Este documento describe el método de las tensiones en los nudos para resolver circuitos eléctricos. Explica que se asignan números o letras a los nudos y se elige un nudo de referencia. Luego, se escriben ecuaciones aplicando la primera ley de Kirchhoff a cada nudo principal, excepto el de referencia. Esto genera un sistema de ecuaciones igual al número de nudos principales menos uno que se puede resolver para encontrar las tensiones en cada nudo.

1. Universdad Fermin Toro Decanato de Ingenieria Cabudare – Edo. Lara - Venezuela Eglis Pargas de Montero Francisco Rivero Ricardo Hernández Cabudare, Febrero 2011

2. LEY DE CORRIENTE DE KIRCHHOFF. Mediante la elección de lazos cerrados o mallas y la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff, se ha establecido el método de las corrientes de malla para la solución de los problemas de circuitos. En este apartado se llega a la misma solución planteando un sistema de ecuaciones determinado por la aplicación de la primera ley de Kirchhoff. Este método se llama Método de las tensiones en los nudos. L.C.K

3. Un nudo es un punto de un circuito común a dos o más elementos del mismo. Si en un nudo se unen tres o más elementos, tal nudo se llama nudo principal o conjunción. A cada nudo del circuito se le puede asignar un número o una letra. En la Fig.1 Son nudos A, B, 1,2 , 3 y 1,2 y 3 son nudos principales. La tensión en un nudo es la tensión de este nudo respecto de otro, denominado nudo de referencia. En la Fig.1 Se ha elegido el nudo 3 como nudo de referencia. Entonces V13 es la tensión entre los nudos 1 y 3, y V23 la tensión entre los nudos2 y 3. Como quiera que las tensiones en los nudos se toman siempre respecto de un nudo de referencia dado, se emplea la notación V1 en lugar de V13 y V2 en lugar de V23. TENSIONES EN LOS NUDOS Z a Z c Z e A 1 2 B 3 V m V n Z b Z d + +

4. El método de las tensiones en los nudos consiste en determinar las tensiones en todos los nudos principales respecto del nudo de referencia. La primera ley de kirchhoff se aplica a los nudos principales 1 y2 , obteniéndose así dos ecuaciones en las incógnitas V1 y V2 . En la Fig.2 se ha dibujado nuevamente el nodo 1 con todas sus ramas de conexión. Se supone que todas las corrientes en las ramas salen del nudo. Como la suma de las corrientes que salen del nudo es cero: Método

5. Repitiendo el mismo proceso con el nudo2 la ecuación que resulta es : Agrupando en (1) y (2 ) los términos en V1 y V2 , se obtiene el sistema de ecuaciones: Teniendo en cuenta que 1/Z =Y, se puede escribir el sistema (3) en función de las admitancias Ejemplo

6. NÚMERO DE ECUACIONES DE TENSIONES EN LOS NUDOS Se pueden escribir ecuaciones para cada uno de los nudos principales con la excepción del de referencia. En consecuencia, el número de ecuaciones es igual al de nudos principales menos uno. Disponiendo del método de las corrientes de malla y del de las tensiones en los nudos. La elección de uno u otro en cada caso particular depende de la configuración del circuito. En un circuito con muchas ramas en paralelo hay, normalmente, muchos más lazos que nudos, exigiendo menos ecuaciones, por tanto, de nudos para resolverlo. En otros casos, puede haber el mismo número de mallas que de nudos o haber menos mallas que nudos. En todo caso debe elegirse siempre el método que dé menor número de ecuaciones Un circuito con cuatro nudos principales exige para su solución tres ecuaciones nodales. En notación general el sistema es : NUDOS

7. El coeficiente Y 11 se llama admitancia propia del nudo 1 y es la suma de todas las admitancias conectadas al nudo 1. De igual forma, Y 22 y Y 33 son las admitancias de los nudos2 y 3 respectivamente iguales a la suma de las admitancias conectadas a los nudos2 y 3. El coeficiente Y 12 es la coadmitancia de los nudos 1 y2 y es la suma de todas las admitancias que unen ambos nudos Y 12 tiene signo negativo, como puede verse en la primera de las ecuaciones. De igual forma, Y 23 e Y 13 son las coadmitancias de los elementos que unen los nudos2 y 3, 1 y 3 , respectivamente. Todas las coadmitancias tienen signo negativo. Obsérvese que Y 13 = Y 31 * Y 23 = Y 32 . La intensidad I1 es la suma de todas las corrientes de fuentes que pasan por el nudo 1. Una corriente que entra en el nudo tiene signo positivo; a la que sale del nudo se le asigna el negativo. Las intensidades I2 e I3, son las sumas de las corrientes que pasan por los nudos2 y 3, respectivamente.

8. Por analogía con la notación matricial para las ecuaciones de las corrientes de malla las tres ecuaciones pueden escribirse en la forma: Ejemplo Las tensiones en los nodos V1,V2 y V3 vienen dadas por:

9. Si el determinante numerador de cada una de las fracciones se desarrolla por los elementos de la columna que contiene las corrientes, se obtienen para las tensiones en los nudos las ecuaciones siguientes Ejemplo

10. L.V.K LEY DE VOLTAJE DE KIRCHHOFF EN CORRIENTE ALTERNA. Las fuentes de tensión en un circuito eléctrico originan unas corrientes en las ramas que, a su vez, da lugar a unas caídas de tensión en los componentes de las mismas. Resolver un circuito consiste en hallar las intensidades, con su sentido de circulación, en cada una de aquellas ramas o bien determinar las caídas de tensión en cada uno de dichos componentes. I 1 I 2 I 3 Z a Z b Z c Z d Z e V A V B + +

11. MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR LAS CORRIENTES DE MALLAS . Para aplicar este método se eligen, en primer lugar, lazos cerrados o malla, asignándoles una corriente eléctrica. Estos lazos o mallas se llaman corrientes cíclicas de Maxwell o simplemente, corrientes de mallas, como se representa en la Fig. 1. Acto seguido, se escriben las ecuaciones de la segunda ley de kirchhoff para cada malla tomando las intensidades de aquellas corrientes como variables desconocidas, I1, I2, I3, en el ejemplo, y se resuelve el sistema de ecuaciones así formado. Las corrientes en cada malla se hallan mediante la primera ley de kirchhoff y es o bien una corriente de malla (caso en que la rama solo pertenezca a una malla) MALLAS

12. Por ejemplo, la corriente en elemento ZA es I1, y la corriente en ZB es I1-I2 si I1 es mayor que I2 o bien I2 -I1 en caso contrario (el sentido de la circulación es el correspondiente a la mayor intensidad de las dos mallas contiguas). La caída de tensión en un elemento cualquiera del circuito es el producto de la impedancia compleja del mismo por fasor intensidad de la corriente que lo atraviesa (el borde del elemento por donde entra la flecha del sentido de la intensidad esta a mas tensión que por donde sale). Vamos a obtener el sistema de ecuaciones del circuito de tres mallas independientes de la: Fig.1 aplicando a cada malla la segunda ley de kirchhoff. En la Fig.2 aparece la primera malla aislada y se ha de verificar que la suma de las fuerzas electromotrices o subidas de tensión es igual a la suma de las caídas de tensión. Z a I 1 Z b V A + Z A . I 1 + Z B. (I 1 – I 2 ) = V A Ejemplo

13. La segunda malla no contiene fuente de tensión alguna, por lo tanto, la suma de las caídas de tensión a lo largo de ella es cero. ZC. I 2 + ZD . (I 2 + I 3 )+ ZB. (I 2 – I 1 ) = 0 Para la tercera malla tendremos ZE. I 3 + ZD . (I 3 + I 2 ) =VB Es decir (ZA + ZB) . I 1 – ZB . I 2 = VA (I) - ZB . I 1 + (ZB + ZC + ZD ) . I 2 – ZD . I 3 = 0 (II) ZD . I 2 + (ZD + ZE) . I 3 = VB (III) Ejemplo

14. Este sistema de ecuaciones se puede obtener directamente, para ello, consideremos la primera malla, que aparece en la Fig.2 la corriente I 1 tiene el sentido de las agujas del reloj y las caídas de tensión en todos los elementos de esta malla son todas positivas. Ahora bien, por ZB también circula la corriente I 2 de la segunda malla, pero con sentido opuesto a I 1 por tanto, la caída de tensión en ZB debida a I 2 es – ZB I 2 La caída de tensión VA es positiva por tener el mismo sentido que I 1 . En estas condiciones, aplicando la segunda ley de kirchhoff a la primera malla se obtiene la ecuación ( I ). Análogamente resultan las Ecuaciones ( I ) y ( II ) Sistema de ecuaciones

15. Caida y Subida de Tensión Los términos caída y subida de tensión son más propios de los circuitos de corriente continua (c.c.) en los que significado es más claro que en los de corriente alterna (c.a), en donde los valores instantáneos de tensión y de intensidad de corriente son unas veces positivos y otros negativos. La segunda ley de kirchhoff en régimen permanente senoidal aplicada a una malla o lazo cerrado dice: la suma geométrica de los fasores de tensión de las fuentes activas de la malla es igual a la suma geométrica de los fasores de las caídas de tensión en las impedancias de mallas.

16. ELECCIÓN DE LAS MALLAS. La solución de un circuito por el método de las corrientes de mallas se simplifica extraordinariamente eligiendo bien las mallas a considerar. Por ejemplo, supongamos que en circuito de la Fig.1 solo es necesario conocer la corriente que circula por la impedancia ZB; lomas cómodo será resolver el problema de forma que por ZB no circule más que una corriente de malla, es decir, es decir que dicha impedancia no pertenezca mas a una malla. En estas condiciones, solo habrá que determinar el valor de la corriente de la malla I 1 en la Fig.3 se pueden obtener las nuevas mallas elegidas. ELECCIÓN DE LAS MALLAS Z a Z c Z e V A V B I 1 I 2 I 3 Z b Z d + +

17. El sistema de ecuaciones correspondientes a la elección de mallas es: (ZA + ZB) . I 1 – ZA . I 2 = VA - ZA . I 1 + (ZA + ZC + ZD ) . I 2 + ZD . I 3 = VA ZD . I 2 + (ZD + ZE) . I 3 = VB En cualquier caso, por cada elemento del circuito debe circular al menos una corriente de malla y no tiene por qué haber dos ramas con la misma corriente o igual combinación algebraica de corrientes. Sistema de ecuaciones