Aritmetica

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3 er Año Secundaria ARITMÉTICA 3 er Año Secundaria
Objetivos
01.Comparar las características de los objetos y
seres y analizar su variación
cuantitativamente.
02.Aplicar métodos prácticos para determinar las
variaciones de las magnitudes dependiendo
de los valores de otras magnitudes.
03.Resolver situaciones y problemas de la vida
real partiendo de lo simple a lo complejo en
una forma Inductiva.
Es un procedimiento aritmético que permite
hallar una cierta cantidad en la comparación
de dos o más magnitudes; y pueden ser de dos
tipos:
a) Regla de tres simple: Es cuando se
comparan sólo 2 magnitudes.
b) Regla de tres compuesta: Es cuando se
comparan más de 2 magnitudes.
Pueden ser a su vez de dos tipos:
a. DIRECTA: Cuando las magnitudes A y B son
directamente proporcionales.
A
a 1
B
b 1
a 2
x
Se cumple que : 121 b.axa =
∴
1
12
a
b.a
x =
b. INVERSA : Cuando las magnitudes A y B
son inversamente proporcionales.
A
a 1
B
b 1
a 2
x
Se cumple que : x.aba 211 =
∴
2
11
a
b.a
x =
OBSERVACIÓN:
1. Si las flechas van en igual sentido ↑↑; ↓↓; las
magnitudes serán D.P.
2. Si las flechas van en sentido contrario ↑↓;
↓↑; las magnitudes serán I.P.
3. Consideraremos flechas para arriba “ mas o
mayor ” y flecha para abajo “ menos o
menor”
Ejemplo 1:
36 señoras tejen 120 chompas , 108 señoras
¿Cuántas chompas tejerán?
Señoras Chompas
36
108
120
x
(A mayor cantidad de señoras se tejerán
mayor cantidad de chompas). Por lo tanto son
magnitudes D.P.
36
120.108
x =
pashomc360x =
Ejemplo 2:
12 obreros hacen un trabajo en 30 días. ¿En
cuantos días harán dicho trabajo 4 obreros?
Obreros Días
12
4
30
x
(A mayor números de obreros; la obra se hará
en menos días). Por lo tanto son magnitudes
I.P.
4
30.12
x =
días90x =
MÉTODO DE LAS RAYAS:
Todas las magnitudes que intervienen se
clasifican en tres partes y son:
a. CAUSA : Es todo lo que hace posible la obra
(hombres, máquinas, animales etc.)
b. CIRCUNSTANCIA : Es todo lo concerniente
al tiempo (días, horas diarias, raciones diarias
etc)
OBSERVACIÓN:
1. La eficiencia, habilidad, o rendimiento del
obrero va junto o multiplicada a él.
2. La oposición o dificultad de la obra va junto o
multiplicada a ella misma
Problema General
Hombres Efi
a 1
b1
a 2
b2
c 1
d1
x d2
g1
h1
g2
h2
e 1
f 1
e 2
f 2
Días H/D Largo Ancho m Dif2
1ra Serie
2da Serie
Se cumple que :
2211111111222 gfedcbahgfedxba =
Con lo cual:
1111222
22221111
hgfedba
hgfedcba
x =
Ejemplo 1: 12 Obreros en 8 días hacen 60
2
m de una obra, ¿En cuantos días, 8
obreros harán 2
m30 de dicha obra?
Obreros Días m 2
12 8 60
8 x 30
Se cumple que: 8 . x. 60 = 12 . 8 . 30
∴ 6x =
PRÁCTICA DE CLASE
01.Para pintar un cubo de 20 m de lado, me
pagan 480 u.m. ¿Cuánto me pagarán, para
pintar un cubo de 25 m de lado?
a) 650 b) 750 c) 600
d) 800 e) 850
02.A es el doble de rápido que B; pero la cuarta
parte de C. Si A y B hacen una obra en 33
días ¿En cuantos días harán la obra los tres
juntos?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 121
03.Un jardinero siembra un terreno cuadrado, de
7 metros de lado, en 8 días ¿Cuantos días le
tomará en sembrar otro terreno cuadrado, de
14 metros de lado?
a) 16 b) 24 c) 32
d) 64 e) 12
S3AR32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3AR32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
2
REGLA
REGLA DE TRES
REGLA DE TRES

04.Un reloj da 4 campanadas en 4 segundos. ¿En
cuantos segundos dará 13 campanadas ?
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 18
05.Ocho hombres pueden hacer una obra en 3
días ¿Cuántos hombres más harían falta, para
hacer la obra en 2 días?
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 8
06.Un caballo atado a una cuerda, puede comer
todo el pasto que está a su alcance en 8 días
¿Que tiempo se demoraría si la longitud de la
cuerda fuese dos veces más grande?
a) 16 b) 24 c) 32
d) 36 e) 72
07.Nueve caballos tienen ración para 45 días. Si
se aumentan seis caballos más ¿Para cuantos
días alcanzará la ración?
a) 18 b) 27 c) 32
d) 36 e) 56
08.Para pintar un tetraedro regular, cuyo lado
mide 4 m, se necesitan 20 latas de pintura.
¿Cuántas latas de pintura se necesitarán, para
pintar un tetraedro de 12 m de lado?
a) 120 b) 130 c) 140
d) 150 e) 180
09.Hugo puede hacer un trabajo en 20 días y
Silvia puede hacer el mismo trabajo en 16
días . ¿En cuantos días harán juntos el
trabajo?
a) 6 días b) 7 c) 8
d)
9
8
8 e)
5
2
9
10.14 obreros en 15 días han hecho 2
m40 de
una obra. ¿En cuantos días 70 obreros harán
120 2
m de obra?
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 8
11.20 obreros hacen 144 mesas en 3 días.
¿Cuántas mesas harán 5 obreros en 1 día?
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 10
12.En 8 días, 12 obreros han hecho los 2/3 de
una obra. ¿En cuantos días 3 obreros harán lo
restante?
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20
13.14 peones, trabajando 7 horas diarias, se
demoran 15 días para hacer 2
m150 de
una obra. ¿Cuántos días, de 8 horas diarias,
de trabajo se demorarán 21 peones para hacer
240 2
m de dicha obra?
a) 10 b) 14 c) 18
d) 21 e) 25
14.12 obreros hacen una obra en 34 días. Si 8 de
los hombres aumentan se rendimiento en un
20%. ¿Qué tiempo se demorarán en hacer la
obra?
a) 15 b) 20 c) 25
d) 30 e) 35
15.En 15 días se hará una obra con 18 obreros;
luego de cierto tiempo se contratan 6 obreros
mas y 9 días después se termina la obra. ¿ A
los cuantos días se aumento el personal?
a) 2 días b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
16.Con 12 obreros se puede hacer una obra en 40
días. ¿En cuantos días 15 obreros cuya
rapidez es 5 veces, la de los anteriores, harán
una obra 9 veces más difícil que la primera?
a) 24 b) 32 c) 36
d) 48 e) 64
17.25 obreros pueden terminar una obra en 18
días; al cabo de 6 días de trabajo se le juntan
cierto número de obreros de igual
rendimiento, de modo que en 11 días
terminan la obra. ¿Cuántos obreros se
juntaron?
a) 15 b) 25 c) 35
d) 40 e) 50
18.15 obreros se comprometen hacer una obra en
10 días trabajando 8 h/d; al cabo de 2 días de
trabajo, se le pidió que entreguen la obra 2
días antes de lo pactado; razón por la cual
deciden trabajar 10 h/ d y contratar más
obreros. ¿Cuántos obreros se contrataron?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 15
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01.Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se
aumentan 3 caballos más ¿para cuántos días
alcanzará la ración anterior?
a) 8b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
02.Un super panteón en forma de paralelepípedo
pesa 2160 gramos. El peso en gramos de un
minipanetón de igual forma pero con sus
dimensiones reducidas a la tercera parte es:
a) 40 b) 50 c) 60
d) 70 e) 80
03.Quince obreros han hecho la mitad de un
trabajo en veinte días. En ese momento
abandonan el trabajo 5 obreros ¿Cuántos días
tardarán en terminar el trabajo los obreros que
quedan?
a) 24 b) 26 c) 28
d) 30 e) 32
04.Se emplearon M obreros para ejecutar una
obra. Al cabo de D días hicieron 1/n de ella.
¿Cuántos obreros hubo que aumentar el resto
de la obra en B días?
a) ( )BDn
B
M
− b) ( )DDn
B
M
−
c) ( )BDDn
B
M
−− d)
n
MBD
e) ( )BDDM
B
n
−−
05.Si N es el número de obreros que pueden
hacer una obra en (3 / 4)N días trabajando
(1/3) N horas diarias. ¿Cuál es el número N
de obreros si al duplicarse hacen la misma
obra en 72 horas?
a) 12 b) 24 c) 36
d) 48 e) 60
06.Un reloj se adelanta minuto y medio cada 24
horas . Después de 46 días 21 horas 20
minutos. ¿Cuánto se adelantó el reloj?
a) 1 h 10 min 20 s b) 1 h 20 min
c) 1 h 20 min 20 s d) 1 h 30 min
e) 1 h 30 min 20 s
TAREA DOMICILIARIA
01.Un grupo de obreros tenían que hacer un
trabajo en 20 días pero debido a que tres de
ellos faltaron, los restantes tuvieron que
trabajar 4 días más. ¿Cuántos obreros
trabajaron?
a) 5 b) 18 c) 15
d) 16 e) 20

02.Treinta y cinco obreros pueden terminar una
obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo
se les une cierto número de obreros de otro
grupo, de modo que 15 días después
terminaron la obra. ¿Cuantos obreros eran del
segundo grupo?
a) 10 b) 14 c) 20
d) 21 e) 12
03.3 obreros cavan una zanja cúbica de 216
3
m en 5 días, trabajando 10 h/ d. ¿Cuál será
la profundidad de otra zanja cúbica que ha
sido abierta por 15 obreros en 10 días
trabajando 8 h/d?
a) 3 m b) 4 m c) 12 m
d) 6 m e) 8 m
04.15 obreros han hecho la mitad de un trabajo
en 20 días. En ese momento abandonan el
trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en
terminar el trabajo los obreros que quedan?
a) 24 b) 26 c) 28
d) 30 e) 32
05.En 20 días se terminó un trabajo. Al
comienzo 7 obreros hicieron 350 m, luego
con la ayuda de 5 más hicieron los 400 m
restantes. ¿Cuántos días trabajaron los 7
obreros?
a) 6 b) 12 c) 8
d) 16 e) 15
06.Sabiendo que un buey atado a una cuerda de
2 m de largo tarda 5 días en comerse toda la
hierba que se encuentra a su alcance, ¿Cuánto
tardaría si la cuerda fuera de 4 m?
a) 10 días b) 20 días c) 15 días
d) 25 días e) 18 días
07.Un contador y tres asistentes pueden elaborar
2 balances generales en 30 días . ¿En cuanto
tiempo tres contadores y un asistente pueden
hacer 3 balances generales? (Si el trabajo de
un contador y el de un asistente están en la
misma relación que los números 4 y 3).
a) 33 b) 36 c) 39
d) 42 e) 45
08.Un grupo de obreros promete hacer una obra
en 15 días pero cuando ya habían trabajado 5
días contratan 9 obreros más con lo que
terminaron el trabajo 2 días antes. ¿Cuántos
obreros había en el grupo inicialmente?
a) 45 b) 39 c) 36
d) 27 e) 18
09.Si N es el número de obreros que pueden
hacer una obra en
4
N3
días trabajando
3
N
horas diarias.
¿Cuál es el número N de obreros, si 2N
obreros hacen la misma obra en 72 horas?
a) 18 b) 21 c) 24
d) 27 e) 30
10.Se ha encontrado a 5 costureras que hacen 12
vestidos en 15 días. Si se necesita tener 60
vestidos e 25 días, ¿Cuántas costureras
doblemente rápidas se deben contratar
además contratar además de las ya se tienen ?
a) 3 b) 4c) 5
d) 6 e) 7
Objetivos:
01.Relacionar una parte respecto al total.
02.Determinar el tanto por ciento de una
cantidad.
03.Operar porcentajes.
04.Calcular aumentos o descuentos sucesivos de
una cantidad de referencia.
05.Reconocer los elementos que intervienen en
operaciones comerciales.
Es el número de centésimas partes de una
cantidad
Ejemplo:
De 100 personas que viajan en un ómnibus;
30 son blancos.
Luego:
( ) blancassonpersonasºN
100
30
blancassonpersonasdecientopor30
blancassonpersonasdecientocadapor30
blancassonpersonas100cadapor30
blancassonpersonasde
ºNdel%30
⇒

En general : 100 < > N
a <> P
De donde : Nx
100
a
P =
P = El “ a ” por ciento de “ N ”
P = a % de N
Ejemplo:
El 28% de 50 = 1450x
100
28
=
El 15% de 60 = 960x
100
15
=
El 25% de 40 = 1040x
100
25
=
Gráficamente:
1
100
...........
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100
unidad < > 100 partes iguales
3
= 3%
100
En general:
100
a
%a =
A. CONVERSIÓN DE TANTO POR CIENTO A
FRACCIÓN O DECIMAL
• 01,0
100
1
%1 ==
• 02,0
50
1
100
2
%2 ===
• 15,0
20
3
100
15
%15 ===
• 4,0
5
2
100
40
%40 ===
• 6,0
5
3
100
60
%60 ===
• 8,0
5
4
100
80
%80 ===
REGLA DEL TANTO
TANTO POR CIENTO
a % : tanto por ciento
N : Cantidad
P : porcentajes

• 2,1
5
6
100
120
%120 ===
• 2
100
200
%200 ==
• 006,0
100
6,0
%6,0 ==
•
004,0
250
1
500
2
100
5
2
%
5
2
====







•
0275,0
400
11
100
4
11
%
4
11
%
4
3
2 ===







=
Equivalentes Notables:
100% = 1 (total)
75% =
4
3
(tres cuartas partes)
50% =
2
1
(mitad)
25% =
4
1
(cuarta parte)
10% =
10
1
(décima parte)
200% = 2 (doble)
Luego:
100 % a = a
“Toda cantidad representa el 100% de sí
misma”
B. CONVERSIÓN DE FRACCIÓN O DECIMAL
A TANTO POR CIENTO
• %40%100x
5
2
5
2
==
• 0, 006 = 0, 006 x 100% = 6%
• 5 = 5 x 100% = 500%
• 20% a + 50% a = 70% a
• 80% b . 60% b = 20% b
• a + 20% a = 120% a
• b – 35% b = 65% b
• 3 ( 20% a ) = (3 x 20)% a = 60% a
• 20% (a + b) = 20% a + 20% b
• 80% b ÷ 20% b =
b%20
b%80
= 4
• 60% a ÷ 2 = (60 ÷ 2)% a = 30% a
( ) ( ) ( ) %16%40
100
4
%40%40%40 2
=







==
5
3
10
6
100
36
%36 ===
De 40 habitantes; 8 son flacos
En general:
Nx
b
a
NdebporaEl =
Ejemplos:
Hallar el 8 por 20 de 60
2460x
20
8
=
El 16 por 80 de 30 son limeños . ¿Cuántos
son provincianos?
limeños = 16 por 80 de 30
limeños = 630x
80
16
=
provincianos = 30- 6 = 24
brutacv GPP ==
vP : precio de venta
cP : precio de costo
brutaG : ganancia
Ejemplo:
Una sortija se vende en 250 soles; ganando el
25% del costo. ¿Cuál fue su costo?
Resolución:
250 = cc P%25P +
250 = 125% cP
250 = cP
100
125
200 = cP
PÉRDIDAPP cv −=
Ejemplo:
Un reloj se vendió en 56 soles; perdiendo el
30% del precio de costo. ¿Cuánto costo el
reloj?
Resolución:
56 = cc P%30P −
56 = 70% cP
56 = cP
100
70
80 = cP
Ejemplo:
¿Qué % se gana lo que se vende en 120 soles
lo que ha costado 96 soles?
Resolución:
• brutaG = 120 – 96 = 24 soles
• x % ( ) brutac GP =
x % (96) = 24
x % =1/4 = 0, 25%
PRÁCTICA DE CLASE
OPERACIONES CON
TANTO POR
8 de cada 40 habitantes son flacos
8 por cada 40 habitantes son flacos
8 por 40 habitantes son flacos
40
8
⇒ de habitantes son flacos
APLICACIONES DE
LA REGLA Nota: Se gana o se pierde un % del
precio de costo ( )cP

01.El 25% del 35 por 140 de 48 es:
02.El 50% de A es el 30% de B. ¿Qué tanto por
ciento de 5ª + 5B es A + B?
03.Hallar el descuento único equivalente a los
descuentos de 20% y el 25%
04.Si el radio de un círculo aumenta en 20%: En
que % aumenta su área.
05.Si el área de un círculo disminuye en 36%.
En que porcentaje disminuye su radio.
06.Si la base de un triángulo aumenta en 30% y
la altura relativa a dicha base disminuye en
30%. El área de 1 triángulo varía en 54
2
m . Hallar el área original del triángulo.
07.Si el largo de un rectángulo se incrementa en
un 20% y su ancho se incrementa en un 50%.
El área del rectángulo se incrementa en un
08.Un boxeador decide retirarse cuando tenga el
80% de triunfos en su carrera si la lleva
realizado 100 peleas de las cuales ha perdido
el 45% de ellos. ¿Cuántas peleas como
mínimo debe realizarse para poder retirarse?
09.En un bidón hay 40L de alcohol al 90% de
pureza, en otro hay 60L de alcohol cuyo
grado de pureza es del 70%. ¿Cuál será el
grado de pureza de la mezcla?
10.El precio de costo de un artículo es el 75%
del precio de venta. ¿Qué % de la ganancia es
le precio de venta?
11.Un artículo se ha vendido en 1200 ganando el
20% del costo mas 15% del precio de venta.
Hallar el precio de costo de dicho artículo.
12.Se vende un artículo en 92000 generando el
155 del precio de costo. ¿Cuánto se esta
ganando?
13.Para fijar el precio de venta de un artículo se
aumenta su costo en 30% al venderse se hizo
una rebaja del 10% sobre su precio fijado.
¿Qué tanto % de su precio de costo se gana?
14.Para fijar el precio de un artículo un
comerciante aumenta su costo en 65% y al
venderlo a un cliente, le hago una rebaja del
20% del precio fijado. ¿Qué % del costo se
esta ganando?
15.Se mezcla 40 litros de alcohol de 80º con 20
litros de alcohol de 60º y para que la mezcla
resulte de 40º se agrega cierta cantidad de
agua. ¿Qué cantidad de agua se agrega?
16.Si en una reunión social, el 75% de los
hombres es igual al 45% de las mujeres. ¿Qué
porcentaje de total de personas son mujeres?
a) 37, 5% b) 62, 5% c) 56, 5%
d) 43, 5% e) 36%
17.Si gasta el 30% del dinero que tengo y ganara
el 28% de lo que me quedará. Perdería S/.
156. ¿Qué cantidad d dinero tengo?
18.Al sueldo de un empleado se le hace un
aumento del 20% al comenzar el año, y en el
mes de Julio un aumento de 10% sobre el
total. ¿Qué porcentaje de su sueldo del año
anterior estará recibiendo en agosto?
a) 28% b) 130% c) 103%
d) 25% e) 132%
01.Roxana compra un artículo por el cual le
ofrecen realizar dos descuentos sucesivos del
20% y 30%. Calcule cuanto pagó si
inicialmente el artículo tenía como precio de
S/. 700.
a) 308 b) 306 c) 300
d) 400 e) N.a.
02.A que descuento único equivalen los
descuentos sucesivos del 50%, 25% y 20%.
Luego de los descuentos obtendríamos.
a) 10% b) 20% c) 95%
d) 88 e) N.a
03.Para fijar el precio de venta de un artículo se
aumentó su costo en un 80% pero al venderse
se hizo una rebaja del 20%. ¿Qué tanto por
ciento del costo se ha ganado?
a) 30 b) 40 c) 60
d) 44 e) 50
04.Al venderse un artículo se descontó en un
25% aun así se gana el 20%. Calcule el precio
de venta si la diferencia del precio fijado y
pecio de costo es S/. 12.
a) 20 b) 22 c) 24
d) 26 e) 28
05.Un comerciante compró cuadernos a S/. 8
cada uno y lo vendió obteniendo un beneficio
neto de S/. 51. Si la venta le ocasionó un
gasto del 15% de beneficio bruto y por todo
obtuvo S/. 380. ¿Cuantos cuadernos compró?
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50 e) 60
06.En que tanto por ciento se debe aumentar el
precio de costo de un artículo para fijar su
precio al público, de modo que luego de hacer
2 descuentos sucesivos del 20% y 25% aún se
gane el 60% del costo.
a) 165, 6% b) 166, 6% c) 180%
d) 170% e) N.a
07.Un obrero gana S/. 400 en el primer año, para
el siguiente año le aumentan en un 10%, para
el siguiente segundo año el aumento es del
20% calcule cuál será su sueldo al iniciar su
tercer año de trabajo.
a) 600 b) 550 c) 528
d) 400 e) N.a
08.En la UNMSM se ha realizado las elecciones
para el tercio estudiantil. EL 48% de los
sufragantes eran mujeres y el 25% de ellas
votaban por la lista A que además obtuvo los
votos del 50% de los hombres. ¿Qué tanto por
ciento de los sufragantes votaron por la lista
A?
a) 30% b) 36% c) 38%
d) 40% e) 50%
09.Por cada 2 artículos “ A ” se compran 3
artículos “ B ” y sus costos productivos están
en la relación d 1 a 2. Se decide venderlos a
todos, pero los primeros con una ganancia de
30% y los otros con un 40% obteniendo u
total de 3520. Cuanto compró de cada uno si
el precio de venta del más barato es S/. 26.
a) 382, 48 b) 352, 60 c) 360, 70
d) 400, 70 e) N.a
TAREA DOMICILIARIA
01.Claudia va al mercado, donde al comprar un
cierto número de naranjas le reglan un 5% de
las que compró, obteniendo así 420 naranjas.
¿Cuántas naranjas compró?
a) 200 b) 300 c) 400
d) 360 e) 250
02.Si vendiera mi libro de razonamiento
matemático en un 30% menos, costaría S/.
17, 50 ¿Cuál es el precio real del libro?
a) 25 b) 30 c) 15
d) 18 e) 20
03.Un depósito contiene una mezcla de 90 litros
de alcohol y 10 litros de agua. ¿Qué cantidad
de alcohol debe añadirse para que la mezcla
sea de 95% de pureza de alcohol?

a) 5 L b) 90 L c) 120 L
d) 50 L e) 100 L
04.Se vende un pantalón en S/. 120 ganando el
30% del precio de costo más el 9% del precio
de venta. ¿Cuál es el precio de costo del
pantalón?
a) S/. 84 b) S/. 168 c) S/. 126
d) S/. 42 e) S/. 35
05.Cuando el lado de un cuadrado se incrementa
en 20% resulta que el área aumenta en 176
2
m . Calcular el lado inicial del cuadrado.
a) 10 m b) 12 m c) 20 m
d) 16 m e) 15 m
06.En una fiesta el número de hombres era el
doble del número de mujeres, luego se retiran
el 35% de los hombres, pero llegan enseguida
90 mujeres resultando tanto hombres como
mujeres. ¿Cuantas mujeres había
inicialmente?
a) 150 b) 200 c) 300
d) 250 e) 350
07.Se tiene la misma cantidad de limones de dos
clases distintas, que se venden a 2 por S/. 1
los de primera y 3 por S/. 1 los de segunda. Si
los vendiera 5 por S/. 2, ¿Qué porcentaje del
costo se perdería?
a) 1% b) 2% c) 3%
d) 4% e) 5%
08.AL vender un televisor en $ 406,4, gano el
10% del 20% del 80% del costo. ¿A cuánto
debe vender el televisor para ganar el 20% del
25% del 65% del costo?
a) $ 413 b) $ 414 c) $ 415
d) $ 416 e) $ 417
09.AL venderse un “ V.H.S. ” se gana el 20 %
del precio de venta. ¿Qué porcentaje del
precio de costo se está ganando?
a) 25% b) 28% c) 32%
d) 36% e) 24, 5%
10.Al vender un artículo se observa que le precio
de costo más el precio de venta es el 120% de
la ganancia. Si el precio de venta del artículo
fue S/. 11 000. ¿Cuál fue el precio de costo?
a) 400 b) 500 c) 800
d) 1 000 e) 2 000
OBJETIVOS:
1. Entender la aplicación de interés en la vida.
2. Reconocer los elementos de la regla de
interés.
3. Reconocer ó diferenciar el interés simple de
interés compuesto.
4. Entender el significado de saldo y deudor.
INTRODUCCIÓN
Jhony desea formar un negocio; pero requiere
de cierta cantidad de dinero y para ello
recurre a Jaime, quien le presta S/. 1, 200
pero, Jhony observa que Jaime hará uso de
ese dinero para obtener beneficios, además
que el poder adquisitivo de su dinero no sea
el mismo cuando este le sea devuelto.
Entonces acuerdan que Jhony (deudor)
devolverá a Jaime (acreedor). Luego de 6
meses, la suma de S/. 1500.
Esquema:
I = 300
Jaime prestó
a Jhony
S/. 1, 200
Jhony devuelve
a Jime
S/. 1, 500
6 meses
ELEMENTOS DE LA REGLA DE INTERÉS
INTERÉS. ( I ).
Es la ganancia (utilidad o beneficio) que se
obtiene por cedes (prestar ó imponer) un bien,
durante un determinado tiempo a ciertas
condiciones.
En el ejemplo: I = S/. 300
EL CAPITAL
Es lo que se presta o impone, pudiendo ser un
bien (mercancía, maquinaria, etc).
Generalmente, para nuestro estudio, el
capital es dinero.
En el ejemplo C = S/. 1, 200
TIEMPO DE PRÉSTAMO O
IMPOSICIÓN ( T )
Es el período en el que permanece prestado o
impuesto un capital, y durante el cual genera
intereses.
En el ejemplo: t = 6 meses
CONSIDERACIONES ACERCA DEL
TIEMPO.
1 año comercial tiene 360 días.
1 mes comercial tiene 30 días.
1 año común tiene 365 días.
1 año bisiesto tiene 366 días.
TASA DE INTERÉS ( r %)
Llamado también crédito, nos indica que
tanto por ciento del capital se obtiene como
ganancia en un período de tiempo, para el
ejemplo.
Si ganó S/. 300, que es el 25% del capital
prestado, en el capital se impuso a una taza
del 25 % semestral.
NOTA:
- 10% mensual <> 120% anual (1 año = 12
meses)
- 4% bimestral <> 24% anual ( 1 año = 6
bimestres)
- 8% trimestral <> 32% (1 año = 4 trimestres)
- 13% semestral <> 26% anual (1 año = 2
semestres)
Usualmente se trabaja con tasas siempre
anuales.
MONTO.
Es la cantidad total recibida de final del
tiempo de imposición, y es igual a la suma del
capital más el interés que genera.
Es decir : M = C + I
En el ejemplo :
M = 1200 + 900 = 2100
CLASES DE INTERÉS
Interés Simple: Es cuando el interés,
generado al cabo de cada período de tiempo,
no se acumula al capital.
Esquema:
3 meses 3 meses 3 meses3 meses
C : 800 5% (800) 5% (800) 5% (800) 5% (800)
Se observa que el interés total al finalizar el
año es :
I = 4 x 5 % (800) = S/. 160
r % trimestral
t (en trimestres)
Luego Cx%rtI +=
Donde “ t ” y “ r% ”, se deben expresar en las
mismas unidades de tiempo.
El monto que se obtiene al final del año es:
M = S/. 800 + S/. 160 = S/.960
Nota:
En el interés simple, el interés es
proporcionar al tiempo de préstamo,
considerando una misma tasa y un mismo
capital.
REGLA DE

Interés Compuesto.- Es cuando el interés
que produce un capital, se acumula a dicho
capital (se capitalizara) al cabo de cada
intervalo de tiempo especificado, generando
un nuevo capital para el siguiente intervalo de
tiempo; a esto le llamamos proceso de
capitalización.
Ejm: inductivo
Se impone S/. 5000 al 20% semestral
capitalizable trimestralmente, durante 9
meses.
Halle el interés y el monto.
Resolución:
C = S/. 5000
R% = 20% semestral < > 10% trimestral
T = 9 meses < > 3 trimestres
5000 5500 6050 6655
6 meses 6 meses 6 meses
I (1 semestre) = 500
S
10% (5000) 10% (5500) 10% (6050)
Se observa que:
- El monto al cabo del 1er trimestre 110%
(5000) = 5500.
- El monto al cabo del 2do trimestre es:
110% 110% (5000) = ( )2
110 (5000) =
6050
- El monto al cabo del 3er trimestre es:
110% 110% 110% (5000) = ( )3
%110
(5000) = 6655.
Se deduce que:
Números de trimestres
( ) ( )5000x%101M 3
+=
Taza capital
Luego : ( ) cx%r1M n
+=
Donde “n” nos indica el número de período
de capitalización contenido en el tiempo de
préstamo de imposición.
Nota:
El período de capitalización determina las
unidades de taza y tiempo que se debe utilizar
necesariamente.
El interés producido al final del año y medio
es:
I = M – C
⇒ I = 6655 – 5000 = S/. 1655
PRACTICA DE CLASE
01.Se deposita la suma S/. 87600 durante 15
meses al 5% trimestral. ¿Qué error se comete
al considerar el año común en vez del año
comercial?
a) S/. 280 b) 300 c) 320
d) 340 e) 360
02.Un capital se impone al 15% semestral. ¿En
qué tiempo se cuadruplica?
a) 10 años b) 8 c) 12
d) 15 e) 20
03.Un capital se presta al 50%. ¿En que tiempo
produce el 25% del monto?
a) 6 meses b) 8 meses c) 10 meses
c) 11 meses e) 1 año
04.La diferencia de dos capitales es S/. 1500, si
se impone uno al 8% y el otro al 4% anual al
cabo de 18 meses los montos son iguales.
¿Cuál es el capital mayor?
a) S/. 26500 b) 28000 c) 32000
d) 24500 e) 32250
05.Después de cuanto tiempo un capital
colocado al 30% anual de interés simple se
triplica.
a) 6 años, 8 meses b) 7 años, 4 meses
c) 5 años, 2 meses d) 4 años, 3 meses
e) 4 años, 5 meses
06.El monto de un capital a los 8 meses es S/.
4650, y al año 8 meses será S/. 4875. ¿Cuál
fue el crédito al que fue impuesto el capital?
a) 5% b) 10% c) 12%
d) 16% e) 8%
07.Si un capital se presta a 20%. ¿Cuántos años
más que para duplicarse, requiere para
triplicarse ( interés simple )?
a) 2 años b) 3 años c) 4 años
d) 5 años e) N.a
08.Hallar el monto que produce un capital de
2000 al se impuesto al 5% trimestral;
capitalizable semestralmente; durante año y
medio.
a) 2662 b) 2472 c) 3342
d) 2842 e) N.a
09.Hace 8 meses se impuso un capital y
actualmente su monto es 4650. Si dentro de
un año el monto será 4875. ¿Cuál fue el
crédito al que fue impuesto dicho capital?
a) 5% b) 8% c) 10%
d) 7% e) 12%
10.Los
7
3
de un capital colocado al 3%
produce anualmente 420 soles menos que el
resto colocado al 4%. ¿Cuál es el capital?
a) 28000 b) 63000 c) 40000
d) 56000 e) 42000
11.¿Cuánto tiempo debe estar prestado un capital
para que se convierta en el doble del triple de
la mitad del capital; si la tasa fue de 20%?
d) 30 años e) N.a
12.Un capital, estuvo impuesto al 9% de interés
anual y después de 4 años se obtuvo en monto
de S/. 10200. ¿Cuál es el valor del capital?
a) S/. 6528 b) 12000 c) 8750
d) 9350 e) 7500
13.Los 3/5 de un capital han sido impuestos al
4% y el resto al 5%: Al cabo de un año, entre
capital e intereses hay una suma de S/. 1305.
Calcular dicho capital.
a) S/. 1120 b) 1130 c) 1180
d) 1140 e) 1250
14.El 40% de un capital se impone al 32% anual.
¿A cuánto debe imponerse el resto para que al
cabo de un año, el monto acumulado sea el
120% del capital?
a) 16% b) 12% c) 10%
d) 9% e) 8%
15.El interés por un capital es equivalente a los
7/31 del monto. ¿Qué interés se obtiene si se
presta S/. 4000 en un tiempo triple del
anterior y a la misma tasa?
a) S/. 3400 b) 3600 c) 3700
d) 3500 e) 3800
16.¿A que porcentaje debe ser colocado un
capital, para que en 3 años 4 meses produzca
un interés equivalente a los 2/5 de la mitad
del monto?
a) 30% b) 15% c) 7, 5%
d) F.D. e) N.a
17.Los 5/7 de un capital colocado al 3%, produce
anualmente 420 soles más que el resto
colocado al 4%, ¿Cuál es el capital?
a) S/. 28 000 b) S/. 63 000

c) S/. 40 000 d) S/. 56 000
e) S/. 42 000
18.¿Cuánto tiempo debe ser prestado un capital
al 20% para que se triplique?
d) 30 años e) N.a
01.Los 2/5 de un capital se presta al %r1 anual
y el resto al %r2 anual. Si al cabo de un año
producen montos iguales , halle 12 r/r
sabiendo que 100rr 21 =+
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 1/5 e) 1/6
02.¿Cuál es el interés que se obtiene al depositar
1000 durante 820 días; si por los años se paga
el 10% anual, por lo meses el 5% mensual y
por los días el 2% diario (considera mes
comercial)?
a) 500 b) 550 c) 560
d) 600 e) 650
03.Cual es el interés que producirá un capital de
1000 durante 7 meses si por los primeros 3
meses se da el 20% mensual y por los meses
siguientes el 5% mensual
a) 800 b) 850 c) 880
d) 512 e) 600
04.Se deposita un capital de S/. 320 se deposita
durante 1 año 3 meses al 8% bimestral,
calcule el monto que se obtendría.
a) 500 b) 600 c) 550
d) 512 e) 680
05.Mensual la segunda parte que es los 2/5 del
resto a 4% bimestral y la tercera parte lo
restante 15% trimestral todos durante un año
obteniéndose un interés total de S/. 7560.
Calcule el capital inicial.
a) 14000 b) 15000 c) 16000
d) 17000 e) 18000
06.El interés obtenido al depositar un capital en
4 meses es el 40% de monto. Calcule la tasa
anual.
a) 100% b) 200% c) 150%
d) 180% e) 210%
07.El monto obtenido al depositar un capital
durante 7 meses es S/. 1700 en 11 meses es
S/. 2100. Calcule el capital y la tasa, si se
deposita a interés simple.
a) 1000; 10% mensual
b) 100; 4% c) 1800; 6%
d) 1700; 7% e) N.a
TAREA DOMICILIARIA
01.El interés de un capital impuesto al 3% es el
15% de dicho capital. Hallar el tiempo.
d) 5 años e) 6 años
02.¿Qué interés producirá un capital de S/.
3200 prestando al 21 % anual en 7 años y 4
meses?
a) S/. 6410 b) 4099 c) 6418
d) 4928 e) 6028
03.¿A que porcentaje debe ser colocado un
capital para que en 3 años 4 meses produzca
un interés equivalente a los 2/5 del monto?
a) 20% b) 21% c) 22, 5%
d) 7, 5% e) 15%
04.¿Qué capital es aquel que impuesto al 4%
anual en 5 meses produce S/. 1100 menos que
si se impusiera al 4% mensual en el mismo
tiempo?
a) 5000 b) 6000 c) 2500
d) 8000 e) 9000
05.A qué tanto por ciento habrá estado prestado
un capital de $ 120 para haberse convertido
en $ 144 en 20 meses.
a) 10% b) 12% c) 14%
d) 16% e) 20%
06.Los 5/7 de un capital colocando al 3%
produce anualmente 560 soles más que el
resto colocando al 4%. ¿Cuál es el capital?
a) 28000 b) 63000 c) 40000
d) 56000 e) 64000
07.Dos capitales están en relación de 7 a 3. Si el
primero se impone al 40% y el segundo al
30% al cabo de 9 meses el monto sería S/. 4
088. Hallar la suma de los capitales
originales.
a) 6 810 b) 7 800 c) 3 200
d) 8 840 e) 7 000
08.Si S/. 167 280 es el capital de 2 personas, la
primera impone su dinero al 4% durante 3
meses y recibe un interés doble del que
tendría la segunda imponiendo el suyo al 5%
durante 7 meses. Indique el capital menor.
a) 36 480 b) 24 480 c) 40 480
d) 32 450 e) 48 960
09.Una persona ahorra su dinero cobrando un
interés diario D.P. al número de días
transcurridos. Si cuando retira su dinero se
había triplicado y en el ultimo día había
ganado 1/16 del capital original. Hallar el
número de días que depositó su capital.
a) 64 b) 63 c) 2 016
d) 1 113 e) 1 013
10.Se impone S/. 4 800 al 9% anual durante año
y medio. ¿Qué capital sería necesario
aumentar para que en un año 8 meses al 6%
de interés se duplique?
a) 8 106 b) 8 610 c) 8 160
d) 6 108 e) 6 801
SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03
01. B A C
02. E D B
03. D D C
04. C C D
05. B C B
06. A B B
07. C A
08. C
09. A
10.

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