Experimentos factoriales completo

EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
EXPERIMENTOS FACTORIALES
COMPLETOS
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CONTENIDO
1. Diseño factorial de dos factores
2. Diseño factorial de dos factores
3. Comparaciones múltiples
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1. Diseño factorial completo de 2 factores
Ul ingeniero decide probar los tres materiales de la cubierta, único
factor controlable a tres niveles de temperatura (15, 70 y 125 °F)
consistentes en el entorno de uso final del producto. Se prueban cuatro
baterías a cada combinación de material de la cubierta y temperatura,
y las 36 pruebas se ejecutan al azar.
En la tabla 1 se presentan el experimento y los datos resultantes de
duración observada de las baterías.
En este problema, el ingeniero desea contestar las siguientes preguntas:
1. ¿Qué efecto tienen el tipo de material y la temperatura sobre la
duración de la batería?
2. ¿Existe una elección del material que dé por resultado una duración
uniformemente larga sin importar la temperatura?
Tipo de
material
Temperatura °F
15 70 125
1 130 155 34 40 20 70
74 180 80 75 82 58
3 150 188 126 122 25 70
159 126 106 115 58 45
3 138 110 174 120 96 104
168 160 150 139 82 60
Tabla 1. Duración en horas para el ejemplo del diseño de una batería
Esta última pregunta reviste particular importancia. Existe la posibilidad
de hallar un material que no sea muy afectado por la temperatura. De
ser así, el ingeniero puede hacer que la batería sea robusta a la
variación de temperatura en el campo. Éste es un ejemplo del uso del
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diseño experimental estadístico para el diseño de un producto robusto
(o consistente), un importante problema de ingeniería.
Este diseño es un ejemplo específico del caso general de un diseño con
dos factores (bifactorial). Para pasar al caso general, sea Yijk la
respuesta observada cuando el factor A se encuentra en el i-ésimo nivel
(i -1, 2,..., n). En general, los datos observados se verán como en la tabla
2. El orden en el cual se toman las abn observaciones es aleatorio, de
modo que éste es un diseño completamente aleatorizado.
Tabla 2. Disposición general para un diseño bifactorial
Las observaciones pueden describirse mediante el modelo estadístico
lineal:
( )





=
=
=
++++=
n1,2,...,k
b1,2,...,j
a1,2,...,i
εijkijτββjτiμYijk
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Y111,Y112,
...,Y11n
Factor A
Factor B
Y211,Y212,
...,Y21n
...
Ya11,Ya12,
...,Ya1n
... ... ...
Y121,Y122,
...,Y12n
...
Y1b1,Y1b2,
...,Y1bn
Y221,Y222,
...,Y22n
...
...
Y2b1,Y2b2,
...,Y2bn
Ya21,Ya22,
...,Ya2n
Yab1,Yab2,
...,Yabn
1 2 ... b
1
2
...
a
Y111,Y112,
...,Y11n
Factor A
Factor B
Y211,Y212,
...,Y21n
...
Ya11,Ya12,
...,Ya1n
... ... ...
Y121,Y122,
...,Y12n
...
Y1b1,Y1b2,
...,Y1bn
Y221,Y222,
...,Y22n
...
...
Y2b1,Y2b2,
...,Y2bn
Ya21,Ya22,
...,Ya2n
Yab1,Yab2,
...,Yabn
1 2 ... b
1
2
...
a

En donde µ es el efecto medio general, τi es el efecto del i-ésimo nivel
del factor renglón A, βj es el efecto del j-ésimo nivel del factor columna
B, (τβ)ij es el efecto de la interacción entre τi y βj, εijk es el componente
del error aleatorio. Inicialmente se supone que ambos factores son fijos y
que los efectos de tratamiento se definen como desviaciones de la
media general, por lo tanto. ∑ = ∑ = ==a
1i
b
1j 0βj0;τi Se supone que los efectos
de interacción son fijos y que se definen dé manera que: ( ) 0ija
1i τβ =∑ = .
Hay un total de abn observaciones porque se realizan n réplicas.
En un diseño factorial de dos factores, tanto los factores (o tratamientos)
de renglón como de columna tienen la misma importancia,
específicamente el interés consiste en probar hipótesis acerca de la
igualdad de los efectos de tratamiento de renglón, es decir:
0iunamenosal:H
0a...2:Ho
τ
τττ
1
1
≠
===
Y de la igualdad de los efectos de tratamiento de columna:
0junamenosal:H1
0b...21:Ho
β
βββ
≠
===
También es interesante determinar sí los tratamientos de renglón y
columna interaccionan. En otras palabras, resulta conveniente probar:
0(ττβ)iunamenosal:H1
ji,todapara0(ττβ)i:Ho
≠
=
A continuación, se muestra cómo pueden probarse estas hipótesis
usando un análisis de variancia bifactorial o bidireccional (de dos
factores o en dos sentidos).
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Análisis Estadístico del Modelo de Efectos Fijos
ea Yi..; el total de las observaciones bajo el i-ésimo nivel del factor A;
Y.j. El total de las observaciones bajo el j-ésimo nivel del factor B, Yij.
El total de las observaciones de la ij-ésima celda, e Y... el total general
de todas las observaciones. Se definen ...Yyij.Yy.j.Yi..;Y como los
promedios de renglón, columna, celda y general, respectivamente,
matemáticamente:
S
∑
=
∑
=
∑
=
==
=
=
=∑
=
=
∑
=
=∑
=
==
==∑
=
∑
=
=



a
1i
b
1j
n
1k abn
Y...
...YYijkY...
b1,2,...,j
a1,2,...,i
;
n
Y...
ij.Y
n
1k
YijkYij.
a
1i
b1,2,...,j;
n
1k an
Y.j.
.j.YYijkY.j.
a1,2,...,i;
bn
Yi..
i..Y
b
1j
n
1k
YijkYi..
La suma total de cuadrados corregida puede expresarse mediante:
( )
( )( )( )
( )
( )
( ) ( ) (
( )∑
=
∑
=
∑
=
+
∑
=
∑
=
+−−+∑
=
−+∑
=
−
=∑
=
∑
=
∑
=
−
∑
=
∑
=
∑
=
∑
=
−
++−−+−+−
∑
=
∑
=
=−








a
1i
b
1j
n
1k
2
ij .Y-Yij k
a
1i
b
1j
. j.Yi. .Yij .Yn
2b
1j
. ..Y.j .Yan
2a
1i
.. .Yi. .Yb n
a
1i
b
1j
n
1k
2
. ..YYij k
a
1i
a
1i
b
1j
n
1k
2
ij .YYij k
. ..Y.jY. ..Yij .Y. ..Y.j .Y. . .Yi..Y
b
1j
n
1k
2
. ..YYij k
Porque los seis productos cruzados del segundo miembro de la
ecuación anterior son iguales a cero. Se observa que la suma total de
cuadrados se ha descompuesto en una suma de cuadrados debida a
los “renglones” o al “factor” A (SSA) en una suma de cuadrados debida
a las "columnas" o al factor B (SSB), en una suma de cuadrados debida
a la interacción entre A y B (SSAB), y en una suma de cuadrados debida
al error (SSE): Analizando el último término del miembro derecho de la
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Ecuación anterior es posible observar que es necesario tener al menos
dos réplicas (n ≥ 2) para poder obtenerla suma de cuadrados del error.
Simbólicamente, la Ecuación anterior puede expresarse mediante:
EABBAT SSSSSSSSSS +++=
Los grados de libertad asociados a cada suma de cuadrados son:
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Efecto Grados de libertad
A a-1
B b-1
Interacción AB (a-1)(b-1)
Error ab(n-1)
Total abn-1
Esta descomposición del total de abn -1 grados de libertad para las
sumas de cuadrados se puede justificar como sigue: Los efectos
principales de A y B tienen a y b niveles, respectivamente, por lo tanto,
tienen a -1 y b -1 grados de libertad como se muestra.
Los grados de libertad de la interacción simplemente corresponden a
los grados de libertad de cada celda (los cuales son iguales a ab -1)
menos los grados de libertad de los dos efectos principales A y B en
otras palabras, ab -1 -(a -1) -(b -1) -(a- 1)(b -1). Dentro de cada una de
las ab celdas hay n -1 grados de libertad entre las n réplicas, por lo
tanto, hay ab(n -1) grados de libertad del error.
Se observa que la suma de los grados de libertad de los términos del
miembro derecho de la ecuación anterior es igual al total de los grados
de libertad.
Cada suma de cuadrados dividida entre sus grados de libertad produce
una media de cuadrados. Los valores esperados de las medias de
cuadrados son:
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2
σ
1)ab(n
SSE
EE(MSE)
1)1)(b(a
a
1i
b
1j
ij
2
(ττβn
2
σ
1)1)(b(a
SSAB
EE(MSB)
1b
b
1j
βjan
2
σ
1b
SSB
EE(MSB)
1a
a
1i
τibn
2
σ
1a
SSA
EE(MSA)
=
−
=
−−
∑
=
∑
=
+=
−−
=
−
∑
=
+=
−
=
−
∑
=
+=
−
=
























Hay que notar, que si las hipótesis nulas, las cuales consisten en
proponer que no hay efectos de tratamiento de renglón, columna e
interacción, son verdaderas, entonces MSA, MSB, MSAB y MSE son
estimadores de σ2
. Sin embargo, si por ejemplo existen diferencias entre
los tratamientos de renglón, entonces MSA será mayor que MSE.
En forma similar, si hay efectos de tratamiento de columna o
interacción, las medias de cuadrados correspondientes serán mayores
que MSE.
Por lo tanto, para probar el significado de ambos efectos principales,
así como de su interacción, simplemente deben dividirse las medias de
cuadrados correspondientes entre la media de cuadrados del error.
Valores grandes de estas razones implican que los datos no concuerdan
con las hipótesis nulas.
Si se considera que el modelo estadístico es adecuado y que los
términos del error εijk son independientes con distribuciones normales
con variancia constante σ2
, entonces las razones de las medias de
cuadrados MSA/MSE, MSB/MSE y MSAB/MSE tienen distribución F con a -1,
b- 1 y (a -1)(b -1) grados de libertad en el numerador, respectivamente,
y ab(n -1) grados de libertad en el denominador. Las regiones críticas
corresponden al extremo superior de la distribución F. Usualmente la
prueba se presenta en una tabla de análisis de variancia como la que
aparece en la tabla 2.
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Fuente de
Variación SS G.L. MS Fo
Tratamientos A SSA a - 1
1a
SS
MS
A
A
−
=
E
A
MS
MS
Tratamientos B SSB b - 1
1b
SS
MS
B
B
−
=
E
B
MS
MS
Interacción SSAB (a - 1)(b - 1)
1)1)(b(a
SS
MS
AB
AB
−−
=
E
AB
MS
MS
Error SSE ab(n-1)
1)ab(n
SS
MS
E
B
−
=
Total SST abn - 1
Tabla 2 ANOVA para el modelo bifactorial de efectos fijos
Es posible obtener las fórmulas para calcular las sumas de cuadrados de
la ecuación anterior. La suma total de cuadrados se calcula en forma
usual mediante:
∑
=
∑
=
∑
=
−=
a
1i
b
1j
n
1k abn
...
2
Y
ijk
2
YTSS
Las sumas de cuadrados para los efectos principales son:
∑
=
−=
∑
=
−=
b
1j abn
...
2
Y
an
.j.
2
Y
B
a
1i abn
...
2
Y
bn
i..
2
Y
A
SS
SS
Es conveniente obtener SSAB en dos etapas. Primero se calcula la suma
de cuadrados entre los totales de las ab celdas, conocida como la
suma de cuadrados debido a los "subtotales":
∑
=
∑
=
−=
a
1i
b
1j abn
...
2
Y
n
ij.
2
Y
esSSsubtotal
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Esta suma de cuadrados contiene a la SSA y SSB. Por lo tanto, la segunda
etapa consiste en calcular SSAB mediante:
BAsubtotalesAB SSSSSSSS −−=
La SSE se calcula por diferencia:
SubtotalesTE
:bieno
BAABTE
SSSSSS
SSSSSSSSSS
−=
−−−=
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Ejemplo: Más sobre el experimento de diseño de una batería. En la tabla
3 se presenta la duración efectiva (en horas) observada en el ejemplo
de diseño de una batería descrito en la anterior Los totales de renglón y
de columna se indican en los márgenes de la tabla; los números
subrayados son los totales de celda.
Tipo
de
Mat.
Temperatura (°F)
15 70 125 Yi..
1 130 155
134.75
4539 = 34 40
229
20 70
230 998
74 180 80 75 82 58
2 150 188
623
136 122
479
25 70
198 1300
159 126 106 115 58 45
3 138 110
576
174 120
583
96 104
342 1501
168 160 150 139 82 60
Y.j.= 1738 1291 770 Y...=
3799
Tabla 3. Duración (en horas) para el experimento de diseño de una
batería
Las sumas de cuadrados se calculan a continuación:
77,646.97
36
2
37992
60...
2
74
2
155
2
130
a
1i
b
1j
n
1k abn
...
2
Y
ijk
2
YSST
=−++++
=∑
=
∑
=
∑
=
−=
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9,613.7839,118.72
10,683.72
36
2
3799
4
2
342...
2
229
2
539
abn
...
2
Ya
1i
b
1j n
ij.
2
Y
ionSSinteracc
39,118.72
36
2
3799
(3)(49
2
770
2
1291
2
1738
b
1j abn
...
2
Y
an
.j.
2
Y
uraSStemperat
10,683.72
36
2
3799
(3)(4)
2
1501
2
1300
2
998
a
1i abn
...
2
Y
bn
i..
2
Y
SSmaterial
=−
−−−
+++
=∑
=
∑
=
−=
=−
++
∑
=
=−=
=−
++
∑
=
=−=
18,230.75
9,613.7839,118.7210,638.7277,646.97SS
SSSSSSSSSS
E
ninteraccioatemperaturmaterialTE
=−−−=
−−−=
El análisis de variancia aparece en la tabla 4. Se concluye que existe
una interacción significativa entre el tipo de material y la temperatura
porque F0.05,4.27 = 2.73. Además, también son significativos los efectos
principales del tipo de material y de la temperatura, porque FO.O5.2.27 =
3.35.
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Fuente de variación SS G.L. MS Fo
Tipo de material 10,683.7
2
2 5,341.86 7.91
Temperatura 39,118.7
2
2 19,558.3
6
28.97
Interacción 9,613.78 4 2,403.44 3.56
Error 18,230.7
5
27 675.21
Total 77,646.9
7
35
Tabla 4. ANOVA para los datos de la duración de la batería
Como auxiliar en la interpretación de los resultados de este experimento
resulta útil la construcción de una gráfica de las respuestas promedio de
cada combinación de tratamiento. Esta gráfica se muestra en la figura
1.
Figura 1. Gráfica de respuesta vs temperatura
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Material tipo 2
25
50
75
100
125
150
Duracionpromedio
Temperatura
15 70 125
175
.ijY
Material tipo 1
Material tipo 3
Material tipo 2
25
50
75
100
125
150
Duracionpromedio
Temperatura
15 70 125
175
.ijY
Material tipo 1
Material tipo 3

El hecho de que las rectas no sean paralelas indica una interacción
significativa. En general, a menor temperatura mayor duración,
independientemente del tipo de material.
Al variar la temperatura de baja a intermedia, la duración aumenta con
el material tipo 3, mientras que disminuye con los materiales tipo 1 y 2,
Cuando la temperatura varía de intermedia a alta, la duración
disminuye con los materiales tipo 2 y 3, mientras que con el tipo 1
esencialmente permanece sin cambio. Al parecer, el material tipo 3 da
los mejores resultados si lo que se desea es menor perdida de duración
efectiva al cambiar la temperatura.
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3. Comparaciones Múltiples
i el análisis de variancia indica que hay diferencia en el nivel medio
de los renglones o columnas, resulta de interés llevar a cabo
comparaciones entre las medias individuales de renglón o columna
para descubrir las diferencias específicas para esto, los métodos de
comparación múltiple analizados en él capitulo anterior resultan útiles.
S
A continuación, se ilustra la aplicación de la prueba de intervalos
múltiples de Duncan a los datos de duración de las baterías del ejemplo
1. Se recordará que en este experimento la interacción resultó
significativa. Cuando esto ocurre, las diferencias en las medias de un
factor (por ejemplo el A) pueden ser ocultadas por la interacción AB. Un
enfoque consiste en fijar el factor B en un nivel específico, y aplicar la
prueba de intervalos múltiples de Duncan a las medias del factor A en
ese nivel. Para ilustrar esto, supongamos que en el ejemplo 1 se desea
detectar diferencias en el nivel medio de los tres tipos de material.
Como la interacción es significativa, las comparaciones se realizan en
un solo nivel de la temperatura, por ejemplo el nivel 2 (70 grados). Se
supone que el mejor estimador de la variancia del error es la MSE
obtenida de la tabla del análisis de variancia. Además, se utiliza la
suposición de que la variancia del error experimental es la misma en
todas las combinaciones de tratamientos. Los promedios de los tres tipos
de material, organizados en arden ascendente son:
3)tipo(material145.7532.Y
=
=
=
El error estándar de estos promedios o medias de tratamiento es:
12.99
4
675.21
n
MSE
12.YS ===
Página 16 de 27

Ya que cada promedio se calcula mediante n = 4 observaciones.
Usando la Tabla VII del Apéndice se obtienen los valores de r0.05(2, 27) =
2.91 y de r0.05(3, 27) = 3.06. Los intervalos mínimos significativos son:
R2 = r0.05(2,27) .S 2iY = (2.91)12.99) = 37.80
R3=r0.05(3,27) .S 2iY = (3.26)(12.99) = 39.75
Y las comparaciones proporcionan:
3 vs. 1 = 145.75 – 57.25 = 88.50 >39.75(R3)
3 vs. 2 = 145.75 – 119.75 = 26.00 <37.80(R2)
2 vs. 1 = 119.75 – 57.25 = 62.50 >37.80(R2)
Este análisis indica que en el nivel de temperatura de 70 grados, el
voltaje medio producido por los materiales 2 y 3 es el mismo y que el
voltaje medio del material 1 es significativamente menor que el
producido por los materiales tipo 2 y 3. Si la interacción resulta ser
significativa, el investigador puede comparar las medias de todas las ab
celdas para determinar en cuáles hay una diferencia significativa. En
este análisis las diferencias entre las celdas incluyen tanto los efectos
principales como el efecto de interacción. En el ejemplo 1 este método
producirá 36 comparaciones entre todos los posibles pares de medias
de nueve celdas.
Variabilidad del modelo
plicando el procedimiento general a los datos del voltaje de las
baterías delA
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Ejemplo 1. Debe observarse que
SSModelo = SSMaterial + SStemperatura + SSinteracción
SSModelo = 10,683.72 + 39,118.72 + 9613.78 = 59,416.22
Y que
R2
= SSModelo/SST = 59,416.22/77,646.97 = 0.765210
En otras palabras, cerca de 77% de la variabilidad en la caída del
voltaje se explica por el tipo de material de las placas de la batería, por
la temperatura y por la interacción entre el tipo de material y la
temperatura.
AComprobación de la idoneidad del Modelo
ntes de poder adoptar las conclusiones del análisis de variancia, debe
probarse la adecuación del modelo supuesto. Como antes, la
herramienta principal es el análisis de residuos. Los residuos para el
modelo factorial de dos factores son:
ijkijkijk YˆYe −=
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Para los residuos del ejemplo 3.1 tenemos que:
Tipo
de
Mat.
Temperatura grados Fahrenheit
15 70 125
1 130-
134.75=-
4.75
155-
134.75
=20.25
-
23.25
-
17.25
-
37.25
12.50
74-
134.750=-
60.75
180-
134.75
=45.25
22.75 17.25 24.50 0.50
2 -5.75 32.25 16.25 2.25 -
24.50
20.50
3.25 -29.75 -
13.75
-4.75 8.50 -4.50
3 -6.00 -34.00 28.25 -
25.75
10.50 18.50
24.00 16.00 4.25 -6.75 -3.50 -
25.50
Tabla 5. Residuos para el ejemplo 1
Página 19 de 27
J X(J) (j-.5)/n J X(J) (j-.5)/n J X(J) (j-.5)/n
1 -60.8 1.3889 13 -5.8 34.722 25 16 68.056
2 -37.5 4.1667 14 -4.8 37.5 26 16.3 70.833
3 -34 6.9444 15 -4.8 40.278 27 17.8 73.611
4 -29.8 9.7222 16 -4.5 43.056 28 18.5 76.389
5 -25.8 12.5 17 -3.5 45.833 29 20.3 79.167
6 -25.5 15.278 18 0.5 48.611 30 20.5 81.944
7 -24.5 18.056 19 2.3 51.389 31 22.8 84.722
8 -23.3 20.833 20 3.3 54.167 32 24 87.5
9 -17.3 23.611 21 4.3 56.944 33 24.5 90.278
10 -13.8 26.389 22 8.5 59.722 34 28.8 93.056
11 -6.8 29.167 23 10.5 62.5 35 32.3 95.833
12 -6 31.944 24 12.5 65.278 36 45.3 98.611

Figura 2. Grafica de probabilidad normal e histograma de residuos para
el ejemplo 1.
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Tabla 6. Residuos
Figura 3. Gráfica de Residuos versus respuesta estimada
Página 21 de 27
eijk eijk eijk
134.75 -4.75 57.25 -23.25 57.5 -37.5
134.75 -60.75 57.25 22.75 57.5 24.5
134.75 -5.75 57.25 16.25 57.5 -24.5
134.75 3.25 57.25 -13.75 57.5 8.5
155.75 -6 119.75 28.25 49.5 10.5
155.75 24 119.75 4.25 49.5 -3.5
155.75 20.25 119.75 -17.75 49.5 12.5
155.75 45.25 119.75 2.25 49.5 0.5
144 32.25 145.75 -4.75 85.5 20.5
144 -29.75 145.75 -25.75 85.5 -4.5
144 34 145.75 -6.75 85.5 18.5
144 16 145.75 -37.5 85.5 -25.5
.Yij .Yij .Yij
Grafica de residuos vs Yijk(estimador)
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 50 100 150 200
Estimador Yijk
eijk

Y ya que los valores ajustados son .YYˆ ijijk = (el promedio de las
observaciones en la ij-ésima celda), la Ecuación de residios se
transforma en:
.YYe ijijkijk −=
Los residuos de los datos de duración de las baterías del ejemplo 1 se
muestran en la tabla 6. La gráfica de probabilidad normal y el
histograma de estos residuos no revelan algo que pudiera causar
problemas, a pesar de que el residuo menor (-60.75 a 65 °F y para el tipo
de material 1) parece alejarse de los demás. El valor estandarizado de
este residuo es (-60,75)/ (675.21)1/2
= -2.34. Éste es el único residuo cuyo
valor absoluto es mayor que dos. En la tabla 7 se presenta una gráfica
de los residuos contra los valores ajustados ijkYˆ . Esta gráfica muestra
una ligera tendencia de la variancia de los residuos a aumentar, a
medida que aumenta el voltaje.
Tabla 7 Residuos del material
Página 22 de 27
T. Mat eijk T. Mat eijk T. Mat eijk
1 -4.75 1 -23.3 1 -37.5
1 -60.8 1 22.75 1 24.5
1 5.75 1 16.25 1 -24.5
1 3.25 1 -13.3 1 8.5
2 -6 2 28.25 2 10.5
2 24 2 4.25 2 -3.5
2 20.25 2 -17.3 2 12.5
2 45.25 2 17.75 2 0.5
3 32.25 3 2.25 3 20.5
3 -29.8 3 -4.75 3 -4.5
3 -34 3 -25.8 3 18.5
3 16 3 -6.75 3 -25.5
Grafica de residuos vs. tipo de material
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
eijk

Figura 4. Gráfica de residuos versus tipo de material
Tabla 8 Residuos de Temperatura
Página 23 de 27
Temp. eijk Temp. eijk Temp. eijk
15 -4.75 15 -23.25 15 -37.5
15 -60.75 15 22.75 15 24.5
15 -5.75 15 16.25 15 -24.5
15 3.25 15 -13.75 15 8.5
70 -6 70 28.25 70 10.5
70 24 70 4.25 70 -3.5
70 20.25 70 -17.03 70 12.5
70 45.25 70 17.75 70 0.5
125 32.25 125 2.25 125 20.5
125 -29.75 125 -4.75 125 -4.5
125 -34 125 -25.75 125 18.5
125 16 125 -6.75 125 -25.5

Figura 5 Gráfica de residuos de temperatura versus tipo de material
En la tabla 7 y figura 5 aparecen las gráficas de los residuos contra el
tipo de material y contra la temperatura, respectivamente. Ambas
gráficas indican una ligera desigualdad en la variancia siendo quizá
mayor la variancia de la combinación de 65 °F y tipo de material 1 que
la de cualquier otra combinación.
La celda correspondiente a 70 °F y el tipo de material es la que contiene
ambos residuos extremos (-60.75 y 45.25). Estos dos residuos son los
principales responsables de la desigualdad de la variancia detectada
en las Fig. 7,8 y 9.
Un examen posterior de los datos no reveló ningún problema obvio,
como por ejemplo, errores en el registro de los datos y, por lo tanto,
estas observaciones deben ser aceptadas como legítimas. Es posible
que en esta combinación de tratamiento particular se produzcan
voltajes ligeramente más erráticos que en las otras combinaciones. Sin
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-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 20 40 60 80 100 120 140
Temperatura

embargo, el problema no es tan severo como para tener un efecto
importante en el análisis y las conclusiones.
Estimación de los Parámetros del Modelo
os parámetros en el modelo de análisis de variancia de clasificación
en dos sentidos:L
( )





=
=
=
++++=
n1,2,...,k
b1,2,...,j
a1,2,...,i
εiτββτμY jkijjiijk
Pueden estimarse usando el método de mínimos cuadrados. Como hay
1 + a + b + ab parámetros del modelo que deben ser estimados habrá 1
+ a + b + ab ecuaciones normales. No es difícil mostrar que las
ecuaciones normales son:
(
( )
( ) ( ) =+++
∑ ∑+++
∑
=
∑+++
∑ ∑ ∑+++
= =
=
= = =
τβnβnτnμn:ijτβ
i i
τβnjβaniτnμan:βj
1j
τβ
j
njβniτbnμbn:τi
i j
njβaniτbnμabn:μ
ijji
a
1
a
1
bb
1
a
1
b
1
a
i
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
Para mayor claridad se muestra el parámetro correspondiente a cada
ecuación normal, a la izquierda de las Ecuaciones anteriores.
Con el fin de obtener una solución óptima a las ecuaciones anteriores,
tenemos que imponer las siguientes restricciones:
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( )
( )∑ ==
==∑
=
∑ =
∑ =
=
=
=
b
1j
ij
ij
a
b
1j
a
1
a1,2,...,i0τβ
b1,2,...,j0
1i
τβ
0βj
i
0iτˆ
Al aplicar estas restricciones, las ecuaciones normales se simplifican
considerablemente y se obtienen las soluciones:
( )( )



=
=
+−=
=−=
=−=
=
b1,2,...,j
a1,2,...,i
...Y.j.Y-i..Yij.Yijτβestimador
b1,2,...,j...Y.j.Yjβ
a1,2,...,i...Yi..Yiτ
...Yμ
ˆ
ˆ
ˆ
Estas soluciones son intuitivamente atractivas. Los efectos de los
tratamientos de renglón se estiman mediante la diferencia entre el
promedio del renglón y el promedio general; los efectos de los
tratamientos de columna mediante la diferencia entre el promedio de
la columna y el promedio general, y la ij-ésima interacción se estima
restando el promedio general, el efecto del renglón i y el de la columna
j al promedio de la ij-ésima celda.
Usando la ecuación anterior puede determinarse el valor ajustado de
Yijk mediante:
( )
( ) ( ) ( )
ij.YijkY
...Y.j.Yi..Yij.Y...Y.j.Y...Yi..Y...YijkY
τβ)deestimador(elijτβjβiτμijkY
=
+−−+−+−+=
+++=
ˆ
ˆ
ˆˆˆˆ
Página 26 de 27

En otras palabras, la k-ésima observación de la ij-ésima celda se estima
mediante el promedio de las n observaciones de dicha celda.
Suposiciones del análisis de varianza
Al aplicar un análisis de varianza se hacen las suposiciones siguientes:
1. El proceso esta en control estadístico (estable). Esto es, se pueden
repetir y las causas de variación se han eliminado.
2. La distribución de la población que se muestra es normal.
3. La varianza de los errores dentro de los k niveles del factor es la
misma: Esto es, la variabilidad natural dentro de cada tratamiento es
la misma de un tratamiento a otro.
Cuando se observa que no se puede suponer igual varianza (por
ejemplo un proceso Poisson: donde la varianza varia con la media), se
tiene dos opciones; Transformar los datos, o pruebas no parametricas. En
particular una prueba no parametrica que se usa es la Kruskal – Wallis.
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