Trabajo de Calculo sobre la integral

1. Sumatoria
Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de números, que se denota
como sigue:
h t
S nk nh nk 1  nh t 1 nh t
k h
donde:
S: magnitud resultante de la suma.
T: cantidad de valores a sumar.
k: índice de la suma, que varía entre h y h+t
h: punto inicial de la sumatoria
h+t: punto final de la sumatoria
nk: valor de la magnitud objeto de suma en el punto k
Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando t→ ∞, que se
conoce como serie y se representa de la manera siguiente:
S nk
k h
Considerando la amplitud que reviste el análisis de las series, este tema no será
abordado en este trabajo.
III. Propiedades de las sumatorias
Entre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura se encuentra
las once que se relacionan a continuación, cuya demostración se realiza utilizando el

2. procedimiento matemático de Inducción Completa.
III.1 Reportadas en la literatura
n
nn 1
Propiedad #1: k
k 1 2
q
q p q p 1
Propiedad #2: k
k p 2
n
Propiedad #3: 2k n n 1
k 1
n
Propiedad #4: 2k 1 n 2
k 1
n
Propiedad #5: 4k 1 n 2n 1
k 1
n
Propiedad #6: 4k 2n n 1
k 1
n
n n 1 2n 1
Propiedad #7: k2
k 1 6
n
1
Propiedad #8: k k 1 nn 1 n 2
k 1 3

3. n
1 n
Propiedad #9:
k 1 k k 1 n 1
n 2
3 nn 1
Propiedad #10: k
k 1 2
n
4 n n 1 2n 1 3n 2 3n 1
Propiedad #11: k
k 1 30
Area bajo la curva
Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se
van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un
incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área
total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann
Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región
"S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:
Teniendo los intervalos:
La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

4. donde haciendo de esta como un promedio entre la
suma superior e inferior de Darboux.
Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:
Sabiendo que:
Ejemplo # 1
Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la
derecha de la siguiente función:
,límites
La suma de Riemann representa la suma de las areas sobre el eje , menos la
suma de las areas debajo del eje ; esa es el área neta de los rectángulo
respecto al eje .
Ejemplo
La integral indefinida

5. Sea una función; se dice que , función derivable, es una primitiva de si se
verifica
Ejemplo: hallar dos primitivas de . Hallar también la expresión general
Por tanto, dado que la derivada de es
De esta manera, dado que , la obtención de la primitiva es una operación
inversa a la derivación: se trata de la integración. En consecuencia,
En efecto, si es una primitiva de , entonces también lo es, ya que
Asimismo, si una función tiene derivada nula en un intervalo, entonces es
constante (se admite sin demostración).
Por ello, si y son primitivas de , entonces se diferencian en una constante, es
decir:
Concepto de diferencial de una función en un punto
Como ya se estudió, la recta tangente en P es la recta que mejor se aproxima a la
curva en las cercanías del punto, lo cual quiere decir, por tanto, que
El incremento de la función es el punto es:

6. Al valor de BA, que es el incremento correspondiente a la recta tangente en , se le
llama diferencial de la función en el punto , esto es,
Teniendo en cuenta que la pendiente de la recta tangente es
Se tiene que
Para la función , se tiene que
Por lo que es posible escribir, para toda función real de variable real,
Por lo que
, que es la expresión de la derivada de una función como un verdadero cociente de
diferenciales. Obsérvese que si es una primitiva de , entonces tiene que ser
, y por tanto,
Propiedades de la integral indefinida

7. a) Linealidad: la integral de la suma es al suma de las integrales:
b) Dado que la derivada de la suma es la suma de las derivadas, se tiene que
Regla de la cadena
Dado que la regla de la cadena para la derivación es
Y por tanto se verifica que
Ejemplo: hallar la regla de la cadena para la integración para una función resultado
de la composición de otras tres funciones.
Integrales inmediatas
Se denominan integrales inmediatas a aquellas que no requieren ningún método
para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha
derivado. La fórmula anterior permite reinterpretar la lista de integrales inmediatas
haciendo actuar las funciones elementales sobre funciones cualesquiera. Se obtiene así
la siguiente lista:

8. La integral definida: significado geométrico
Antes de comenzar, cabe explicitar que sólo estudiaremos la integración definida
de funciones reales de variable real, continuas en todo IR y que, en principio, no toma
valores negativos
Si A es el área buscada, nótese que se tiene que el área por defecto es menor a A, que, a
su vez, es menor que el área por exceso:
Cuando el número de divisiones del intérvalo [a,b] crezca indefinidamente, las
áreas por defecto y por exceso coincidirán y ese valor común será el área encerrada.

9. Supóngase que y=f(x) es una función continua y positiva en el intérvalo [a,b], se
llama partición de [a,b] a todo conjunto ordenado de puntos del intérvalo, donde el
primero es a y el último, b. Esto es,
Denomínese diámetro de una partición P a la mayor de las diferencias , donde
, sea es mínimo valor que toma f(x) en el intérvalo ; entonces
la suma riemanniana, y sea el máximo valor que toma f(x) es ese mismo intérvalo;
entonces las sumas riemannianas inferior y superior serán, respectivamente, s y S:
Geométricamente, la suma riemanniana inferior es la suma de las áreas de los
rectángulos que quedan por debajo de la gráfica de f, que es una aproximación del área
que encierra f por defecto. Análogamente, la suma riemanniana superior representa la
suma de las áreas de los rectángulos de base y altura , que es una
aproximación del área que encierra f por exceso.
Por tanto, es evidente que para toda partición de [a,b] se verifica que , ya
que . Así, se dice que una partición Q es más fina que otra, P
si todo punto de P lo es de Q. Entonces, si P es más fina que Q,
,ya que al aumentar el número de puntos de la partición el área por defecto aumenta y el
área por defecto disminuye (es trivial).

10. Ejercicio de reflexión. Dado que , ¿cuándo sucede que ?
Obviamente, la suma superior riemanniana es igual a la suma inferior riemanniana
cuando el número de particiones del intérvalo [a,b] es tiende al infinito, de manera que
la base de los rectángulos tiende a cero, ,
Consideremos una sucesión de particiones , donde el
diámetro de tiende a cero. Por la proposición anterior, se sigue
Estas dos sucesiones, al ser monótonas y acotadas son convergentes y tienden a
un mismo número real, al que llamamos integral definida de en . Si denotamos
por al diámetro de ,
Nótese que
Por tanto,
Entonces, geométricamente, la integral definida mide el área comprendida entre la curva
y=f(x), el eje de las X y las rectas verticales .
Obsérvese que para las funciones de signo no constante se llegaría a la misma definición
de integral definida, aunque en esos casos la integral no representa un área.
Por convenio, se define
Con lo cual tiene sentido la integral para .
Propiedades de la integral definida

11. a) Dado que el área que encierra una línea es nula (es unidimensional), se tiene que
b) Aditividad respecto del intérvalo: si f es continua en [a,b] y , entonces
c) Linealidad de la integral definida: si f y g son continuas en [a,b], entonces
d) Asimismo, es posible sacar constantes como ya se demostró para la integral
indefinida,
Intuición geométrica
Area bajo la curva
El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la
función A(X), comoA(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para
valores pequeños de h.

12. Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es
una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que
existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y xaún sin conocer
su expresión.
Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría
hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el
área de esta especie de "loncha" seríaA(x+h) − A(x).
Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de
un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la
aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.
Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y
que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras
palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad
cuando h tiende a 0 como límite.
Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene
Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es
sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se
queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.
Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada
de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la
función de área A(x) es la antiderivada de la función original.
Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y
"hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del
teorema fundamental del cálculo integral.
Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función f integrable sobre el intervalo ,
definimos F sobre por . Si f es continua en

13. [a,b] ,
entonces F es derivable en y .
Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x)
derivables.
Sea [[ ]] integrable sobre y
Entonces
Demostración
Por definición se tiene que .
Sea h>0. Entonces .
Se define y como:
,
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Por lo tanto,

14. Sea . Sean
,
.
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Como
,
entonces,
.
Puesto que , se tiene que
.
Y como es continua en c se tiene que
,
y esto lleva a que
.
Ejemplos
Segundo teorema fundamental del cálculo

15. El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o
también regla de Barrow, en honor almatemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac
Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el
valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.
Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquierfunción
primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces
Demostración
Sea
.
Tenemos por el primer teorema fundamental del cálculo que:
.
Por lo tanto,
tal que .
Observamos que
y de eso se sigue que ; por lo tanto,
.
Y en particular si tenemos que:
Ejemplos

16. Teorema valor medio para el calculo integral
Ejemplos
1. Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo
[−4, −1].
Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la
media.
La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.