer punto crítico J, luego crece hasta llegar al segundo punto crítico I, decrece de nuevo hasta llegar al punto
crítico K, y por ultimo crece hasta el infinito.
Sabiendo esto tendremos la necesidad de ubicar estos puntos críticos para poder graficar la función, para ello
utilizaremos las derivadas, recordemos que la derivada en un punto halla la pendiente de la recta tangente y si
trazamos una recta tangente en los puntos críticos nos dará una recta horizontal paralela al eje x, por lo tanto, su
pendiente debe ser 0 como lo vemos en la siguiente figura
Con esto podremos concluir que para hallar los extremos o puntos críticos de una función debemos hallar la
derivada y luego identificar que valores hacen que la derivada sea cero:
Pasos:
1. Hallar la derivada de la función
2. Igualar la derivada a cero
3. Aplicar casos de factorización o despejar la ecuación si es lineal.

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Ejemplo: Hallar los puntos críticos de la función 2
1. Hallamos la derivada de la función utilizando las reglas de las derivadas
´ 4 4
2. Igualamos la derivada a cero
4 4 0
3. En este caso podremos sacar factor común 4x
4 1 0
Nos queda dentro del paréntesis una diferencia de cuadrados
4 1 1 0
Aquí aplicaremos la propiedad del producto cero (la única forma de que dos o más números multiplicados
de igual a cero es que uno de ellos o todos sea igual a cero), ∙ 0 0 0 0 en
este caso igualamos cada factor a cero
4 0 1 0 1 0
Y despejamos cada ecuación
0 1 1
Llegando a nuestra solución, esos tres valores son los que hacen que la derivada sea igual a cero, por lo
tanto, estos tres valores son puntos críticos.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función
Como lo habíamos dicho antes a la izquierda o derecha de un punto crítico la función va a tener un
comportamiento igual en cuanto a crecimiento o decrecimiento hasta encontrarse con otro punto crítico, esto
nos generara unos intervalos en la función determinados por los puntos críticos (P.C) de la siguiente forma:
∞, . . , . … . , ∞ ! " . ú$% & '(!% )í%
Siguiendo el ejemplo anterior lo primero que vamos a hacer para definir los intervalos de crecimiento es organizar
los puntos críticos de menor a mayor.
. 1 . 0 . 1
Luego si creamos los intervalos:
∞, 1 1,0 0,1 1, ∞
Para saber en qué intervalos la función es creciente o decreciente utilizaremos la derivada, si evaluó un punto del
intervalo en la derivada y da positivo se puede decir que la función es creciente, por el contrario, si da negativo
es decreciente, para nuestro ejemplo escogeremos un punto cualquiera de cada intervalo y lo reemplazamos en
la derivada
´ 4 4

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Del primer intervalo podemos evaluar el -2
´ 2 4 2 4 2 24
Como el resultado es negativo el primer intervalo es decreciente.
Del segundo intervalo podemos evaluar el -0,1
´ 0,1 4 0,1 4 0,1 0,396
Como el resultado es positivo el segundo intervalo es creciente.
Del tercer intervalo podemos evaluar el 0,1
´ 0,1 4 0,1 4 0,1 0,396
Como el resultado es negativo el tercer intervalo es decreciente.
Del cuarto intervalo podemos evaluar el 2
´ 2 4 2 4 2 24
Como el resultado es positivo el cuarto intervalo es creciente.
En resumen
∞, 1 Decreciente
1,0 Creciente
0,1 Decreciente
1, ∞ Creciente
Criterios de la primera derivada
Los puntos críticos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función hallados anteriormente lo hicimos
gracias a los criterios de la primera derivada que nos dice dada la función , podemos decir:
1. Si ´ > 0 para todo en , , entonces es creciente en [ , ]
2. Si ´ < 0 para todo en , , entonces es decreciente en [ , ]
3. Si ´ 0 para todo en , , entonces es constante en [ , ]
En resumen, para calcular los puntos críticos y los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función
debemos:
1. Hallar la derivada e igualarla a cero
2. Aplicar casos de factorización o despejar la ecuación para hallar los puntos críticos
3. Organizar los puntos críticos de menor a mayor
4. Con los puntos críticos creamos los intervalos de la siguiente forma
∞, . . , . … . , ∞ ! " . ú$% & '(!% )í% .
5. Seleccionamos un punto de cada intervalo y lo evaluamos en la derivada para determinar si es creciente
(+) o decreciente (-).

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Concavidad de una función - máximos y mínimos
Para definir la concavidad de una función lo podemos hacer perfectamente con la primera derivada y analizar
con todos los pasos anteriores si el punto crítico es un máximo, es un mínimo es un punto de inflexión.
Debemos entonces analizar los puntos críticos como se comporta al lado izquierdo y al lado derecho:
En este primer caso analizando el punto crítico A los intervalos pasan de ser negativos a positivo utilizando la
primera derivada, la concavidad de la figura es hacia arriba y el punto crítico es un mínimo.
En este segundo caso el punto crítico B pasa de ser positivo a negativo, vemos la concavidad hacia abajo y el
punto crítico es un máximo.

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Podemos ver en estos casos el punto crítico A es positivo al lado izquierdo y positivo al lado derecho y vemos el
punto crítico B es negativo al lado izquierdo y negativo al lado derecho vemos que no son cóncavos hacia arriba
ni cóncavos hacia abajo, a estos puntos se les llama puntos de inflexión o puntos de silla.
En conclusión:
Si ´ < 0 a la izquierda del P.C y ´ > 0 a la derecha, la función es cóncava hacia arriba y el punto
crítico es un mínimo.
Si ´ > 0 a la izquierda del P.C y ´ < 0 a la derecha, la función es cóncava hacia abajo y el punto
crítico es un máximo.
Si ´ > 0 a la izquierda del P.C y ´ > 0 a la derecha, o ´ < 0 a la izquierda del P.C y ´ < 0 a la
derecha, la función no es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo y el punto crítico no es máximo ni
mínimo, sino que, es un punto de inflexión o punto de silla.
Criterios de la segunda derivada
La concavidad y los máximos y mínimos de una función van a ser mucho más fácil definirlos utilizando los
criterios de la segunda derivada

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La figura anterior es cóncava hacia arriba y podemos analizar que todas las rectas tangentes a la curva van a
quedar por debajo de la función esto significa que la primera derivada ´ es creciente en esos puntos.
Si analizamos esta figura que es cóncava hacia abajo todas las rectas tangentes a la curva quedaran por encima
de la función esto significa que la primera derivada ´ es decreciente en esos puntos.
Lo anterior nos indica que necesitamos saber si ´ es creciente o decreciente para saber la concavidad de una
función, para saber si una función es creciente o decreciente necesitamos derivarla y si calculamos la derivada de
´ es igual a ´´ que representa la segunda derivada de la función .
Criterios de la segunda derivada
Dada la función y tenemos un punto c tal que ´ 0, el cual nos indica que c es un punto crítico podemos
decir que:
Si ´´ > 0, entonces es cóncava hacia arriba y c es un punto mínimo.
Si ´´ < 0, entonces es cóncava hacia abajo y c es un punto máximo.
Si ´´ 0, entonces no es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo y c es un punto de inflexión o punto
de silla.
Siguiendo el ejemplo trabajado anteriormente 2 su derivada es:
´ 4 4
Y los puntos críticos son:
. 1 . 0 . 1
Para saber en cada punto cual es máximo, cual es mínimo, o su concavidad debemos hallar la segunda derivada y
evaluar los puntos críticos en la segunda derivada.
´´ 12 4
Evaluamos el punto crítico 1 . 1
´´ 1 12 1 4 8

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Al darnos positivo, aplicamos el criterio de la segunda derivada y decimos que el . 1 es un mínimo y la
concavidad en ese punto es hacia arriba.
Evaluamos el punto crítico 1 . 0
´´ 0 12 0 4 4
Al darnos negativo, aplicamos el criterio de la segunda derivada y decimos que el . 0 es un máximo y la
concavidad en ese punto es hacia abajo.
Evaluamos el punto crítico 1 . 1
´´ 1 12 1 4 8
Al darnos positivo, aplicamos el criterio de la segunda derivada y decimos que el . 1 es un mínimo y la
concavidad en ese punto es hacia arriba.
Con la gráfica podemos rectificar todo lo hallado hasta el momento:
Los puntos críticos son: recordemos que hallamos los valores en
. 1 . 0 . 1
Intervalos de crecimiento:
∞, 1 Decreciente
1,0 Creciente
0,1 Decreciente
1, ∞ Creciente
Concavidad, máximos y mínimos:
. 1 es un mínimo y cóncava hacia arriba

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. 0 es un máximo y cóncava hacia abajo
. 1 es un mínimo y cóncava hacia arriba
Puntos de Inflexión
Utilizando el criterio de la segunda derivada, la cual nos indica que, cuando la segunda derivada evaluada en un
punto es igual a cero, este es un punto de inflexión, en consecuencia, para hallar los puntos de inflexión
debemos saber que valores hacen que la segunda derivada sea cero.
Para nuestro ejemplo 2 , su segunda derivada es:
´´ 12 4
Igualamos esta segunda derivada a cero despejamos la ecuación:
12 4 0
Pasamos el 4 a sumar:
12 4
Pasamos el 12 a dividir:
4
12
Y sacamos raíz cuadrada en ambos lados
3 4
4
12
Al evaluar la raíz cuadrada tendremos dos resultados, uno positivo y el mismo negativo:
≈ 0,58 7 ≈ 0,58
Indicándonos que nuestra función tiene dos puntos de inflexión los cuales podemos ver en la siguiente grafica
con color rojo:

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Trazado de una curva
Con todo lo anterior podremos trazar una curva de un polinomio de la siguiente forma:
1. Hallamos puntos críticos
a. Hallamos la primera derivada ´
b. Igualamos a cero la derivada ´
c. Aplicamos casos de factorización o despejamos la ecuación
2. Definimos intervalos de crecimiento
a. Organizamos los puntos críticos de menor a mayor
b. Con los puntos críticos generamos los intervalos
c. Evaluamos un punto de cada intervalo en la derivada para definir crecimiento o decrecimiento
3. Definimos concavidad de la función, máximos y mínimos
a. Hallamos la segunda derivada ´´
b. Evaluamos los puntos críticos en la segunda derivada
c. Aplicamos criterios de la segunda derivada para definir la concavidad o los máximos y mínimos
4. Hallamos puntos de inflexión
a. Con la segunda derivada ´´ del punto anterior la igualamos a cero
b. Aplicamos casos de factorización o despejamos la ecuación
5. Hallamos las coordenadas de los puntos más importantes de la gráfica
a. Evaluamos los puntos críticos en la función para hallar su punto en 7
b. Evaluamos los puntos de inflexión en la función para hallar su punto en 7
c. Ubicamos los puntos de corte en el eje y en el eje 7
6. Trazamos la grafica
a. Ubicamos cada uno de los puntos del paso anterior en el plano cartesiano
b. Trazamos la curva cumpliendo con los intervalos de crecimiento, la concavidad, los máximos y
mínimos y los puntos de inflexión
Siguiendo el ejemplo anterior de la función 2
Tenemos sus puntos críticos
. 1 . 0 . 1
Intervalos de crecimiento:
∞, 1 Decreciente
1,0 Creciente
0,1 Decreciente
1, ∞ Creciente
Concavidad, máximos y mínimos:
. 1 es un mínimo y cóncava hacia arriba
. 0 es un máximo y cóncava hacia abajo
. 1 es un mínimo y cóncava hacia arriba

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Hallamos los puntos de Inflexión:
. 8 0,58
. 8 0,58
Nos faltaría el paso 5 que es ubicar los puntos en el plano, para ello evaluamos los puntos críticos y los puntos
de inflexión en nuestra función
1 1 2 1 1
0 0 2 0 0
1 1 2 1 1
0,58 0,58 2 0,58 0,56
0,58 0,58 2 0,58 0,56
Quedándonos las coordenadas:
. 1, 1
. 0,0
. 1, 1
. 8 0.58, 0.56
. 8 0.58, 0.56
Hallamos los puntos de corte en y en 7
Punto de corte en 7: cuando es igual a 0
0 0 2 0 0
Este punto en este caso no coincide con un punto crítico.
Punto de corte en : cuando 7 es igual a 0
2
2 0
Sacamos factor común en este caso
2 0
Aplicamos la propiedad del producto cero:
0 2 0
Despejamos las ecuaciones
0 2
0 √2

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0 1,41 1,41
Ahora si pasamos al paso número 6, ubicamos todos los puntos en el plano cartesiano
Podemos ver los puntos críticos de color azul, los puntos de inflexión de color naranja y los puntos de corte de
color verde, después de ubicar los puntos en el plano cartesiano trazaremos la gráfica que cumpla con todos los
criterios anteriormente hallados

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Ejemplo 2: trace la gráfica de la siguiente función
3
2 5 2
1. Hallamos puntos críticos
Derivamos
´ 4 5
Igualamos a cero
4 5 0
En este caso para hallar los ceros de una ecuación cuadrática siempre podemos utilizar la formula
cuadrática
± √ 4
2
4 ± 3 4 4 1 5
2 1
4 ± √16 20
2
4 ± √36
2
4 6
2
4 6
2
5 1
Llegando a los dos puntos críticos -5 y 1, como también para este caso podíamos aplicar casos de
factorización, multiplicamos por -1 en ambos lados
4 5 0
Factorizamos ese trinomio buscando dos números que multiplicados den 5 y restados den 4
5 1 0
Aplicamos la propiedad del producto cero
5 0 1 0
Despejamos
5 1
Llegando a los dos mismo puntos críticos
. 5 . 1
2. Intervalos de crecimiento
∞, 5 5,1 1, ∞
Evaluamos un punto de cada intervalo en la derivada: ´ 4 5

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´ 6 6 4 6 5 7
´ 0 0 4 0 5 5
´ 2 2 4 2 5 7
∞, 5 Decreciente
5,1 Creciente
1, ∞ Decreciente
3. Concavidad, máximos y mínimos
Hallamos la segunda derivada
´´ 2 4
Evaluamos los puntos críticos en la segunda derivada:
´´ 5 2 5 4 6
´´ 1 2 1 4 6
. 5 Es un mínimo y cóncavo hacia arriba
. 1 Es un máximo y cóncavo hacia abajo
4. Hallamos puntos de inflexión
Igualamos la segunda derivada a cero:
2 4 0
Despejamos la ecuación
4
2
2
Obteniendo solo un punto de inflexión
. 8 2
5. Hallamos las coordenadas de los puntos más importantes de la gráfica
Tenemos los puntos importantes
. 5
. 1
. 8 2
Los evaluamos en la función
3
2 5 2
5
5
3
2 5 5 5 2 35.33
1
1
3
2 1 5 1 2 0.67
2
2
3
2 2 5 2 2 17.33

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Hallamos puntos de corte
Puntos de corte en 7: cuando es cero
0
0
3
2 0 5 0 2 2
Puntos de corte en : cuando 7 es cero
3
2 5 2 0
En este caso, no podemos factorizar entonces utilizaremos la calculadora para hallar los ceros de la
ecuación, en la calculadora necesitamos ingresar los siguientes datos de la función polinómica
0
En nuestro caso
1
3
2 5 2
La calculadora nos arroja tres resultados:
≈ 7,98 ≈ 1,46 ≈ 0,52
Los cuales ubicaremos en el eje
6. Trazamos la grafica
Ubicamos los puntos del paso anterior en el plano cartesiano y trazamos la curva
. 5, 33.5
. 1,0.67
. 8 2, 17.33
7 2
≈ 7,98
≈ 1,46
≈ 0,52
En la gráfica vemos los puntos
críticos de rojo, el punto de
inflexión de azul y los puntos de
corte de negro

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Trazamos la curva
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2 5 2