Circuitos Eléctricos (Universidad Nacional de Loja)

CIRCUITOS I
CORRIENTE CONTINUA
Jorge Patricio Muñoz Vizhñay
Ing. Eléctrico, MSc. , MBA

¿Qué es la electricidad?
¿Dónde la vemos?
¿Dónde está la electricidad?
¿Cómo se genera?
Nuestra civilización depende
de la electricidad
Algunos aparatos eléctricos
de la vida cotidiana...
¿Cómo sería nuestra vida
sin electricidad?
PRINCIPIOS DE
ELECTRICIDAD

Nosotros utilizamos la electricidad
Pero ha existido desde el
origen del universo. Incluso
antes de la formación
de la materia.
PRINCIPIOS DE
ELECTRICIDAD

Existen 2 tipos
de cargas
Un cuerpo está compuesto
por muchas cargas.
Existen 3 tipos de
cuerpos según su
carga eléctrica neta.
Positivas (+)
Negativa (-)
Positivas (+)
Negativa (-)
Neutro (+ -)
PRINCIPIOS DE
ELECTRICIDAD

+ – + – +
+ + + +
– + – –
– + – –
+ + +
– – –
Positivo
Negativo
Neutro
Cargas + = 7
Cargas – = 2
Carga total = +5
Cargas + = 2
Cargas – = 6
Carga total = -4
Cargas + = 3
Cargas – = 3
Carga total = 0
¿Cómo saber la carga total de un cuerpo?
PRINCIPIOS DE
ELECTRICIDAD

¿Qué le ocurre a una peineta de plástico que ha sido frotada
con el pelo?
¿Si los papeles están neutros, por qué la peineta atrae a los
papeles?
¿Qué es la electroestática?
¿Qué es la electrodinámica?
PRINCIPIOS DE
ELECTRICIDAD

Los metales en general son muy buenos conductores de la electricidad
Existen cargas que se pueden mover fácilmente.
PRINCIPIOS DE
ELECTRICIDAD

Existen cargas, pero no pueden moverse fácilmente.
Los aislantes son malos conductores de la electricidad
PRINCIPIOS DE
ELECTRICIDAD

CARGA ELÉCTRICA
 Una distribución de cargas eléctricas en el espacio
da lugar a un campo eléctrico.
 La manifestación de este campo eléctrico es una
diferencia de tensión entre dos puntos cualesquiera
del espacio.

CARGA ELÉCTRICA
 Puede ser positiva o negativa según el cuerpo tenga
defecto o exceso de electrones.
 Puede trasmitirse de unos cuerpos a otros bien por
contacto, o incluso, a distancia, al producirse
descargas (rayos).

CARGA ELÉCTRICA
 Son los electrones las partículas que pasan de unos
cuerpos a otros.
 La carga se mide en culombios (C).
 La carga de un electrón es –1,6 · 10–19
C.
 Las cargas en movimiento se denominan corrientes y
éstas corrientes eléctricas originan campos magnéticos.

 Es la cantidad de carga que circula por unidad de tiempo.

q dq
I = —— = ——
t dt
 Se mide en amperios (A); (1 A = 1 C/s)
 Se considera una magnitud fundamental, al ser fácilmente
mensurable (amperímetros) que se colocan siempre en serie,
con lo cual la carga puede ser determinada como:
 q = I · t.
Intensidad de corriente

 La diferencia de potencial o tensión entre dos puntos A y B es
igual a la energía necesaria para transportar una unidad de
carga (+) desde A hasta B.
 Wa→b dW
∆V= Va– Vb = ——— = ———
q dq
 Se mide en voltios (V): 1 V = J/C.
 Se mide con voltímetros, que se conecta en paralelo a los
puntos entre los que se quiere medir la diferencia de potencial
o tensión.
Diferencia de potencial (∆V)

 Wa→b dW
∆V= Va– Vb = ——— = ———
q dq
 Se mide en voltios (V): 1 V = J/C.
 El campo eléctrico está dirigido de las regiones de mayor
potencial a las de menor potencial.
Diferencia de potencial (∆V)

Convenio de polaridades
 Las magnitudes eléctricas dependen del tiempo y se
indica con letras minúsculas para aclarar esta
dependencia i indica i(t).
 La corriente eléctrica que circula entre A y B se indica con
un flecha con origen en A y final en B.
 La tensión entre dos puntos A y B se denomina V AB, por
tanto, V AB = V A – V B
A i AB B
CE CEV AB = V A – V B
A
B

Componentes de los
circuitos
 RESISTENCIA Y CONDUCTANCIA
 Los elementos conductores presentan una oposición al
paso de la corriente eléctrica. Esta oposición se denomina
resistencia.

Componentes de los
circuitos
 En un metal hay electrones que pueden circular
libremente, así como del constante movimiento de los
electrones que siguen ligados a los átomos metálicos y
que no circulan, pero que interfieren debido a un proceso
de agitación térmica producido por la energía en forma de
calor proveniente del ambiente.

Componentes de los
circuitos
 La resistencia depende de las dimensiones geométricas del
conductor.
 Es directamente proporcional a la longitud del mismo L [m].
 Es inversamente proporcional a su sección S [mm2
].
 Depende del tipo de material. Cada uno de ellos tiene una
“resistividad” (ρ) distinta que se mide en [Ω·mm2
/m].
 La resistividad “ρ” depende del tipo de los materiales se
clasifican en conductores, semiconductores y aislantes.
L
R = ρ —̶̶̶̶̶
S
S
L
1
Conductividad σ = —̶̶̶̶̶
ρ

Componentes de los circuitos
 La conductancia es el inverso de la resistencia.
 La conductancia se mide en siemens [S] o en mho [Ω -1
]
1
Conductancia G = —̶̶̶̶̶
R

Tabla de resistividades
Material Resistividad a 20 °C
[ Ω mm2
/m ]
Plata 0,0164
Cobre (duro) 0,0175
Cobre (recocido) 0,0180
Oro 0,0230
Aluminio 0,0280
Zinc 0,0580
Níquel 0,0780
Hierro (99,98% puro) 0,1000
Platino 0,1000
Platino 0,1060
Estaño 0,1150
Plomo 0,2200
Manganina (84% Cu, 12% Mn, 4% Ni) 0,7500
Mercurio 0,9580
Nicrón (80% Ni, 20% Cr) 1,0800

Resistencia eléctrica y
temperatura
La resistencia de un conductor depende de su temperatura
ambiente en ºC y de su incremento o decremento de temperatura
∆T . La variación de la resistencia con la temperatura viene dada
por la ecuación:
(1 ) Rf = Ro [1 + α ∆T ]
Se obtiene la resistencia final Rf para un incremento de
temperatura ∆T = Tf – To en ºC cuando se conoce el valor inicial
Ro a la temperatura inicial y α el coeficiente de corrección de
temperatura que depende de la naturaleza del conductor [1/ºC].

RESISTENCIA ELÉCTRICA Y TEMPERATURA
(1 ) Rf = Ro [1 + α ∆T ]
El signo del coeficiente de temperatura α, nos indica en que sentido
varía la resistencia. Si α es positivo, Rf aumenta o disminuye con el
incremento o decremento de la temperatura, y si α es negativo Rf
disminuye al aumentar la temperatura y viceversa.
Coeficientes de temperatura (α)
Material
Coeficiente α a
20 ºC
Plata 3,8 x 10-3
Cobre 3,9 x 10-3
Aluminio 3,9 x 10-3
Tungsteno 4,5 x 10-3
Acero 5,0 x 10-3
Mercurio 0,9 x 10-3
Carbón -0,5 x 10-3
Germanio -4,8 x 10-2
Resistencia eléctrica y
temperatura

Ley de Ohm
 El cociente entre v de dos puntos de un circuito y la
intensidad de corriente i que circula por éste es una magnitud
constante que recibe el nombre de resistencia eléctrica (R).
v
v = R i R = —
i
 Cuando la tensión se mide en voltios [V] y la corriente en
amperios [A], la resistencia R viene dada por ohmios [Ω]
 A esta expresión se denomina la Ley de Ohm.
R
v
+ -
i
A B

Ley de Ohm
R
v
+ -
i
A B
Sentido real de la corriente
I = 500 mA

Potencia y Energía
 La potencia consumida por una resistencia (elemento
receptor) se calcula utilizando la siguiente ecuación:
p = v i = R i2
v2
p = —
R
 La potencia p se mide en vatios [W]

Potencia y Energía
 La energía es el producto de la potencia discipada en un
tiempo determinado. La energía se mide en [J], [Wh] o
[kWh].
∫
∫∫
=−
==
=
2
1
2
1
2
1
t
t
12
t
t
t
t
dtp)w(t)w(t
dtpdww
dtpdw
p (t)
t1
t2
t
P

Ley de Joule
 Las ecuaciones expuestas corresponden a la Ley de Joule.
 El efecto Joule indica que toda corriente eléctrica
circulando por un conductor desprende calor y éste es la
energía gastada en hacer circular la corriente.

Ley de Joule
 En calorimetría se demuestra que la relación trabajo – calor
es siempre constante e igual a 0,24 cal/J, lo cual se llama
equivalente calorífico de trabajo.

Ley de Joule
 En calorimetría se demuestra que la relación trabajo – calor
es siempre constante e igual a 0,24 cal/J, lo cual se llama
equivalente calorífico de trabajo.
[s]aresistencideconexióndetiempot
[V]aresistencidebornesenpotencialdediferenciaV
[A]aresistenciporcirculaquecorrientedeintensidadI
[cal]aresistencilapordiscipada(entrada)calordecantidadQ
tP0,24Q
tVI0,24Q
e
e
e
=
=
=
=
××=
×××=

Ley de Joule
 La cantidad de calor Q que se necesita para elevar la
temperatura de un cuerpo de masa m en un valor ∆t
conociendo el calor específico c (para el agua es 1) de este
cuerpo, es el siguiente:
C][tatderatemperatudeelevaciónt
Ckg
kcal
específicocalorc
[kg]masam
[kcal](salida)calordecantidadQ
tcmQ
f0
s
s
°=∇






°
=
=
=
∇××=

Ley de Joule
 Cualquier aparato electrotérmico tiene un rendimiento que
se determina por y se expresa:ɳ
 Rendimiento aparatos electrotérmicos:
Calentador de inmersión 0,95
Calentador de acumulación 0,93
Calentador rápido 0,75
Plancha de cocina 0,60
][kcalcalefactorelementodelaresistencilaenenteeléctricamproducidacalordecantidadQ
[kcal]calentaraproductoomasalaasmitidacalor trandecantidadQ
Q
Q
η
e
s
e
s
=
=
=

+ –
E
I
I
R1
R2
SERIESERIE
A
C
B
Asociación de resistencias
i
• Resistencias serie una a
continuación de otra.
• La corriente I es la misma
para todas ellas.
• La resistencia equivalente es
la sumatoria de las
resistencias parciales.
• La fuerza electromotriz E es
igual a la sumatoria de las
caídas de tensión.
n21eq R.........RRR +++=
v1 v2
n21 i.........iii ====

it
• Resistencias paralelo
dispuestas cada una al lado
de otra y uniendo los dos
terminales de cada una con
los correspondientes de las
otras.
• La corriente it es la suma de
las corrientes de cada
resistencia.
• El inverso de la resistencia
equivalente es la sumatoria
de los inversos de las
resistencias parciales.
n21t i.........iii +++=
n21eq R
1
.........
R
1
R
1
R
1
+++=
v1
v2
+ –
E
I
I1
I2
R1
R2
PARALELOPARALELO
A B
i1
i2

it
• La fuerza electromotriz E es
igual a las caídas de tensión
en cada una de las
resistencia.
• El valor de la resistencia
equivalente es menor que
cualquiera de las
resistencias.
• Cuando una resistencia es
mucho menor que las demás,
prácticamente toda la
corriente irá por ella.
n21 ........E vvv ====
v1
v2
+ –
E
I
I1
I2
R1
R2
PARALELOPARALELO
A B

+ –
E
I
0,2 Ω
SERIE - PARALEOSERIE - PARALEO
A CB
It
0,7 Ω 3 Ω
1,4 Ω 4 Ω

+ –
E
I
19 Ω
SERIE - PARALEOSERIE - PARALEO
It
30 Ω
46 Ω
60 Ω
40 Ω

Leyes de Kirchhoff
Ley de las corrientes de Kirchhoff (1ra Ley)
En todo punto de interconexión eléctrico (nodo) se cumple que la
sumatoria de las corrientes que entran es igual a la suma de las
corrientes que salen.
4231 IIII
salenIentranI
+=+
=∑ ∑
I1
I2
I3
I4

Leyes de Kirchhoff
Ley de las tensiones de Kirchhoff (2da Ley)
Establece que la suma algebraica de las tensiones a lo largo de
cualquier línea cerrada o malla es igual a cero.
1 1 2 4 1 4 2
2 4 1 3 4 2
1 2
1 2
FEM I R
-E =(R +R +R )I - R I
+E = -R I +(R +R )I
-240= 39I - 30I
+60 =-30I + 42I
=∑ ∑
R1
= 3 Ω R2
= 6 Ω R3
= 12 Ω
E1
= 240 V
+
-
E2
= 60 V
+
-
R4
= 30 Ω
I1
= ?
I1
I2
[ ]
[ ]1
-240 -30
-240*42-60*(-30)+60 42 -8280
I = = = =-11,22A
39 -30 39*42-(-30)(-30) 738
-30 42
 
 
 
 
 
 

Leyes de Kirchhoff
1 2 3
1 2 3
1 2 3
FEM I R
+12+16=(+2+6+8)I -6 I -8 I
-14-16 = -6 I +(+4+10+6)I -10 I
+18 = -8 I -10 I +(+8+10)I
28 16 -6 -8
-30 = -6 20
18
=
 
 
 
  
∑ ∑
1
2
3
I
-10 I
-8 -10 18 I
  
  
  
    

Leyes de Kirchhoff
159
700
18108
10206
8616
181018
102030
8628
I1 =










−−
−−
−−










−
−−
−−
=
159
286
18108
10206
8616
18188-
1030-6
82816
I2 =










−−
−−
−−










−−
−
=
159
629
18108
10206
8616
1810-8-
03206
286-16
I3 =










−−
−−
−−










−−
=

Leyes de Kirchhoff
Rc
= 10 Ω
E1
= 24 V
+
- E3
= 24 V -
R1
= 0,1 Ω R2
= 0,2 Ω R3
= 0,3 Ω
E2
= 24 V

Leyes de Kirchhoff

Electromagnetismo
• Por un conductor por el que circula una corriente
eléctrica se sitúa cerca de una brújula, ésta se
desvía de su posición, “buscando” la
perpendicularidad al conductor. Si se aumenta la
intensidad de la corriente, la brújula toma cada vez
posiciones más perpendiculares.
• Este efecto es debido a que la corriente eléctrica
crea a su alrededor un campo magnético análogo
al que forman los imanes y cuya intensidad, es
proporcional a la intensidad de la corriente que
circula por el circuito eléctrico.
+ -
+ - + -

• LA BOBINA
• Un conductor arrollado en espiral de forma que las espiras
se alinean a lo largo de un eje central recibe el nombre de
bobina o solenoide.

• LA BOBINA
• La corriente que recorre cada espira produce un campo magnético que
en conjunto afecta a todas las espiras de la bobina.
• Si la corriente es variable en el tiempo, también el campo magnético y
por tanto el flujo magnético lo serán.

Donde:
μ es la permeabilidad absoluta del núcleo (μo =
4π10-7
H/m);
N es el número de espiras, A es el área de la
sección transversal del bobinado y l la longitud de
las líneas de flujo.
• LA BOBINA
• La cantidad de flujo magnético ø que esta ligado con una bobina
de N espiras se denomina flujo concatenado ϕ.
• En una bobina ideal, el flujo concatenado es una función de la
corriente que circula por sus espiras, siendo la constante que
liga ambas variables, la autoinducción o inductancia L.
dt
d
N
dt
d
v
N
φ
φ
=
Φ
=
=Φ
Li=Φ
v

• LA BOBINA
• La constante de proporcionalidad L es conocida con el nombre
de inductancia, y representa físicamente la oposición que
presenta el circuito a la variación de la corriente, es una
propiedad similar a la inercia en los sistemas mecánicos, esto
es, de oponerse al cambio en la cantidad de movimiento.
• La autoinducción o inductancia L se expresa en Henrios [H].

• LA BOBINA
• Al introducir una ecuación en la otra se obtiene la
ecuación característica de la bobina
∫+=
=
t
t
vdt
L
tii
dt
di
Lv
0
1
)( 0

Asociación de bobinas
• Serie
• Paralelo
321T L
1
L
1
L
1
L
1
++=

La bobina real
R
vL
vR
• La bobina real
• Al estar construida mediante un conductor, presenta
siempre una resistencia. La inductancia L es constante y
asegura la linealidad.

El condensador
• Los condensadores están constituidos por dos placas planas
paralelas, separadas una distancia, entre las cuales se acumula
carga, también pueden recibir el nombre de capacitores.
El proceso se mantendrá hasta que la tensión del
condensador se iguale a la tensión de la batería, momento en
el cual la intensidad se anula (régimen permanente).
R
E

El condensador
 En t = 0 el condensador está descargado. Al cerrar el
interruptor, existe una caída de potencial entre los extremos de
la resistencia y el condensador empieza a cargarse.
Condensador cargado ≡ Circuito abierto
E

El condensador
• Proceso de descarga
• La descarga se debe a la ausencia de la batería. El circuito de
la figura es un circuito “desenchufado”, con lo que la tensión del
condensador deberá ser nula cuando se alcance el nuevo
régimen permanente.
R

• La capacidad C de la estructura así constituida y llamada
condensador se expresa:
• La capacidad C de un condensador se mide en Faradios [F]
cuando la carga se expresa en culombios [Q] y la tensión en
voltios [V]. La capacidad C de un condensador plano que
tiene una armadura (placa) paralela de área S y separadas
una distancia d.
• Donde ɛ es la permitividad o constante dieléctrica del
material situado entre las armaduras (placas). La
permitividad en el vacío es ɛ0 = 8,854 *10-12
F/m
dv
dq
C =
El condensador
d
S
C ε=

CONDENSADOR CILÍNDRICO
El condensador

El condensador
• Ecuación característica
• Donde la capacidad C se expresa en Faradios [F], la tensión
v en voltios [V], la corriente i en amperios [A] y el tiempo en
segundos [s].
+ -
i
C
dt
dv
Ci =
∫+=
t
t
idt
C
tvv
0
1
)( 0

Asociación de condensadores
Condensadores en serie
Capacidad equivalente
dt
dv
Ci 1
1=
i
C
1
C
1
dt
dv
dt
dv
dt
dv
21
21AB






+=+=
es
AB
C
i
dt
dv
=
21es C
1
C
1
C
1
+= ∑=
i ies C
1
C
1
i i i
+ – –+
A B
C1 C2
v1 v2
i i
+ –
A B
Ces
vAB
dt
dv
Ci 2
2=

• Asociación de condensadores: Serie
• La capacidad total de los condensadores en serie es menor a la
del mas pequeño
n21 C
1
........
C
1
C
1
Ceq
1
+++=
Ceq
i

Condensadores en paralelo
dt
dv
Ci AB
11 =
dt
dv
)C(Ciii AB
2121 +=+=
21 CCCep +=
∑=
i
iep CC
Capacidad equivalente
i
+ –A B
i
C1
C2
i1i1
i2
i2
vAB
i i
+ –
A B
Cep
vAB
dt
dv
Ci AB
22 =
dt
dv
Ci AB
ep=

• Asociación de condensadores: Paralelo
• La capacidad total de los condensadores es la sumatoria.
n21 C........CCCeq +++=
Ceq
i
i1 i2
i3
in

El condensador real
R
vC
vR
• El condensador real
• El condensador real tiene unas limitaciones físicas en
cuanto a la cantidad de carga que puede almacenar.

Fuentes Independientes
• Los elementos analizados (resistencia, bobina y
condensador) son elementos pasivos. Para mantener una
corriente en un determinado circuito es necesario
establecer un suministro continuo de energía eléctrica.
• Una fuente independiente es un elemento activo que
suministra una tensión o una corriente determinada sin
tener en cuenta las condiciones del circuito al que se
conecta.

• De tensión
• Es un elemento activo que proporciona una tensión
determinada independientemente de la corriente que circula
por la fuente y que establece el circuito exterior.
VG
- +
B A

• De corriente
• Es un elemento activo que proporciona una corriente
determinada independientemente de su tensión en bornes que
viene establecida por el circuito exterior.
• La corriente i en amperios circula desde el terminal A al terminal
B. iG
A B

• De corriente
• V1 = 4 * 5 = 20 V
• V2 = 3 * 5 = 15 V
• VG = V1 + V2 = 20 + 15 = 35 V
5 A
VG
4 Ω 3 Ω
+-
V2
V1

• Asociación de fuentes
Veq = VG1 + VG2 + VG3
It = I1 + I2 + I3
I1=5 A
VG1
+-
VG2 VG3
- - -+ + +
I2=3 A
I3=1 A
-
-
+
+
It

Fuentes Reales
• Fuente de tensión con resistencia serie
• Se ha colocado en serie una resistencia RG (resistencia interna).
La tensión en bornes disminuye cuanto mayor es la corriente
suministrada por el generador. Cuanto más pequeña es el valor
de RG, más se aproxima la fuente real a una fuente de tensión
ideal.
VG
-
+
RG
∆VG
i
+
-
RCVC

Fuentes Reales
• Fuente de corriente con resistencia paralelo
• Se ha colocado en paralelo una resistencia RG (resistencia
interna). La corriente en bornes disminuye cuanto menor es la
corriente suministrada por el generador. Cuanto mayor es el
valor de RG, más se aproxima la fuente real a una fuente de
corriente ideal.
• Las fuentes de corrientes son realizables mediante dispositivos
electrónicos.
iG
-
+
RG
iC
+
-
RC

Fuentes Reales
• Fuente de corriente con resistencia paralelo
• En un circuito abierto, una fuente de corriente ideal presenta
una tensión infinita en sus terminales lo cual no es realizable
físicamente.
iG
-
+
RG
iC
+
-
RC

Medida de tensiones, corrientes y
potencias
TIPOS DE MEDIDORES
Analógicos Digitales
Los medidores ideales son los que no afectan el circuito al momento de
realizar la medición.

Medida de tensiones, corrientes y
potencias
WA
V
+
-
Fuente
Esquema de conexiones de un circuito eléctrico:
+
-
VCarga
Dada una carga queremos conocer la tensión, corriente y
potencia que consume:
i

Circuitos resistivos
+
-
VE
i
R1
R2
VS
+
-
Divisor de tensión
En ocasiones es necesario obtener
para un mismo circuito tensiones
más reducidas que la tensión
proporcionada por la fuente.
21
2
Es
21
E
22s
RR
R
VV
.RR
V
RiRV
+
=
+
==

+
-
VE
i
R1
R2 VS
+
-
Divisor de tensión
Si se considera la RC en el circuito,
la tensión de salida será la siguiente:
2
2
1
2
Es
R1R
R
VV
+





+
=
CR
R
RC

v
+
-
Divisor de corriente
El complemento de la división de voltaje
es la división de corriente. En este caso
se tiene una corriente total que se
alimenta a varias resistencias en
paralelo, como en el circuito de la figura.
R1 y R2 están en paralelo.
La iE es la corriente de entrada e iS es la
corriente de salida.
La tensión en bornes v puede
determinarse con la ley de Ohm.
21
1
ES
E
21
21
S2
RR
R
ii
i
RR
R*R
iR
+
=
+
=
R1
iE
+
-
R2
iS

vAB
+
-
Puente de Wheatstone
Permite determinar experimentalmente
resistencias óhmicas de elementos
conductores con gran exactitud.
1
32
4
4
3
2
1
3241
43
4
21
2
G
AB
43
4
G
21
2
GBNANAB
R
R*R
R
R
R
R
R
R*RR*R
0
RR
R
RR
R
v
0V
RR
R
v
RR
R
vVVV
=
=
=
=





+
−
+
=
+
−
+
=−=
R1
+
-
R2
R3
R4=Rx
A B
vG
N
El puente se equilibra variando las
3 resistencias. Es frecuente que
R1 y R3 varíen, mientras que R4
es la resistencia de comparación.

Transformación triángulo estrella
- estrella triángulo
R1
R2
R3
1
23
R12
R31
R23

Transformación triángulo estrella
Puede no ser posible obtener una
resistencia equivalente del conjunto
utilizando las técnicas de reducción serie
paralelo, para ello se utiliza la conversión
triángulo estrella o viceversa.
Si R12, R23 y R31 que conforman el triángulo
son conocidos es posible calcular las
resistencias R1, R2, R3 de la estrella.
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
R*R
R
RRR
R*R
R
RRR
R*R
R
++
=
++
=
++
=
R1
R2
R3
1
23
R12
R31
R23
1
2
3

Transformación estrella triángulo
Puede no ser posible obtener una
resistencia equivalente del conjunto
utilizando las técnicas de reducción serie
paralelo, para ello se utiliza la conversión
estrella triángulo o viceversa.
Si R1, R2 y R3 que conforman la estrella son
conocidos es posible calcular las
resistencias R12, R23, R31 del triángulo.
2
133221
31
1
133221
23
3
133221
12
R
R*RR*RR*R
R
R
R*RR*RR*R
R
R
R*RR*RR*R
R
++
=
++
=
++
=
R1
R2
R3
1
23
R12
R31
R23
1
2
3

Ejercicio
1 Ω 2 Ω
3 Ω 4 Ω
7 Ω
1 A

Ejercicio
1 Ω 2 Ω
3 Ω 4 Ω
7 Ω
1 A
i i = 54/91 i d = 37/91
i CD = 2/91
C D
B
VCΒ = 162/91 V
VDΒ = 148/91 V
V = V - V = 162/91 - 148/91 V

Ejercicio
R1
= 12 Ω
R2
= 20 Ω
R3
= 10 Ω
E = 24 V
+
-
R4
= 8 Ω
R6
= 40 Ω
R5
= 24 Ω
IT
= ? A
R1
= 12 Ω
R2
= 20 Ω
R34
= 18 Ω
E = 24 V
+
-
R6
= 40 Ω
R5
= 24 Ω
IT
= ? A
R1
= 12 Ω
R2
= 20 Ω
R34
= 18 Ω
E = 24 V
+
-
R6
= 40 Ω
R5
= 24 Ω
IT
= ? A
=(20*18+18*12+12*20)/18=45,33
=(20*18+18*12+12*20)/20=40,80
=(20*18+18*12+12*20)/12=68,00

Ejercicio
E = 24 V
+
-
R6
= 40 Ω
R5
= 24 Ω
IT
= ? A
68,00 Ω
40,80 Ω
45,33 Ω
E = 24 V
+
-
25,19 Ω
15,11 Ω
IT
= ? A
45,33 Ω
E = 24 V
+
- RT= 21,33 Ω
IT
= 1,13 A

Ejercicio
E = 24 V
+
-
R6
= 40 Ω
R5
= 24 Ω
IT
= 1,13 A
68,00 Ω
40,80 Ω
45,33 Ω
E = 24 V
+
-
25,19 Ω
15,11 Ω
IT
= 1,13 A
45,33 Ω
E = 24 V
+
- RT= 21,33 Ω
IT
= 1,13 A
Ib
= 0,598 A
Ic
= 0,532 A
Id
= 0,377 A
Ie
= 0,221 A
Ig
= 0,377 A
If
= 0,221 A
Ic = 0,532 A

Equivalencia Fuentes Reales
 Las equivalencias serie o paralelo y las transformaciones
estrella/triángulo son técnicas que ayudan a la simplificación de
los circuitos, éstos además pueden contener fuentes reales de
tensión como de corriente y para simplificación al máximo puede
ser conveniente transformar fuentes de un tipo en sus
equivalentes del otro.
VG
-
+
RG
∆VG
i
+
-
RCVC
iG
-
+
RG
iC
+
-
RC

Equivalencia Fuentes Reales
VG = 15 V
-
+
RG=3 Ω
∆VG
+
-
iG=5 A
-
+
RG=3 Ω
i +
-
v
v
A5
3
15
R
V
i
iRV
iRiRiRV
igualando
iRiRv
b)(circuitoi)(iRv
a)(circuitoiRVv
G
G
G
GGG
GGGGG
GGG
GG
GG
===
=
−=−
−=
−=
−=
i

Asociación de Fuentes Reales
 El resultado de una asociación de fuentes reales de tensión
conectadas en serie es una fuente ideal de tensión suma de
todas las fuentes ideales, con una resistencia en serie que es la
equivalente serie de todas las resistencias.
 El resultado de la asociación de fuentes reales de corriente
conectadas en paralelo tiene por resultado una fuente ideal
suma de todas las fuentes ideales, con una resistencia en
paralelo que es la equivalente paralelo de todas las
resistencias.

Asociación de Fuentes
Tensión
 El resultado de una asociación de fuentes de tensión
conectadas en serie es una fuente ideal de tensión suma de
todas las fuentes ideales.

Asociación de Fuentes Corriente
 El resultado de la asociación de fuentes de corriente
conectadas en paralelo tiene por resultado una fuente ideal
suma de todas las fuentes ideales.

15 V
+
3 Ω
2 A
-
20 Ω
10 Ω
1 A
A
B
En caso de asociar fuentes reales de
tensión conectadas en paralelo, se
convierte en sus equivalentes en corriente y
una vez asociadas éstas, se realiza la
conversión a fuente de tensión.
Para asociar fuentes reales de corriente
dispuestas en serie, se convierten en sus
equivalentes en tensión y una vez
asociadas éstas, se realiza la conversión a
fuente de corriente.

15 V
+
3 Ω
40 V
-
1 A
A
B
Para asociar fuentes reales de corriente
dispuestas en serie, se convierten en sus
equivalentes en tensión y una vez
asociadas éstas, se realiza la conversión a
fuente de corriente.
Se convierten en sus equivalentes de
tensión y luego se procede a asociarles.
Las fuentes de tensión obtenidas se debe
encontrar en sus equivalentes de corriente
y luego asociarlas en una sola fuente real.
20 Ω
10 Ω
10 V
+
+
-
-
30 Ω 3 Ω
+ +
- -
30 V 15 V
30 Ω 3 Ω
5 A
A
B
A
B

La fuente real de corriente así obtenida,
finalmente se transforma en una fuente
real de tensión.
30/11
Ω
+
-
180/11
V
30/11
Ω
6 A
A
B
A
B

Análisis de Circuitos -
Definiciones
+
-
 Rama
 Es un elemento o grupo de elementos de un circuito eléctrico
que está conectado al resto del circuito mediante dos
terminales (circuitos con 2, 1 y 3 ramas respectivamente).
Elemento en serie del mismo o distinto tipo constituyen una
rama. Así mismo, elementos del mismo tipo en paralelo
pueden considerarse una sola rama.
2 ramas 1 rama 3 ramas

Definiciones
 Nudo, lazo y malla
 Nudo: Es el punto de unión de 3 o más ramas (ver números
1,2, 3 … 7).
 Lazo: es un conjunto de ramas que forman una línea cerrada
(1246531; 346753)
 Malla: es un lazo que no contiene ningún otro lazo (5675;
34653)
1
2
3
4
5
6 7

Método de las corrientes de malla
 Pasos a seguir:
1. Identificar las mallas del circuito
2. Definir las corrientes de malla, asociando a cada malla una de
estas corrientes.
3. Aplicar la Ley de Kirchhoff de tensiones a cada malla.
4. Resolver el sistema de ecuaciones lineales
5. Determinar las corrientes de rama que se identifican con
corrientes de malla.
6. Conocidas las corrientes de rama, determinar las tensiones de
cada nodo respecto a un nodo de referencia.

R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 ΩI1 I2
I = 1 A
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
I3
321
321
1
I*2)1(1I*2I*10
I*22)I1(1I*11
I1
+++−−=
−+++−=+
=−
AB

R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 ΩI1 I2
I = 1 A
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
I3
A1/3I
A1/6I
A1I
I*4I*2I*10
I*2I*4I*11
I1
I*2)1(1I*2I*10
I*22)I1(1I*11
I1
3
2
1
321
321
1
321
321
1
−=
−=
−=
+−−=+
−+−=+
=−
+++−−=
−+++−=+
=−
A
A
I3
= 1/3 A
I2
= 1/6 A
Ix
= ? A
Iy
= ? A
I1
= 1 A
I3
= 1/3 A
B
B
Iy
= 2/3 A
Ix
= 1/6 A

Supermallas
Supermallas
Una supermalla es cuando en la rama común a dos mallas hay
una fuente de corriente, en este caso se puede escribir una
ecuación única que comprende ambas mallas, es decir, la
supermalla; sin embargo, una fuente de tensión nunca provoca
una supermalla.
R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 Ω
I1 I2
E = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
I3
AB
+ -
I = 1 A
+
-
v

Análisis de Circuitos
Supermallas
Es necesario definir primeramente la tensión v para escribir las
ecuaciones de las mallas 1 y 2.
Sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas
R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 Ω
I1 I2
E = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
I3
AB
+ -
I = 1 A
+
-
v
04i2i1i
12i3iv
11iv3i
321
32
31
=+−−
+=−+−
−=−++

Supermallas
La fuente de corriente permite escribir la cuarta ecuación.
Sumando la expresión 1 y 2 de la lámina anterior
R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 Ω
I1 I2
E = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
I3
AB
+ -
I = 1 A
+
-
v
1ii 21 +=−+
0iii
0i33i3i
02i3i-i3i
321
321
3231
=−++
=−++
=−++

Supermallas
El nuevo sistema de ecuaciones
R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 Ω
I1 I2
E = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
I3
AB
+ -
I = 1 A
+
-
v
1/5Ai
3/5Ai
2/5Ai
1ii
04i2ii
0iii
3
2
1
21
321
321
−=+
−=+
+=+
=−+
=+−−
=−++

Supermallas. Ejercicio
R2
= 1 Ω
R4
= 3 Ω
R3
= 3 Ω
+
-R6
= 2 Ω
I1 I2
E1 = 2 V
R8
= 2 Ω
R1
= 1 Ω
I3
A
B
I = 5 A
+
-
v
- -
+ +
E2 = 3 V
E3 = 4 V
R5
= 2 Ω
R7
= 1 Ω
A
C
D
Resultados: I1
= 0,9 A
I2
= 2,2 A
I3
=−2,8 A

Método de las tensiones de nodo
Consideramos un circuito de n nodos (punto de unión de tres o
más ramas) y r ramas, es posible aplicar la ley de Kirchhoff a n-1
nudos obteniendo n-1 ecuaciones que permiten calcular n-1
tensiones de nodo con respecto a un nodo arbitrario de referencia.
El método de resolución sigue los siguientes pasos:
1.Elegir un nodo cualquiera como nodo de referencia.
2.Plantear la ecuación de Kirchhoff de corrientes en cada uno de
los n-1 nodos restantes.
3.Resolver el sistema de ecuaciones lineales.
4.Utilizando las tensiones de nodo, calcular la corriente de cada
rama.

Método de nodos fuentes de tensión
R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E2 = 1 V
R3
= 1 Ω
E1 = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
0
1
vv
1
Ev
2
vv
0
2
vv
1
vv
1
vv
0
1
vv
1
vv
2
Ev
3)(Nodo0iii
2)(Nodo0iii
1)(Nodo0iii
132323
320212
312111
313032
232021
131210
=
−
+
−
+
−
+
=
−
+
−
+
−
+
=
−
+
−
+
−
+
=+++
=+++
=+++
2
1
i10
i12
i13
3
i31
i30
0
i32
i21 i23
i20
2

R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E2 = 1 V
R3
= 1 Ω
E1 = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
1v
2
5
v
2
1
v
0v
2
1
v
2
5
v
2
1
vvv
2
5
321
321
321
=+−−
=−+−
=−−
2
1
i10
i12
i13
3
i31
i30
0
i32
i21 2 i23
i20

R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E2 = 1 V
R3
= 1 Ω
E1 = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
V
4
3
v
V
12
5
v
V
3
2
v
3
2
1
=
=
=
2
1
i10
i12
i13
3
i31
i30
0
i32
i21 2 i23
i20

R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E2 = 1 V
R3
= 1 Ω
E1 = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
A
6
1
2
v-v
i
A
12
1
1
v-v
i
A
4
1
1
v-v
i
A
4
1
-
1
1-v
i
A
12
5
1
0-v
i
A
6
1
-
2
1-v
i
32
23
31
13
21
12
3
30
2
20
1
10
−==
−==
==
==
==
==
2
1
i10
i12
i13
3
i31
i30
0
i32
i21 2 i23
i20
V
4
3
v
V
12
5
v
V
3
2
v
3
2
1
=
=
=

Método de nodos fuente de corriente
R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 Ω
I = 1 A
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
0
1
vv
1
Ev
2
vv
0
2
vv
1
vv
1
vv
0
1
vv
1
vv
1
3)(Nodo0iii
2)(Nodo0iii
1)(Nodo0iii
13323
320212
3121
313032
232021
131210
=
−
+
−
+
−
+
=
−
+
−
+
−
+
=
−
+
−
+−
=+++
=+++
=+++
2
1
i10
i12
i13
3
i31
i30
0
i32

R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 Ω
I = 1 A
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
V
6
7
v
V
6
5
v
V
2
3
v
3
2
1
=
=
=
2
1Ai
A
3
2
1
6
5
-
2
3
1
v-v
i
A
6
2
1
6
7
-
2
3
1
v-v
i
1Nodo
10
21
12
31
13
−=
===
===
0

R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 Ω
I = 1 A
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
V
6
7
v
V
6
5
v
V
2
3
v
3
2
1
=
=
=
2
A
6
7
1
0-
6
7
1
v-v
i
A
6
1
2
6
5
-
6
7
2
v-v
i
A
6
2
1
2
3
-
6
7
1
v-v
i
3Nodo
03
30
23
32
13
31
===
===
−===
0

R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 Ω
E = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
2
Supernodos
Cuando entre dos nodos hay una fuente de tensión, ambos nodos
forman un supernodo y puede escribirse una única ecuación de
nodo para el conjunto de ambos nodos, esto es, para el
supernodo. Debe aclararse que las fuentes de corriente no
provocan supernodos, solamente los provocan las fuentes de
tensión.
-+
- +
E = 2 V
0

R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 Ω
E = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
2
Supernodos
No es posible escribir las ecuaciones de los nodos 1 y 2 ya que
no existe resistencia en la rama 1-2, por tanto se emplea la
corriente auxiliar i.
-+
- +
E = 2 V
0
i

R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E2 = 1 V
R3
= 1 Ω
E1 = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
2
Supernodos
-+
- +
E3 = 2 V
i
0
0
1
vv
1
Ev
2
vv
0
2
vv
1
vv
i
0
1
vv
i
2
Ev
3)(Nodo0III
2)(Nodo0III
1)(Nodo0III
132323
3202
3111
313032
232021
131210
=
−
+
−
+
−
+
=
−
+
−
+−
=
−
++
−
+
=+++
=++−
=+++
1
i13
i12
i10
3
i31
i30
i32
2i21
i20
i23

R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E2 = 1 V
R3
= 1 Ω
E1 = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
2
Supernodos
La fuente de tensión que origina el supernodo permite escribir una
nueva ecuación.
-+
- +
E3 = 2 V
i
0
231 vEv =+
1
i13
i12
=i
i10
i31
2
i21
=i
i20
i23
3
i32
i31
i30

R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E2 = 1 V
R3
= 1 Ω
E1 = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
2
Supernodos
-+
- +
E3 = 2 V
i
0
V0,429
7
3
V
V1,381
21
29
V
V0,619
21
13
V
20V1V1V
25V1V2V-
13V3V3V
3
2
1
321
321
321
==
==
−=−=
−=+−
+=+−
+=−+
1
i13
i12
=i
i10
i31
2
i21
=i
i20
i23
3
i32
i31
i30

R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E2 = 1 V
R3
= 1 Ω
E1 = 1 V
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
31
2
Supernodos
-+
- +
E3 = 2 V
i
0
V0,429
7
3
V
V1,381
21
29
V
V0,619
21
13
V
3
2
1
==
==
−=−=
1
i13
i12
=i
i10
i31
2
i21
=i
i20
i23
3
i32
i31
i30
A1,857IIiI
A1,381
1
0,01,381
1
VV
I
A0,476
2
0,4291,381
2
VV
I
232021
02
20
32
23
=+==
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=

Supernodos: Ejemplo
142
033213123
052312
32101
303231
202123
121310
vEv
0
4
vEv
21
vEv
3
vEv
0
6
vEv
i
21
vEv
0i
3
vEv
5
vv
(Nodo3)0iii
(Nodo2)0iii
(Nodo1)0iii
=+
=
−−
+
+
−−
+
−+
=
−+
++
+
−+
=−
−−
+
−
=+++
=+++
=−++
R1
= 1 Ω
R2
= 2 Ω
R3
= 3 Ω
E1
= 10 V
+
-
R4
= 4 Ω
R6
= 6 Ω
R5
= 5 Ω
-
-
-
-
+
+
+
+
E2
= 20 V
E3
= 30 V
E4
= 40 V
E5
= 50 V
0
1
2
3
2
i23
i21
= i
i20
i12
= i
3 i30
i32
i31
1
i10
i13
i

Supernodos: Ejemplo
R1
= 1 Ω
R2
= 2 Ω
R3
= 3 Ω
E1
= 10 V
+
-
R4
= 4 Ω
R6
= 6 Ω
R5
= 5 Ω
-
-
-
-
+
+
+
+
E2
= 20 V
E3
= 30 V
E4
= 40 V
E5
= 50 V
0
1
2
3
i
142
33213123
52312
3211
303231
202123
121310
vEv
0
4
Ev
21
vEv
3
vEv
0
6
Ev
i
21
vEv
0i
3
vEv
5
v
(Nodo3)0iii
(Nodo2)0iii
(Nodo1)0iii
=+
=
−
+
+
−−
+
−+
=
+
++
+
−+
=−
−−
+
=+++
=+++
=−++

Supernodos: Ejemplo
R1
= 1 Ω
R2
= 2 Ω
R3
= 3 Ω
E1
= 10 V
+
-
R4
= 4 Ω
R6
= 6 Ω
R5
= 5 Ω
-
-
-
-
+
+
+
+
E2
= 20 V
E3
= 30 V
E4
= 40 V
E5
= 50 V
0
1
2
3
i
142
32313
232311
303231
202123
121310
vEv
0
4
30v
3
v10v
3
v20v
0
6
50v
3
v10v
3
v20v
5
v
(Nodo3)0iii
(Nodo2)0iii
(Nodo1)0iii
=+
=
−
+
−−
+
−+
=
+
+
−+
+
−−
+
=+++
=+++
=−++

Supernodos: Ejemplo
R1
= 1 Ω
R2
= 2 Ω
R3
= 3 Ω
E1
= 10 V
+
-
R4
= 4 Ω
R6
= 6 Ω
R5
= 5 Ω
-
-
-
-
+
+
+
+
E2
= 20 V
E3
= 30 V
E4
= 40 V
E5
= 50 V
0
1
2
3
i
142
32313
232311
303231
202123
121310
vEv
0)30v(3)v10v(4)v204(v
0)50v(5)v10v(10)v20v(106v
(Nodo3)0iii
(Nodo2)0iii
(Nodo1)0iii
=+
=−+−−+−+
=++−++−−+
=+++
=+++
=−++

Supernodos: Ejemplo
R1
= 1 Ω
R2
= 2 Ω
R3
= 3 Ω
E1
= 10 V
+
-
R4
= 4 Ω
R6
= 6 Ω
R5
= 5 Ω
-
-
-
-
+
+
+
+
E2
= 20 V
E3
= 30 V
E4
= 40 V
E5
= 50 V
0
1
2
3
i
400v11v-
501144
150201516
(Nodo3)0iii
(Nodo2)0iii
(Nodo1)0iii
321
321
321
303231
202123
121310
−=++
=+−−
−=−+
=+++
=+++
=−++
v
vvv
vvv

Supernodos: Ejemplo
R1
= 1 Ω
R2
= 2 Ω
R3
= 3 Ω
E1
= 10 V
+
-
R4
= 4 Ω
R6
= 6 Ω
R5
= 5 Ω
-
-
-
-
+
+
+
+
E2
= 20 V
E3
= 30 V
E4
= 40 V
E5
= 50 V
0
1
2
3
i
V1,050
181
190
v
V24,807
181
4490
v
V15,193
181
2750
v
400v1v1v-
5011v4v4v
15020v15v16v
3
2
1
321
321
321
==
−=−=
==
−=++
=+−−
−=−+

Supernodos: Ejemplo - verificación por mallas
La intensidad en la R5 será I1 – I3 = 7,238 – 4,199 = 3,039 A
Con el método de nodos será (v1 – v0)/5 = 3,039 A
R1
= 1 Ω
R2
= 2 Ω
R3
= 3 Ω
E1
= 10 V
+
-
R4
= 4 Ω
R6
= 6 Ω
R5
= 5 Ω
-
-
-
-
+
+
+
+
E2
= 20 V
E3
= 30 V
E4
= 40 V
E5
= 50 V
0
1
2
3
i
A4,199
181
760
I
A5,285
543
2870
I
A7,238
181
1310
I
1011I0I5I-
100I6I3I
505I3I12I
3
2
1
321
321
321
==
==
==
=++
=++−
=−−+
I1
I2
I3

Supernodos: Ejercicio
R1
= 3 Ω R2
= 6 Ω R3
= 12 Ω
E1
= 24 V
+
-
E2
= 6 V
+
-
10 A
R4
= 30 Ω
v1
v2
v3

Supernodos: Ejercicio
R1
= 8 Ω R2
= 2 Ω R3
= 10 Ω
E1
= 100 V
+
- -
I = 8 A
R4
= 4 Ω
v1
v2
v3
R5
= 3 Ω R6
= 5 Ω
Solución:
v1 = 25.89 V
v2 = 20.31 V
ix = 2.79 A
ix

Principios y teoremas
Principio de Superposición
Emana de la naturaleza lineal de los circuitos.
Un circuito alimentado por n fuentes independientes, las tensiones
de nudo y las corrientes de malla pueden obtenerse como la suma
de las correspondientes tensiones de nudo y las correspondientes
corrientes de malla de cada uno de los circuitos que se obtienen
desactivando n-1 fuentes independientes en el circuito original.
Desactivar una fuente de tensión significa sustituirla por un
cortocircuito.
Desactivar una fuente de corriente significa sustituirla por un
circuito abierto.

R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 Ω
I = 1 A
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
AB

R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 Ω R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
A
6
1
I
A
6
1
I
A
6
1
I
3
1
*
22
2
I
A
3
1
111
1
I
CB
CBA
AC
AC
=
=
=
+
=
=
++
=
AB
C
R246
= 1 Ω
+-
E = 1 V
R3
= 1 Ω R5
= 1 Ω
I
IACICB = 1/6 A
I

R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
R4
= 2 Ω
R3
= 1 Ω
I = 1 A
R5
= 1 Ω
R6
= 1 Ω
AB
C

R2
= 1 Ω
R1
= 2 Ω
Ry2
= 1/2 ΩRy1
= 1/2 Ω
I = 1 A
Ry3
= 1/4 Ω
R6
= 1 Ω
AB
C
R = 3/2 Ω
R1
= 2 Ω
Ry3
= 1/4 Ω
R = 3/2 Ω
I = 1 A
B
O
O
IBO = 1/2 A
IBO = 1/2 A
IBO = 1/2 A
IBO = 1/2 A
IBC = 1/2 A
ICB = 1/6 A
IBC = 2/3 A
B C

Teorema de Thévenin
Visto de dos terminales cualesquiera, un circuito lineal puede
sustituirse por un dipolo consistente en una fuente de tensión y
una resistencia, que se denominan, respectivamente, tensión de
Thévenin y resistencia de Thévenin.
Circuito Original Circuito equivalente Thévenin
CIRCUITO
ELÉCTRICO
A
B
A
B
+
-
VTh
RTh
V0 V0

Siendo v0 la tensión de vacío entre los terminales A y B
Para el caso de cortocircuito entre los terminales A y B
CIRCUITO
ELÉCTRICO
A
B
A
B
+
-
VTh
RTh
Th0 VV =
Th0 Vv =
cc
Th
Th
Th
Th
cc
i
V
R
R
V
i
=
=

Las figuras ilustran el calculo de la tensión en vacio y la corriente
de cortocircuito.
CIRCUITO
ELÉCTRICO
A
B
Th0 VV =
cc
Th
Th
Th
Th
cc
i
V
R
R
V
i
=
=
V0
CIRCUITO
ELÉCTRICO
A
B
Icc

Calculo de la resistencia Thévenin
1.Se calcula la corriente de cortocircuito entre los terminales A y B y se
obtiene la resistencia Thévenin mediante el cociente entre la V0 y la Icc,
como se indicó anteriormente.
2.Se desactivan las fuentes independientes, tanto de tensión
(cortocircuito) como de corriente (circuito abierto), y se determina la
resistencia equivalente del circuito original entre los terminales A y B.
Esta resistencia equivalente es la RTh.

Teorema de Norton
Visto de dos terminales cualesquiera, un circuito lineal puede
sustituirse por un dipolo consistente en una fuente independiente
de corriente y una resistencia en paralelo, que se denominan,
respectivamente, equivalente de Norton.
Circuito Original Circuito equivalente Norton
CIRCUITO
ELÉCTRICO
A
B
A
B
IN RN
v
v

Teorema de Norton
La fuente de corriente y una resistencia en paralelo, se
denominan, respectivamente, corriente de Norton y resistencia de
Norton.
Circuito Original Circuito equivalente Norton
CIRCUITO
ELÉCTRICO
A
B
A
B
IN RN
Icc
V = 0
Icc
V = 0

Teorema de Norton
La fuente de corriente y una resistencia en paralelo, se
denominan, respectivamente, corriente de Norton y resistencia de
Norton. Considerando el circuito abierto.
A continuación se considera una resistencia nula (cortocircuito).
Según el teorema de Thevein
Por tanto se puede escribir
Finalmente
0 Th N N
Th
cc
Th
Th
cc N
Th
N Th
V =V =I R
V
i =
R
V
i =I =
R
R =R

Teorema de Norton
Calculo de la resistencia Norton (similar que la resistencia Thévenin)
1.Se desactivan las fuentes independientes, tanto de tensión
(cortocircuito) como de corriente (circuito abierto), y se determina la
resistencia equivalente del circuito original entre los terminales A y B.
Esta resistencia equivalente es la RN.

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