PREUNIVERSITARIO 4

1. Curso:
Aritmética
Ciclo:
Semestral –
SAN MARCOS
Tema: Regla de Tres

2. REGLA DE TRES
Consiste en un conjunto métodos para resolver problemas en
los que intervienen magnitudes proporcionales.
Dependiendo del número de magnitudes que intervienen la
regla de tres puede ser SIMPLE O COMPUESTA
SIMPLE:
En este caso solo intervendrán dos magnitudes. La regla de
tres simple se divide en DIRECTA e INVERSA
A) Directa
Las magnitudes que intervienen son DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES
A B
1
a 1
b
2
a 2
b
1 2 2 1
a b a b
DP
Si: A DP B
A
cte
B
1 2
1 2
a a
b b 1 2 2 1
a b a b
Ejemplo 1: Treinta conejos pueden ser alimentados con 70
zanahorias. ¿Cuántas zanahorias se necesitan para
alimentar a 36 conejos?
Solución:
Conejos Zanahorias
30 70
x
36
30x 36 70
x 84
Ejemplo 2: Un artista cobra S/.10 por pintar un lienzo
cuadrado de 10cm de lado. ¿Cuánto cobrara por pintar un
lienzo de la misma forma pero de 20cm de lado?
Solución:
DP
Area Costo
2
10 10
x
2
20
100x 400 10
x 40
DP
2
(L )

3. B) Inversa
Las magnitudes que intervienen son INVERSAMENTE
PROPORCIONALES
A B
1
a 1
b
2
a 2
b
IP
Si: A IP B A B cte
1 1 2 2
a b a b
1 1 2 2
a b a b
Ejemplo 3: 24 obreros pueden hacer una obra en 25 días.
¿En cuantos días pueden realizar la misma obra 30
obreros?
Solución:
Obreros Dias
24 25
x
30
IP
24 25 30 x
x 20
Ejemplo 4: 10 Obreros se comprometieron en terminar una
obra en 24 días. Si luego de 18 días reciben la noticia que la
obra se debe entregar 2 días antes del plazo establecido.
¿Cuántos obreros más se deben de contratar para cumplir lo
requerido?
Solución:
10 Obreros 24 dias
10 Obr
18 dias
10 18
(10 x) Obr
4 dias
4 (10 x)
10 18 4 (10 x) 10 24
180 40 4x 240
4x 20
x 5

4. COMPUESTA
En este caso intervendrán más de dos magnitudes.
Analizando algunas de las magnitudes mas conocidas
Obreros
1
a
2
a
Dias
1
b
2
b
h d
1
c
2
c
Obra
1
d
2
d
Eficiencia
1
e
2
e
Dificultad
1
f
2
f
Se cumple:
Obreros Dias h d Eficiencia
CTE
Obra Dificultad
Obreros Dias  
h / d ; Obra ;Eficiencia ;Dificultad CTE

IP
Obreros h / d  
Dias ; Obra ;Eficiencia ;Dificultad CTE

IP
Obreros Obra  
Dias ; h / d ;Eficiencia ;Dificultad CTE

DP
Obreros Efic  
Dias ; h / d ; Obra ;Dificultad CTE

IP
Obreros Dific  
Dias ; h / d ; Obra ;Eficiencia CTE

DP
Ejemplo 5: Un ingeniero puede construir 600 m de una
carretera con 10 obreros, en 50 días y trabajando 8 horas
diarias. ¿Cuántos días tardaría este ingeniero en construir
800 m de una carretera, con 50 obreros doblemente
eficientes que los anteriores, en un terreno de triple dificultad
y trabajando 2 horas más por día?
Solución:
Obreros
10
50
Dias
50
x
h d
8
10
Obra
600
800
Efic
1
2
Dific
1
3
3
10 50 8 50 10
600 1 800
2
x
1
3 4
x 16

5. Problemas
Problema 1: En la construcción de un cerco perimetral de
una casa el ingeniero de obra manifestó que 2 hombres y 8
muchachos pueden hacer una obra en 15 días, mientras
que un hombre y 2 muchachos hacen la misma obra en 45
días. Un solo muchacho, ¿en cuántos días haría dicho
cerco perimetral?
A. 90 C. 180
B. 120 D. 150
Solución:
Sea:
El rendimiento de un hombre: h
El rendimiento de una muchacho: m
Rend
2h 8m
Dias
1h 2m
15
45
IP
1m x
(2h 8m) 15 (h 2m) 45
3
2h 8m 3h 6m
2m h
12m
12m 15 m x
x 180
Clave C
Problema 2: Una obra debía terminarse en 30 días
empleando 20 obreros, trabajando 8 horas diarias. Después
de 12 días de trabajo, se pidió que la obra quedase
terminada 6 días antes de aquel plazo y así se hizo.
¿Cuántos obreros se aumentaron teniendo presente que se
aumentó también en 2 horas el trabajo diario?
A. 4 C. 44
B. 24 D. 0
Solución:
20 Obreros 30 dias 8 h d
20 Obr
12 dias
20 12 8
8 h d
(20 x) Obr
12 dias
12 10 (20 x)
10 h d
20 12 8 12 10 (20 x) 20 30 8
6
2 5
16 20 x 40
36 x 40
x 4 Clave A

6. Problema 3: Para realizar una obra se cuenta con dos
cuadrillas. La primera tiene cierta cantidad de obreros y
puede ejecutar la obra en 4 días; la segunda cuenta con un
número de obreros, diferentes del anterior y puede concluir
la obra en 15 días. Si se emplea 1/3 de la primera y 1/4 de
la segunda, ¿en cuánto tiempo terminarán la obra?
A. 12 C. 15
B. 10 D. 8
Solución:
Sea:
El rendimiento de toda la primera cuadrilla: 3a
El rendimiento de toda la segunda cuadrilla: 4b
Rend
3a
Dias
4b
4
15
IP
a b x
3a 4 4b 15
a 5b
15b
15b 4 6b x
x 10
Clave B
5
6b
Problema 4: Conociendo que 4 obreros trabajando 10 horas
diarias han empleado 12 días para hacer una zanja de 400
metros de largo, 2 metros de ancho y 1,25 metros de
profundidad, ¿Cuántos días emplearán 12 obreros
trabajando 8 horas diarias al abrir otra zanja de 200 metros
de largo, 3 metros de ancho y 1 metro de profundidad?
A. 5 días C. 6 días
B. 12 días D. 3 días
Solución:
Obreros
4
12
Dias
12
x
h d
10
8
Obra
400 2 1,25
200 3 1
4 12 10 12 8
1000 600
x
2
1000
600
x 3
3
5
Clave D

7. Problema 5: Un grupo de n obreros se comprometen en
terminar una obra en cierto tiempo. Luego de algunos días
paralizan las labores por 2 días, al cabo de las cuales se
reincorporan 14 obreros más, los cuales apoyaron por 3
días y se consiguió terminar el trabajo en el plazo fijado.
Calcule n.
A. 14 C. 19
B. 17 D. 21
Solución:
n Obreros t dias
n Obr
(t 5) dias
n(t 5)
0 Obr
2 dias
0
(n 14) Obr
3 dias
3(n 14)
n(t 5) 3(n 14) nt
nt 5n 3n 42 nt
42 2n
n 21 Clave D
Problema 6: Un buey atado a una cuerda de 3 m. de largo
tarda 5 días en comerse toda la hierba que se encuentra a
su alcance. ¿Cuántos días tardará si la cuerda fuera de 6
m?
A. 6 C. 18
B. 16 D. 20
Solución:
Area Dias
2
3 5
x
2
6
DP
2
( R )
9 x 36 5
x 20
Clave D

8. Problema 7: Para cavar una zanja de 12 𝑚3
se emplearon
20 obreros. Calcule cuántos obreros más se necesitaron
para cavar una zanja de 18𝑚3
.
A. 10 C. 14
B. 15 D. 12
Solución:
Obreros Obra
20 12
18
20 x
DP
20 18 12 (20 x)
30 20 x
x 10
Clave A
Problema 8: Si 20 obreros se demoran 15 días de 7 h/d de
trabajo en sembrar 50 𝑚2
de terreno. ¿Cuántos días de 8
h/d de trabajo se demorarán en sembrar 80 𝑚2
; 15 peones
doblemente eficientes?
A. 14 C. 21
B. 16 D. 25
Solución:
Obreros Dias h d Obra Efic
20
15
15
x
7
8
50
80
1
2
20 15 7 15 8
50 80
1 x 2
10
x 14
5
2
Clave A

9. Problema 9: 18 obreros pueden hacer 40 sillas en 20 días.
¿Cuántos días demorarán 20 obreros de mitad de eficiencia
en hacer 50 sillas si la dificultad es el triple del anterior?
A. 120 C. 135
B. 130 D. 140
Solución:
Obreros Dias Dific
Obra Efic
18
20
20
x
1
3
40
50
2
1
3
1 x
8 20 20
40 5
1 0
2 1
x 135
5
4
Clave C
Problema 10: Un granjero puede cultivar un terreno
cuadrado de 4m de lado en 12 horas ¿Qué parte de otro
terreno cuadrado de 6 m de lado podrá cultivar dicho
granjero en 18 horas?
A. 1/2 C. 2/3
B. 1/3 D. 4/5
Solución:
Area Horas
2
4 12
18
2
f 6
DP
2
(L )
16 18 f 36 12
2 3
4
2
f
3
Clave C

10. Problema 11: Se sabe que 10 hombres pueden hacer una
obra en 6 días, mientras que 15 mujeres pueden hacer la
misma obra en 8 días. ¿En cuántos días harían dicha obra
5 hombres y 2 mujeres?
A. 10 C. 12
B. 15 D. 8
Solución:
Sea:
El rendimiento de un hombre: h
El rendimiento de una mujer: m
Rend
10h
Dias
15m
6
8
IP
5h 2m x
10h 6 15m 8
60h 120m
h 2m
20m
20m 6 12m x
x 10
Clave A
12m
Problema 12: Ocho hombres construyeron un muro en 12
días trabajando 9 horas diarias, ¿Cuántos días tardarán, si
la jornada de trabajo se reduce en 3 horas y 5 hombres
aumentan su rendimiento en 20%?
A. 12 C. 8
B. 16 D. 15
Solución:
• Para simplificar el problema, vamos a juntar la magnitud
Obrero con rendimiento en una sola
• Sea el rendimiento inicial de un obrero: 100
Obrer Rend
 Dias h d
8 100 12 9
x
0
5 3
120 10 6
800 12 9 900 x 6
x 16
9
8
Clave B

12. Clave D Clave A

13. Clave D Clave D

14. Clave B Clave A

15. Clave A Clave D