1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Cabudare – Estado Lara
Estudiante Profesor Materia
Giannino Florio Domingo Méndez Matemática II

2. Definición: Una sumatoria indica la suma de una serie de términos
que corresponden a una
expresión algebraica. La sumatoria se denota con la letra griega
sigma.
Partes: Ejemplos:
n: índice Superior (deberá ser un
número entero, mayor o igual al
índice inferior).
k=1: índice Inferior (puede
comenzar en cualquier
entero).
Xk: variable

3. Propiedad 1
Para la demostración de la propiedad
1, escribiremos el lado izquierdo de la
ecuación de la siguiente manera:
para obtener:
(Continuación) >>>

4. …Sabemos que la suma es asociativa y
conmutativa por lo que los términos se
reordenan y queda de la siguiente manera:
y sabemos que la sucesión:
y
Se pueden escribir:
y
por lo que al sustituir obtendremos:

5. Propiedad 2
Para la propiedad 2
utilizaremos la propiedad
distributiva de la suma:
Como sabemos, por la distributiva de la suma
tenemos que:
(Continuación) >>>

6. …Y por notación sigma sabemos que:
Por lo que al momento de sustituir
obtendremos la propiedad 2:
Cabe resaltar que la Propiedad 3:
Es muy similar a la Propiedad 1, en donde solo cambiará el signo.

7. Definición: Variación de las sumas
Estas sumas son Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del
aproximaciones al área intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada
que queremos calcular. definida en ese intervalo. Entonces:
Gráficamente, se puede
La suma inferior aumenta a medida que se ver en color naranja el
van tomando refinamientos de la partición área que aumenta:
P, porque cada rectángulo se divide en
otros de altura igual o superior, y el área
siempre aumenta.

8. La suma superior disminuye a medida que se van tomando
refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se
divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre
disminuye.
Mientras el
Gráficamente, se puede número re
ver en color naranja el rectángulos en
área que disminuye: el gráfico se
haga
mayor, entonces
el área
calculada será
casi
exactamente el
área buscada.

9. Definición:
El producto del
Si a una expresión obtenida rectángulo vendrá
para la suma de Riemann, le siendo su área, y
tomamos el límite ya que k = después de sumar
1, 2, 3, 4…..n y cada una de estas
existe, entonces podemos mismas, se podrá
definir la integral definida de F obtener el área bajo
la curva.
desde a hasta b.
a = Limite inferior Dxk = Ancho del rectángulo
b = Limite Superior Fbk = Altura del rectángulo

10. Las integrales definidas cuentan con puntos de integración para que
podamos encontrar el valor del área bajo la curva de una función
F(x), tal que si una función f(x) es continua en el intervalo cerrado
[a,b], entonces F(x) es integrable en [a,b].
6. Si c ∈ [ a ,b ]

11. En una Función continua en un intervalo cerrado, existe al
menos un valor dentro del mismo, de modo que la derivada
de la función evaluada representa dicho valor
promedio, conocido también como Valor Medio para
Integrales.
Ejemplo:
Si F(x) es continua en [0,2] y derivable en
(-1,2), podríamos aplicar el teorema:

12. Si f(x) es continua en el intervalo [a,b] y F es una primitiva
de f en [a,b], entonces podemos decir:
Primer Teorema Segundo Teorema
Sea f una función continua en [a,b]
y sea la función F definida por:
Entonces: F es antiderivada de f
en [a,b], esto es
F(x) = f(x)

13. No siempre podremos resolver una integral directamente
aplicando algún teorema de la integración, por este modo se
deberá ejecutar otros métodos para encontrar su
antiderivada sin cambiar la expresión integrando.
Ejemplo: Tenemos
El cambio de variable
se realiza cuando en el
integrando existe una
expresión que resulta
de derivar otra parte
de ella.