4ºESO OP B.Tema 7. Razones trigonometricas

TEMA 7
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

índice
1.Razones trigonométricas en un ángulo rectángulo
-El radián
-Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
2.Relación entre las razones trigonométricas
-Primera relación fundamental
-Segunda relación fundamental
3.Ampliación del concepto de ángulo
-Ángulos mayores de 360º
-Ángulos negativos
-Circunferencia goniométrica
4.Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
-Razones tigonométricas de un ángulo agudo
-Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
5.Razones trigonométricas de ángulos relacionados
- Ángulos opuestos
-Ángulos que se diferencian en 180º
-Ángulos suplementarios

TEMA 7
INTRODUCCION
La Trigonometría nace con la observación de
los fenómenos astronómicos
.

TEMA 7
INTRODUCCION
En el conjunto
megalítico de
Stonehenge (Gran
Bretaña), construido
entre 2200 y 1600 a.C.,
la alineación de dos
grandes piedras indica
el día más largo del
año.

TEMA 7
INTRODUCCION
El primer antecedente escrito de la trigonometría
lo encontramos en el problema 56 del papiro de
Rhind. Escrito por Ahmés alrededor del 1800
a.C. transcribiendo otro del 500 a.C.

TEMA 7
INTRODUCCION
En la antigua Babilonia se
introdujo la medida del
ángulo en grados. La
división de la
circunferencia en360º,
probablemente va unida a la
del año en 360 días.
Así, como el sol recorre
una circunferencia en
un año, un grado sería
el recorrido en un día.

TEMA 7
INTRODUCCION
Con la cultura griega la trigonometría
experimentó un nuevo y definitivo impulso.
Aristarco de Samos (s. III a.C.) halló la
distancia al sol y a la luna utilizando triángulos.

TEMA 7
INTRODUCCION
Hiparco de Nicea (s. II
a.C.) es considerado
como el “inventor” de la
trigonometría.
Hiparco fue un
astrónomo, geógrafo y
matemático griego. Entre
sus aportaciones cabe
destacar:

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INTRODUCCION
● El primer
catálogo de
estrellas
● La división del
día en 24
horas de igual
duración
● El
descubrimiento
de la precesión
de los
equinoccios
● Los
conceptos de
longitud y
latitud
geográficas.
●
Mayor precisión en la
medida de la distancia
Tierra-Luna y de la
oblicuidad de la eclíptica
● La distinción
entre año
sidéreo y
año trópico

TEMA 7
INTRODUCCION
Ptolomeo, en el siglo II, escribió el “Almagesto”
que influyó a lo largo de toda la Edad Media.

TEMA 7
INTRODUCCION
El desarrollo de la trigonometría
debe mucho a la obra de los
árabes, quienes transmitieron a
Occidente el legado griego.
Fueron los primeros en
utilizar la tangente.
Hacia el año 833, Al-
Kwuarizmi construyó
la primera tabla de
senos.

TEMA 7
INTRODUCCION
En Europa se publica en 1533, el primer tratado
de trigonometría:
“De trianguli omnia modi, libri V”.
Escrito en 1464 en Köningsberg,
por Johann Müller, conocido
como el Regiomontano.

TEMA 7
INTRODUCCION
Newton utiliza en 1671 las
coordenadas polares.
La física de los fenómenos
ondulatorios, como el producido por
una cuerda que vibra, llevó a Euler
(1707-1783) al estudio de las
funciones trigonométricas.

TEMA 7
INTRODUCCION

TEMA 7
INTRODUCCION
Hoy, en nuestros días, las utilidades de la
trigonometría abarcan los más diversos campos:
de la topografía a la acústica, la óptica y la
electrónica

TEMA 7
INTRODUCCION
RECUERDA

TEMA 7
INTRODUCCION
RECUERDA
● Sistema Centesimal
El grado es la medida
que se obtiene de
dividirdividir un ángulo rectoángulo recto
en 9090 partes iguales.
La circunferencia mide
360º360º
● Sistema sexagesimal
En el sistema
sexagesimal, los ángulos
se miden en gradosgrados,
minutosminutos y segundossegundos
1º=60´
1´=60´´

TEMA 7
1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
1.1.-El Radián
definición radián
Entender el radián

TEMA 7
RECTÁNGULO
1.1.-El Radián
Grados y radianes

TEMA 7
RECTÁNGULO
1.2.-Razones trigonométricas en un triángulo
rectángulo
Razones trigonométricas

TEMA 7
RECTÁNGULO
1.2.-Razones trigonométricas en un triángulo
rectángulo

TEMA 7
2. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Si se aplican la semejanza y el teorema de Pitágoras a
los triángulos rectángulos “básicos”, es decir, con
hipotenusa=1 o con cateto adyacente=1, se obtienen las
relaciones fundamentales de la trigonometría:

TEMA 7
TRIGONOMÉTRICAS
2.1.-Primera relación fundamental

TEMA 7
TRIGONOMÉTRICAS
2.2.-Segunda relación fundamental

TEMA 7
TRIGONOMÉTRICAS
Partiendo del valor de una razón trigonométrica
calculamos el resto utilizando las relaciones entre ellas:

TEMA 7
TRIGONOMÉTRICAS
Partiendo del valor de una razón trigonométrica
calculamos el resto utilizando las relaciones entre
ellas:

TEMA 7
TRIGONOMÉTRICAS
Dada una igualdad trigonométrica nos piden su
demostración. Para ello se parte de uno de sus
miembros y, aplicando las fórmulas y relaciones
conocidas, se trata de llegar al otro miembro:

TEMA 7
3. AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO DE ÁNGULO
3.1.-Ángulos mayores de 360º
Los ángulos mayores de 360 grados se consideran como la suma de un número
entero de vueltas más un ángulo menor de 360 grados.
Si α es un ángulo mayor que 360º significa que es un ángulo que sobrepasa una
vuelta entera a la circunferencia. Por lo tanto hay que reducirlo en primer lugar a un
ángulo menor que 360º.
Para ello, dividimos el valor del ángulo entre 360º, el cociente será el número de
vueltas, y el resto de la división el ángulo de la circunferencia al que equivale.
desplazamiento angular

TEMA 7
3.2.-Ángulos negativos
Los ángulos pueden tener sentido positivo o negativo
según sea el de su recorrido; si es contrario al de las
agujas del reloj será positivo y si es igual, negativo.

TEMA 7
3.3.-Circunferencia Goniométrica
Se llama circunferencia goniométrica a una circunferencia
de radio 1(la hipotenusa del triángulo mide 1 unidad) y con
centro en el origen de un sistema de ejes coordenados.

TEMA 7
Todo ángulo se puede situar en la circunferencia goniométrica
situando el vértice del ángulo en el centro de la circunferencia y
fijando un lado del ángulo el radio que va hasta el punto (1,0). De
esta manera, el punto donde el otro lado del ángulo corta a la
circunferencia determina unívocamente un ángulo. Del mismo
modo, un ángulo determina un único punto en la circunferencia.
Circunferencia Goniométrica

TEMA 7
Llamamos cuadrante a cada uno de los cuartos en que los ejes
dividen la circunferencia:Si el ángulo es agudo, el punto está en el 1º
cuadrante si el ángulo es obtuso estará en el 2º cuadrante si el
ángulo está entre 180 º y 270 º en el 3º cuadrante y si el ángulo está
entre 270º y 360º, el punto estará en el 4º cuadrante.

TEMA 7

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4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA
4.1.-Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Si consideramos el ángulo α que determina un punto P con
coordenadas (x, y) del primer cuadrante de la circunferencia
goniométrica, las razones trigonométricas del ángulo agudo α
coinciden con las coordenadas del punto P de la siguiente
forma:
razones

TEMA 7
CUALQUIERA
4.2.-Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Cuando el punto P (x, y) de la circunferencia
goniométrica determina un ángulo α mayor de 90º, las
razones trigonométricas varían de la siguiente forma:
razones

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CUALQUIERA
4.2.-Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
Signo de las razones trigonométricas de un ángulo
razones
razones

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CUALQUIERA

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5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
RELACIONADOS
5.1.-Ángulos opuestos α Y -α
Observa en la figura los puntos de la circunferencia goniométrica que
determinan los dos ángulos opuestos α y -α. Sus coordenadas cumplen que
tienen la misma abscisa y sus ordenadas son opuestas. Por tanto coincidirán
los cosenos de los dos ángulos y sus senos serán opuestos.
Las razones trigonométricas de dos ángulos opuestos α y -α cumplen que:
angulos opuestos

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RELACIONADOS
5.2.-Ángulos que se diferencian en 180º
Observa en la figura las coordenadas de los puntos que
determinan los ángulos α y β (β es α+180º) . En este caso, tanto
las abscisas como las ordenadas son opuestas, por lo que los
senos y los cosenos de estos ángulos también lo son.
razones

TEMA 7
RELACIONADOS
5.3.-Ángulos suplementarios
Observa la figura. Para estos dos ángulos coincide la ordenada
y es opuesta la abscisa, por lo que coincidirán sus senos y
serán opuestos sus cosenos. Las razones trigonométricas de
dos ángulos suplementarios cumplen que:
razones

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RELACIONADOS
5.4.-Razones trigonométricas de ángulos importantes

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