Stefan-boltzman

1. Resumen
En la presente práctica se comprueba de forma experimental la constante de Stefan-Boltzman; se
presentan las leyes que hacen posible la obtención de la Ley de Stefan-Boltzman, (relación de donde se
obtiene la cte) desde lo que es un cuerpo negro, la catástrofe ultravioleta y la ley de Planck. El método
experimental utilizado en esta práctica se hizo bajo condiciones ideales , un cuerpo negro( el alambre
con hollín) al vacío; se consigue así un valor promedio de la constante de 6.72108 8:82 109
watts m2K4. Se comentan los pros y los contras del método empleado y se analiza que pasaría al
alterar una variable de estas condiciones ideales.
1. Objetivo Experimental.
Comprobar la constante de Stefan-Boltzman mediante la simulación de un cuerpo negro de un alambre
de cobre sin esmalte y hollinado sometido a una diferencia de potencial la cual lo llevara a su temperatura
de fusión. También un objetivo importante será hacer un vacío ideal pues este alambre al estar al vacío no
tendrá ninguna interacción con el aire que puede afectar su temperatura por corrientes convectivas en el aire,
así se supone justo dejara de pasar corriente en la temperatura de fusión del cobre (1357.77K).
2. Introducción.
2.1. Radiación de cuerpo negro .
Comenzando con la denición de radiación sabemos que se reere a la emisión continua de energía des-de
la supercie de cualquier cuerpo , esta energía se denomina radiante y es transportada pro las ondas
electromagnéticas que viajan en el vacío a velocidad c.
La supercie de un cuerpo negro es el caso limite en el que toda la energía incidente des el interior es
emitida. Considerando una cavidad con paredes a temperatura T , los átomos que componen las paredes están
emitiendo radiación electromagnética y al mismo tiempo absorben la radiación emitida por otros átomos de
las paredes.
Cuando la radiación encerrada dentro de la cavidad alcanza el equilibrio con los átomos de las paredes,
la cantidad de energía que emiten los átomos en la unidad de tiempo es igual a la que absorben. En con-secuencia,
la densidad de energía del campo electromagnético existente en la cavidad es constante. A cada
frecuencia corresponde una densidad de energía que depende solamente de la temperatura de las paredes y
es independiente del material del que están hechas.
Si se abre un pequeño agujero en el recipiente, parte de la radiación se escapa y se puede analizar. El
agujero se ve muy brillante cuando el cuerpo está a alta temperatura, y se ve completamente negro a bajas
temperaturas.[1]
2.2. Ley de Rayleight-Jeans
El primer intento por explicar este fenómeno fue la Ley de Rayleight-Jeans, esta ley nos explica cuan-titativamente
la distribución de energía emitida por un cuerpo negro es tratado clásicamente, considerando
el campo electromagnético como una colección de osciladores de todas las frecuencias posibles. Aplicando el
principio de equipartición clásico se consigue una expresión:
=
8kT
4 (1)
Según esta ley la densidad espectral de energía es inversamente proporcional a la cuarta potencia de
la longitud de onda (m), para una cierta temperatura T(K). El parámetro k representa la constante de
Boltzmann (1:381023 J/K). Esta ley es muy exitosa en longitudes de onda grandes pero falla en longitudes
de onda cortas - la dependencia inversa respecto de la longitud de onda signica que cuando la longitud de
onda disminuye, la densidad espectral de energía tiende al innito. Este resultado es contrario a lo observado
experimentalmente. Esta falla de la ley, obtenida a partir de los principios físicos clásicos aceptados en esa
época, es llamada la catástrofe ultravioleta.
1

2. 2.3. Ley de Planck
Más tarde con las observaciones de Planck se tiene:
1. La radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con los átomos de las paredes que se comportan
como osciladores armónicos de frecuencia dada .
2. Cada oscilador puede absorber o emitir energía de la radiación en una cantidad proporcional a .
Cuando un oscilador absorbe o emite radiación electromagnética, su energía aumenta o disminuye en
una cantidad h .
De aquí se llega a la cuantizacion de la energía E = h La distribución espectral de radiación es continua y
tiene un máximo dependiente de las temperatura; se puede expresar en términos de y .
=)La densidad de energía por unidad de frecuencia
dE
d
=
8h
c3
3
exp(h=kT) 1
(2)
, d
d = c
2
=)La densidad de energía por unidad de longitud de onda y recordando que = c
dE
d
=
dEd
dd
=
8hc
5
1
exp(hc=kT) 1
(3)
2.4. Ley de Desplazamiento de Wien.
La posición del máximo en el espectro de radiación del cuerpo negro depende de la T del cuerpo negro y
esta dada por esta ley:
=)Calculando la derivada primera de Ley de la distribución de Planck expresada en términos de longi-tudes
de onda o de la frecuencia tenemos:
d
d
1
5
1
exp(hc=kT) 1
= 0
=) 5(ex 1) xex = 0; x =
hc
kT
= 4:965
Este resultado constituye la Ley de desplazamiento de Wien ,que establece que el máximo de densidades de
energía dE
d por unidad de longitude de onda a distintas temperaturas T1; T2; T3 : : :se produce a las longitudes
de onda 1:2; 3 : : :
=)
1T1 = 2T2 = 3T3 = =
hc
k(4:965)
= 2:898 103mK (4)
Explicando un poco esta ley; nos dice como cambia el color de la radiación cuando varia la T de la fuente
emisora.
=)Objetos con mayor T emiten la mayoria de su radiación en longitudes de onda mas cortas, así parecen
más azules.
=)Objetos con menor T emiten la mayoria de su radiación en longitudes de onda mas largas, así parecen
ser más rojas.
[2]
2.5. Ley de Stefan-Boltzman
La intensidad por unidad de longitud de onda de un cuerpo negro a T absoluta viene dad por:
dW
d
=
c
4
dE
d
=
2hc2
5
1
exp(hc=kT) 1
en
W m2 m1
2

3. La intensidad por unidad de frecuencia de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T viene dada por
la expresión
dW
d
=
c
4
dE
d
=
2h
c2
1
exp(h=kT) 1
en
W m2 s
Así la intensidad total en
W m2
de la radiación emitida por un cuerpo negro, se obtiene integrando
la expresión anterior
W =
1
0
dW = T4 (5)
Con = 25K4
15c2h3 = 5:67 108Wm2K4= Constante de Stefan-Boltzman, podemos ver la resolución de
esta integral con mayor detalle en el apéndice.[3]
3. Desarrollo Experimental
Material
Tubo con sellos al vacío
Bomba al vacío
2 Multímetros
3 pares de cables banana caimán
Alambre de cobre calibre 55 aprox 14 micras
Mechero de alcohol
Mechero de petróleo mezclado con agua
Tijeras
Flexómetro
Varilla y 2 pinzas
Lijas
Pesa
Figura 1: Montaje Experimental.
3

4. Procedimiento :
Se realizara un montaje experimental como el mostrado en la gura 1, así primero procederemos a preparar
los alambres de cobre los cuales harán el símil de cuerpo negro , se les tendrá que quitar el esmalte pasándolos
encima de una llama con ayuda del mechero de alcohol, una vez hecho esto se lija para quitar el oxido que se
genera para nalmente proceder a hollinar con el mechero de petróleo con agua; esto lo haremos para alrededor
de 15 alambres de estos mediremos su diámetro para encontrar el área y también hacer una estadística de
estos.
Una vez preparados los alambres colocamos uno a uno en el tubo al vacío, para esto de la tapa superior
del tubo se ata el alambre y este cuelga con una pesa que hará contacto eléctrico con la tapa inferior , se
tapa el tubo para después colocar los cables banana caimán que harán las conexiones con los dos multímetros
y la fuente de poder, podemos ver el circuito en la gura 2, con estos multímetros mediremos intensidad y
voltaje. El tubo tiene una pequeña entrada donde colocaremos la manguera que esta conectad a la bomba
que hará el vacío, esta bomba hace un vacio aproximado de 1 103torr. Aplicaremos así la diferencia de
potencial con la fuente de poder e iremos variando hasta ver que el multímetro que mide la corriente marque
cero , pues este punto se espera el alambre haya llegado a su temperatura de fusión, donde ya radio toda la
energía que podía.
Figura 2: Circuito del sitema.
4

5. 4. Datos y Análisis de Resultado.
Logramos obtener las corrientes y voltajes donde el alambre llega a su temperatura de fusión y así para
determinar la constante de Stefan-Boltzman de la ecuacion 3, se crea la siguiente relacion:
W = P = V I = AT4
=) =
V I
AT4
Voltaje(0:01V ) Corriente(0:01A) (watts m2K4) d(watts m2K4)
7.54 4.54 6.36108 1.761010
8.97 4.62 7.70108 2.041010
7.07 4.17 5.11108 1.611010
8.1 4.41 6.20108 1.841010
8.47 4.13 6.07108 1.861010
9.87 4.6 7.87108 2.211010
9.27 4.4 7.07108 2.061010
7.89 4.01 5.49108 1.731010
8.99 4.5 7.02108 2.021010
7.56 4.21 5.52108 1.711010
8.88 4.63 7.13108 2.021010
9.5 4.33 7.13108 2.091010
9.32 4.3 6.95108 2.051010
9.5 4.52 7.45108 2.121010
9.54 4.69 7.76108 2.161010
Tabla1. Datos obtenidos justo cuando el alambre alcanza T=1357.77K, también esta la cte. de Stefan-Boltzman con su
respectiva incertidumbre , podemos ver el cálculo de estas con la Ley de porpagación de incertidumbre en el apéndice.
De aqui pudimos obtener un promedio de la cte. de Stefan-Boltzman la cual fue de 6.721088:82109
wattsm2K4 y con su respectiva incertidumbre la cual se obtuvo con la desviación estándar. También otros
de los datos usados para encontrar esta constante fueron el diámetro del alambre que resulto en promedio
de 1:49 104 3:51 106m, la longitud del alambre que fue de 0:36 5 104m y la temperatura a la
cuarta que es de 3:39864 1012K.
El promedio de los voltajes registrados fué 8:6980:87V olts y para las corrientes se obtuvó 4:4040:20A.
También realizamos otras dos mediciones para ver que tan cierto es el hecho de aplicar condiciones ideales
al experimento, así alteramos algunas: La primera fue tener un valor de la cte. con un alambre con hollín y
sin vacío de aqui obtenemos que se tarda en alcanzar la temperatura de fusión pues deja de pasar corriente
en 10:93 0:01 V olts y la última corriente que se registra es de 5:08 0:01 A, con esto se obtiene una
constante de 9:72 108 2:51 1010watts m2K4, con la cual vemos que es bastante alejada de
la buscada. La segunda alteración fue cuando no hollinamos el alambre y aplicamos vacío ; aqui se ve un
comportamiento en los datos obtenidos más similar que con condiciones ideales ( con hollín y con vacío);
se obtuvo un voltaje de 8:94 0:01 V olts y una corriente de 4:35 0:01 A, de los cuales obtenemos una
constante de 6:81 108 1:99 1010watts m2K4. lo cual se apega mucho a los valores promedios
obtenidos bajos condiciones ideales. Creemos que esto es debido a que daba lo mismo hollinar o no pues el
alambre al estar en un tubo alejado de interacción con luz esto ayudaba a que se aproximara más a un cuerpo
negro independientemente de estar con hollín o no.
5

6. 5. Conclusiones
En esta practica pudimos obtener la constante de Stefan-Boltzman la cual resulto de 6.72108 8:82
109 wattsm2K4 , vemos que es un buen dato pues tiene el orden de magnitud esperado y su incertidumbre
es muy pequeña. En esta practica también se pudo reforzar el concepto de lo que es un cuerpo negro y como
es que este radia, nos llevo a la conclusión de que este cuerpo es el ideal teóricamente, no se consigue por
eso el valor exacto de esta constante pues es difícil lograr generar un cuerpo negro ideal, mas sin embargo se
logra una muy buena aproximación con este alambre hollinado.
Una de las cosas de las que hay que resaltar fue la importancia de hacer vacío y hollinar el alambre , lo
cual se logro, pero también se comprueba que al no aplicar vacío y no hollinar el experimento se ve afectado ,
se hicieron dos mediciones, la primera un alambre con hollín y sin vacío en este se observa que tarda más en
llegar a su temperatura de fusión (debido a que existen corrientes convectivas de aire que alteran al alambre
para que llegue a esta T deseada) y el valor obtenido de la constante es demasiado alejado, la segunda fue
tomar un alambre sin hollín y con vacío vemos en este resultado que la constante es mas exacta con lo que
comprobamos que daba lo mismo hollinar o no, esto es debido a que el tubo donde se encontraba permitía
que el alambre estuviera alejado de cualquier perturbación de luz, lo cual ayudaba a que simulara mas un
cuerpo negro independientemente del hollín.
Así se concluye que es mejor realizar nuestra mediciones con condiciones ideales, al menos en una apro-ximaci
ón.
Referencias
[1] http://www.sc.ehu.es/sbweb/sica/cuantica/negro/radiacion/radiacion.htm
[2] Arthur Beiser, Concepts of Modern Physics, 6th edition, McGraw-Hill, USA (2003).
[3] Paul A. Tipler and Ralph A. Llewellyn, Modern Physics, 4th edition, W. H. Freeman and Company, New
York (2003).
6

7. 6. Apéndices
6.1. Deducción de la Ley de Stefan-Boltzman
A partie de la ecuación (2) tenemos el resultado de Planck, del cual podemos deducir la ley de Stefan-
Boltzman donde encontraremos la intensidad por unidad de frrecuencia para un cuerpo negro que se encuenta
en cierta area:
=)A partir de la densidad de energía :
() =
du
d
=
8
c2
h3
e h
kT 1
=) W = A
1
0
()d = A
1
0
8
c2
h3
e h
kT 1
d
De aqui multipliquemos por un 1 especial =) 1 =
k3T3
h3
h3
k3T3
=) W = A
1
0
8
c2
h3
k3T3
h3
h3
k3T3
e h
kT 1
d
Reduciendo términos y sacando constantes obtenemos:
=) W =
8k3T3
c3h2
1
0
h33
k3T3
e h
kT 1
d
Haciendo un cambio de variable :x = h=kT, =) dx
d = h=kT, =) d = kT
h dx
=) W = A
8k3T3
c3h2
kT
h
1
0
x3
ex 1
dx
donde
1
0
x3
ex1dx = 4
15
W = A
85k4
15c3h3
T4
W = AT4
6.2. Incertidumbres.
Se obtienen las incertidumbres de la cte. de Stefan-Boltzman con ayuda de la ley de propagacion de
incertidumbres, así a partir de la expresión utilizada para encontrar podemos obtener d de la siguiente
forma:
d =
s
@
@V
2
@V 2 +
@
@I
2
@I2 +
@
@D
2
@D2 +
@
@L
2
@L2
También se utilzo la desviacion estándar para encontrar la incertidumbre de los diámetros de los alambres
de cobre y la incertidumbre de la promedio usando la siguiente relación.
Para los diametros
dD =
s
(Di D)2
14
Para la
d =
r
(i )2
14
7