trabajo de trigo

1. TRABAJO DE TECNOLOGIA (REFUERZO)

2.  1.¿que son las razones trigonométricas?
Para empezar voy a dar una definición de que es una razón
trigonométrica estas son las razones de las longitudes de dos lados
de un triangulo rectángulo
Las mas usas son : seno, coseno, tangente, estas en las operaciones se
encuentran como sen, cos, tan estas son las principales ya que son
las que mas se utilizan; pero también hay otras tres ya que las
razones trigonométricas son seis, las tres que nos faltan son
cotangente(cot),secante(sec) y cosecante(csc).
SenA es igual a: cateto opuesto sobre hipotenusa
cosA es igual a: cateto adyacente sobre hipotenusa
tanA es igual a: cateto opuesto sobre adyacente
CotA es la viceversa de tan ósea: cateto adyacente sobre opuesto
SecA es igual a:hipotnusa sobre cateto adyacente
CscA es igual a hipotenusa sobre cateto opuesto

3.  en este triangulo rectángulo podemos
evidenciar mejor las razones trigonométrica
siendo estas:senA:b/a
 cosA:c/a
 tanA:b/c
 cotA:b/c
 secA:a/c
 cscA:a/b

4.  Sabemos que muchas veces nos piden encontrar uno de los lados de
estos triángulos; pues la manera mas fácil es por el teorema de
Pitágoras con este podemos hallar alguno de los catetos que nos
falte o la hipotenusa.
 la hipotenusa es igual a la suma de los dos catetos elevado a la dos
 Para encontrar cualquiera de los catetos decimos que cateto elevado
a la dos es igual al a raíz de la hipotenusa menos el cateto que
conocemos elevado a la dos
 Lo anterior nos sirve para encontrar los catetos y las hipotenusa en
el caso de que nos pidan encontrar cualquiera de estos.
 En la imagen del triangulo rectángulo que esta al fondo podemos
ver en donde se ubica la hipotenusa y los catetos

5.  Ahora vamos hablar de las razones trigonométricas en la
circunferencia :
 Seno: sabemos que la línea seno en el primer cuadrante crece
llegando a tener valores de cero hasta uno, en el segundo cuadrante
la línea decrece de uno a cero, en el tercer cuadrante la línea de
seno decrece de cero a menos uno y en el cuarto cuadrante la línea
de seno crece de menos uno a cero; de esto deducimos que la línea
de cero pude tomar valor desde menos uno hasta uno.
 Tambien sabemos que el dominio de la funcion seno va desde
menos infinito hasta + infinito:
(-∞,∞).
 Ademas que el rango de la funcion seno va desde 1 hasta -1:
(1,1).

6.  su máximo se representa con la siguiente grafica

7.  en la línea seno hay discontinuidad desde -1,5 hasta 1,5
 en la siguiente grafica podemos observar que los puntos de
inflexión

8.  En la siguiente imagen podemos observar los intervalos en donde la
línea seno es creciente

9.  En el grafico que a continuación se muestra podemos ver los
intervalos en que la línea seno es decreciente

10.  En la línea seno el periodo da desde 0 hasta 3,1 y desde 0 hasta -
3,1
 la amplitud de la línea seno esta en los puntos 1,5 y -1,5
 La función seno es par
 A continuación una grafica de la función seno

11.  Ahora hablare de la función coseno esta línea en el primer cuadrante
decrece de uno a cero , en el segundo cuadrante la línea coseno
decrece de cero a menos uno, en el tercer cuadrante esta línea crece
de menos uno a cero y en el cuarto cuadrante crece de cero a uno ;
como podemos ver esta toma valores de menos uno hasta
uno, también se sabe que el dominio de la línea coseno va desde
uno hasta menos uno y que el rango va desde (-1,1)
A continuación la grafica de su máximo

12.  Ahora podrán observar la grafica de los mínimos
En la línea coseno hay discontinuidad desde menos infinito hasta
infinito.
los puntos de inflexión de la línea coseno los podemos ver en los
siguiente gráfico.

13.  los intervalos de la función coseno son crecientes en los puntos
que nos muestra la grafica

14. el periodo de la línea coseno va desde 0 hasta 3,1 y de 0 hasta-
3,1;esta línea coseno tiene una amplitud desde 1,5 hasta -1,5
además de que la función coseno es par al igual que seno.
El siguiente grafico nos muestra la función coseno

15.  Ahora hablare de la línea tangente y lo primero que quiro mostrarles
es una grafica de la linea tangente en donde hay discontinuidad
aislada

16.  El dominio del a línea tangente va es desde menos infinito hasta mas
infinitito
 La discontinuidad de la línea tangente va desde -9,4 hasta9,4
 la función tangente tiene 6 asíntotas
 El rango de esta línea va desde menos infinito a mas infinito
 La función tangente no tiene maximo ni mínimos
 Sus puntos de inflexión los veremos en el siguiente grafico

17.  La funcion es creciente si y lo veremos en el siguiente grafico
La funcion es decrecientelo veremos en el siguiente grafico

18.  el periodo de la línea tangente es de menos infinito a mas infinito
la función tangente tiene intervalos de cóncava en los siguientes
puntos.

19.  los intervalos de convexidad los veremos en el siguiente grafico

20.  Razones trigonométricas reciprocas: las razones trigonométricas se dividen en dos
grupos las principales y las reciprocas ; las reciprocas se derivan de las principales.
 Entonces Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones
recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
 -La Cosecante: en los libros la encontramos abreviada de esta manera csc o cosec, esta
es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo es decir: hipotenusa
sobre cateto opuesto
 -La Secante: también abreviada como sec; es la razón recíproca de coseno, o también su
inverso multiplicativo ósea: hipotenusa sobre cateto adyacente
 -La Cotangente: esta la podemos encontrar de dos maneras cot o cta, esta es es la
razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo ósea :cateto
adyacente sobre cateto opuesto
 Como sabemos cosecante es el inverso de la razone seno ya que este es cateto opuesto
sobre hipotenusa; al igual que secante es el opuesto de coseno ya que este es: cateto
adyacente sobre hipotenusa, y por ultimo tenemos cotangente es el opuesto de
tangente ya que esta se define como cateto opuesto sobre cateto adyacente

21.  Como ya sabemos estas son cosecante ,secante y cotangente; ahora
hablaremos un poco mas de cada una de estas:
 La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos
puntos. "Secante" proviene del término en latín para el verbo cortar
"secare“. Ahora mostrare una grafica en la que esta secante y coseno
para que podamos ver que son líneas muy diferentes.

22.  Ahora hablaremos de cosecante que es el inverso multiplicativo de
seno
 En la siguiente grafica podemos ver que la función seno, cuando
esta toma valores en los que vale cero, la cosecante se hace
infinito, si la función seno tiende a cero desde valores negativos la
cosecante tiende a menos infinito .

23.  Ahora veremos la tercera y ultima razon trigonometrica reciproca
que es la cotangente.
 La cotangente es el inverso multiplicativo de la tangente podemos
ver que para los valores en los que la tangente vale cero, la
cotangente se hace infinito, si la función tangente tiende a cero
desde valores negativos la cotangente tiende a menos infinito.

24.  1.Un niño tira un balón desde una montaña que mide 100m,este
recorre 15mhacia abajo ¿ a que distancia esta el balón de la
montaña? C

 b=100m a=15m

 A c=? B
 Lo que vamos hacer ahora es encontrar el lado c que esta con un
interrogante por que es la distancia; y la distancia es lo que nos
pide el problema que encontremos.

25. Lo que hacemos es buscar una razón trigonométrica que
nos ayude a resolver el ejercicio; necesitamos la identidad
que sea cateto adyacente sobre hipotenusa entonces
tenemos que coseno es la razón trigonométrica que cumple
con lo buscado .
 Cosc=cateto adyacente/hipotenusa
 Cosc= 15m/100m
 C= cos15/100
 C=0.99

26. 2.Un carro sebe una pendiente formando un ángulo de45º hasta que
llega a un altura de10m¿ que distancia recorrió?
C
b
a=10m
A B

27.  Hacemos lo mismo buscamos la razón que
mejor se adapte a lo que nos piden y la
aplicamos.
 Tanx= cateto opuesto /cateto adyacente
 Tan45º= c/10m
 C=tan45º*10m
 C=10m

28. 3.Una persona tira un balón desde un edificio que mide 40m, mira
hacia abajo y ve que crea un ángulo de depresión de 30º ¿ que
distancia recorrió el balón.
40m
x

29.  Tanx=cateto opuesto /cateto adyacente
 Tan30º=x/ 40m
 X=tan 30*40
 X= 23.09
 La distancia que recorrió el balón es de
23.09m

30.  4.un perro salta desde el suelo hasta una
mesa que tiene 6m formando un angulo de
35º ¿ que distancia recorre el perro?
 6m

 suelo

31.  Tambien buscamos la razon trigonometrica
que mejor se adapte a lo que nos preguntan y
resolvemos
 Tanx=cateto opuesto /cateto adyacente
 Tan35º=x/6m
 X= tan35º*6m
 X=4.20m

32.  5. un hombre mira la punta de un árbol ; el árbol mide 15m
formando un ángulo de elevación de 47º ¿Qué distancia hay entre el
hombre y la base del árbol?
 15m

 x

33.  buscamos la razón trigonométrica que nos
ayude a resolver el problema y la aplicamos
 Tanx=cateto opuesto/cateto adyacente
 Tan47º=x/15m
 X= tan47º*15m
 X=16.08
 La distancia es de 16.08m

34.  3.1CUALES SON LAS CARACTERISTICAS DE LOS TRIANGULOS
OBLICUANGULOS Y COMO LOS RESOLVEMOS.

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus
ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el
teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por el
teorema de seno y de coseno, así como el que la suma de todos los
ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.
 A continuación podemos ver una grafica que nos muestra un
triangulo oblicuángulo

35.  Como se dijo anteriormente este no se puede resolver por el
teorema de Pitágoras, pero si se puede resolver por los teoremas de
seno y coseno.
 TEOREMA DE SENO: en un triangulo cualquiera las razones
obtenitadas de dividir el seno de un ángulo entre un lado opuesto
son iguales es decir:
 senA/a=senB/b=senC/c con este teorema podemos encontrar los
lados que nos falte ya que nos dan uno, para en encontrar los
ángulos solo debemos saber que la suma de los ángulos de los
triángulos es de cien ochenta grados; para poder utilizar este
teorema siempre nos dan dos ángulos ;lo que hacemos es sumar los
conocidos y restárselos a ciento ochenta dándonos asi el tercer
ángulo

36.  A continuación les daré un ejemplo de la utilización del teorema del
seno
 Vemos que en este triangulo oblicuángulo nos dan los ángulos B y C
para encontrar A súmanos los ángulos: 45º+105º=150º ; entonces
ha 180º que es la suma de los ángulos de los triángulos le restamos
150º y esto nos da 30º que es el valor del ángulo A
 Entonces conocemos los ángulos:A=30º
 B=45º
 C=105º
 También conocemos el lado a=6m

37.  El teorema del seno dice que senA/a=senB/b=senC/c, lo que
hacemos es remplazar
 Sen30º/6m=sen 45º/b=sen105º/c
 Ahora vamos a encontrar b: sen30º/6m=sen45º/b
 b=sen45º*6m/sen30º esto lo hacemos en una calculadora cientifica
y el resultado que nos de es el valor de b, en este caso b vale 8.48m
 Ahora encontraremos c: c= sen30º/6m=sen105º/c
 C=sen105º*6m/sen30º
 C=11.59m
 Asi ya tenemos resuelto el triangulo siendo los valores de los
 Angulos:A=30º lados:a=6m
 B =45º b=8.48m
C=105º c =11.59m

38.  Todo triangulo oblicuángulo para encontrar los lados el cuadrado
de la medida de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las
medidas de los otros dos lados menos dos veces el producto de los
dos lados por el coseno del ángulo que forma. Para encontrar los
lados utilizamos
 a elevado a la dos =b a la dos +c a la dos-2ac*el coseno del
ángulo A
 b elevado a la dos =a elevado a la dos+ c a la dos-2ac*el coseno del
ángulo B
 C elevado a la dos = a elevado a la dos+ b a la dos-2ab * coseno del
ángulo C

39.  Lo que se hace es despejar las formulas para encontrar los lados
esto nos queda asi:
 Cos del ánguloA =b elevado a la dos + c elevado a la dos-a elevado
a la dos sobre 2bc
 cos del ánguloB=a elevado a la dos + c elevado a la dos-b elevado a
la dos sobre 2ac
 Cos del ánguloC =a elevado a la dos + b elevado a la dos-c elevado
a la dos sobre 2ab

40. C
a
b
A c B

41.  Angulo A=90º Lado a=12cm
 Angulo B=? (47º) Lado b=16cm
 Angulo C=45º Lado c=? (10.93)
 Angulo B=180º-90º-43º=47º
 C elevado a la dos=a elevado a la dos + b elevado a la dos -2ab.cos
del ángulo C
 C elevado a a la dos=12 elevado a lados +16 elevado a la dos-
2(12)(16)*cos del ángulo C
 C elevado a la dos =144+256-280.32
 C elevado a la dos= 400-280.32
raíz de c a la dos= raíz de 119.68
C=10.93

42.  1.problema con los teoremas de seno y coseno
 1. un niño eleva una cometa formado un ángulo de 30º hasta que
alcanza una altura de 5metros ¿hallar la distancia entre el niño y la
cometa? C

 a b=5m
 B c A

43.  Lo que hacemos es sumar los ángulos que ya tenemos y restárselos
a 180º ;por que 180º es la suma de todos los ángulos internos de un
triangulo.
 180º-90º-30º= 60º este es el valor del tercer ángulo
 El teorema del seno dice: senA/a=senB/b= senC/c
 Lo que hacemos con esto es remplazar
 Sen90º/a=sen30º/5m=sen60º/c
 a= sen90º/a=sen30º/5m
 a=sen90º* 5m/sen 30º ANGULOS A:90º LADOS a:10m
 a=10m B:30º b:5m
 Sen30º/5m=sen60º/c C:60º c:8.66m
 c=sen60º*5m/sen30º
 c=8.66m

44.  Una persona A que esta en el suelo mira a otra que esta en la punta
de un árbol formando un ángulo de 60º,el árbol mide 12m ¿ a que
distancia esta la persona A del árbol?
 C
 b a=12m
A c B

45.  Hacemos lo mismo que en el primero
 180º-90º-60º=30º tercer angulo
 senA/a=senB/b= senC/c
 Sen30º/12m=sen90º/b=sen60º/c
 C=sen30º/12m=sen60º/c
 c=Sen60º*12m/sen30º
 C=20.78

46.  3. dos bicicletas salen simultáneamente desde un punto A , en
dirección tal que forman un ángulo de 70º, una va a 10 km por hora
y la otra a 15 km por hora. Determinar a que distancia se
encuentran separadas después de tres horas.

a=30km
10km
A b
15km
c=45km


47.  Ahora vamos a utilizar el teorema del coseno para poder encontrar
la distancia ; como el ángulo es opuesto a todo los lado podemos
utilizar cualquiera de las formula para encontrar los lados; esta ya
fueron antes mencionas, en este caso utilizaremos la de b
 b elevado a la dos = a elevado a la dos + c elevado a la dos -2ac*
cos del angulo B
 b elevado a la dos= (30)a la dos+(45)a la dos-2(30)(45)*cos del
angulo 70º
 b elevado a la dos =900+2025*cos del angulo 70º
 b elevado a la dos =2925-92345
 luego le samo raiz a b y al resultado que nos de la resta anterior
 Raiz de b=raiz de 2001.55
 b=44.73 y este es el resulta

48.  4.un persona sube una pendiente que mide 16m, formando un
ángulo de elevación de 65º y tiene una altura de 6m ¿ que distancia
hay y cual es le ángulo de depresión.

 C
b=16m a=6m
A c=? B

49.  Utilizamos el teorema del seno
 180º-90º-65º=25º
 senA/a=senB/b=senC/c
 Sen25º/6m=sen90º/16=sen60º/c
 c=sen90º/16º=sen65º/c
 c=Sen65º*16/sen90º
 C=14.50m
 La distancia es de 14.50m

50.  5. ¿Cuál es la longitud de la diagonal de un paralelogramo ?
Conociendo que los lados miden 15m y 6m.
 15m
6m

51.  c=15m B
 A a=6m


 b C
Utilizamos el teorema de coseno y la forma de sete para en contra el la
diagonal. En este caso también podemos utilizar cualquiera por que
el ángulo es opuesto a todos los lados

52.  b elevado a la dos = a elevado a la dos+c elevado a la dos -2ac*cos
del anguloB
 b elevado a la dos=(6)a la dos +(15)elevado a la dos -2(6)(15)*cos
del angulo90º
 belevado a la dos =36+225-180*0
 b elevado a la dos =261-0
 b elevado a la dos =261
 Luego sacamos raiz de b y 261; y nos queda
 b =16.15
 La diagonal mide 16.15m

53.  La dificultad mas notoria que he tenido es
aprenderme las identidades por que son
varias además el no saber en que ejercicios
aplicarlas por que primero se tiene que mirar
el ejercicio para luego ver que identidad nos
sirve.
 Mi compromiso es aprenderme las
identidades , poner mucha atención en las
explicaciones, hacer ejercicios para mejor