Capitulo 9 vertederos

455
VertederosCapítulo IX
CAPITULO IX
VERTEDEROS
9.1 Objeto de los vertederos. Tipos
El vertedero ha sido definido por Balloffet como ‘‘una abertura (o mejor, escotadura) de contorno
abierto, practicada en la pared de un depósito, o bien en una barrera colocada en un canal o
río, y por la cual escurre o rebasa el líquido contenido en el depósito, o que circula por el río
o canal’’. Una escotadura es el entrante que resulta en una cosa cuando está cercenada, o
cuando parece que lo está, como si le faltara allí algo para completar una forma más regular.
En la Figura 9.1 se aprecia una escotadura rectangular de longitud L .
En general, un vertedero suele tener una de las dos finalidades siguientes: a) medir caudales
y b) permitir el rebose del líquido contenido en un reservorio o del que circula en un río o canal.
Estas funciones no son excluyentes.
Los vertederos resultan muy útiles para medir caudales. Los que tienen el objetivo exclusivo
de medir, lo hacen por lo general con caudales relativamente pequeños.
También puede construirse un vertedero para permitir el rebose del líquido al llegar a un cierto
nivel. A esta estructura se le denomina aliviadero.
En realidad en un vertedero siempre están presentes ambas funciones. En las obras de
ingeniería hidráulica, por ejemplo en una presa, se construyen vertederos para que cumplan la
función de aliviaderos. Sin embargo, son a la vez estructuras aforadoras, es decir, que miden
caudales.
Existen diferentes tipos de vertederos. Pueden clasificarse por el tipo de cresta, por los
niveles de aguas abajo, por su forma, por las condiciones laterales, por su inclinación con
respecto a la corriente y por otras circunstancias.

456
ArturoRochaHidráulicadetuberíasycanales
Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada
2
V
g
2
P : es el umbral
α : es el coeficiente de Coriolis
H : es la carga
L : es la longitud del vertedero
B : es el ancho del canal de aproximación
V : es la velocidad de aproximación
0
α
H
V0
P
H
0V 2
g2
P
h = αV
A
B
4H B
> 3H > 3H
M. G. V. M. R. V.
Aguas muertas
Paramento
Escotadura
L
Napa vertiente
0

457
Para una mejor comprensión de los aspectos teóricos vinculados a la descarga por vertederos
es necesario que el lector recuerde y tenga presente algunos conceptos de descarga por
orificios, estudiados en un curso anterior de Hidráulica o de Mecánica de Fluidos.
Un vertedero da lugar a un chorro, es decir, a una napa vertiente, tal como se aprecia en la
Figura 9.1. Sobre el vertedero y en sus inmediaciones hay un movimiento rápidamente variado
(M. R. V.). Es un ‘‘remanso de depresión’’ originado en la transformación de energía potencial
en energía cinética. Hacia aguas arriba, en una sección AB, hay un movimiento gradualmente
variado (M. G. V.). Se acepta que en la sección AB rige la ley hidrostática. Esta sección se
encuentra a una cierta distancia del vertedero. Referencialmente se considera que esta
distancia es igual a 4 H , siendo H la carga sobre el vertedero. Obsérvese que inmediatamente
aguas arriba del umbral de vertedero hay una zona de estancamiento o de aguas muertas.
Se denomina carga sobre el vertedero a la altura H con respecto a un plano horizontal que
pasa por la cresta, medida en la sección AB.
En la Figura 9.1 se muestra también la altura del umbral P del vertedero (paramento), que es
la distancia entre el fondo y la cresta del vertedero.
Existen fundamentalmente dos tipos de napa vertiente en función de la presión que la rodea.
En la napa libre la presión que hay en el espacio comprendido entre el paramento del vertedero
(umbral), las paredes del canal inmediatamente aguas abajo de él y la parte inferior de la napa
vertiente es igual a la atmosférica. En consecuencia, en todo el contorno de la napa la presión
es igual a la atmosférica. En estas condiciones se forma el perfil, o trayectoria de la napa,
representado en la Figura 9.1. En la Figura 9.2 se observa la red de corriente correspondiente a
esas condiciones (chorro libre).
Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( HP >>> )
p
γhV
p
γ
V
h
H
P

458
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
En la Tabla 9.1 se aprecia las coordenadas típicas correspondiente a un chorro libre, según
Franke, siempre que la altura del umbral sea mucho mayor que la carga sobre el vertedero
( HP >>> ).
Para conseguir la condición de chorro libre puede ser necesario ventilar debidamente el espacio
antes mencionado ubicado debajo del chorro. Para ello, si es necesario, se colocan tomas de
aire que garantizan la comunicación con la atmósfera.
Cuando el chorro es libre las condiciones de descarga (la napa) se mantienen bastante
constantes y el vertedero es así confiable para medir caudales. Esto es deseable en un
vertedero.
TABLA 9.1
COORDENADAS CARACTERISTICAS DE UNA NAPA VERTIENTE LIBRE ( HP >>> )
P > H
H
x
1,00
z
z z
x
PARTE
INFERIOR
PARTE
SUPERIOR
x
PARTE
INFERIOR
PARTE
SUPERIOR
- 3,00
- 2,00
- 1,00
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,75
-
-
-
- 0,125
- 0,035
- 0,005
0
- 0,010
- 0,030
- 0,060
- 0,105
- 0,125
1,000
0,985
0,950
0,830
0,805
0,775
0,745
0,705
0,665
0,620
0,570
0,540
0,75
0,80
0,90
1,00
1,20
1,40
1,54
1,60
1,80
2,00
2,50
3,00
- 0,125
- 0,155
- 0,210
- 0,270
- 0,41
- 0,59
- 0,74
- 0,80
- 1,05
- 1,31
- 2,10
- 3,11
0,540
0,510
0,450
0,380
0,22
0,03
- 0,125
- 0,19
- 0,43
- 0,70
- 1,50
- 2,50

459
VertederosCapítuloIX
Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida
La presión en el espacio comprendido entre el
paramento del vertedero y la napa vertiente es
menor que la atmosférica y dicho espacio se
encuentra lleno de aire.
La napa vertiente (el chorro) no es estable: es
oscilante.
El espacio comprendido debajo de la napa está
lleno de agua y aire. El aire se ha ido arrastrando.
El chorro es inestable.
Desaparece el aire en el espacio ubicado debajo
de la napa y éste queda lleno de agua. La lámina
queda adherida al paramento del vertedero.

460
Cuando el espacio antes descrito, ubicado debajo de la napa vertiente, tiene una presión
menor que la atmosférica el chorro no tiene descarga libre y se acerca al paramento del
vertedero. Se dice entonces que la napa está deprimida. En estas condiciones el chorro se
vuelve inestable y el vertedero no resulta adecuado para medir caudales.
Puede darse que el espacio debajo de la napa, en el que se produzca una presión menor que
la atmosférica, esté libre de agua, parcialmente con agua o totalmente lleno de agua, tal
como se aprecia en la Figura 9.3. Finalmente, la napa pasa de deprimida a adherente y
adquiere una trayectoria vertical, pegada (adherida) al paramento. Esto se produce con caudales
pequeños.
Las condiciones de lámina vertiente adherida o deprimida deben evitarse, pues inducen a
error en la medición del caudal.
Clasificación de los vertederos por el tipo de cresta
Por el tipo de cresta se distingue dos grandes tipos: vertederos en pared delgada y vertederos
en pared gruesa. La diferencia está en el tipo de contacto entre la napa vertiente y el paramento.
En los vertederos en pared delgada el contacto entre el agua y la cresta es sólo una línea, es
decir, una arista. Para que un vertedero se considere en pared delgada no es indispensable
que la cresta sea delgadísima como la de la Figura 9.1. La pared puede tener un cierto
espesor. Si éste es menor que 3/2H se considera que el vertedero es en pared delgada,
como se deduce de la observación de la Figura 9.4 que corresponde a una napa vertiente en
cresta delgada.
Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero en
pared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9.1
Ventilación
H2
3
H0,23
H0,11
H0,66
P >> H
p
H
p
P
0,85 H
0,27 H0,15 H

461
En cambio, en los vertederos en pared gruesa el contacto es un plano. El flujo se adhiere a la
cresta. En la Figura 9.5 se observa tres vertederos en pared gruesa. El vertedero tipo c se
considera en pared gruesa propiamente dicha, en tanto que los tipos a y b se llaman de pared
intermedia.
En la Figura 9.1 se observa las características generales de la descarga sobre un vertedero
en pared delgada. Se aprecia como se forma la napa vertiente, cuyas dimensiones relativas
aproximadas se dan en la Figura 9.4. La cresta del vertedero es aguda (de umbral achaflanado)
y el contacto es sólo una línea. En los vertederos en pared delgada la napa se caracteriza
porque en todo su contorno la presión es igual a la atmosférica, lo que es indispensable para
la correcta medición de caudales.
Velocidad de aproximación
Se denomina velocidad de aproximación (velocidad inicial o de llegada) a la velocidad media
que corresponde a la sección AB (Figura 9.1) en la que el escurrimiento se produce en toda la
sección. Obsérvese que hacia aguas abajo de la sección AB la sección transversal que
participa del escurrimiento es menor. La velocidad de aproximación 0V es
( )HPB
Q
A
Q
V
+
==0 (9-1)
siendo B el ancho del canal de aproximación. Si el umbral P fuese mucho mayor que H
entonces 0V tendería a cero.
Esta velocidad inicial da lugar a una energía cinética Vh cuya expresión es
g
V
hV
2
2
0
α= (9-2)
Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet
(a) (b) (c)

462
Siendo α el coeficiente de Coriolis.
Clasificación de los vertederos por los niveles de aguas abajo
Este es un criterio de clasificación muy importante. En el vertedero libre el nivel de aguas
abajo es inferior al de la cresta.
En cambio, el vertedero sumergido o incompleto se caracteriza porque el nivel de aguas abajo
es superior al de la cresta, tal como se ve en la Figura 9.19. Esto no significa necesariamente,
como ha sido claramente señalado por Domínguez, que ‘‘dicho nivel tenga influencia en el
escurrimiento sobre el vertedero, porque puede suceder que no lo tenga y en cambio otro,
aun inferior a la cota del umbral, la puede tener en otras circunstancias. Un vertedero, pues,
definido como incompleto o ahogado por la cota del escurrimiento de aguas abajo, no es
sinónimo de vertedero influenciado por dicho nivel’’.
Clasificación por las condiciones laterales de descarga
Los vertederos pueden ser con contracciones laterales o sin ellas.
Los vertederos con contracciones laterales son aquellos en los que la longitud L del vertedero
es menor que el ancho B del canal de aproximación. Para que se produzca contracciones
laterales completas es necesario que la distancia entre cada extremo del vertedero y la pared
del canal sea por lo menos de H3 . Es recomendable también que la altura P del umbral
sea por lo menos igual a H3 , tal como se ve en la Figura 9.1.
Naturalmente que si LB = es un vertedero sin contracciones laterales.
Clasificación de los vertederos según su forma
Según la forma hay diferentes tipos de vertederos: rectangulares, triangulares, trapeciales,
circulares, parabólicos, poligonales y muchas otras posibilidades geométricas, tal como se
observa en la Figura 9.6.
Clasificación de los vertederos por la inclinación del paramento
El paramento de los vertederos suele ser vertical, pero puede estar inclinado hacia aguas
arriba o hacia aguas abajo, tal como se ve en la Figura 9.7. El vertedero inclinado hacia aguas
abajo disminuye la contracción. En consecuencia, para una misma carga H el gasto aumenta
con la inclinación hacia aguas abajo. Si la inclinación fuese hacia aguas arriba ocurriría lo
contrario. Existe también el llamado vertedero entrante, que aparece en la misma figura.

463
Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos
(a) Rectangular (b) Triangular (c) Trapecial
(d) Circular (e) Parabólico
(f) Parábola semicúbica (g) Mixto
(h) Hiperbólico (i) Proporcional

464
Vertederos inclinados con respecto a la dirección de la corriente
Los vertederos suelen estar ubicados normalmente a la corriente. Sin embargo, eventualmente,
forman un cierto ángulo con ella, tal como se ve en la Figura 9.8.
Otros tipos de vertederos
Existen otros tipos de vertederos como
- Desarrollados
- Abatibles
- Inflables
- Laterales
- De Planta Circular (Morning Glory), etc.
Algunos de ellos se aprecian en la Figura 9.9.
Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c)
Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente
B L
θ
(a) (b) (c)
H

465
Figura 9.9 Otros tipos de vertederos
Vertedero de planta circular
Vertedero proporcional
El caudal es proporcional a la
carga H
Combinación de orificio y
vertedero
Vertedero desarrollado Vertedero Inflable
cámara
inflable

466
9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga
A continuación se presenta la deducción de la fórmula general de descarga de un vertedero
rectangular. En la Figura 9.10 se muestra parcialmente un estanque en una de cuyas paredes
hay un orificio rectangular de ancho L . Los otros elementos característicos se muestran en la
figura.
2
V
g
2
0
α
h2
h1
y
L
dy
Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular
Para efectos de cálculo consideramos que en el orificio hay una pequeña franja de área
elemental, de ancho L y espesor dy , a través de la cual pasa el siguiente caudal
VLdyVdAdQ ==
siendo V la velocidad correspondiente. Para el cálculo de esta velocidad se aplica el
teorema de Bernoulli y se obtiene






+=
g
V
ygV
2
2
2
0
α
Por lo tanto,
Ldy
g
V
ygdQ 





+=
2
2
2
0
α

467
Integrando se obtiene el caudal a través del orificio
L
g
V
h
g
V
hgQ
















+−





+=
2
3
2
0
2
2
3
2
0
1
22
2
3
2
αα
Esta fórmula es para un orificio. Para un vertedero debe darse que 2h = 0. Si, además,
llamamos H a 1h , que es la carga, se tiene
L
g
V
g
V
HgQ
















−





+=
2
3
2
0
2
3
2
0
22
2
3
2
αα
(9-3)
que es la fórmula teórica de descarga de un vertedero. Esta fórmula no toma en cuenta la
fricción, ni los efectos debidos a la contracción vertical de la napa. En consecuencia, para
obtener el gasto real se debe aplicar un coeficiente c de descarga. Entonces el gasto real es
L
g
V
g
V
HcgQ
















−





+=
2
3
2
0
2
3
2
0
22
2
3
2
αα
(9-4)
El coeficiente de descarga c se obtiene experimentalmente.
Si tuviésemos un vertedero en el que la velocidad de aproximación fuese tan pequeña que
pudiese despreciarse, entonces, para 0V = 0 se obtiene la descarga teórica
2
3
2
3
2
LHgQ = (9-5)
La descarga real se obtiene aplicando un coeficiente de descarga c y se llega a
2
3
2
3
2
cLHgQ = (9-6)
∫
g
V
h
2
2
0
1 α+
g
V
h
2
2
0
2 α+
Ldy
g
V
y
2
1
2
0
2 





+αgQ 2=

468
que es la ecuación de descarga característica de los vertederos rectangulares. La posibilidad
de despreciar la velocidad de aproximación depende de su valor y de la precisión con la que
estemos trabajando. Referencialmente se señala que si la sección transversal del canal de
aproximación es mayor que LH8 se puede despreciar la velocidad de aproximación.
Obsérvese que en un vertedero rectangular el caudal es directamente proporcional a la longitud
del vertedero y a la potencia 3/2 de la carga.
La determinación del coeficiente de descarga c ha sido objeto desde el siglo XIX de numerosos
estudios experimentales. En general, el coeficiente de descarga c de un vertedero depende
de varios factores: carga H , naturaleza de los bordes, altura del umbral, propiedades del
fluido, etc.
Las diversas investigaciones experimentales para determinar el coeficiente de descarga se
han desarrollado para diferentes condiciones. Cada investigación tiene, en consecuencia, un
campo de aplicación. Si nos salimos de él no hay seguridad en los resultados.
La aproximación que da cada fórmula es bastante buena, siempre que se aplique dentro de
los límites fijados en los trabajos experimentales. En las Figuras 9.1 y 9.4 se aprecia las
características generales de la napa vertiente en un vertedero rectangular.
Los estudios experimentales han partido de la fórmula teórica 9-3 y han seguido diversos
caminos. En algunas investigaciones simplemente se introduce un coeficiente, en otras se
introduce una longitud o una carga ficticia para tomar en cuenta los efectos originados en
fenómenos no considerados en la deducción de la fórmula teórica.
En lo que respecta a vertederos rectangulares hay dos grandes grupos de ellos: sin
contracciones y con contracciones laterales.
De las numerosas fórmulas existentes se presenta las siguientes: Francis (1852), Rehbock
(1911), Bazin-Hegly (1921), Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924) y Kindsvater-
Carter (1959).
Obsérvese que si en la fórmula 9-3 consideramos VhgV =22
0 y tomamos factor común
H , entonces se obtiene














−





+=
2
3
2
3
2
3
12
3
2
H
h
H
h
LHgQ VV
αα (9-7)
si comparamos esta fórmula con la 9-6 se obtiene una interpretación de un coeficiente de
descarga que toma en cuenta el efecto de la velocidad de llegada y cuyo valor es

469
2
3
2
3
1 





−





+
H
h
H
h VV
αα (9-8)
9.3 Fórmula de Francis
James B. Francis realizó más de 80 experimentos, entre 1848 y 1852, en vertederos
rectangulares en pared delgada con el objetivo de encontrar una expresión para el coeficiente
de descarga.
Francis realizó sus experiencias en Lowell, Massachusetts, dentro de determinadas
condiciones, las que constituyen los límites de aplicación del coeficiente de descarga que
obtuvo.
La mayor parte de las experiencias las hizo con un vertedero de 10 ft de longitud (3,05 m); sin
embargo, experimentó también con otras longitudes.
En lo que respecta a la carga, ésta estuvo comprendida entre 0,18 m y 0,50 m, que constituyen
los límites de aplicación de la fórmula. Se recomienda también que la altura del umbral P
esté comprendida entre 0,60 m y 1,50 m. Se recomienda también que la relación HL / sea
mayor que 3.
La fórmula obtenida por Francis considera la velocidad de aproximación 0V y la posibilidad de
contracciones laterales.
La fórmula de Francis es
















−





+





−=
2
3
2
0
2
3
2
0
2210
622,02
3
2
g
V
g
V
H
nH
LgQ
(9-9)
En el sistema métrico se considera
84,1836,1622,02
3
2
≈=g (9-10)
Obsérvese que el coeficiente 0,622 es adimensional, en cambio el coeficiente 1,84 es
dimensional.
En el sistema de unidades inglesas se tendría

470
33,3622,02
3
2
=g (9-11)
En el sistema métrico la fórmula general de Francis queda así
















−





+





−=
2
3
2
0
2
3
2
0
2210
84,1
g
V
g
V
H
nH
LQ
(9-12)
en la que el caudal Q está en m3
/s, la longitud del vertedero L en metros, la carga H en
metros, la velocidad de aproximación 0V en m/s. Se designa como n el número de
contracciones (0, 1, 2).
Se observa que el criterio que usa Francis para considerar el efecto de las contracciones es
el de considerar que como consecuencia de ellas se produce una reducción de la longitud del
vertedero. Aparece así una longitud efectiva 





−
10
nH
L en función del número n de
contracciones. Obsérvese que si HL 2,0≤ aparecería cero o un valor negativo para el caudal.
Si se considera que la velocidad de aproximación es muy pequeña y que puede despreciarse,
entonces 0V = 0 y la fórmula de Francis queda así
2
3
10
84,1 H
nH
LQ 





−= (9-13)
Si, además, no hubiese contracciones laterales, entonces 0=n y la fórmula de Francis
quedaría reducida a
2
3
84,1 LHQ = (9-14)
Para aplicar la fórmula general de Francis (Fórmula 9-9) es necesario recurrir a un método de
tanteos y aproximaciones sucesivas, puesto que para calcular 0V se requiere conocer la
carga H .
Lo que se recomienda es hacer un cálculo preliminar a partir de la fórmula (9-14), asumiendo
que la velocidad 0V de aproximación fuese cero y que no hubiese contracciones. Con ese
valor preliminar obtenido se aplica la ecuación general, se compara los resultados obtenidos
y se prosigue hasta lograr la aproximación deseada.

471
Si la fórmula es aplicada correctamente y el vertedero fue bien colocado se puede lograr
aproximaciones de ± 3 %. Si se usase el vertedero para medir caudales que den lugar a
cargas muy pequeñas, fuera de los límites de aplicación de la fórmula de Francis, se obtendría
resultados menores que los reales.
9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares
a) Fórmula de Bazin, ampliada por Hégly
En 1886 Bazin luego de una larga serie de cuidadosos experimentos, estableció una fórmula
para calcular la descarga en vertederos rectangulares sin contracciones.
En 1921 Hégly publicó, a partir de las investigaciones de Bazin, una nueva fórmula para el
cálculo de la descarga de un vertedero rectangular en pared delgada con contracciones o sin
ellas. La llamó ‘’fórmula completa de Bazin’’. También se le conoce con el nombre de fórmula
de Bazin-Hégly.
La fórmula de Bazin-Hégly se aplica a vertederos cuyas cargas estén comprendidas entre
0,10 m y 0,60 m, cuyas longitudes estén entre 0,50 m y 2,00 m y en los que la altura del
umbral se encuentre entre 0,20 m y 2,00 m.
La fórmula de Bazin-Hégly parte de la ecuación 9-6, de descarga de un vertedero
2
3
2
3
2
cLHgQ =
en la que para un vertedero con contracciones laterales el valor de c es














+






+





+
−
−=
22
55,01
00405,0
045,06075,0
PH
H
B
L
HB
LB
c (9-15)
en la que B es el ancho del canal.
Si el vertedero fuese sin contracciones, entonces LB = y el coeficiente de descarga sería














+
+





+=
2
55,01
00405,0
6075,0
PH
H
H
c (9-16)

472
b) Fórmula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos
Esta fórmula de descarga para vertederos rectangulares en pared delgada fue adoptada en
1924. La fórmula parte de la ecuación 9-6 de descarga de un vertedero
2
3
2
3
2
cLHgQ =
En esta fórmula también hay dos coeficientes, según que haya contracciones o no.
El coeficiente c para un vertedero con contracciones es














+
+












+






−
+





+=
2
2
2
2
1
1
6,11000
3615,3
037,0578,0
PH
H
B
L
H
B
L
B
L
c
(9-17)
B es el ancho del canal.
Los límites de aplicación de esta fórmula para el coeficiente de descarga en vertederos
rectangulares con contracciones son
80,0
025,0
≤≤ H
BL
m
BL 30,0≥ m
BP 30,0≥
1≤
P
H
El coeficiente de descarga c para un vertedero sin contracciones es














+
+





+
+=
2
2
1
1
6,11000
1
1615,0
PH
H
H
c (9-18)
La carga H está en metros. Los límites de aplicación de este coeficiente son
0,025 m ≤< H 0,80 m

473
≥P 0,30 m
≤
P
H
1
c) Fórmula de Kindsvater - Carter
Es una de las fórmulas de mayor confiabilidad. Se aplica a todos los vertederos rectangulares,
con contracciones o sin ellas. Fue establecida por C. E. Kindsvater y R. W. Carter y data de
1959.
La fórmula es
( )( )2
3
2
3
2
HLe KHKLgcQ ++= (9-19)
Como puede apreciarse, en lugar de la longitud del vertedero se usa la ‘‘longitud efectiva’’, que
es la suma de la longitud L del vertedero más un valor LK que se encuentra a partir de una
expresión obtenida experimentalmente y que aparece en la Figura 9.11. HK es un valor igual
a 0,001 m, que se adiciona a la carga para constituir la ‘’carga efectiva’’. ec es el coeficiente
de descarga propio de la fórmula. Tiene origen experimental y aparece en la Figura 9.12.
Entre los requerimientos para una correcta aplicación de la fórmula están los siguientes.
La carga H debe medirse a una distancia igual a 4 ó 5 veces la máxima carga.
El vertedero debe ser propiamente en pared delgada. La cresta debe ser de 1 ó 2 mm de
espesor.
0
L
KL(mm)
0,2 0,4 0,6 0,8 1
5
4
3
2
1
0
-1
B
Figura 9.11 Gráfico para la determinación de LK
0
L
KL(mm)
0,2 0,4 0,6 0,8 1
5
4
3
2
1
0
-1
B

474
El nivel de la superficie libre de aguas abajo debe estar por lo menos 6 cm debajo de la cresta
del vertedero.
La carga debe ser superior a 3 cm. El umbral debe ser por lo menos de 10 cm.
La longitud del vertedero y el ancho del canal deben ser superiores a 15 cm.
La relación entre la carga H y la altura P del umbral debe ser menor que 2,5.
Si la longitud del vertedero es igual al ancho del canal ( BL = ), entonces no hay contracciones.
Ejemplo 9.1 En un canal de 6 m de ancho se ha instalado un vertedero rectangular en pared delgada,
de 2 m de longitud. La altura del umbral es 1,50 m. Calcular el caudal para una carga de 0,50 m.
Solución. Se observa que se trata de un vertedero con dos contracciones y que la distancia de cada
extremo del vertedero a las paredes del canal es apropiada para asegurar buenas condiciones de
contracción. Así mismo, la altura del umbral también garantiza una buena contracción.
Dadas las dimensiones del vertedero y la carga que se presenta son varias las fórmulas que podrían
usarse.
Fórmula de Francis
Para iniciar el cálculo se puede usar la ecuación 9-14 considerando como que no hubiese contracciones
ni velocidad de acercamiento importante
Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial
H
0,5
P
0 1 1,5 2,52
ISO (1980) LMNO
0
0,4
0,6
0,7
0,8
0,9
= 1
L
B
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
Coeficientededescargaec

475
( ) =××== 2
3
2
3
50,0284,184,1 LHQ 1,301 m3
/s
Esta sería la descarga del vertedero para las condiciones señaladas ( 0=n ; 00
=V ). A partir del caudal
encontrado se puede calcular la velocidad de aproximación (ec. 9-1)
( )
108,0
26
301,1
0 =
×
=
+
==
HPB
Q
A
Q
V m/s
Aplicando la ecuación 9-2, para 1=α , se obtiene
Se trata de un valor bastante pequeño, sin embargo vamos a considerarlo y aplicamos la ecuación 9-12
( ) 


 −+





−= 2
3
2
3
10
84,1 VV hhH
nH
LQ
( ) ( ) 


 −+




 ×
−= 2
3
2
3
0006,00006,050,0
10
50,02
284,1Q
238,1=Q m3
/s
Obsérvese que este valor del caudal es casi 5 % menor del que se obtuvo suponiendo que no había
contracciones y que la velocidad de aproximación era despreciable. Podría hacerse un nuevo cálculo
de la velocidad de aproximación y repetir todo el procedimiento, pero como en este caso es tan
pequeña no vale la pena hacerlo.
Se hubiera podido partir de la ecuación 9-13, entonces
( ) 236,150,09,184,1
10
84,1 2
3
2
3
=××=





−= H
nH
LQ m3
/s
103,0
12
236,1
0 ==V m/s
( ) ( ) 238,10005,00005,050,09,184,1 2
3
2
3
=



 −+×=Q m3
/s
m0,0006
2g
V
h
2
0
V ==
m0,0005
2g
V
h
2
0
V ==

476
Por lo tanto, según la fórmula de Francis el caudal es 1,238 m3
/s. Si quisiéramos calcular el coeficiente
de descarga con la ecuación 9-8, se obtendría
0015,1
50,0
0005,0
50,0
0005,0
11
2
3
2
3
2
3
2
3
=





−





+=





−





+=
H
h
H
h
c VV
αα
que es prácticamente igual a la relación entre 1,238 y 1,236 m3
/s.
Fórmula de Bazin
El coeficiente c de descarga para la fórmula de Bazin está dado por la ecuación 9-15














+






+





+
−
−=
22
55,01
00405,0
045,06075,0
PH
H
B
L
HB
LB
c
reemplazando los valores conocidos se obtiene














+






+





+
−
−=
22
50,150,0
50,0
6
2
55,01
50,0
00405,0
6
26
045,06075,0c
588,0=c
y el gasto es
227,12
3
2 2
3
== LHgcQ m3
/s
Fórmula de la Sociedad Suiza
Para un vertedero con contracciones el coeficiente de descarga viene dado por la ecuación 9-17














+
+














+






−
+





+=
2
2
2
2
1
1
6,11000
3615,3
037,0578,0
PH
H
B
L
H
B
L
B
L
c
Reemplazando los valores conocidos se obtiene














+














+






−
+





+=
2
2
2
00,2
50,0
6
2
2
1
1
6,11000
6
2
3615,3
6
2
037,0578,0
H
c

477
De donde,
595,0=c
El caudal es
( ) 242,150,02595,02
3
2
2
3
2
2
3
2
3
=×××== gcLHgQ m3
/s
Fórmula de Kindsvater
Se aplica la ecuación 9-19
( )( )2
3
2
3
2
HLe KHKLgcQ ++=
H
K es 0,001 m. Para el cálculo de L
K se usa la Figura 9.11 y a partir de 33,0=
B
L
se obtiene
L
K = 0,025 m.
Para el cálculo de e
c se usa la Figura 9.12 y para 33,0=
P
H
se obtiene e
c = 0,59
Por lo tanto,
( )( ) 237,1001,050,00025,022
3
2
59,0 2
3
=++= gQ m3
/s
CUADRO COMPARATIVO
INVESTIGADOR Q (m3
/s) ε(m3
/s) %
Francis 1,238 + 0,002 0,16 %
Bazin 1,227 - 0,009 0,73 %
Sociedad Suiza 1,242 + 0,006 0,48 %
Kindsvater 1,237 - 0,001 0,08 %
Promedio 1,236 0 0
Al haber aplicado estas cuatro fórmulas se observa que, independientemente del error que cada una
de ellas tiene, los resultados son bastante coincidentes y las diferencias con respecto al promedio son
inferiores al 1 %.

478
d) Fórmula de Rehbock
Rehbock realizó desde 1911 numerosas experiencias en el Laboratorio de Hidráulica de
Karlsruhe con vertederos rectangulares. Sus experiencias fueron muy cuidadosamente hechas
y trató de disminuir la influencia de las condiciones de aproximación.
La fórmula de 1929 para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares en pared
delgada sin contracciones es
2
3
0011,0
1
00009,0
0813,06035,0 



+



++=
HPP
H
c (9-20)
H y P están en metros. El coeficiente c se aplica a la ecuación 9-6.
Se recomienda usar la fórmula para cargas comprendidas entre 0,025 m y 0,60 m.
9.5 Vertederos triangulares
Para deducir la fórmula de descarga en un vertedero triangular se plantea la siguiente figura
Consideremos el gasto a través de
la pequeña franja elemental dx .
La longitud de la franja es
( )
H
xHb −
El área de la franja es
( )dx
H
xHb −
Considerando a esta franja como un orificio y despreciando la velocidad de aproximación se
obtiene el caudal
( ) dxxHxg
H
b
dxgxxH
H
b
dQ 







−=−= 2
1
2
1
22
Integrando entre 0=x y Hx = se obtiene
2α
b
dx H
x

479
2
3
2
15
4
HgbQ =
Pero, αtan2Hb = , de donde
2
5
2tan
15
8
HgQTEORICO α= (9-21)
2
5
2tan
15
8
HgcQREAL α= (9-22)
La fórmula de descarga para un vertedero triangular de un ángulo dado y para coeficiente c
constante puede expresarse así
2
5
KHQ =
siendo,
gcK 2tan
15
8
α=
La necesidad de este coeficiente de descarga c se justifica porque en la deducción de la
fórmula no se ha tomado en cuenta la contracción de la napa y otros efectos que si están
presentes en el flujo real.
Otra forma de calcular la descarga a través de un vertedero triangular verticalmente simétrico
es considerar que la ecuación de uno de los dos lados del triángulo es
αtanyx =
α
dy H
y
de donde, el caudal es
( )∫ −α=
H
ydyyHcgQ
0
2
1
tan22
integrando se obtiene

480
2
5
tan2
15
8
HcgQ α=
que es la ecuación de descarga de un vertedero triangular.
De un modo similar se puede obtener la descarga para vertederos de otras formas geométricas.
La dificultad está en conocer los correspondientes coeficientes de descarga.
Si el vertedero estuviese formado por un triángulo asimétrico en el que los ángulos con respecto
a la vertical fuesen 1α y 2α se puede considerar el promedio respectivo.
Entre las ventajas de los vertederos triangulares se puede citar las siguientes. Como la descarga
depende de la potencia 5/2 de la carga se puede tener mayor precisión en la medición de
caudales pequeños. Así mismo, en los vertederos triangulares es muy pequeña la influencia
de la altura del umbral y de la velocidad de llegada. Para ello se requiere que el ancho del
canal de aproximación sea igual o mayor a 5 veces la carga sobre el vertedero.
HB 5≥ (9-23)
A los vertederos triangulares se les suele conocer por su nombre en ingles: V-notch, que
literalmente significa escotadura en V .
Los vertederos triangulares son muy sensibles a la rugosidad de la cara de aguas arriba y a la
exactitud en la medición de la carga. Para cargas pequeñas influye la viscosidad y la tensión
superficial.
El coeficiente c depende de varios factores; entre ellos están el ángulo del vertedero y la
carga. La forma de conocer el coeficiente de descarga es mediante estudios experimentales.
En el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Chile los ingenieros L. Cruz - Coke, C.
Moya y otros realizaron entre 1923 y 1924 una amplia investigación experimental del flujo en
vertederos de 15º, 30º, 45º, 60º, 90º y 120º. En la Figura 9.13, tomada de la Hidráulica de
Domínguez, se aprecia los resultados. Para cada ángulo del vertedero y para cada valor de
la carga se obtiene el coeficiente m que es 8/15 del coeficiente de descarga c . Por lo tanto,
mc
8
15
=
El gasto se calcula con la fórmula 9-22. Se determinó, como parte del estudio, que los errores
no son superiores al 5 %.

481
Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares
Es interesante analizar la Figura 9.13. Se observa claramente que para cada ángulo el
coeficiente aumenta al aumentar la carga, mientras éstas sean pequeñas. A partir de un
cierto valor de la carga, alrededor de 3 ó 4 cm, el aumento de la carga implica una disminución
del coeficiente. Finalmente, para valores mayores de la carga (mayores, mientras más pequeño
sea el ángulo) se llega a un valor prácticamente constante. Estos valores prácticamente
constantes hacia los que tiende el coeficiente de cada vertedero y las cargas respectivas son
para cada ángulo los que aparecen en la Tabla 9.2
TABLA 9.2
COEFICIENTES EN VERTEDEROS TRIANGULARES
ANGULO ( α2 ) 15º 30º 45º 60º 90º 120º
>H 0,25 0,205 0,185 0,17 0,14 0,12
m 0,343 0,33 0,325 0,32 0,313 0,322
c
0,643 0,619 0,609 0,6 0,587 0,604
K
0,2 0,392 0,596 0,818 1,386 2,471
CRUZ COKE Y MOYA
H
MIGUEL Y FIGARI
otros ángulos
120º
0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
0,25
0,30
0,35
0,40
m
α
15º
2
30º
45º
90º
120º 60º

482
Aplicando la Tabla 9.2 se podría tener una fórmula simple para cada vertedero de un cierto
ángulo, la que se podría aplicar para valores de la carga H mayores que un cierto valor. Así,
se tendría
Para 15º 2
5
2,0 HQ = (para 25,0≥H m)
Para 30º 2
5
392,0 HQ = (para 205,0≥H m)
Para 45º 2
5
596,0 HQ = (para 185,0≥H m)
Para 60º 2
5
818,0 HQ = (para 17,0≥H m)
Para 90º 2
5
386,1 HQ = (para 14,0≥H m)
Para 120º 2
5
471,2 HQ = (para 12,0≥H m)
Para el caso particular de los vertederos triangulares de 90º se tiene que º902 =α ( )º45=α
y el gasto teórico es
2
5
2
5
3612,22
15
8
HHgQT == (9-24)
James Thomson (1861) realizó experiencias con vertederos triangulares. Es muy conocida su
fórmula para vertederos triangulares de º902 =α . Sus experimentos abarcaron cargas entre
5 y 18 cm. Posteriormente (1908) James Barr demostró experimentalmente que la fórmula de
Thomson podía extenderse hasta 30=H cm. La fórmula es
2
5
2
15
8
593,0 HgQ =
o bien,
2
5
4,1 HQ =
que es la conocida fórmula de Thomson para vertederos de 90º. H está en metros y el
caudal Q en m3
/s.
A partir de las mediciones de Thomson y Barr, M. A Barnes presentó la siguiente fórmula
48,2
37,1 HQ =
que es equivalente a la de Thomson y para la cual su autor señala que el error es inferior a 1/5 de
1 %.
Obsérvese que fórmulas como la de Thomson y de Barnes sólo son aplicables a partir de un
cierto valor de la carga H obtenido experimentalmente.

483
9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti
Los vertederos trapeciales son muy poco usados para medir caudales. En consecuencia,
casi no hay información sobre sus coeficientes de descarga.
Para el cálculo de la descarga teórica se suele considerar que la sección está conformada
por tres partes: una central, que es rectangular, y dos laterales, que son triangulares. Se
obtiene así que la descarga en un vertedero trapecial isósceles es
2
5
2
2
3
1 tan2
15
8
2
3
2
HgcLHgcQ α+=
H
L
αα
Se tiene muy poca información experimental sobre los valores de los coeficientes de descarga
de estos vertederos. Balloffet señala que es frecuente considerar 6,021 == cc , a pesar de
la falta de justificación teórica o experimental.
En 1887 el ingeniero Italiano Cipolletti estudió y propuso un tipo especial de vertedero trapecial,
cuyas características se señalan a continuación.
Vertedero de Cipolletti
Es un vertedero trapecial de
determinadas características
geométricas.
El gasto se considera formado de dos
partes
- Una parte a través de la abertura
rectangular.
- Otra parte a través de los
triángulos.
L
H
d
d2
α
L
H
d
d2
α

484
Por consideraciones geométricas se cumple que
H
d
=αtan
Los taludes deben calcularse de modo que el aumento del gasto producido por ellos sea
precisamente igual a la disminución del gasto causado por las contracciones en un vertedero
rectangular de longitud L . Consideremos que el gasto teórico a través de los triángulos es
2
3
2
15
8
HgdQ =
La disminución del gasto en un vertedero rectangular con dos contracciones se obtiene a
partir de una fórmula tipo Francis
( ) 2
3
2,02
3
2
HHgQ =
Igualando
( ) 2
3
2
3
2,02
3
2
2
15
8
HHgHgd =
se obtiene
1
4
=
d
H
Es decir, 41tan =α que es la condición de un vertedero tipo Cipolletti. Esto implica '2º14=α .
Experimentalmente se ha determinado que el coeficiente de descarga de un vertedero Cipolletti
es 0,63.
El gasto en el vertedero Cipolletti es el correspondiente a un vertedero rectangular de longitud
L , sin contracciones
2
3
2
3
2
63,0 LHgQ =
L es la base del trapecio. O bien, en el sistema métrico
2
3
86,1 LHQ =
Para una correcta operación del vertedero Cipolletti se debe cumplir las siguientes condiciones.
La carga debe ser mayor que 6 cm, pero debe ser inferior a 3L . La altura P del umbral debe
ser mayor que el doble de la máxima carga sobre el vertedero. La distancia b , señalada en la

485
Figura 9.14, debe ser mayor que el doble de la máxima carga. El ancho del canal de
aproximación debe estar comprendido entre H30 y H60 . La carga debe medirse a una
distancia de 4 H del vertedero.
L
0,25
1
P
B
b
H
Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti
La corrección por velocidad de aproximación puede hacerse de un modo similar al que se hizo
con la fórmula de Francis.
El vertedero Cipolletti se usa en mediciones de campo, en distribución de aguas y otros
sistemas compatibles con la aproximación de este vertedero. No se recomienda su uso en
laboratorios o en mediciones de precisión. Si se cumplen las condiciones de instalación el
error puede ser ± 5 %.
9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos
Los vertederos instalados para medir caudales deben reunir una serie de condiciones
indispensables para garantizar su confiabilidad. Entre ellas están las siguientes
1. El primer y más importante punto para una buena y confiable medición de caudales
con un vertedero es la apropiada selección del tipo de vertedero. Así por ejemplo, un
vertedero triangular es muy indicado para medir caudales pequeños (puesto que en
ellos el caudal depende de la potencia 5/2 de la carga). En cambio, para medir
caudales relativamente altos, un vertedero rectangular sin contracciones podría ser
el más indicado. Más adelante se señala los errores que se pueden producir en el
cálculo del caudal como consecuencia de un error en la medición de la carga.

486
2. Luego viene la correcta selección de la fórmula. Para cada tipo de vertederos existen
numerosas fórmulas de origen experimental. Cada una de ellas tiene un rango de
aplicación. Mientras estemos dentro de esos rangos se puede tener una alta
aproximación en la medición de caudales. Si estamos fuera de los rangos de
experimentación, la confiabilidad del resultado es dudosa.
3. Para un vertedero rectangular con contracciones existen ciertas recomendaciones
de carácter general, además de las que pueden originarse en cada fórmula, las que
aparecen en la Figura 9.15, debida a G. E. Russell, y que es producto de la
recomendación de varios investigadores.
H
H>3>3H>3H
H>3
L
P
Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en cuenta
para instalar un vertedero rectangular con contracciones.
Se observa que la longitud L del vertedero, el umbral P y la distancia a las paredes
del canal debe ser por lo menos igual al triple de la máxima carga sobre el vertedero.
En estas condiciones la velocidad de aproximación será despreciable.
4. En los vertederos en pared delgada la cresta debe ser aguda, recta y horizontal. El
vertedero debe colocarse normalmente a la dirección de las líneas de corriente.
Para efectos de una buena conservación se recomienda que la cresta sea de bronce.
El vertedero debe colocarse perfectamente vertical y su cara de aguas arriba debe
mantenerse lisa.
El vertedero debe instalarse en un tramo recto, que lo sea en una longitud no inferior
a 10 veces la longitud L de la cresta del vertedero.

487
5. La altura del umbral P no debe ser inferior a 0,30 m ni a 3 veces la máxima carga
sobre el vertedero.
6. La velocidad de aproximación debe mantenerse pequeña. La sección transversal
del canal de aproximación ( )[ ]PHB +× debe ser por lo menos igual a 6, o mejor
8 veces, la sección de la napa vertiente LH .
7. Debe tomarse las medidas pertinentes para que la napa vertiente quede perfectamente
aireada. En todo su contorno la presión debe ser igual a la atmosférica. Si fuese
necesario, debe instalarse dispositivos de aireación.
8. Si las condiciones de aproximación del flujo no son tranquilas debe colocarse
elementos disipadores de energía, es decir tranquilizadores, como pantallas, ladrillos
huecos, mallas, etc.
9. La carga debe medirse cuidadosamente, fuera del agua en movimiento, mediante
una toma adecuada (principio de vasos comunicantes), a una distancia de
aproximadamente cuatro veces la carga ( H4 ) de modo que no haya influencia del
movimiento rápidamente variado que se origina sobre la cresta del vertedero. Tampoco
se debe medir la carga a mayor distancia del vertedero, porque entonces aparecería
la influencia debida a la pendiente de la superficie libre del canal.
10.Las condiciones de aguas abajo (nivel del agua) deben ser tales que no influyan en
la napa.
11. Los vertederos de dimensiones especiales, que no cumplen las condiciones antes
señaladas, deben ser cuidadosamente calibrados.
9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)
En la Figura 9.16 aparece un vertedero de cresta ancha en el que la longitud de la cresta,
plana y horizontal, es b . El vertedero es de descarga libre, es decir, no influenciado por las
condiciones de aguas abajo.
Para que el vertedero se comporte como de pared gruesa es necesario que el espesor b de
la cresta sea mayor que los dos terceras partes de la carga
Hb
3
2
≥ (9-25)
puesto que si no se cumple esta condición el vertedero podría ser de pared delgada (ver
Figura 9.4) o de pared intermedia.

488
Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa
Se considera que la longitud máxima de b debe estar alrededor de H15
En el vertedero en pared gruesa mostrado en la Figura 9.16 se aprecia el perfil característico
de la superficie libre. La energía específica aguas arriba es gVH 22
0+ , la que debe ser
igual a la energía sobre la cresta, suponiendo que no haya fricción ni pérdidas de carga y que
el coeficiente α de Coriolis sea igual a 1. Por lo tanto,
g
V
y
g
V
H
22
22
0
+=+
siendo V la velocidad media del flujo sobre la cresta. De la última ecuación se obtiene que la
velocidad media sobre la cresta es






−+= y
g
V
HgV
2
2
2
0
Aguas arriba del vertedero se ha considerado que el flujo es subcrítico ( 1<F ). En la sección
correspondiente a la caída, al final de la cresta, se produce un flujo supercrítico 1>F . En
algún lugar intermedio, como el mostrado se produce un flujo crítico.
2
V
g
2
0
y
P
b
H
g2
2
V
c
y =

489
El flujo sobre el vertedero es crítico ( )cyy = . Es decir, que el flujo resuelve el cruce del
vertedero haciéndolo con el mínimo contenido de energía.
Si se tratase de una sección rectangular de ancho L , entonces






+==
g
V
Hyy c
23
2
2
0
(9-26)
Por lo tanto, el gasto teórico sobre el vertedero es














−+





+== c
2
0
2
0
c
y
2g
V
H2g
2g
V
H
3
2
LVLyQ
De donde,
2
3
2
3
13,3 cc yLyLgQ == (9-27)
Esta fórmula se suele expresar en función de la energía de aguas arriba
2
3
2
0
2
3
2g
V
HLg
3
2
Q 







+





=
Si la velocidad de aproximación es muy pequeña y/o su efecto se considera indirectamente,
entonces el gasto teórico es
2
3
2
3
3
2
LHgQ 





= (9-28)
En el sistema métrico el gasto teórico sobre un vertedero rectangular en pared gruesa es
2
3
7,1 LHQ = (9-29)
En el sistema inglés sería

490
2
3
09,3 LHQ = (9-30)
Para obtener el gasto real deberá introducirse en la ecuación 9-29 un coeficiente de descarga
c . Su valor se obtiene experimentalmente y depende de varios factores
2
3
7,1 LHcQ = (9-31)
George E. Russell, presenta algunos valores del coeficiente, provenientes de tres investigadores,
para diversos valores de longitud L del vertedero, del umbral P y de las condiciones del
borde de aguas arriba del vertedero. Los resultados aparecen en la Tabla 9.3.
Si el nivel del flujo aguas abajo del vertedero fuese mayor que el de la cresta de éste, las
condiciones de cálculo serían diferentes.
TABLA 9.3
COEFICIENTES EN VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA
EXPERIMENTADOR L P CARGA 1,7c
BORDE DE AGUAS ARRIBA REDONDEADO
Bazin
U.S. Deep Waterways Board
Woodburn
2
2
3
0,75
1,40
0,53
0,09 a 0,50
0,25 a 1,50
0,15 a 0,45
1,42 a 1,61
1,55
1,53 a 1,57
BORDE DE AGUAS ARRIBA AGUDO
Bazin
U.S. Deep Waterways Board
Woodburn
2
2
3
0,75
1,40
0,53
0,06 a 0,45
0,27 a 1,50
0,15 a 0,45
1,33 a 1,45
1,31 a 1,38
1,44 a 1,45
(Todas las dimensiones en metros)
9.9 Vertederos laterales
Los vertederos laterales son aberturas (escotaduras) que se hacen en una de las paredes
(taludes) de un canal. Su función es la de evacuar el exceso de caudal. En consecuencia, son
aliviaderos. A continuación se presenta algunas nociones sobre estos vertederos.
En la Figura 9.17 se aprecia el esquema característico de un vertedero lateral de longitud L
practicado en un canal con flujo subcrítico ( 1<F )

491
h0
H0 H1
h
1h
HQ0
Q
P
L
i
Q1
Q0
Q
1Q
x
Figura 9.17 Vertedero lateral
Se observa las líneas de corriente y su desvío como consecuencia del vertedero lateral, cuyo
caudal es conducido fuera del canal. En la Figura 9.17 se observa la longitud L del vertedero
y el umbral P . El caudal inicial en el canal es 0Q . El caudal que pasa por el vertedero es Q
y el caudal remanente es 1Q . Evidentemente que Q es el exceso de caudal que se quiere
eliminar del canal.
10 QQQ −=
0V es la velocidad correspondiente al caudal 0Q y 1V lo es del caudal 1Q , 0H es la carga
en el punto inicial del vertedero y 1H , es la carga en el punto final. H es la carga (variable)
en cualquier punto del vertedero a la distancia x del punto inicial. Como se trata de un
régimen subcrítico el valor de la carga h aumenta desde 0H hasta 1H en el punto final del
vertedero, lo que puede comprobarse experimental y teóricamente suponiendo que la energía
es constante a lo largo de la cresta, tal como lo señala Balloffet. Se supone en la siguiente
deducción que la variación de la carga es lineal a lo largo del vertedero. Por lo tanto, la carga

492
a la distancia x del punto inicial es
x
L
HH
HH 01
0
−
+= (9-32)
El gasto es
dxx
L
HH
HgcQ
L 2
3
0
01
02
3
2
∫ 




 −
+= (9-33)
De donde,
01
2
5
0
2
5
1
HH
HH
L2gc
15
4
Q
−
−
= (9-34)
Como longitud del vertedero puede considerarse la longitud efectiva, la que siguiendo el criterio
de Francis es
10
nH
L − . Si el vertedero es muy largo, más de H10 , puede despreciarse el
efecto de las contracciones. El coeficiente c se obtiene experimentalmente.
9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error en
la medición de la carga
a) Vertedero rectangular
La ecuación de descarga de un vertedero rectangular es
2
3
KHQ =
La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior
2
1
5,1 KH
dH
dQ
=
de donde,
dHKHdQ 2
1
5,1=
comparando con el gasto se obtiene,
H
dH
Q
dQ
5,1= (9-35)

493
Luego, un error, por ejemplo del 1 % en la medición de H , produciría un error de 1,5 % en el
cálculo de Q .
b) Vertedero triangular
La ecuación de descarga de un vertedero triangular es
2
5
KHQ =
La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior
dHKHdQ 2
3
5,2=
de donde,
H
dH
Q
dQ
5,2= (9-36)
En consecuencia, un error del 1 % en la medición de H representará un error del 2,5 % en
el cálculo de Q .
9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero
El vaciamiento de un depósito se puede producir por medio de un vertedero de cualquier forma
y características. La condición de vaciamiento implica que el nivel de la superficie libre sea
descendente. Se trata entonces de la descarga de un vertedero con carga variable. El caudal
va disminuyendo paulatinamente. Este tipo de vertedero puede presentarse como aliviadero
de presas.
Depósito
2H
H
H1
L
2H
H
H1
dH
Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero
Depósito
2
H
H
H
1
L
2
H
H
H
1
dH

494
En la Figura 9.18 se aprecia un vertedero rectangular de longitud L que realiza el vaciamiento
de un estanque, entre los niveles 1H (nivel inicial) y 2H (nivel final). H es una carga variable
comprendida entre 1H y 2H .
Consideremos que durante un intervalo de tiempo infinitamente pequeño dt , la carga H se
puede asumir, para efectos de aplicación de una de las fórmulas de vertederos, como si fuese
constante. El volumen descargado por el vertedero durante el tiempo dt debe ser
dtLHgcdV 2
3
2
3
2
=
Este volumen descargado debe ser igual al producto del área de la sección transversal A del
depósito por dH , que es la variación de niveles. Luego,
AdHdtLHgc =2
3
2
3
2
(9-37)
Se está suponiendo que el área transversal A del estanque es constante. Sin embargo, en
muchos casos no lo es. El área A puede ser una función de la carga. Una posibilidad es que
esta función pueda expresarse matemáticamente de un modo simple. Tal sería el caso, por
ejemplo, de paredes inclinadas 45º u otro ángulo. En los embalses naturales no existe esa
función matemática. Se recurre entonces a una sumatoria. También se está suponiendo que
el coeficiente de descarga es constante. De la expresión 9-37 se obtiene por integración
∫∫∫ ==
2
1
2
1
2
3
2
3
0
2
3
2
2
3
2
H
H
H
H
t
H
dH
Lgc
A
LHgc
AdH
dt
Por lo tanto, el tiempo requerido para que el nivel de la superficie libre baje de 2H a 1H es








−=
12
11
2
3
2
2
HHLgc
A
t
(9-38)

495
Obsérvese que si 2H tiende a cero, el tiempo requerido tenderá a infinito, lo que no concuerda
con la realidad. Esto se debe a que tanto la carga H como el área de descarga estarían
aproximándose a cero simultáneamente. En todo caso hay que recordar que las fórmulas
para el cálculo de la descarga de un vertedero sólo son aplicables a partir de una cierta carga
mínima.
Cuando por una razón u otra no es posible integrar se debe recurrir a una sumatoria aplicando
las fórmulas conocidas en intervalos muy pequeños. Este método se emplea también cuando
el depósito tiene además el aporte de un caudal Q que a su vez puede ser función del
tiempo. La magnitud de los intervalos dependerá de la precisión buscada y de las características
de la información disponible.
Ejemplo 9.2 Un depósito profundo tiene paredes verticales. La sección transversal es de 30 por 50
metros. En una de las paredes se ha instalado un vertedero rectangular de 0,50 m de longitud. La cresta
del vertedero es aguda y se encuentra en la cota 122,30 m. Considerar que el coeficiente de descarga
es constante e igual a 0,6. Calcular: a) el tiempo necesario para que el nivel de la superficie libre
descienda de la cota 122,50 m a la cota 122,35 m, b) el gasto instantáneo al principio y al final del
intervalo, c) el caudal medio durante el intervalo.
Solución.
a) Aplicando la ecuación 9-38 se obtiene








−
×××
×
=








−=
20,0
1
05,0
1
5,026,0
3
2
5001211
2
3
2
2
12 gHHLgc
A
t
t = 7 576,7 segundos
b) La ecuación de descarga por el vertedero es (considerando 00
=V y sin contracción).
2
3
2
3
885,02
3
2
HLHgcQ ==
Para la condición inicial H = 0,20 m y Q = 0,0792 l/s
Para la condición final H = 0,05 m y Q = 0,0099 l/s
c) El volumen total descargado es
( ) 22515,0503021
=××=− HHA m3

496
El caudal medio es
0297,0
7,5767
225
==
Tiempo
Volumen
m3
/s
Para realizar el cálculo del tiempo de vaciamiento de un estanque mediante una sumatoria se
procede a elaborar una tabla como la 9.4 en la que sólo se ha presentado, como ejemplo, las
primeras filas del cálculo correspondiente al ejemplo 9.2.
Se procede así
1. Se empieza por considerar n valores de la carga comprendidos entre 1H y 2H
(columna 1). Para el ejemplo 9.2 estos valores podrían ser 0,20 m, 0,19 m, 0,18 m,
etc.
2. Luego se calcula los correspondientes valores de H∆ , es decir, ( )12 HH − para
cada dos valores sucesivos de la carga (columna 2).
3. A continuación se calcula la carga media del intervalo, que es ( )21
2
1
HH +
(columna 3).
4. A partir de la carga media obtenida se calcula el correspondiente caudal de descarga,
y se considera los coeficientes que resulten más apropiados (columna 4).
5. Ahora se calcula el volumen descargado que es igual al producto del área transversal
correspondiente del estanque, la que puede ser variable, por la diferencia de carga
(columna 5).
6. Para obtener el intervalo de tiempo correspondiente se encuentra la relación entre
el volumen descargado y el correspondiente caudal (columna 6).
7. Finalmente, se acumula los tiempos parciales y se obtiene el tiempo total.
TABLA 9.4
EJEMPLO 9.2
1 2 3 4 5 6 7
H H∆ H Q Volumen t∆ t
0,19
0,18
0,17
0,01
0,01
0,01
0,195
0,185
0,175
0,0762
0,0704
0,0648
15
15
15
196,9
213,0
231,5
196,9
409,9
641,4
etc.

497
9.12 Vertedero sumergido
Se dice que un vertedero está sumergido cuando el nivel de aguas abajo es superior al de la
cresta del vertedero. La condición de sumergencia no depende del vertedero en sí, sino de las
condiciones de flujo. Un mismo vertedero puede estar sumergido o no, según el caudal que se
presente. Las condiciones de aguas abajo, por ejemplo un remanso, pueden determinar que
un vertedero quede sumergido. El vertedero sumergido puede ser de cualquier tipo o forma.
En la Figura 9.19 se observa un vertedero sumergido en el cual H es la diferencia de nivel
entre la superficie libre de aguas arriba y la cresta del vertedero; h es la diferencia de nivel
entre la superficie libre de aguas abajo y la cresta del vertedero. Se denomina sumergencia a
la relación que existe entre h y H .
H
h
Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido
Los vertederos sumergidos se presentan en diversas estructuras hidráulicas. En ellas el
vertedero actúa como un aliviadero, más que como un elemento de aforo. Las fórmulas para el
cálculo de la descarga de un vertedero sumergido son menos precisas que las correspondientes
a un vertedero libre, razón por la cual no se les usa para medir caudales.
Si la relación Hh , es decir la sumergencia, está próxima a la unidad o cuando es muy
pequeña, suele presentarse aguas abajo un flujo ondulado, como se aprecia en la Figura
9.20. Es por eso que se recomienda hacer el cálculo sólo para
8,02,0 ≤≤
H
h
(9-39)

498
Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo
de un vertedero sumergido
Uno de los criterios más antiguos para determinar el caudal en un vertedero sumergido es el
Du Buat, de 1816. Este método considera que el gasto total está formado por dos gastos
parciales. 1Q que es el que escurre a través de un vertedero libre virtual cuya cresta se
supone que coincide con el nivel de aguas abajo y 2Q que es el que escurre por un orificio
virtual cuya altura es la diferencia de nivel entre el de aguas abajo y la cresta del vertedero. En
consecuencia, para un vertedero sumergido rectangular, de cresta aguda el gasto es
2
1
2
0
2
2
3
2
0
2
3
2
0
1
2
2
22
2
3
2






−++
















−





−+= h
g
V
HLhgc
g
V
h
g
V
HLgcQ (9-40)
1Q = vertedero libre 2Q = orificio
La precisión de esta fórmula dependerá de la precisión con la que se pueda determinar los
coeficientes 1c y 2c para este caso particular. Numerosos investigadores trataron de encontrar
dichos coeficientes, pero los resultados no fueron satisfactorios ni coincidentes. Se suele
considerar que 62,021 == cc , lo que si bien no tiene mayor justificación teórica resulta útil
para los cálculos prácticos.
Algunos autores, como Herschel, resuelven el problema de hallar la descarga en un vertedero
sumergido a partir de una modificación de la fórmula de Francis
( )2
3
84,1 NHLQ = (9-41)

499
en donde H es la carga del vertedero considerado como si fuese libre y N es un coeficiente
de reducción de la carga del vertedero supuesto libre, que depende de la sumergencia. Los
valores experimentales obtenidos aparecen en la Tabla 9.5.
TABLA 9.5
VALORES DE N PARA USARSE EN LA FORMULA 9-41
H
h
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0
0,1
1,000
1,005
1,004
1,003
1,006
1,002
1,006
1,000
1,007
0,998
1,007
0,996
1,007
0,994
1,006
0,992
1,006
0,989
1,005
0,987
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,985
0,959
0,929
0,892
0,846
0,787
0,982
0,956
0,926
0,888
0,841
0,780
0,980
0,953
0,922
0,884
0,836
0,773
0,977
0,950
0,919
0,880
0,830
3,766
0,975
0,947
0,915
0,875
0,824
0,758
0,972
0,944
0,912
0,871
0,818
0,750
0,970
0,941
0,908
0,866
0,813
0,742
0,967
0,938
0,904
0,861
0,806
0,732
0,964
0,935
0,900
0,856
0,800
0,723
0,961
0,932
0,896
0,851
0,794
0,714
0,8
0,9
0,703
0,574
0,692
0,557
0,681
0,539
0,669
0,520
0,656
0,498
0,644
0,471
0,631
0,441
0,618
0,402
0,604
0,352
0,590
0,275
Villemonte en 1947, en la Universidad de Wisconsin, estableció una fórmula genérica para
vertederos sumergidos de diferente forma
385,0
1 1














−=
n
H
h
QQ (9-42)
n depende del tipo de vertedero (3/2 para vertedero rectangular, 5/2 para vertedero triangular,,
etc.), 1Q es el caudal que se produciría si el vertedero fuese libre.

500
Ejemplo 9.3 En un canal de 6,20 m de ancho en el que el tirante normal es de 1,10 m se instala un
vertedero rectangular sin contracciones y con borde agudo de 0,80 m de umbral. La superficie libre se
sobreeleva en 1 m. Determinar el caudal.
Solución.
H = 1,30 m
2,10 m
1,00 m
0,30 m
0,80 m
h = 0,30 m
1,10 m
g
V
2
2
0
Como no se conoce el caudal no se puede calcular 0
V . Supongamos inicialmente que su valor es cero.
El gasto se obtiene a partir de la ecuación
2
1
2
3
)(262,0)(2
3
2
62,0 hHLhghHLgQ −+−=
Reemplazando los valores conocidos se obtiene
Q = 11,35(1,30 - 0,30)3/2
+ 5,11(1,30 - 0,30)1/2
Q = 16,46 m3
/s
Ahora se puede introducir el efecto de la velocidad de aproximación
26,1
10,220,6
46,16
0 =
×
=V m/s o
o
o 08,0
2
2
0
=
g
V
m
Q = 11,35(1 + 0,08)3/2
+ 5,11(1 + 0,08)1/2
Q = 18,05 m3
/s
Si usamos la fórmula de Francis con los coeficientes de Herschel se tiene
23,0
30,1
30,0
==
H
h
o
o
o 977,0=N (Tabla 9.4)

501
77,17)38,1977,0(35,11)(84,1 2
3
2
3
=×== NHLQ m3
/s
Si usamos la fórmula de Villemonte
[ ] 956,0)23,0(11 1
385,02/3
1
385,0
1 ×=−=














−= QQ
H
h
QQ
n
4,1838,120,683,184,1 2
3
2
3
1
=××== LHQ m3
/s
59,17956,04,18 =×=Q m3
/s
CUADRO COMPARATIVO
FORMULA RESULTADO
Fórmula completa
Francis – Herschel
Villemonte
18,05 m
3
/s
17,77 m
3
/s
17,59 m
3
/s
Promedio 17,8 m
3
/s

502
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo IX)
1. Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Deducir una expresión para la
velocidad media, en función de la carga, para una sección transversal correspondiente a la
zona de máxima contracción.
2. Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Calcular la carga que debe tener el
vertederoparaquelavelocidadenelejedelanapavertienteenlazonademáximacontracción
sea de 0,80 m/s.
3. En un canal de 7,20 m de ancho se ha colocado un vertedero rectangular en pared delgada
de 3,20 m de largo. El umbral es de 2,0 m.
Si la carga es 0,61 m calcular el caudal usando varias fórmulas; discutir su aplicabilidad,
preparar un cuadro comparativo de los resultados considerando el efecto de la contracción.
Calcular la longitud adicional que debería tener el vertedero para compensar el efecto de las
contracciones.
4. En un canal de 3,20 m de ancho se ha instalado a todo lo ancho un vertedero rectangular en
pared delgada de 2 m de alto. Se ha medido la carga y se obtuvo 0,61 m. Calcular el caudal.
Usar varias fórmulas, discutir su aplicabilidad y preparar un cuadro comparativo de los
resultados.
5. Calcular el ancho que debe tener un canal rectangular que tiene un caudal de 12 m3
/s,para
que al colocar un vertedero cuyo umbral tiene una altura de 1 m , la superficie libre se eleve
0,20 m por encima de la cresta. Considerar que el vertedero es de cresta aguda y que el flujo
de aguas abajo no influye en la descarga sobre el vertedero.
¿Si la sobreelevación fuese de 0,70 m cuál debería ser el ancho? Comentar las diferencias
en el cálculo de ambos casos a propósito de la consideración de la velocidad de aproximación.
6. Un canal rectangular de 2 m de ancho tiene una pendiente de 0,0007 y un coeficiente C de
Chezy de 53 m1/2
/s.
Si se coloca un vertedero, sin contracciones, de 1,20 m de umbral y cresta aguda, la carga
sería de 0,60 m. ¿Cuál debería ser el ancho del canal para que conservando el mismo tirante
normal se comporte como de máxima eficiencia hidráulica?

503
7. En un canal de 1,20 m de ancho que tiene
un caudal de 500 l/s se va a instalar una
placa como la mostrada en la figura, la que
da lugar a un orificio y a un vertedero. Si la
placa tiene 0,75 m de alto, calcular la
abertura a del fondo para que el orificio y
el vertedero descarguen el mismo caudal.
8. En la figura se muestra dos tanques comunicados por un orificio. El sistema es alimentado de
modo que ingresan 500 l/s. El tanque A tiene un vertedero rectangular en pared delgada de
0,80 m de longitud, que descarga libremente. El tanque B tiene un vertedero triangular de 60º.
Las cotas respectivas se muestran en el dibujo. Se pide: a) ¿cuál es la descarga de cada
vertedero, si el diámetro del orificio es de 8’’?; b) ¿cuál debe ser el diámetro del orificio para
que ambos vertederos descarguen el mismo caudal?
109,00
108,00
100,80
100,00
A B
9. El agua que pasa a través de un vertedero triangular de 90º es recogida en un tanque cilíndrico
de 0,80 m de diámetro. Se encontró que para una carga de 0,25 m sobre el vertedero el nivel
del agua en el tanque cilíndrico aumenta 0,352 m en 4 segundos. Hallar el coeficiente de
descarga del vertedero.
10. La expresión general del flujo por un vertedero triangular es del tipo








= θ
ν
φ ,2 gHH
gHHQ
expresión en la que
H : es la carga, ν : la viscosidad cinemática, θ : es el ángulo del vertedero.
0,75
H
a

504
Experimentos llevados a cabo para el agua en un vertedero de 90º dieron la fórmula
5,2
386,1 HQ =
Aplicando la similitud dinámica demostrar que el porcentaje de error que representa el uso de
lafórmulaprácticaparamedirelgasto, cuandoelfluidoesunlíquidocuyaviscosidadcinemática
es 12 veces la del agua, será del 5 % por defecto.
11. Un fluido de viscosidad cinemática ν pasa a través de un vertedero triangular, de un cierto
ángulo, con el objeto de calcular la descarga Q conociendo la altura H .
Demostrar por medio del análisis dimensional que










=
ν
ϕ
2
1
2
3
2
1
2
5
gH
gH
Q
Para un vertedero con un ángulo de 30º la descarga viene dada por la expresión
5,2
392,0 HQ =
Hallar el gasto en un vertedero similar por el que pasa un fluido que tiene una viscosidad
cinemática seis veces mayor que la del agua, cuando la carga H es de 25 cm.
12. Se tiene un vertedero triangular en el que el caudal viene dado por la expresión 2/5
6,0 HQ = .
Determinar la precisión con la que debe medirse la carga para que el error resultante no
repercuta en un error superior al 1 % al calcular el gasto.
13. Determinar la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura
45º
0,90 m
60º
0,50 m
45º
0,90 m
60º
0,50 m

505
14. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura, para una carga de
0,12 m.
0,12 m
0,25 m
30º
15. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura, cuyo ancho en la base es
1,23 m.
1,23 m
60º
H = 1 m
x
y
2
y = x
16. Deducir la ecuación del gasto en función de la carga para un vertedero de sección parabólica.
17. La fórmula de descarga teórica de un vertedero es 27
cHQ = . Establecer la forma del
vertedero y la ecuación respectiva.
18. Un vertedero rectangular y un vertedero triangular de 90º están colocados en serie en un
canal. El vertedero rectangular tiene 2,0 m de longitud. Calcular la carga sobre el vertedero
triangular, si para un caudal de 50 l/s la carga sobre el vertedero rectangular es de 0,1 m.
19. En un canal de 9 m de ancho hay un caudal de 18 m3
/s. Se va a colocar un vertedero a todo lo
ancho del canal, de modo de producir una sobreelevación de 0,40 m en el nivel del agua. La
velocidad de aproximación al vertedero debe ser de 0,50 m/s. Calcular la altura que debe
tener el umbral del vertedero.
1,23 m
60º
H = 1 m
x
y
2
y = x

506
TABLAS GENERALES
TABLA 1
TABLA DE DIMENSIONES
SISTEMA
ABSOLUTO
SISTEMA
GRAVITACIONAL
CANTIDADES
MLT FLT
LONGITUD
AREA
VOLUMEN
TIEMPO
VELOCIDAD
VELOCIDAD ANGULAR
ACELERACIÓN LINEAL
VISCOSIDAD CINEMATICA
GASTO
MASA
FUERZA
DENSIDAD
PESO ESPECIFICO
VISCOSIDAD DINAMICA
TENSION SUPERFICIAL
MODULO DE ELASTICIDAD
PRESION
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
ENERGIA (Y TRABAJO)
POTENCIA
L
L
2
L3
T
LT
-1
T
-1
LT-2
L
2
T
-1
L
3
T
-1
M
MLT-2
ML
-2
T
-2
ML-1
T-1
MT
-2
ML
-1
T
-2
ML
-1
T
-2
MLT
-1
ML2
T-2
ML
2
T
-3
L
L
2
L3
T
LT
-1
T
-1
LT-2
L
2
T
-1
L
3
T
-1
FT
2
L
-1
F
FT
2
L
-4
FL
-3
FTL-2
FL
-1
FL
-2
FL
-2
FT
LF
LFT
-1

507
TABLA 2
PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA
Temperatura
T
(ºC)
Densidad
ρ
(Kg - s2
/m4
)
Peso
específico
γ
(Kg/m3
)
Viscosidad
dinámica
µ
(Kg - s/m2
)
Viscosidad
cinemática
ν
(m2
/s)
0,0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
101,94
101,94
101,94
101,94
101,74
101,63
101,53
101,33
101,12
100,92
100,71
100,51
100,31
100,00
99,69
99,39
98,98
98,67
98,37
98,06
97,66
1 000
1 000
1 000
1 000
998
997
996
994
992
990
988
986
984
981
978
975
971
968
965
962
958
1,81 x 10-4
1,55 x 10-4
1,33 x 10-4
1,17 x 10-4
1,04 x 10
-4
0,909 x 10-4
0,815 x 10-4
0,732 x 10-4
0,663 x 10-4
0,606 x 10-4
0,552 x 10-4
0,508 x 10-4
0,468 x 10-4
0,439 x 10
-4
0,410 x 10-4
0,381 x 10-4
0,356 x 10-4
0,336 x 10-4
0,317 x 10-4
0,298 x 10-4
0,287 x 10-4
1,78 x 10-6
1,52 x 10-6
1,30 x 10-6
1,15 x 10-6
1,02 x 10
-6
0,894 x 10-6
0,803 x 10-6
0,722 x 10-6
0,656 x 10-6
0,600 x 10-6
0,548 x 10-6
0,505 x 10-6
0,467 x 10-6
0,439 x 10
-6
0,411 x 10-6
0,383 x 10-6
0,360 x 10-6
0,341 x 10-6
0,322 x 10-6
0,304 x 10-6
0,294 x 10-6

508
TABLA 3
PROPIEDADES FISICAS DEL AIRE
(a la presión atmosférica)
Temperatura
T
(ºC)
Densidad
ρ
(gr - masa/cm
3
)
Viscosidad
absoluta
µ
(dina - s/cm
2
)
Viscosidad
cinemática
ν
(cm
2
/s)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
1,293 x 10
-3
1,093
0,946
0,834
0,746
0,675
0,616
0,567
0,525
0,488
0,457
1,709 x 10
-4
1,951
2,175
2,385
2,582
2,770
2,946
3,113
3,277
3,433
3,583
0,1322
0,1785
0,2299
0,2860
0,3461
0,4104
0,4782
0,5490
0,6246
0,7035
0,7840

509
BIBLIOGRAFIA
AGUIRRE PE, Julián Hidráulica de canales CIDIAT, Mérida, Venezuela, 1974.
BALLOFFET, A., GOTELLI, L.M., MEOLI, G.A. Hidráulica Biblioteca EDIAR de Ingeniería,
Buenos Aires, 1955.
BECERRIL Hidromecánica.
BRUSCHIN, J Calcul Hydraulique des canalisations dites “a parois lisses” Boletin Nº
22 de la Escuela Politécnica de Lausanne, Suiza, 1970.
BRUSCHIN, J Dimensionnement des canalisations Boletin Nº 25 de la Escuela Politécnica
de Lausanne, Suiza, 1793.
DOMINGUEZ, Francisco Hidráulica Editorial Universitaria, Santiago de Chile, 1974.
DOUGLAS, John F. Solution of problems in Fluid Mechanics Pitman, Londres, 1962.
FERRER, Patricio y FUENTES, Ramón Determinación del coeficiente de Boussinesq
para un canal colector Memorias del V Congreso Latinoamericano de Hidráulica, Lima,
1972.
FRANKE, P. G. Abfluss über Wehre und Überfälle Technische Hochschule München
Bauverlag Wiesbaden und Berlin, 1970.
FUENTES, Ramón Escurrimientos reales e imaginarios en canales: paradojas y falacias
en el cálculo de curvas de remanso Anales de la Universidad de Chile, Quinta serie N° 8,
agosto 1985.
GANDOLFO, J. S. Altura crítica en los escurrimientos superficiales La Plata, 1944.
GILES, Ronald V. Theory and problems of Hydraulics and Fluid Mechanics Colección
Schaum, New York, 1956.
HENDERSON, F. M. Open Channel Flow The Macmillan Company, U. S. A., 1966.
HUGUES, W. F. y BRIGHTON, J. A. Theory and problems of Fluid Dynamics Colección
Schaum, New York, 1967.

510
LEVI, Enzo Mecánica de los fluidos Universidad Nacional Autónoma de México, 1965.
LOPARDO, R. A. y VERNET, G. F. Ondas aguas abajo de disipadores a resalto VII
Congreso Latinoamericano de Hidráulica, Quito, 1978.
MOTT ROBERT, L. Mecánica de fluidos aplicada Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana,
S. A., México, 1996.
NEKRASOV, B. Hidráulica Editorial MIR, Moscú, 1968.
NEKRASOV, FABRICANT y KOCHERGUIN Problemas de Hidráulica Editorial MIR 1972.
PARADISE, R. S. Problems in Hydraulics Blackie & Son Limited, Londres, 1964.
PAPASOV, Radoy y BOTCHEVA, Mario Les coefficients de Coriolis et Boussinesq
concernant les rivieres et les processus aux lits fluviaux Proceedings 15 Congreso de
la I. A. H. R. Vol 1, 1973.
ROUSE, Hunter, Fluid mechanics for hydraulic engineers Dover Publications, Inc. New
York, 1961.
ROUSE, Hunter Hidráulica Editorial Dossat, S.A., 1951.
ROUSE, Hunter e INCE, Simon History of Hydraulics Dover Publications, Inc. New York.
RUBIO SAN JUAN, I Elementos de Hidráulica General y Aplicada Editorial Labor S. A.,
1960.
RUSSELL, George E. Hydraulics Henry Holt and Company, New York, 1945.
SHAPIRO, Ascher H. Shape and Flow Heinemann, 1961.
SCHLAG, Alberto Hidráulica Editorial Limusa - Willey, S.A. México, 1966.
SOTELO, Gilberto Hidráulica General Volumen 1 Editorial Limusa, S.A. México, 1974.
STREETER, Víctor L. Mecánica de Fluidos Mc Graw-Hill, 2000.
STRAUSS, V. The kinetic energy correction factor and the momentum factor in open
channels Proceeding 12 Congreso de la I. A. H. R., 1967.

511
THIJSSE, Th Lecture Notes Discharge Formulae Delft, Holanda, 1964.
TIETJENS, O. G. Applied Hydro - and Aeromechanics Dover Publications Inc. New
York, 1934. (basado en las lecciones de Prandtl).
VEN TE CHOW Open-channel hydraulics Mc Graw-Hill Book Company, 1959.
VENNARD, John K. Elementos de la mecánica de los fluidos Compañía Editorial
Continental S.A., México, 1966
VARLET, Henri Usines de Derivation Tome I Ediciones Eyrolles, Paris, 1958.
WECHMANN, Artur Hydraulik VEB Verlag für Bauwesen, Berlin, 1966.
WEYRAUCH, R. Hydraulisches Rechnen Stuttgart, 1912.

512
ARTURO ROCHA FELICES
PUBLICACIONES
LIBROS
- Introducción a la Hidráulica Fluvial, publicado por la Facultad de Ingeniería
Civil de la Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, 1998.
- Agua para Lima en el Siglo XXI, publicado por el Consejo Departamental de
Lima del Colegio de Ingenieros del Perú, junio, 1996.
- Recursos Hidráulicos, publicado por el Colegio de Ingenieros del Perú, Capítulo
de Ingeniería Civil. Colección del Ingeniero Civil (Libro 16), Lima, 1993.
- Seminario: Diseño de Presas de Tierra, con otros autores. Capítulo
correspondiente a Sedimentación dentro del Embalse, publicado por el Comité
Peruano de Grandes Presas, Lima, 1993.
- Transporte de Sedimentos Aplicado al Diseño de Estructuras Hidráulicas,
publicado por el Colegio de Ingenieros del Perú, Capítulo de Ingeniería Civil.
Colección del Ingeniero Civil (Libro 1), Lima, 1990.
- Wasserableitungen aus Flüssen mit Sedimentbewegung, tesis doctoral.
Universidad de Hannover. Memorias del Instituto Franzius, Hannover, Volumen
35, 1970.
- Transporte de Sedimentos, coautor, publicado por el Departamento de
Hidráulica e Hidrología, Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, 1969.
FOLLETOS
- Curso Corto sobre Sedimentos, publicado con ocasión del curso organizado
por el Instituto Interamericano de Ciencias Agrícolas (IICA), Buenos Aires, 1978.
- Introducción Teórica al Estudio de Bocatomas. Lima, 1978.
- Control de Avenidas, publicado por la Dirección General de Aguas con ocasión
del Segundo Curso Nacional sobre Operación, Conservación y Desarrollo de
Distritos de Riego, Lima, 1973.
- Modelos Fluviales de Lecho Móvil, publicado como Boletín Técnico 4-007
por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, Lima, noviembre de 1966.
- Selección de Escalas para un Modelo de Lecho Móvil por medio de la
Computación Electrónica, ponencia presentada al II Congreso Latinoamericano
de Hidráulica (Caracas, 1966) y publicada en las Memorias del Congreso y
reproducida como Boletín Técnico 4-006, por el Laboratorio Nacional de
Hidráulica, Lima, agosto de 1966.

513
- Sobre la Influencia de la Aceleración Complementaria de Coriolis en los
Modelos Hidráulicos, publicado como Boletín Técnico 4-003, por el Laboratorio
Nacional de Hidráulica, Lima, febrero de 1966.
- Consideraciones Generales sobre los Modelos Hidráulicos, publicado como
Boletín Técnico 4-002, por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, Lima, diciembre
de 1965.
- Incorporador de Sedimentos a un Modelo de Lecho Móvil, publicado como
Boletín Técnico 4-001, por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, Lima, noviembre
de 1965.
PONENCIAS EN EVENTOS INTERNACIONALES
- La problemática de la sedimentación de embalses en el aprovechamiento
de los ríos peruanos, aplicada al embalse de Poechos. Primer Congreso
Internacional de Hidráulica, Hidrología, Saneamiento y Medio Ambiente, HIDRO
2006. Lima, 2006.
- Aspectos sedimentológicos del Manejo de Cuencas en zonas áridas
sujetas al Fenómeno de El Niño. II Simposio Latinoamericano de Control de
la Erosión. Lima 2004.
- Las Grandes Obras de Riego en la Costa Peruana, ponencia presentada al
I Encuentro de las Ingenierías Civiles Iberoamericanas, publicada en las
Memorias, Cáceres, España, mayo, 1992.
- Problemática de la Sedimentación en los Proyectos de Irrigación, ponencia
presentada al VII Seminario Latinoamericano de Riego y Drenaje (Santiago de
Chile, diciembre 1983), publicada en las Memorias del Seminario y reproducida
en la revista El Ingeniero Civil, Nº 46, Ene-Feb. 1987.
- Parámetros Descriptivos de la Distribución de Sólidos en una Bifurcación,
publicada en las Memorias Post Congreso del V Congreso Latinoamericano de
Hidráulica, Lima, 1972.
- Discurso Inaugural del V Congreso Latinoamericano de Hidráulica,
publicado en las Memorias del Congreso, Lima, 1972.
- Distribution de Materiel Solide dans le Bifurcations des lits alluvionnaires,
ponencia presentada al XIV Congreso Mundial de la Asociación Internacional de
Investigaciones Hidráulicas (I.A.H.R.), publicada en las Memorias del Congreso,
París, 1971.
- Sobre la Determinación del Coeficiente de Rizos, coautor, ponencia
presentada al III Congreso Latinoamericano de Hidráulica (Buenos Aires, 1968),
publicada en las Memorias del Congreso y reproducida como Boletín Técnico 4-
009, por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, enero de 1969.

514
PONENCIAS EN EVENTOS NACIONALES
- El dinamismo fluvial y la seguridad de las obras viales frente a eventos
hidrometeorológicos extremos: Meganiños y sequías.V Congreso «Obras
de Infraestructura Vial» I. C. G. Julio, 2006.
- La inundación de Zaña de 1720. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil.
Iquitos, 2003.
- Aspectos sedimentológicos del manejo de cuencas en zonas áridas sujetas
al Fenómeno de El Niño. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos,
2003.
- Caracterización hidrometeorológica de los Meganiños en la costa norte
peruana. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003 y reproducido
en la revista El Ingeniero Civil N° 135 Set.-Oct. 2004.
- El Riesgo Sedimentológico (E.R.S.) en los proyectos de embalse. XI
Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003.
- Consideraciones de diseño de estructuras hidráulicas sujetas al Fenómeno
de El Niño. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003 y reproducido
en la revista COSTOS Año 09 Edición 118 Enero 2004.
- Algunas reflexiones sobre la formación del ingeniero civil. XI Congreso
Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003.
- Interacción del comportamiento fluvial y las obras viales durante el
Fenómeno de El Niño. II Congreso Nacional de Obras de Infraestructura Vial.
ICG. Lima, 2003.
- Los modelos como herramienta valiosa para el diseño hidráulico.
Conferencia dictada en el ciclo organizado por el Laboratorio Nacional de
Hidráulica y publicada en las Memorias. Febrero 2003.
- El Impacto del Fenómeno de El Niño en las Estructuras Hidráulicas,
conferencia dictada en el I Foro Regional de Ingeniería Civil del Norte Peruano,
publicada en El Ingeniero Civil N° 116, mayo-junio del 2000.
- Bases para la Formación del Ingeniero Civil del Futuro, ponencia presentada
al X Congreso Nacional de Ingeniería Civil, con otros autores, publicada en El
Ingeniero Civil, Nº 94, Ene-Feb. 1995.
- El Desarrollo de la Región Grau y el Convenio Peruano-Ecuatoriano de
Aprovechamiento Hidrográfico Conjunto, ponencia presentada al VIII
Congreso Nacional de Ingeniería Civil (setiembre, 1990), publicada en las
Memorias del Congreso y reproducida en la revista El Ingeniero Civil, Nº 69,
Nov-Dic. 1990.
- ¿Qué pasa con los Grandes Proyectos de Irrigación de la Costa Peruana?,
ponencia presentada al Fórum Ingeniería Civil para el Desarrollo Nacional.
Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Nacional de Ingeniería, marzo, 1987
Revista El Civil, N° 3 Agosto, 1988.
- Los Recursos Naturales en la Constitución Política del Perú, ponencia
presentada al VI Congreso Nacional de Ingeniería Civil (1986) y expuesta en el
Fórum Los Recursos Naturales y la Ingeniería en el Desarrollo del País,
organizado por el Colegio de Ingenieros del Perú, abril, 1985.

515
- Sedimentación Acelerada de Embalses, ponencia presentada al IV Congreso
Nacional de Ingeniería Civil (noviembre 1982), publicada en las Memorias del
Congreso y reproducida en la revista El Ingeniero Civil, Nº 25, Jul-Ago. 1983.
- Algunos Aspectos de la Erosión, Transporte y Control de Sedimentos en
el Río Amarillo (China), Aplicables a la Realidad Peruana, ponencia
presentada al II Congreso Nacional de Ingeniería (marzo, 1981), publicada en
las Memorias del Congreso y reproducida por la revista Ingeniería, Nº 12, del
Colegio de Ingenieros del Perú (mayo, 1982).
- El problema de los sedimentos en los ríos peruanos. II Congreso Nacional
de Ingeniería Civil, Arequipa 1978.
- Aspectos Hidráulicos del Control de Avenidas, Simposium Deslizamientos
(Huaicos) e Inundaciones, Colegio de Ingenieros del Perú, Lima, 1972.
ARTICULOS EN REVISTAS
- La costa norte peruana y su vulnerabilidad frente al Fenómeno de El Niño.
Revista Técnica del Capítulo de Ingeniería Civil del Colegio de Ingenieros del
Perú-CDL, Año 8 N° 29, 2006.
- Análisis del comportamiento de los sólidos en una bifurcación. Revista
Técnica de la Facultad de Ingeniería Civil, UNI, Año 2, N° 3- Noviembre 2005.
- La bocatoma, estructura clave en un proyecto de aprovechamiento
hidráulico. Revista Técnica de la Facultad de Ingeniería Civil, UNI, Año 01, N° 2,
Noviembre 2005.
- La Ingeniería frente al Fenómeno de El Niño, Revista Técnica de la Facultad
de Ingeniería Civil, UNI, Año 01, N° 3, 2003.
- El Meganiño de 1578 Revista Técnica del Capítulo de Ingeniería Civil del Colegio
de Ingenieros del Perú-CDL, Año 6-N° 28, 2002.
- El agua, recurso vital propiedad de todos, Revista Técnica del Capítulo de
Ingeniería Civil del Colegio de Ingenieros del Perú-CDL, Año 6 N° 27, 2002.
- El impacto del Fenómeno de El Niño en las estructuras hidráulicas, I Foro
Regional de Ingeniería Civil del Norte Peruano, Colegio de Ingenieros del Perú.
Publicado en la revista El Ingeniero Civil, Nº 116, May-Jun. 2000.
- Ingeniería y Recursos Hidráulicos, publicado en el Boletín N°1 de la Academia
Peruana de Ingeniería, enero del 2000.
- Como se aprende en Hidráulica, publicado en la revista Presas y Reservorios,
órgano del Comité Peruano de Grandes Presas. Año 3, N° 003, diciembre 1996.
- Agua para Lima el año 2025, publicado en la revista El Ingeniero Civil, Nº 103,
Jul-Ago. 1996.
- La explosión demográfica, publicado en la revista El Ingeniero de Lima, órgano
del Consejo Departamental de Lima del Colegio de Ingenieros del Perú, año 3
N° 8, julio 1996.
- Regularización y Control de Ríos, publicado en El Ingeniero Civil, Nº 95, Mar-
Abr. 1995.

516
- Aguas e Irrigación, publicado en El Ingeniero Civil, Nº 90, May-Jun. 1994.
- Algunas Reflexiones sobre el Censo del 11 de julio de 1993, publicado en
El Ingeniero Civil, Nº 88, Ene-Feb. 1994.
- El Hombre y el Agua, publicado en El Ingeniero Civil, Nº 85, Jul-Ago. 1993.
- Editorial, Comité Peruano de Grandes Presas, Boletín Nº 2. Lima, 1992.
- El Desembalse de Poechos, publicado en El Ingeniero Civil, Nº 81, Nov-Dic.
1992.
- I Encuentro de las Ingenierías Civiles Iberoamericanas, publicado en la
revista del Capítulo de Ingeniería Civil del Colegio de Ingenieros del Perú, Consejo
Departamental de Lima, Nº 7, Set-Oct. 1992.
- Puyango-Tumbes Veinte Años Después, publicado en El Ingeniero Civil, Nº
79, Jul-Ago 1992 y, Nº 80, Set-Oct. 1992.
- La Sedimentación de Poechos, publicado en El Ingeniero Civil, Nº 77, Mar-
Abr. 1992.
- Las Grandes Irrigaciones de la Costa Peruana, publicado en El Ingeniero
Civil, Nº 76, Ene-Feb. 1992.
- Los Modelos y su Importancia para el Diseño de Estructuras Hidráulicas,
publicado en El Ingeniero Civil, Nº 74, Set-Oct. 1991.
- Agua para la Costa Peruana, publicado en la revista Edificando, Nº 2,
Universidad Nacional de Ingeniería, Abr-May. 1991.
- Una Mesa Redonda sobre Bocatomas, VII Congreso Latinoamericano de
Hidráulica, Santiago de Chile, 1976. Reproducido en El Ingeniero Civil, Nº 71,
Mar-Abr. 1991.
- Consideraciones sobre algunos Aspectos Sedimentológicos de los
Proyectos Hidráulicos, publicado en El Ingeniero Civil, Nº 53, Mar-Abr. 1988.
- Modelos Hidráulicos: Realidad y Fantasía, publicado en los Anales de la
Universidad de Chile, Quinta serie, Nº 8, agosto, 1985, por el Comité «Estudios
en Honor de Francisco Javier Domínguez Solar», Santiago de Chile y reproducido
en la revista El Ingeniero Civil, Nº 50, Set-Oct. 1987.
- La Chimenea de Equilibrio de la Central Hidroeléctrica Charcani V, con
otros autores, publicado en El Ingeniero Civil, Nº 42, May-Jun. 1986.

Capitulo 9 vertederos

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Capitulo 9 vertederos

Similar a Capitulo 9 vertederos (20)

Último

Último (20)

Capitulo 9 vertederos