El documento presenta ejemplos de cálculo de límites y derivadas. Resume los conceptos de límite, continuidad y derivada, y proporciona ejemplos resueltos de cada uno. Calcula límites cuando x se acerca a diferentes valores, identifica puntos de discontinuidad en funciones, y encuentra pendientes de rectas tangentes evaluando derivadas en puntos específicos.

1. AUTOR: Paul Fernando Gonzalez Rodriguez
1.- Encontrar el límite L. Luego utilizar la definición delta-
sigma de límite para demostrar que el límite es L.
a) limx->4 (x+2)
limx->4 x + limx->4 2 = 4+2 = 6
Demostración:
|(x+2)-6|<  0 |x - 4|< 
|x - 4|<  
b) limx->6 3
limx->6 3 =3
Demostración:
|3 - 3|<  0 |x - 6|< 
|0|<  0 |6 - 6|< 
|0|<  0 |0|< 
c) limx-> -4 (1/2x -1)
limx-> -4 1/ (limx-> -4 2 limx-> -4 x - limx-> -41)
1/(2(-4)-1)
-1/9
Demostración:
|(1/2x – 1)+1/9|<  0 |x + 4|< 
|(2x + 8)/(18x - 9)|<  
|(2(-4) + 8)/(18(-4) - 9)|< 
|-0/81|<  0 |-4 + 4|< 
|0|<  0 |0|< 
2.- Calcular el límite.

2. a) limx->3 raiz(x+1) = raíz(3+1) = raíz (4) = 2
b) limx->1 (2x-3)/(x+5) = (2(1)-3)/(1+5) = (2 -3)/6 = -1/6
c) limx->1 (-x2
+1) = (-(1)2
+1) = -1 + 1 = 0
d) limx->-3 2/(x+2) = 2/(-3+2)= 2/-1) = - 2
3.- Encontrar los valores de x (si existe alguno) en los
que f no es continua. ¿Cuáles discontinuidades son
evitables o removibles?
a) f(x) = 1/(4-x2
)
4-x2
= 0
x2
= Raíz(4); x=2 ; x= -2
La función es discontinua en x = 2; x= - 2
Es una discontinuidad removible
b) f(x) = 3x -cosx
La función nos es discontinua en ningún punto.
c) f(x) = x/(x2
-1)
x2
-1=0
(x-1) (x+1) =0; x=1; x= -1
La función es discontinua en x = 1; x= - 1
Es una discontinuidad removible
d) f(x) = (x-6)/(x2
-36)
x2
-36=0
(x-6) (x+6) =0; x=6; x= -6
La función es discontinua en x = 6; x= - 6
Es una discontinuidad removible
4.- Calcular el límite.
a) limx->-1
+
1/(x+1) = 1/(0+1) =1/1 = 1

3. b) limx->1
+
x2
/(x-1)2
= 22
/(2-1)2
= 4/1 = 4
c) limx->1
+
(2+x)/(1-x) = (2+2)/(1-2) = 4/-1 = - 4
5.- Encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de la función en el punto dado.
a) f(x) = 3 -5x, (-1,8)
b) g(x) = x2
-9, (2,-5)
c) f(t) = 3t -t2
, (0, 0)