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Teorema cofunciones demostración
- 1. U N P S J B – M S . A N A M A R Í A T E R E S A L U C C A TEOREMA DE LAS COFUNCIONES Ms. Ana María Teresa Lucca UNPSJB mapc.lucca@gmail.com
- 2. TEOREMA DE LAS COFUNCIONES Una función trigonométrica de un ángulo es siempre igual a la cofunción del complemento del ángulo. Es decir, si 𝛼 + 𝛽 = 90° entonces sen 𝛽 = cos 𝛼 sec 𝛽 = cosec 𝛼 tg 𝛽 = cotg 𝛼
- 3. DEMOSTRACIÓN • Analizaremos cada una de las igualdades enunciadas en el Teorema de las cofunciones.
- 4. DEMOSTRACIÓN • Analizaremos cada una de las igualdades enunciadas en el Teorema de las cofunciones. • Pero antes observemos que si 𝛼 + 𝛽 = 90° , podemos considerar al ángulo 𝛼 y al ángulo 𝛽 como los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. 𝛼 𝛽
- 5. DEMOSTRACIÓN: sen 𝛽 = cos 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 6. DEMOSTRACIÓN: sen 𝛽 = cos 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. • Aplicando las definiciones de seno y coseno de un ángulo tenemos: sen 𝛽 = 𝑏 𝑐 = cos 𝛼 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 7. DEMOSTRACIÓN: sen 𝛽 = cos 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. • Aplicando las definiciones de seno y coseno de un ángulo tenemos: sen 𝛽 = 𝑏 𝑐 = cos 𝛼 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 8. DEMOSTRACIÓN: sen 𝛽 = cos 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. • Aplicando las definiciones de seno y coseno de un ángulo tenemos: sen 𝛽 = 𝑏 𝑐 = cos 𝛼 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 9. DEMOSTRACIÓN: sen 𝛽 = cos 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. • Aplicando las definiciones de seno y coseno de un ángulo tenemos: sen 𝛽 = 𝑏 𝑐 = cos 𝛼 • Así, 𝐬𝐞𝐧 𝜷 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 10. DEMOSTRACIÓN: sec 𝛽 = cosec 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 11. DEMOSTRACIÓN: sec 𝛽 = cosec 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. • Aplicando las definiciones de secante y cosecante de un ángulo tenemos: sec 𝛽 = 𝑐 𝑎 = cosec 𝛼 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 12. DEMOSTRACIÓN: sec 𝛽 = cosec 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. • Aplicando las definiciones de secante y cosecante de un ángulo tenemos: sec 𝛽 = 𝑐 𝑎 = cosec 𝛼 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 13. DEMOSTRACIÓN: sec 𝛽 = cosec 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. • Aplicando las definiciones de secante y cosecante de un ángulo tenemos: sec 𝛽 = 𝑐 𝑎 = cosec 𝛼 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 14. DEMOSTRACIÓN: sec 𝛽 = cosec 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. • Aplicando las definiciones de secante y cosecante de un ángulo tenemos: sec 𝛽 = 𝑐 𝑎 = cosec 𝛼 • Así, 𝐬𝐞𝐜 𝜷 = 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝜶 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 15. DEMOSTRACIÓN: tg 𝛽 = cotg 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 16. DEMOSTRACIÓN: tg 𝛽 = cotg 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. • Aplicando las definiciones de tangente y cotangente de un ángulo tenemos: tg 𝛽 = 𝑏 𝑎 = cotg 𝛼 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 17. DEMOSTRACIÓN: tg 𝛽 = cotg 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. • Aplicando las definiciones de tangente y cotangente de un ángulo tenemos: tg 𝛽 = 𝑏 𝑎 = cotg 𝛼 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 18. DEMOSTRACIÓN: tg 𝛽 = cotg 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. • Aplicando las definiciones de tangente y cotangente de un ángulo tenemos: tg 𝛽 = 𝑏 𝑎 = cotg 𝛼 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 19. DEMOSTRACIÓN: tg 𝛽 = cotg 𝛼 • Consideremos el triángulo de la figura. • Aplicando las definiciones de tangente y cotangente de un ángulo tenemos: tg 𝛽 = 𝑏 𝑎 = cotg 𝛼 • Así, 𝐭𝐠 𝜷 = 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝜶 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 𝑐
- 20. MUCHAS GRACIAS FIN DE LA DEMOSTRACION Ms. Ana María Teresa Lucca UNPSJB mapc.lucca@gmail.com