aNOVA

2. EXPERIMENTOS FACTORIALES
Adriana Quintero Palomino
Departamento de Matem´aticas, F´ısica e Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. ANOVA DE DOS FACTORES
INTERACCI ´ON EN EL EXPERIMENTO DE DOS FACTORES
MODELO DE DOS FACTORES
Suponga que existe interacci´on entre los tratamientos y los bloques, como lo
indica el modelo
yij = µ + αi + βj + (αβ)ij + ij
El valor esperado del cuadrado medio del error entonces es dado por
E
SCE
(b − 1)(k − 1)
= σ2
+
1
(b − 1)(k − 1)
k
i=1
b
j=1
(αβ)2
ij
Los efectos del tratamiento y los bloques no aparecen en el cuadrado medio
del error esperado, pero los efectos de la interacci´on s´ı. Entonces, si en el
modelo hay interacci´on, el cuadrado medio del error refleja variaci´on debida
al error experimental m´as una contribuci´on de la interacci´on y, para este plan
experimental, no hay forma de separarlos.

4. ANOVA DE DOS FACTORES
INTERACCI ´ON EN EL EXPERIMENTO DE DOS FACTORES
MODELO DE DOS FACTORES
Considere, por ejemplo, los siguientes datos de temperatura (factor A con
niveles t1, t2 y t3 (en orden creciente) y tiempo de secado d1, d2 y d3
(tambi´en en orden creciente). La respuesta es el porcentaje de s´olidos. Estos
datos son completamente hipot´eticos y se dan para ilustrar un aspecto.
B
A d1 d2 d3 Total
t1 4.4 8.8 5.2 18.4
t2 7.5 8.5 2.4 18.4
t3 9.7 7.9 0.8 18.4
Total 21.6 25.2 8.4 55.2
El efecto de la temperatura sobre el porcentaje de s´olidos es positivo para el
tiempo breve de secado d1, pero negativo para el tiempo prolongado d3.

5. ANOVA DE DOS FACTORES
INTERACCI ´ON EN EL EXPERIMENTO DE DOS FACTORES
Esta interacci´on clara entre la temperatura y el tiempo de secado es intere-
sante para el bi´ologo; sin embargo, con base en los totales de las respuestas
para las temperaturas t1, t2 y t3, la suma de cuadrados de la temperatura, SCT,
producir´a un valor de 0. Entonces, se dice que la presencia de la interacci´on
enmascara el efecto de la temperatura. Por ello, si se considera el efecto me-
dio de la temperatura, promediado para el tiempo de secado, no existe efecto
alguno. Entonces, esto define el efecto principal.

6. ANOVA DE DOS FACTORES
REPRESENTACI ´ON GR ´AFICA DE LA INTERACCI ´ON
La interacci´on se revela en las l´ıneas no paralelas. Debe ser evidente que el
paralelismo en las gr´aficas indica la ausencia de interacci´on.

7. ANOVA DE DOS FACTORES
AN ´ALISIS DE VARIANZA DE DOS FACTORES
EXPERIMENTO DE DOS FACTORES CON N R ´EPLICAS
B
A 1 2 ... b Total Media
1 y111 y121 ... y1b1 Y1.. ¯y1..
y112 y122 ... y1b2
...
...
...
y11n y12n ... y1bn
2 y211 y221 ... y2b1 Y2.. ¯y2..
y212 y222 ... y2b2
...
...
...
y21n y22n ... y2bn
...
...
...
...
...
...
a ya11 ya21 ... yab1 Ya.. ¯ya..
ya12 ya22 ... yab2
...
...
...
ya1n ya2n ... yabn
Total Y,1. Y,2. ... Y.b. Y...
Media ¯y,1. ¯y,2. ... ¯y.b. ¯y...

8. ANOVA DE DOS FACTORES
AN ´ALISIS DE VARIANZA DE DOS FACTORES
EXPERIMENTO DE DOS FACTORES CON N R ´EPLICAS
Cada observaci´on de la tabla se puede escribir en la siguiente forma:
yijk = µ + αi + βj + (αβ)ij + ijk
Las 3 hip´otesis por probar son las siguientes:
1 H0 : α1 = α2 = . . . = αa = 0
H1 : Al menos una de las αi no es igual a 0.
2 H0 : β1 = β2 = . . . = βb = 0
H1 : Al menos una de las βj no es igual a 0.
3 H0 : (αβ)11 = (αβ)12 = . . . = (αβ)ab = 0
H1 : Al menos una de las (αβ)ij- no es igual a 0.

9. ANOVA DE DOS FACTORES
PARTICI ´ON DE LA VARIABILIDAD EN EL CASO DE DOS
FACTORES
IDENTIDAD DE LA SUMA DE CUADRADOS
Simb´olicamente, la identidad de la suma de cuadrados se escribe como
SCT = SCA + SCB + SC(AB) + SCE
donde a SCA y SCB se les denomina la suma de cuadrados para los efectos
principales A y B, respectivamente, SC(AB) recibe el nombre de suma de
cuadrados de la interacci´on para A y B, y SCE es la suma de cuadrados del
error. La partici´on de los grados de libertad se efect´ua de acuerdo con la
identidad
abn − 1 = (a − 1) + (b − 1) + (a − 1)(b − 1) + ab(n − 1)

10. ANOVA DE DOS FACTORES
PARTICI ´ON DE LA VARIABILIDAD EN EL CASO DE DOS
FACTORES
IDENTIDAD DE LA SUMA DE CUADRADOS
Donde
SCT = a
i=1
b
j=1
n
k=1(yijk − ¯y...)2 SCA = bn a
i=1(¯yi.. − ¯y...)2
SCB = an b
j=1(¯y.j. − ¯y...)2
SC(AB) = n a
i=1
b
j=1(¯yij. − ¯yi.. − ¯y.j. + ¯y...)2
SCE = a
i=1
b
j=1
n
k=1(yijk − ¯yij.)2

11. ANOVA DE DOS FACTORES
AN ´ALISIS DE VARIANZA DE DOS FACTORES
AN ´ALISIS DE VARIANZA PARA EL EXPERIMENTO DE 2 FACTORES CON N
R ´EPLICAS
Fuente de variaci´on Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio f calculada
Efecto principal
A SCA a-1 s2
1 = SCA
a?1
f1 =
s2
1
s2
B SCB b-1 s2
2 = SCB
b−1
f2 =
s2
2
s2
Interacciones de 2 factores
AB SC(AB) (a-1)(b-1) s2
3 =
SC(AB)
(a−1)(b−1)
f3 =
s2
3
s2
Error SCE ab(n − 1) s2
= SCE
ab(n−1)
Total STC abn − 1

12. ANOVA DE DOS FACTORES
EXPERIMENTOS FACTORIALES PARA EFECTOS
ALEATORIOS
EXPERIMENTO DE 2 FACTORES CON EFECTOS ALEATORIOS
En un experimento de 2 factores con efectos aleatorios se tiene el modelo
Yijk = µ + Ai + Bj + (AB)ij + ijk
para i = 1, 2, . . . , a; j = 1, 2, . . . , b; y k = 1, 2, . . . , n, donde Ai, Bj,
(AB)ij, y ijk son variables aleatorias independientes con medias igual a 0 y
varianzas σ2
α, σ2
β, σ2
αβ y σ2, respectivamente.
Las sumas de cuadrados para experimentos de efectos aleatorios se calculan
exactamente de la misma forma que en los experimentos de efectos fijos.
Ahora se tiene inter´es en probar hip´otesis con la forma
H0 : σ2
α = 0, H0 : σ2
β = 0, H0 : σ2
αβ = 0
H1 : σ2
α = 0, H1 : σ2
β = 0, H1 : σ2
αβ = 0

13. ANOVA DE DOS FACTORES
EXPERIMENTOS FACTORIALES PARA EFECTOS
ALEATORIOS
EXPERIMENTO DE 2 FACTORES CON EFECTOS ALEATORIOS
donde el denominador en la raz´on f no es necesariamente el cuadrado medio
del error. El denominador apropiado se determina examinando los valores
esperados de los distintos cuadrados medios, los cuales se presentan en la
tabla.
CUADRADOS MEDIOS ESPERADOS PARA UN EXPERIMENTO DE EFECTOS
ALEATORIOS DE 2 FACTORES
Fuente de variaci´on Cuadrado medio Grados de libertad Cuadrado medio esperado
A a − 1 s2
1 σ2 + nσ2
αβ + bnσ2
α
B b − 1 s2
2 σ2 + nσ2
αβ + anσ2
β
AB (a − 1)(b − 1) s2
3 σ2 + nσ2
αβ
Error ab(n − 1) s2 σ2
Total abn − 1

14. ANOVA DE DOS FACTORES
EXPERIMENTOS FACTORIALES PARA EFECTOS
ALEATORIOS
CUADRADOS MEDIOS ESPERADOS PARA UN EXPERIMENTO DE EFECTOS
ALEATORIOS DE 2 FACTORES
En la tabla se observa que H0 y H0 se prueban usando s2
3 en el denominador
de la raz´on f; mientras que H0 se prueba con s2 en el denominador.

15. ANOVA DE DOS FACTORES
EXPERIMENTO DEL MODELO MIXTO
MODELO MIXTO
Hay situaciones en que el experimento dicta la suposici´on de un modelo
mixto, es decir, una mezcla de efectos aleatorios y fi jos. Por ejemplo, para el
caso de 2 factores se tiene que
Yijk = µ + Ai + Bj + (AB)ij + ijk
para i = 1, 2, . . . , a; j = 1, 2, . . . , b; k = 1, 2, . . . , n. Las Ai pueden ser
variables aleatorias independientes de ijk, y las Bj pueden ser efectos fijos.
MODELO MIXTO
La naturaleza mixta del modelo requiere que los t´erminos de la interacci´on
sean variables aleatorias. Como resultado, las hip´otesis relevantes adoptan la
forma
H0 : σ2
α = 0, H0 : B1 = B2 = . . . = Bb = 0, H0 : σ2
αβ = 0
H1 : σ2
α = 0, H1 : Al menos una de las Bj no es igual a 0, H1 : σ2
αβ = 0

16. ANOVA DE DOS FACTORES
EXPERIMENTO DEL MODELO MIXTO
MODELO MIXTO
Otra vez, los c´alculos de la suma de cuadrados son id´enticos a los de las
situaciones de efectos fijos y aleatorios, y la prueba F es determinada por los
cuadrados medios esperados.
CUADRADOS MEDIOS ESPERADOS
Factor Cuadrado medio esperado
A (aleatorios) σ2 + bnσ2
α
B (fijos) σ2 + nσ2
αβ + an
b−1 j B2
j
AB (aleatorios) σ2 + nσ2
αβ
Error σ2
A partir de la naturaleza de los cuadrados medios esperados queda claro que
la prueba sobre el efecto aleatorio emplea el cuadrado medio del error s2
como denominador, mientras que la prueba sobre el efecto fijo utiliza el
cuadrado medio de interacci´on.

17. ANOVA DE DOS FACTORES
BIBLIOGRAF´IA
Walpole, Ronald E and Myers, Raymond H and Myers, Sharon L.
Probabilidad y estad´ıstica para ingenier´ıa y ciencias. Pearson Educaci´on.
Novena edici´on. 2012.
Navidi, William Cyrus. Statistics for engineers and scientists.
McGraw-Hill Higher Education. Third edition. 2011.