1. Encuentro con las
Matemáticas
Carlos bosch Claudia Gómez
1

2. Dirección Editorial
Ángela Ortiz
Autores
Carlos Bosch Giral y Claudia Gómez Wulschner
Edición
Rebeca Lorena Riquer Ramírez
Uriel Jiménez Herrera
Lina Moreno Jiménez
Diseño de portada e interiores
Ricardo Salas § Frontespizio, Iván Ávalos
y Adriana González Gutiérrez
Corrección de estilo
Ramona Enciso Centeno
Diagramación
Saicam, Eduardo Sevilla González, Francisco Rivera
Erika Fabila Villegas y Carina J. Haro Vázquez.
Fotografía
Archivo fotográfico Nuevo México
Jorge González, María Elena Mézquita, Raquel Soledad
López Torres, Saúl Moreno Valdespino
© 2005, Jupiterimages Corporation, páginas: 32, 33,
46, 48, 60, 63, 76, 83, 84, 86, 89, 92, 95, 102, 126,
129, 131, 141, 146, 148, 149, 150, 151, 156, 186, 187,
194, 203, 206, 219, 220, 226, 236, 237, 238, 240, 243,
252; © 2007, Jupiterimages Corporation, páginas: 106,
109, 130, 131, 175, 196; 2007 www.photospin.com,
página: 232.
Fotografía de portada
Archivo fotográfico Nuevo México
Investigación iconográfica
Erika Fabila Villegas
Ilustraciones
Imanima studio
Laura Rodríguez y Miguel Ángel Espinoza
La presentación y disposición en conjunto de cada
página de Encuentro con las Matemáticas, primero son
propiedad del editor.
Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial
o total de esta obra por cualquier sistema o método
electrónico, incluso el fotocopiado o escaneado, sin
autorización escrita del editor.
ISBN: 978-970-677-258-9
D.R. © 2006 por Editorial Nuevo México, S.A.
de C.V. Insurgentes Sur núm. 686, 1-2-3, colonia Del
Valle, 03100, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Edito-
rial Mexicana. Reg. 3012.
Segunda edición: junio de 2007
Impreso en México

3. Presentación
Encuentro con las Matemáticas te dará la oportunidad de pensar,
divertirte, disfrutar y aprender.
En nuestra cultura, las matemáticas se han convertido en un área
indispensable y son cada vez más necesarias para comprender
nuestro mundo. Adquirir una buena formación en esta materia
requiere de una participación activa; las matemáticas hay que
hacerlas, hay que vivirlas, hay que construirlas.
Por ello, presentamos una gran cantidad de actividades, ejercicios
y problemas con distintos niveles que permitirán a los alumnos
encontrar siempre un reto interesante, además de propiciar un am-
biente adecuado para reflexionar, investigar y dialogar en torno a
temas matemáticos y a la resolución de problemas. De esta manera,
se pretende lograr un aprendizaje más profundo y permanente.
Asimismo, se busca despertar en los estudiantes la curiosidad,
interés y creatividad; inducirlos a crear conjeturas, y desarrollar
en ellos una autonomía que les permita enfrentar situaciones
desconocidas, todo lo cual favorecerá que su actitud hacia esta
ciencia sea positiva.
Las matemáticas trabajan con ideas, ya que al tratar de resolver
problemas reales utilizan teorías, obtienen una solución abstracta
y posteriormente regresan al problema y la aplican.
No hay que olvidar que en matemáticas también hay una parte
mecánica que es la operativa, por lo que es necesario ser hábil en
el manejo de símbolos y la forma de relacionarlos.
Bienvenido a este libro.

4. Índice
Presentación
Conoce tu libro
BLOQUE 1
1. Los números antiguos y modernos 10
. Patrones con números
. Como espejos
4. Fracciones y decimales
5. Razones y proporciones 54
. Diagramas y tablas para contar 4
BLOQUE 2
1. Números fraccionarios y decimales 70
. Multiplicación y división de números racionales 4
. Rectas y ángulos
4. Construcción de fórmulas de figuras planas 114
5. Proporcionalidad 1
BLOQUE 3 14
1. Operaciones con decimales 1
. Hacer y deshacer ecuaciones 144
. Formas geométricas 150
4. Todo proporciones 15
5. El porcentaje 1
. Gráficas 17
4

5. BLOQUE 4 1
1. Números con signo 10
. Raíz cuadrada y potencias 1
. Relaciones funcionales 0
4. Propiedades de la circunferencia 1
BLOQUE 5 4
1. Números positivos y números negativos
. Áreas y diseños
. La suerte está echada
4. Proporcional y al revés 4
5. Medidas de tendencia central y de dispersión 5
Encuentro con la tecnología 5
Tablas de correspondencia 5
Bibliografía
5

6. Conoce tu libro
Encuentro con las Matemáticas primero se divide en 5 bloques; cada uno inicia con una gran
imagen acompañada de un texto breve que te introduce al tema que se va a estudiar.
Número de bloque
Como resultado del estudio de este bloque temático se espera
que los alumnos:
1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones con fracciones.
2. Resuelvan problemas que implican efectuar multiplicaciones
con números decimales.
3. Justifiquen el significado de fórmulas geométricas que se
utilizan al calcular el perímetro y el área de triángulos, cua-
driláteros y polígonos regulares.
4. Resuelvan problemas de proporcionalidad directa del tipo
bloque 2
valor faltante, con factor de proporcionalidad entero o frac-
cionario y problemas de reparto proporcional.
Información sobre los
propósitos del bloque.
En los campos de cultivo, conceptos como área, fracción y proporcionalidad
son decisivos para planear una siembra. El ser humano, en su necesidad de
alimentarse, ha creado herramientas y fórmulas matemáticas para obtener
cada vez mejores cosechas.
68 69
Cápsulas, definiciones
Texto breve sobre la aplicación de de algunos conceptos
los temas por aprender. Título del tema.
que favorecen un mejor
aprovechamiento de
TEMA 2 Fíjate que el número que ocupa el cuarto lugar se puede obtener sin
necesidad de usar el número del tercer lugar, simplemente dándonos
Cápsula
los conocimientos
Patrones con números cuenta de que es 3 4 + 1; es decir 3 por el lugar más 1. Asociar cada número de un
matemáticos.
patrón con su lugar, de
acuerdo con el orden de los
El número del lugar 8 sería 3 8 + 1. números, es una excelente
estrategia.
BUSQUEMOS PATRONES La regla en este caso es multiplicar por tres el lugar y añadir uno.
Subtítulo o nombre de la
1 4
¿Cuál número corresponderá al lugar 22? ____________ 2 7
La búsqueda de patrones consiste en encontrar alguna regla o motivo 3 10
actividad de inicio.
que se repite. Algunos son geométricos; por ejemplo, los que obtene- En el caso del inciso b), busca una regla que indique cómo encontrar
4 13
mos al reproducir una misma figura a cierta distancia de la anterior: los demás números y escríbela a continuación. _____________________
5 16
__________________________________________________________________
¿Cuál número correspondería al lugar 100? _____________________
Se puede hacer más complicado. Dibuja las formas que siguen:
TRABAJO EN EQUIPO
Una de las estrategias para resolver problemas es encontrar patro- 1. Continúen el patrón dibujando los puntos e indiquen el número
Cápsula
En suma
nes, por eso las matemáticas se dedican a estudiarlos. de puntos de cada figura.
1.4 Los patrones sirven para Observa que a cada lugar se
■ Continúa los siguientes patrones numéricos añadiendo tres números
Tablas, son herramientas
hacer decoraciones, como • • • • • • le está asociando el número
las que muestran las fotos. en cada caso, y luego compara tus resultados con los de tus compañeros. de puntos. A cada número
• • • • • • • • • • que representa un lugar le
corresponde un solo número
para representar o
que representa la cantidad
a) 4, 7, 10, 13, 16, _____, _____, _____ Escriban una regla que permita obtener el número de puntos de una de puntos de la figura. A este
figura a partir del número de puntos de la figura anterior. ___________ tipo de correspondencia se le
b) 0, 5, 10, 15, 20, _____, _____, _____ ___________________________________________________________ llama una función.
Para descubrir el patrón que nos sugieren los primeros números
¿Podrían obtener la cantidad de puntos en el dibujo del lugar 100 si
conocen los que hay en el lugar noventa y nueve? _______________
agrupar información o
Problema de entrada, este
podemos hacernos las siguientes preguntas:
• ¿Los números van creciendo o decreciendo?
Explíquenlo. ____________________________________________________
__________________________________________________________________
datos.
texto tiene la finalidad de
• ¿Cómo es cada número con respecto al anterior?
• ¿Y con respecto a los dos anteriores?
• ¿Cómo es cada número con respecto a los tres anteriores?
Ahora queremos encontrar el número de pun-
tos que tendría una figura dependiendo del Lugar
Número
Regla
También son
organizadores que te
de puntos
• ¿Qué diferencia existe entre dos números consecutivos? lugar que ocupa. Sigan las indicaciones para
introducirte al tema partiendo encontrar una regla que permita calcularlo. 1 1 =2 1–1
• ¿Cómo es la suma de cada dos?
de los conocimientos que
En los patrones numéricos del ejercicio anterior, los números
van creciendo. Analicemos detenidamente cada caso.
2. Observa y completa.
Escribe la regla _____________________________
2
3
3
5
=2
=2
_____ – 1
_____ – 1
permiten establecer
conclusiones
a) Observa que la diferencia existente entre dos números consecu- ______________________________________________
posees, y de conceptos
tivos cualesquiera es ______ ; así que si continuamos el patrón, los 4 7 =2 4–1
______________________________________________
tres números que siguen a los que tú escribiste son: 28, 31, 34.
para encontrar una regla.
______________________________________________
básicos. 22 BLOQUE 1 PATRONES PATRONES 23
Actividades de ejercitación que
te guían paso por paso en la
construcción del conocimiento.

7. Trabajo en equipo,
en esta parte se
propone que todos los Ejemplos, se presenta la
integrantes del equipo resolución de un ejercicio que
aporten sus ideas para busca ayudarte en la adquisición
encontrar la solución de las habilidades necesarias para
de una problemática o alcanzar los objetivos.
llegar a una conclusión.
Recursos e investigación,
en estos apartados se
proponen fuentes de
consulta, y la investigación
sobre temas o conceptos
para enriquecer la
información del libro.
Diagramas, apoyos
visuales que permiten
Actividades, se presenta
una mejor comprensión
una serie de ejercicios
de los conceptos.
para reafirmar los
conceptos y habilidades
adquiridos.
Para escribir tus Problema de cierre,
respuestas, se usan es una situación
recuadros y líneas. problemática que
abarca los aspectos
más sobresalientes de
cada tema.
Encuentro con la tecnología,
sección al final del libro que
presenta sugerencias de trabajo
con calculadora y hoja de cálculo
electrónica, para verificar algunas
respuestas y realizar cálculos de
manera más eficiente.
7

8. bloquE 1
Las propiedades geométricas de un objeto se estudian por medio
de sucesiones numéricas. El tejido del tapete obedece a un patrón
que se conoce como teselación, en donde se combinan el álgebra
y la geometría.

9. Como resultado del estudio de este bloque temático se espera
que los alumnos:
1. Conozcan las características del sistema de numeración
decimal (base, valor de posición, número de símbolos) y es-
tablezcan semejanzas o diferencias respecto a otros sistemas
posicionales y no posicionales.
. Comparen y ordenen números fraccionarios y decimales
mediante la búsqueda de expresiones equivalentes, la recta
numérica, los productos cruzados u otros recursos.
. Representen sucesiones numéricas o con figuras a partir de
una regla dada y viceversa.
4. Construyan figuras simétricas respecto de un eje e identifi-
quen cuáles son las propiedades de la figura original que se
conservan.
5. Resuelvan problemas de conteo con apoyo de representaciones
gráficas.

10. TEMA 1 los números antiguos
y modernos
DE DIEZ EN DIEZ Y DE MIL EN MIL
¿Cuántas bolas de chicle hay en la máquina?
Escribe una aproximación ____________________________
Para aproximarte al número puedes pensar que están
acomodadas en 10 capas donde cada capa tiene, más o menos,
45 bolas, así que en la máquina hay
45 3 10 = _________________ bolas de chicle.
Observa que multiplicar por 10 es muy fácil pues basta añadir un
cero a la derecha al número que quieres multiplicar. Al multiplicar
8 3 10 se obtiene 80 o bien 8 decenas.
■ Escribe con tus palabras cómo se multiplica:
Por 100 ____________________________________________________________
Por 1 000 __________________________________________________________
Por 1 0 000 ________________________________________________________
Efectúa la siguiente multiplicación: 827 3 100 000 = _____________
Cápsula
En suma
1 ningún cero 100
Cómo escribirías, en notación con exponente y base diez, el número:
10 un cero 101
100 dos ceros 102 100 000 = 10
1 000 tres ceros 103
Recuerda que tienes que colocar el número que sigue al 10 un poco
más pequeño y arriba. Ese número se llama exponente e indica el
número de ceros que van después del 1.
Por ejemplo:
326 es 3 centenas más 2 decenas más 6 unidades. Lo podemos
escribir como:
326 = 300 + 20 + 6 = 3 3 102 + 2 3 101 + 6
10 bloquE 1 sistemas de numeraCión

11. Nuestro sistema de numeración es posicional, es decir que la posición Cápsula
En suma
de cada dígito está indicando lo que llamamos el orden en la cifra.
1 = 100 es una unidad
Así en el ejemplo anterior el 3 indica 3 unidades de tercer orden 10 = 101 es una decena
(centenas, 102) el 2 indica 2 unidades de segundo orden (decenas, 100 = 102 es una centena
1 000 = 103 es un millar
101) y el 6 indica 6 unidades de primer orden (unidades, 100 = 1).
El sistema que utilizamos se llama decimal, o en base 10, pues cada
diez unidades de cualquier orden forman una unidad del siguiente;
por ejemplo con 10 unidades se tiene una decena, con 10 decenas se
tiene una centena, con 10 centenas se tiene una unidad de millar...
Se usa el nombre de potencias de 10 pues al escribir 104, 4 es el
exponente e indica la potencia, es decir el número de veces que hay
que multiplicar 10 por él mismo:
104 = 10 3 10 3 10 3 10 = 10 000
En general cualquier número se puede expresar como la suma de sus ci-
fras multiplicadas por las respectivas potencias de 10. Por ejemplo:
267 542 = (2 3 105) + (6 3 104) + (7 3 103) + (5 3 102) +
(4 3 101) + (2 3 100)
millares de millón millones millares unidades simples clase
11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º orden
decenas de millar
decenas de millar
millar de millón
nombre
unidades de
centenas de
unidades de
unidades de
centenas de
decenas de
de millón
unidades
centenas
decenas
millón
millón
millón
millar
millar
potencia
1010 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100 de 10
En la tabla anterior se observa que cada tres posiciones determinan
una nueva clase, por ello es más fácil escribir los números en grupos Cápsula
En suma
de tres, de derecha a izquierda, para distinguir el orden de un nú- 5 894 723 723, formando
mero. Por ejemplo, 5894723723 es más fácil de leer si se agrupa: grupos de mil, se lee:
Cinco mil ochocientos
noventa y cuatro millones
5 894 723 723 setecientos veintitrés mil
{
setecientos veintitrés.
{
{
{
Millares Millones Millares Unidades
de millón simples
sistemas de numeraCión 11

12. Es muy importante colocar correctamente el orden de magnitud
para distinguir entre setecientos veintitrés mil que escribimos
723 000 y setecientos veintitrés que escribimos 723.
5 894 723 723 lo escribimos en notación desarrollada como:
Cápsula
En suma 5 000 000 000
el orden de magnitud es un
894 000 000
factor de 10. dos números 723 000
difieren en tres órdenes de
magnitud si uno es 1 000 723
veces mayor que otro. así
723 y 723 000 difieren en
tres órdenes de magnitud. el
Es decir que multiplicamos 5 por el resultado de multiplicar 1 000
orden de magnitud de 723 es tres veces por sí mismo. Esto podemos escribirlo como 5 (1 000 3
el de las centenas, es decir, 1 000 3 1 000) o bien usando el mismo método que para las poten-
100 y el de 723 000 es el
cias de 10 tenemos que:
de las centenas de millar es
decir 100 000.
1 000 3 1 000 3 1 000 = 1 0003
y así 5 894 723 723 se escribe como:
5 3 1 0003 + 894 3 1 0002 + 723 3 1 0001 + 723
ACTIVIDADES
1. Anota en tu cuaderno cada uno de los siguientes números, indica
el orden del dígito 4 y di cuántas unidades representa.
543 45 678 3 452 421 122
84 3 524 435 400 000 000
. Escribe de qué número se trata.
4 3 105 + 3 3 104 + 5 3 103 + 4 3 102 + 5 3 10 + 4 3 100= _______
3 3 105 + 4 3 103 + 3 3 10= ________________
6 3 104 + 5 3 103 + 8 3 102 + 7 3 100= ________________
1 3 105 + 3 3 104 + 2 3 103 + 4 3 102= ________________
. Escribe los siguientes números como una suma de potencias de 10.
895 534
52 103
2 405 502
4 444
1 sistemas de numeraCión

13. 4. En tu cuaderno escribe como sumas de potencias de 1 000.
• Diez millones setecientos treinta y cuatro mil doscientos doce
• Ciento cincuenta y dos mil cuatrocientos dos
• El año en que cumplirás cincuenta años
• Cuatro mil trescientos cuarenta y dos
• Treinta y tres mil
Escribe con letra cada número y luego como potencias de 1 000.
• 384 843 76 325 657 4 825 6 532 423 161
Cálculo mental
Para realizar cálculos mentales con rapidez, el sistema posicional en Consulta las actividades so-
base 10 es muy útil. Te hacemos unas sugerencias que puedes emplear bre la calculadora para hacer
operaciones con números
para multiplicar o dividir un número. muy grandes, en la página
258.
La multiplicación por 5 es sencilla cuando se trata de una sola cifra y
aplica también para números de varias cifras. Por ejemplo, una forma
sencilla para multiplicar 46 3 5 es:
46 = 40 + _______ ahora se puede multiplicar
40 3 5 = __________
6 3 5 = __________
¿Qué crees que tienes que hacer ahora?
_________________________________________________________
Entonces el resultado de 46 3 5 = _________ + _________ = _______
Recuerda que 5 es la mitad de _____________ . Ahora si multiplicas
46 3 10 tendrás el doble del número que buscas. ¿Cómo puedes obtener
entonces 46 3 5?
46 3 10 = _____________
46 3 5 = _____________ ÷ _____________ = _____________
En muchas ocasiones es útil reacomodar los factores de una multipli-
cación para que ésta sea más sencilla. Por ejemplo:
2 3 8 3 5 3 20 3 5 se reagrupa como: 8 3 (2 3 5) 3 (20 3 5)
Explica por qué éste es un buen reagrupamiento que ayuda a hacer la
multiplicación rápidamente puesto que 2 3 5 ______ y 20 3 5 ______
El resultado es: 8 3 (2 3 5) 3 (20 3 5) = 8 3 10 3 100 = _________
sistemas de numeraCión 1

14. Para dividir, podemos pensar que una división equivale a una serie de
restas. Por ejemplo, imagina que al hacer un inventario en un almacén
se tienen que acomodar 687 botes en cajas de 6. Un cálculo rápido nos
indica que, como una caja contiene 6 botes, 10 cajas contienen ________
y 100 cajas ________. De manera que si se llenan 100 cajas quedarán
_______ botes. Con ellas se pueden llenar 10 cajas: 87 – _______ = 27;
y luego, 4 cajas más, 27 – (634) = 27 – ________ = 3. Así que en total
se llenaron ________ + 10 + 4 = 114 cajas y sobran 3 botes.
Esta técnica sirve también para estimar rápidamente divisiones. Por
ejemplo, para calcular una estimación de 3 715 ÷ 53, calcula:
1 3 53 = ________
10 3 53 = ________
100 3 53 = ________
Así que 3 715 está entre 53________ y 53________ entonces el cociente
debe estar entre ________ y ________
Para tener una mejor estimación observa que 37 ÷ 5 = __________
aproximadamente.
De manera que puedes concluir que el cociente aproximado es ______
El resultado es una aproximación que mentalmente se calcula de
manera rápida.
Completa el siguiente ejemplo que indica cómo estimar rápidamente
el resultado de una división: 8 349 ÷ 23, calcula:
1 3 _______ = __________
10 3 _______ = __________
100 3 _______ = __________
1 000 3 _______ = __________
Así 8 349 está entre _________ y _________ entonces el cociente debe
estar entre _________ y _________
Ahora dividamos 83 ÷ 2 = _________ aproximadamente.
Podemos entonces concluir que _________ es una estimación del
resultado buscado.
14 sistemas de numeraCión

15. ACTIVIDADES
1. Calcula mentalmente, luego escribe el resultado en tu cuaderno
explicando cómo lo hiciste.
750 3 5 23836353536 5 734 ÷ 19
. Escribe en tu cuaderno el procedimiento para sumar rápidamente
21 + 32 + 19 + 58 + 3.
. Calcula mentalmente y escribe el resultado
273 3 5 = 108 35=
322 3 5 = 576 ÷ 21 =
2 582 ÷ 32 = 871 ÷ 43 =
2373534= 53 6 3 20 3 3 =
2343835= 63 63235=
OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
El sistema egipcio
El sistema de numeración egipcio tiene las siguientes propiedades:
• No es un sistema posicional.
• Los símbolos que se usan se pueden agrupar sin importar el orden.
• Un símbolo se puede repetir hasta nueve veces.
• Es un sistema aditivo, es decir, los números se obtienen sumando
los valores que representa cada símbolo.
1.1 estatua de escriba egipcio,
principios de la dinastía V.
Por ejemplo los egipcios escribían:
1
Para representar 2 007 Para representar 1 210 000 10
100
Para representar 999
1 000
10 000
Aun cuando no es un sistema posicional, los egipcios representaban
100 000
los números según los valores de los numerales de mayor a menor
simplemente para hacer las cosas con orden. Indica cuál de los núme-
1 000 000
ros anteriores no está representado así: _________________________
sistemas de numeraCión 15

16. TRABAJO EN EQUIPO
1. Discute con tu equipo cómo escribir con los símbolos egipcios
el número 5 894 723. Háganlo en sus cuadernos.
. Discutan cómo hacer la suma de (138 + 967) con símbolos egipcios.
. ¿Qué ventajas y desventajas tiene el sistema de numeración egip-
cio respecto al sistema de numeración decimal?
Escríbelo en tu cuaderno.
4. Escribe el número decimal que representan los símbolos:
El sistema romano
■ Con tu equipo de trabajo investiga dónde se usan todavía los números
romanos y anótalo aquí (al menos tres aplicaciones).
___________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Las propiedades de este sistema son:
De los siete símbolos que se usan, sólo las potencias de 10 (1,
10, 100, 1 000) es decir I, X, C, M pueden repetirse hasta tres
veces (aunque a menudo el I se repetía cuatro veces IIII para
representar al 4).
Es un sistema aditivo, dado que un símbolo colocado a la derecha
de otro mayor o igual que él, se suma al primero. Por ejemplo, VI
representa el 6, CLXIII es el 163.
Cápsula
En suma También es un sistema sustractivo porque un símbolo que se coloca
I 1 a la izquierda de otro mayor que él se resta de aquél. Por ejemplo,
V 5 IX representa el 9, IV= 5–1= 4, XL= 50–10= 40, DXLIV representa
X 10 544. Los símbolos V, L y D no se anteponen.
L 50
Es un sistema multiplicativo debido a que una raya encima de una de las
C 100 letras que se utilizan, multiplica su valor por mil. Se tiene, por ejemplo,
D 500 CCCXXV representa 325 mil y M representa un millón.
M 1 000
1 sistemas de numeraCión

17. Responde lo siguiente.
■ Indica algunas diferencias que hay entre el sistema de numeración
romana y el nuestro. _________________________________________
___________________________________________________________ Investiga cuándo se dejó
de usar el sistema de
numeración romano y quién
■ ¿Podrías efectuar la multiplicación CMXCIX por DLXV operando introdujo en Europa el
sistema de numeración
con números romanos? ____ ¿Por qué? ___________________________ decimal. Haz una biografía
de Leonardo de Pisa
__________________________________________________________________
también conocido como
Fibonacci.
■ Escribe con números romanos 723 723
__________________________________________________________________
■ ¿Qué sistema crees que tenga más ventajas para operar? ________
____________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Números mayas
La civilización maya, como era de esperarse dada su grandeza, desarro-
lló el mejor sistema aritmético de su época. Se usaban tres símbolos:
1 5 0
Los mayas, con puntos y rayas, podían representar de manera sen-
cilla los números del 1 al 19.
El sistema maya es un sistema que usa base 20, a diferencia del nues-
tro que tiene base 10. Así que para cada 20 unidades se forma una
de orden superior. Los números se escribían en forma vertical.
Observa que para escribir los números del 1 al 19 el sistema maya
parece ser un sistema aditivo con base 5 pero al introducir números
mayores, éstos se escriben en forma vertical y la posición juega un
papel importantísimo. Los números del 1 al 19 considerados como
1.2 Glifo maya, localizado en la
un solo símbolo, constituyen las cifras de un sistema de base 20, en zona arqueológica de Palenque.
el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20 3 20,
20 3 20 3 20..., según el lugar que ocupe, y sumar para convertir
el número maya a base 10. Es, por lo tanto, un sistema posicional
que se escribe de abajo hacia arriba empezando segun corresponda
a las unidades, luego las veintenas, las cuatrocentenas, etcétera.
sIstEmas dE numEracIón 17

18. 0 10 Al tener cada cifra un valor relativo de acuerdo con su posición,
se hace imprescindible la presencia de un signo para el cero, con
1 11
el que indican la ausencia de unidades de algún orden. Los mayas
2 12 lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto en sí
3 13 de cantidad nula.
4 14
El sistema de numeración que acabamos de describir es el comercial,
5 15 o sea el usado para comprar y vender.
6 16
7 17
representa 21 representa 20
8 18
9 19
1 3 20 3 20 3 20 = 2 3 20 + 2 =
representa 8000 representa 42
1 3 20 3 20 + 1 = 3 3 20 + 1 =
representa 401 representa 61
traBaJo en equIpo
■ Trabajen en equipos para indicar el número que representa en base
decimal cada uno de los siguientes números mayas y compara tus
respuestas con las de otros equipos.
Investiga si el cero
aparece en otros sistemas ____________________________________________________
de numeración y en qué
época ocurre. Explica las
razones de lo que
investigaste.
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
En sus cuadernos, intenten escribir 5 894 723 en símbolos mayas.
¿Cuáles son las dificultades con las que se encuentran?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
18 sIstEmas dE numEracIón

19. A veces, en vez de usar puntos, líneas y conchas, los mayas usaron
caras u otros glifos para representar ciertos números y éstos, a su
vez, se combinaban con puntos, líneas y conchas.
Las matemáticas eran una disciplina tan importante para
los mayas que se encuentra incluso en algunos de sus mu-
ros y estelas. Los científicos mayas eran a la vez sacerdotes
ocupados en la observación astronómica. Para expresar
los números correspondientes a las fechas usaron unas
unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así,
la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multi-
plica por 20 3 18 = 360 en vez de ser como en el sistema
comercial maya 20 3 20 = 400. La razón para utilizar 18
en lugar de 20 es que 360 se acerca mucho a la duración
de un año, el cual consideraban dividido en 18 uinal (co-
rrespondiente a nuestros meses) que constaba cada uno
de 20 días. Así, a los 360 días se añadían algunos días
festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía un año que
tenía 365 días. 1.3 detalle del códice de dresde.
cultura maya.
Los mayas tenían otro sistema de numeración que les servía para
las fiestas religiosas. En éste, el año se dividía en 20 ciclos de 13
días, que totalizaban 260 días.
el sistema sexagesimal
El sistema sexagesimal se usa actualmente para medir el tiempo
y los ángulos. Hay bloques que son decimales, otros que van por
grupos de 60. En efecto para cantidades menores de un segundo
se utiliza el sistema decimal. Por ejemplo, cuando dicen que
Ana Guevara corrió los 400 metros en 49.16 significa que
son 49 segundos con 16 centésimos. El 1 indica décimos de
segundo y el 6 indica centésimos de segundo.
Sin embargo, decir que el récord mundial de Daniel Komen,
de Kenya, en 3 000 metros es de 7:58.61, equivale a un
tiempo de 7 minutos, 58 segundos y 61 centésimos.
En este caso 100 centésimos forman un segundo y 60 segun-
dos forman un minuto. Además, sabemos que 60 minutos
son una hora. Para abreviar, se usa h después de las horas,
dos puntos después de los minutos y un punto después de los
segundos, de esta manera el tiempo queda claro. Por ejemplo,
el récord del mundo de 20 kilómetros de caminata en pista que
es de Bernardo Segura, de México, se escribe 1 h 17:25.60, es decir
1 hora, 17 minutos, 25 segundos y 60 centésimos.
sIstEmas dE numEracIón 19

20. En general se tiene que:
24 horas = 1 día
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
1 segundo = 10 décimos de segundo
1 segundo = 100 centésimos de segundo
1 segundo = 1 000 milésimos de segundo
Observa que este sistema es posicional con ciertas restricciones, pues
no se pueden tener más de 24 horas o 60 segundos o 60 minutos.
¿Qué pasa si se tienen más de 24 horas? ________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Describe cómo se aplica el sistema sexagesimal para sumar horas, minu-
tos y segundos. _____________________________________________
____________________________________________________________________
Los Babilonios fueron, hace __________________________________________________________________
más de 6 000 años, los
inventores de la rueda, y
dividieron la circunferencia Realiza los ejercicios y escribe el procedimiento:
en 360 partes iguales
obteniendo lo que se llama Tres horas y media (en minutos)
actualmente el grado
sexagesimal. __________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Cinco minutos y cuarto (en segundos)
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Dos horas y tres segundos (en segundos)
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Resuelve las siguientes sumas de unidades de tiempo.
4: 22’ 45” 8: 39’ 52” 5: 31’ 21”
+ 2: 39’ 18” + 6: 14’ 25” + 1: 58’ 13”
20 sIstEmas dE numEracIón

21. aCtIVIDaDes
1. Escribe con letras los números.
233 233 233 5 768 543 899 5 678 432 234
2. Efectúa rápidamente las multiplicaciones y explica cómo lo hiciste.
2343335 579 3 10 000 3 412 3 5 9 459 ÷ 9
3. Escribe usando potencias de diez los siguientes números:
445 445 3 232 67 890 3 782 953 425
4. Escribe en números egipcios el año de la Independencia de México.
5. Escribe con números mayas el año en que naciste.
6. Escribe con sumas de potencias de 1 000.
3 541 3 483 234 567 891 2 993 452
7. Escribe en el sistema decimal los siguientes números romanos.
MMVIII DCCXLIV MDCCCX MMMCMLXXXIX Busca en una enciclopedia
otros códices que tengan
8. Escribe en tu cuaderno la equivalencia en numeración decimal. números mayas, o consulta
la página electrónica http://
www.archaeoastronomie.
de/codex/cdstart.htm
9. Con tu equipo, indaga cómo era la numeración de los babilonios,
dónde se desarrolló y cómo la usaban. Explica las ventajas o des-
ventajas de ese sistema. Busca sus aplicaciones actuales
Dos representaciones
El profesor acaba de ilustrar el número 196 colocando un objeto en la columna de las
centenas, nueve en la columna de las decenas y seis en la columna de las unidades, como
se muestra en la tabla:
Pablo le dice al profesor que si se pudieran poner más centenas decenas unidades
de 10 objetos en cada columna se podría representar el
mismo número, el 196, con más de 16 objetos. Así es, le
comenta al profesor, nuestro método es el mejor pues es
el que usa menos objetos.
El profesor le pide a Pablo y a Sofía que busquen cómo representar el 196 con un total
de 70 objetos, se permite utilizar, cuando se quiera, más de 10 objetos por columna. Un
rato después, Pablo y Sofía encontraron soluciones distintas. Indica cuáles son.
sIstEmas dE numEracIón 21

22. Tema 2
Patrones con números
Busquemos patrones
La búsqueda de patrones consiste en encontrar alguna regla o motivo
que se repite. Algunos son geométricos; por ejemplo, los que obtene-
mos al reproducir una misma figura a cierta distancia de la anterior:
Se puede hacer más complicado. Dibuja las formas que siguen:
Una de las estrategias para resolver problemas es encontrar patro-
nes, por eso las matemáticas se dedican a estudiarlos.
1.4 Los patrones sirven para
hacer decoraciones, como ■ Continúa los siguientes patrones numéricos añadiendo tres números
las que muestran las fotos. en cada caso, y luego compara tus resultados con los de tus compañeros.
a) 4, 7, 10, 13, 16, _____, _____, _____
b) 0, 5, 10, 15, 20, _____, _____, _____
Para descubrir el patrón que nos sugieren los primeros números
podemos hacernos las siguientes preguntas:
• ¿Los números van creciendo o decreciendo?
• ¿Cómo es cada número con respecto al anterior?
• ¿Y con respecto a los dos anteriores?
• ¿Cómo es cada número con respecto a los tres anteriores?
• ¿Qué diferencia existe entre dos números consecutivos?
• ¿Cómo es la suma de cada dos?
En los patrones numéricos del ejercicio anterior, los números
van creciendo. Analicemos detenidamente cada caso.
a) Observa que la diferencia existente entre dos números consecu-
tivos cualesquiera es ______ ; así que si continuamos el patrón, los
tres números que siguen a los que tú escribiste son: 28, 31, 34.
22 BLOQUe 1 PatronEs

23. Fíjate que el número que ocupa el cuarto lugar se puede obtener sin Cápsula
necesidad de usar el número del tercer lugar, simplemente dándonos
cuenta de que es 3 4 + 1; es decir 3 por el lugar más 1. asociar cada número de un
patrón con su lugar, de
acuerdo con el orden de los
El número del lugar 8 sería 3 8 + 1. números, es una excelente
estrategia.
La regla en este caso es multiplicar por tres el lugar y añadir uno.
1 4
¿Cuál número corresponderá al lugar 22? ____________ 2 7
3 10
En el caso del inciso b), busca una regla que indique cómo encontrar
4 13
los demás números y escríbela a continuación. _____________________
5 16
__________________________________________________________________
¿Cuál número correspondería al lugar 100? _____________________
traBaJo en equIpo
1. Continúen el patrón dibujando los puntos e indiquen el número
Cápsula
en suma
de puntos de cada figura.
observa que a cada lugar se
• • • • • • le está asociando el número
de puntos. a cada número
• • • • • • • • • • que representa un lugar le
corresponde un solo número
que representa la cantidad
Escriban una regla que permita obtener el número de puntos de una de puntos de la figura. a este
figura a partir del número de puntos de la figura anterior. ___________ tipo de correspondencia se le
___________________________________________________________ llama una función.
¿Podrían obtener la cantidad de puntos en el dibujo del lugar 100 si
conocen los que hay en el lugar noventa y nueve? _______________
Explíquenlo. ____________________________________________________
__________________________________________________________________
Ahora queremos encontrar el número de pun-
Número
tos que tendría una figura dependiendo del Lugar Regla
de puntos
lugar que ocupa. Sigan las indicaciones para
encontrar una regla que permita calcularlo. 1 1 =2 1–1
2. Observa y completa. 2 3 =2 _____ – 1
Escribe la regla _____________________________ 3 5 =2 _____ – 1
______________________________________________
______________________________________________ 4 7 =2 4–1
______________________________________________
PatronEs 23

24. El lugar 8 de la sucesión de la página anterior tiene:
2 8 – 1 = 15.
El número asociado al lugar 22 es _________ y al 49 ___________. Si en
una mesa cuadrada se pueden sentar 4 personas, al colocar otra mesa
junto se sientan 6 y al poner otra, se sientan 8, ¿cuántas personas se
pueden sentar en 5 mesas colocadas en fila? ¿Y en 82 mesas en fila?
Para contestar estas preguntas observa la siguiente figura:
¿Cuántas personas más se pueden sentar cada vez que se agrega
consulta las actividades una mesa? _______
para la hoja de cálculo elec-
trónica, en la página 260.
Completa la tabla y escribe una regla que te indique cómo obtener
el número de comensales dependiendo del número de mesas:
Número de mesas Número de personas Regla
1 4 =2 1+2
2 6 =2 2+2
3 8 =2 _____ + 2
4
Cápsula
en suma
una variable es una letra Ahora contesta cuántas personas caben en una fila de 82 mesas ____
que puede representar
cualquiera de los números de
un conjunto o colección La regla para obtener el número de personas dependiendo del nú-
de números. mero de mesas es: dos por el número de mesas más dos, así, si la
variable n representa el número de mesas la regla será:
2 3 ____ + 2 = 2n + 2.
De manera que para obtener el número de personas que pueden sentarse
en 36 mesas colocadas en fila debemos calcular 2(____) + 2 = 74.
Calcula el número de personas que se pueden sentar en 28 mesas.
2 3_______ + 2 = __________ personas.
Calcula el número de personas que se pueden sentar al tener 43 mesas:
______________________________________________________________
24 PatronEs

25. aCtIVIDaDes
1. Dibuja las dos figuras que sigan el patrón indicado y escribe el
número de puntos que corresponden a cada figura.
• • • • • •
• • • • • • • • • •
• • • • • • • • • •
¿Cuántos puntos aumentan de una figura a otra? _______________
¿Cuántos puntos hay en la décima figura? _______________________ consulta las actividades
para la hoja de cálculo elec-
Escribe en tu cuaderno una regla que te indique cómo obtener el nú- trónica, en la página 260.
mero de puntos de una figura dependiendo del lugar que ocupa.
Primero escríbela con palabras y luego usa una variable que repre-
sente el lugar que ocupa cada figura para escribir la regla.
¿Cuántos puntos hay en la figura número 38? ___________________
2. Dibuja en tu cuaderno las tres figuras siguientes de cada uno de
los patrones y completa la tabla correspondiente.
A A B B
Lugar Cuadros Lugar Cuadros
1 1 1 1
2 3 2 4
3 6 3 9
4 4
5 5
6 6
Números triangulares y cuadrados
Los números, al igual que los seres humanos, tienen formas variadas.
En la siguiente figura indica el número de puntos que hay en cada di-
bujo y haz en tu cuaderno las tres figuras que siguen.
•
• • •
• • • • • •
• • • • • • • • • •
________ ________ ________ ________
PatronEs 25

26. Por obvias razones a los números que corresponden a este tipo de
arreglos de puntos se les llama triangulares. También se pueden repre-
sentar por medio de cuadrados formando una especie de “triángulos”
como se indica en la siguiente figura. Dibuja los siguientes números
triangulares y escribe las cantidades correspondientes.
Observa que el 7 no es un número triangular pues no se pueden colocar
siete cuadrados en la forma anterior, sobra uno o faltan tres pues en
esta formación se usan sólo 6 y en el siguiente dibujo se usan 10.
¿Cuál es el octavo número triangular? Una forma de saberlo es com-
pletando el “triángulo” que tiene ocho cuadrados por base. Dibújalo
en tu cuaderno y responde:
¿Cuántos cuadritos hay? __________
¿Cuál es el octavo número triangular? __________
aCtIVIDaDes por pareJas
1. En una cartulina, cada alumno debe construir con cuadraditos idén-
ticos los números triangulares que representen el séptimo, noveno y
décimo. Luego deben recortar esos dibujos y, por parejas, unirlos como
se indica en la figura, asegurándose de que son idénticos.
¿Qué figura se forma? ___________________________________________
¿Qué medidas tiene la unión de los séptimos números triangulares?
____________________________________________________________
¿Cuál es el área de esa figura en cuadritos? ______________________
El área de cada una de las figuras triangulares es la mitad del área
que acabas de calcular, de manera que el número de cuadritos de
uno de los “triángulos” es ________
Esta actividad se puede repetir con el “triángulo” correspondiente
al lugar 9 y al 10. Las áreas de éstos y los números triangulares se
obtienen de la siguiente manera:
93 = ______ 10 3 = ______
2 2
Ahora toma la variable n como lugar del triángulo y escribe una
regla que indique cómo calcular los números triangulares depen-
diendo de su lugar.
26 PatronEs

27. Observa que un número triangular también se puede ver como una
suma de números consecutivos:
• + 1
• • + 2
6 3 7 = 21 • • • + 3
2 • • • • + 4
• • • • • + 5
• • • • • • + 6
21
aCtIVIDaDes
1. ¿Cómo puedes encontrar la suma de los 10 primeros números?
__________________________________________________________________
Representa con la variable n la cantidad de números que quieres
sumar y deduce una fórmula. ____________________________________
¿Cuánto vale la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100? Puedes
usar la regla para números triangulares y tomar n como el último
número que quieres sumar. ______________________________________ consulta las actividades
para la hoja de cálculo elec-
trónica, en la página 260.
2. Resuelve en tu cuaderno. El inciso c) en equipo.
a) 1 + 2 + 3 + 4 + … + 88
b) 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1
c) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 58 + 60
Números cuadrados
Al unir dos figuras que representan un mismo número triangular se
obtiene un rectángulo. Para obtener un cuadrado es necesario juntar
dos números triangulares consecutivos. Dibuja lo que le falta al de
5 3 5 para completar un cuadrado.
232 333 434 535
Así tenemos que: 1 + 3 = 2 3 2 lo cual escribimos como 22
3 + 6 = 3 3 3 lo cual escribimos como 32
PatronEs 27

28. Completa. 6 + 10 = 4 3 4 = 4
10 + 15 = 5 3 5 = ____
Observa que para indicar que un número se multiplica por él mismo
usamos un exponente, el 2. Completa:
6 6 = ____ ____ 3 ____ = 72
Observa la siguiente figura y completa la línea que falta.
Investiga en equipo qué son 1 = 12
los números pentagonales y
hexagonales. 1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
1+3+5+7+9=
La suma de los primeros cinco números impares es ______________
Para indicar el cuadrado del número n escribimos n 3 n = n2 lo que
indica que al número n lo multiplicamos por él mismo. La suma de
los primeros n números impares es n2.
aCtIVIDaDes
1. Calcula.
102 = ____ 82 = ____ 92 = ____ 72 = ____
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = ________________
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = _________________
Números cúbicos
Si ahora en vez de cuadrados usamos cubitos, éstos se pueden co-
1 locar en fila, o unos encima de otros en varias capas. Cuando el
número de capas es igual al número de filas y columnas se obtiene
un número cúbico. El número cúbico más pequeño es 1. El segundo
es 2 2 2, es decir, 8, se escribe 23 y se lee dos al cubo.
Usando esa notación 53 significa 5 5 5 = 125.
¿Qué significa 6 ? _________________ ¿Y n ? __________________
3 3
23232=2 3
Compara 23 y 32 e indica cuál de los dos es mayor. _____________
28 PatronEs

29. De manera análoga usaremos 24 para indicar 2 2 2 2, y es
dos a la potencia 4, el exponente es 4.
Calcula 24 = ____ 3 ____ 3 ____ 3 ____ = ____
¿Qué crees que indica 25? ___________________________________
Compara 25 y 52 __________________________________________
13 23 33 43
Observa que el primer cubo tiene lados de longitud una unidad, ¿En qué tipo de cálculos
el segundo, que corresponde a 23 tiene lados de longitud 2. El que crees que se aplican los
corresponde a 33 tiene lados de longitud 3. números al cubo?
¿Qué longitud tiene el lado del cubo que corresponde a 43? _____
¿El que corresponde a 53? ______________
¿El que corresponde a 103? _____________
traBaJo en equIpo Cápsula
en suma
Busca en el diccionario el
1. Imagina un cubo de un metro de lado, es decir de un metro por un significado de acutángulo
metro por un metro. Ahora piensa que marcas los milímetros en cada y escribe la definición de
triángulo acutángulo en tu
uno de los lados; se forman cubitos de un milímetro por un milímetro cuaderno.
por un milímetro. Si colocas todos esos cubitos de un milímetro de
lado uno tras otro, ¿qué longitud tendrá la fila de cubitos?
Perímetros
3 3
El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de sus lados.
Consideremos un triángulo equilátero con lados de 3 cm, entonces
el perímetro es: 3 + 3 + 3 = _______ cm.
3
PatronEs 29

30. Escribe una fórmula para calcular el perímetro de un triángulo
equilátero donde uses la variable l que representa la longitud de
los lados del triángulo.
Perímetro = _______ + _______ + _______
Utiliza la fórmula anterior para calcular el perímetro de un trián-
gulo equilátero con lados de longitud 23 cm.
Perímetro = _______ + _______ + _______
El rombo tiene sus cuatro lados de la misma longitud. Explica
cómo calcular su perímetro.
___________________________________________________________
Indica una fórmula que te permita calcular el perímetro de un
9 rombo con la longitud de los lados representada por la variable l.
Perímetro = _____________________
Un cuadrado es un rombo cuyos ángulos son rectos.
Calcula el perímetro del cuadrado de la figura.
Perímetro = _____________________
¿Qué fórmula puedes usar para calcular el perímetro de un cuadrado
cuyos lados miden a?
Perímetro = _____________________
8
¿Se parece a la que descubriste para el rombo? _______ ¿por qué?
Explícalo.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
¿De qué manera calculas el perímetro de un rectángulo?
___________________________________________________________
___________________________________________________________
¿Cuál es la fórmula?
___________________________________________________________
¿Cuántas variables intervienen en ella?
___________________________________________________________
30 PatronEs

31. aCtIVIDaDes
1. Encuentra el número de palitos necesarios para construir las siguien-
tes figuras y luego indica cuántos hacen falta para la figura número
8. Finalmente escribe una fórmula general usando una variable:
Realiza lo mismo para las figuras siguientes.
Ahora haz el cálculo para el siguiente patrón.
Repite el procedimiento para las siguientes figuras.
Cuadrados casi mágicos
Coloca los números del 1 al 9 cada uno en una casilla, de manera
que la suma de los tres números en las casillas verticales de cada
columna sea igual a la suma de los tres números de las casillas
horizontales de cada fila.
A cuadrados con esa propiedad se les llama casi mágicos. Si además
se pide que la suma de los números de cada diagonal sea igual a la
suma de los números de cada columna y a la de cada renglón, se dice
que el cuadrado es mágico.
Como en este caso trabajaremos con cuadrados casi mágicos, empieza
por colocar el 9 al centro y encuentra todas las soluciones posibles
con esta propiedad.
¿Puedes encontrar una solución al cuadrado casi mágico en la que el
9 no esté en el centro?
PatronEs 31

32. Tema 3 Como espejos
Las Letras
Si miras a tu alrededor, verás que muchos de los objetos que nos
rodean son simétricos. Ejemplo de figuras simétricas planas son
las siguientes.
COCO AMA
La simetría tiene muchas aplicaciones en geometría, pero primero
juguemos un poco con las palabras simétricas. Hay palabras como
AMA que, usando letras mayúsculas, se leen igual de izquierda a
derecha o de derecha a izquierda; esto se debe a que las letras tie-
nen una simetría vertical. Hay once letras mayúsculas que tienen
simetría vertical, encuéntralas y escríbelas a continuación.
__________________________________________________________
Un interesante efecto visual se puede obtener con el dispositivo
que se muestra en la figura.
Consiste en un palito que será el eje y una lámina de plástico
transparente. En el plástico se escribe una palabra (en este
caso AVIVA) que tenga un eje de simetría vertical (lo tiene
en la letra I).
Cuando se hace girar la placa entre las manos alrededor del
eje, la palabra parece flotar en el aire. Efectúa varias
pruebas hasta alcanzar la velocidad de rotación
adecuada.
■ Hay letras como la C que tienen simetría
horizontal. Hay en total nueve letras ma-
yúsculas con simetria horizontal.
Escríbelas.
___________________________________
32 sImEtrÍa