estudio de casos

1. I N F O R M E D E L E C T U R A Nº 5
- CASO: ¿Con cuántos decimales debo aproximar? O el principio de la Tetera
- AUTOR DEL ANALISIS: Robinson Ignacio De La Fuente Loyola
- RAMO: Taller de estudio de casos
I N T R O D U C C I Ó N
En enseñanza de la aproximación de diversas cifras se debe siempre tener en cuenta muchas
variantes si se enseñara a truncar una cifra, a redondear una cifra y ver a cuantos decimales se
desea hacer dicha aproximación, pero al momento de realizar dichas aproximaciones hay que tener
en cuenta cual es el error que tendrá dicha aproximación ya nos puede llevar a inducir errores más
grandes si no se tiene en cuenta cómo se van propagando los errores en el transcurso del desarrollo
de las actividades.
R E S U M E N
Bernardo es un profesor de matemáticas de mediana edad, lleva unos 15 años haciendo
clases en varios colegios, él siempre ha tenido buenos resultados con sus alumnos. En la
universidad siempre tomo los curos electivos matemáticos y no los didácticos como lo hacían la
mayoría de sus compañeros. Posteriormente tras años de trabajo en los colegios se ha dado cuenta
que su formación es mucho mejor que las de varios de sus colegas. Este año les ara clases a los
terceros y a cuartos medios en general no les agrada muchos hacer clases a los cuartos medios ya q
ellos están más preocupados por la PSU y giras de estudios, por lo cual que decide poner todo su
esfuerzo y profesionalismo en los alumnos de tercero medio.
En tercero medio, según el programa del colegio, es necesario ver el tema de “comparación
y estimación de raíces” el cual está inserto en la unidad de algebra y funciones. Bernardo encuentra
muy complicado hacer interesar a sus alumnos en este tema siendo que es mucho más fácil calcular
raíces por medio de una calculadora de bolcillo.
Posterior mente pide consejo a Claudia de cómo impartir este tipo de materia la cual ella le
da una serie de consejos, Bernardo imparte sus clases dando a conocer diversos métodos de cómo
afrontar este tipos de materia de aproximaciones de raíces haciendo uso de diversos métodos como
utilizar las diversas propiedades que tienen las raíces, conocer aproximaciones ya calculadas de
raice4s elementales etc. En el transcurso de sus clases se le hacer una alumna el cual le muestra un
ejercicio de una olimpiada de matemáticas el cual pedía aproximar una cifra al entero más cercano
el cual al momento de desarrollarlo da un resultado erróneo utilizando su método, es aquí donde
surge el corazón de este caso, en analizar cómo se debe enseñar este tipo de materias sin inducir
errores en los resultados obtenidos.

2. O B J E T I V O S D E L C A S O
- Discutir sobre la aproximación numérica
- Utilización de las propiedades de las raíces en la aproximación de tales.
- Analizar la operatoria en el error.
- Enseñanza de las aproximaciones.
C O N F L I C T O
- La propagación de error en la operatoria de las raíces
- De qué manera se realiza una mejor aproximación de una raíz
- Cuál es la manera correcta de aproximar un problema matemático sin caer en un error muy
grande
A N Á L I S IS D E L O S A S P E C T O S M A T E M Á T I C O S
Las aproximaciones como lo dice su nombre es un valor cercano al original el cual trata de
representar una cifra, pero que sucede cuando ese pequeño error se va acumulando con otros
errores, de aquí surge el problema de que tiene Bernardo al momento de analizar 87(15 −
√224, que el momento de realizar las diversas operaciones no toman en cuenta los diversos
errores en sus aproximaciones lo que los lleva a obtener un resultado equivocado a lo llamamos
la propagación del error en un problema matemático
A N Á L I S IS D E L O S A S P E C T O S D I DÁ C T I C O S
Didácticamente podemos apreciar un gran error del profesor Bernardo el cual es no enseñarle a
importancia que tiene el error al trabajar con aproximaciones y que influencia tienen al momento de
hacer operaciones y cómo podemos pasar un pequeño error a un gran error de una operación a otra.
Todo esto se ve también reflejado en los diversos textos escolares de educación media ya que
dichos textos no tocan de forma precisa ese tipo de temáticas olvidando por completo los que
sucede con los errores en las aproximaciones
A N Á L I S IS D E L O S A S P E C T O S E V A L U A T I V O S
En el caso no hay aspectos evaluativos ya que el profesor Bernardo en ningún momento del caso
evalúa los conocimientos de los alumnos en las aproximaciones de raíces si no que solo podemos
apreciar como el enseña y la temática de conflicto que existe en el caso.

3. P R O P U E S T A M A T E M Á T I C A
El Objetivo fundamental de la propuesta será como enseñar a aproximar una raíz .
¿Cuál es la definición de aproximación?
Aproximación es una representación inexacta que, sin embargo, es suficientemente fiel como para
ser útil.
¿Qué es el error en la aproximación?
El error de aproximación o error numérico es una medida del ajuste o cálculo de una magnitud
con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspecto importante de los errores
de aproximación es su estabilidad numérica. Dicha estabilidad se refiere a cómo dentro de un
algoritmo de análisis numérico el error de aproximación es propagado dentro del propio algoritmo.
Método de obtención de raíces por aproximaciones
“Extracción de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas”.
Supongamos que necesitamos obtener la raíz cuadrada de 28. Sabemos que la raíz cuadrada de este
número está entre 5 y 6, en efecto:52 = 25 < 28 < 36 = 62 . Elijamos un valor aproximado de
esta raíz, por ejemplo 푥1 = 5 y designemos con 푎1 al error que se comete con esta aproximación,
así:
√28 = 5 + 푎1
Para determinar el valor de 푎1 , elevemos al cuadrado los dos miembros de la igualdad
2
28 = 25 + 10푎1 + 푎1
y arreglando de manera conveniente
2 + 10푎 − 3 = 0
푎1
Hemos obtenido una ecuación cuadrática para 푎1
2 es menor que 푎1 ,
Ahora haremos la siguiente consideración: Como el error 푎1 es menor que 1, 푎1
2, esto es
hallemos entonces un valor aproximado del error 푎1 despreciando de la igualdad 푎1
10푎 + 3 = 0
De la ecuación anterior se deduce que 푎1 ≈ 0,3, luego
√28 ≈ 5 + 0,3 = 5,3
Hemos encontrado, entonces un valor “más aproximado” a la raíz cuadrada de 28, llamemos a este
valor aproximado de la raíz cuadrada 푥2 = 5,3 y repitamos el procedimiento para hallar una

4. aproximación mejor a la raíz cuadrada designando con 푎2. Al error que se comete con este valor
aproximado.
√28 = 푥2 + 푎2
Elevando al cuadrado
28 = 푥2 2
+ 2푥푎2 + 푎2 2
despreciando el término 푎2 2
por ser menor (y por lo tanto menos significativo) que 푎2
28 ≈ 푥2 2
+ 2푥2푎2
푎2 ≈
2
28 − 푥2
2푥2 2
.
La tercera aproximación a la raíz cuadrada de 28 será:
푥3 ≈ 푥2 +
28 − 푥2푥2
2
2 2
Repitiendo el procedimiento para una mejor aproximación, designando con 푎3 al error cometido
con el valor aproximado.
√28 = 푥3 + 푎3
Observa que la expresión de arriba es similar a la expresión inicial de la iteración anterior, por lo
cual, al repetir el procedimiento nos conducirá a
푎4 ≈
2
28 − 푥3
2푥3
Hemos encontrado un patrón que nos permite escribir una expresión general para cada iteración que
nos conduce a una mejor aproximación, ésta es
푎푎+1 ≈
1
2
(
28 − 푥푎2
푥푎
)
Si generalizamos más esta estrategia no sólo para hallar la raíz cuadrada de 28 sino la de cualquier
número a, la expresión de arriba se transforma en
푎푎+1 ≈
1
2
(
푎 − 푥푎2
푥푎
)
Y a través del mismo método podemos llegar a una aproximación más exacta de √224 ≈ 14,966 y
remplazando en el ejercicio que planteado 87(15 − √224) ≈ 87(15 − 14.966) = 2.958 y
aproximando la cifra entera más cercana seria 3.

5. C O N C L U S I Ó N
- En la enseñanza de las aproximaciones a los alumnos se les debe enseñar a descubrir una
técnica de aproximación, no darle directamente una receta que los lleve a la mecanización del
método
- Los libros de educación del ministerio deberían tratar de mejor manera los que es la
propagación del error al momento de enseñar los contenidos de aproximación para no caer en
errores posteriores.
- Es de suma importancia la enseñar de algunos métodos para aproximar de forma precisa raíces
para que los alumnos sean capaces de calcularla sin tener necesidad de utilizar calculadoras o
recordar algunas aproximaciones de algunas raíces inexactas elementales
B I B L I O G R A F Í A
Bradley, G., & Smith, K. (1998). Cálculo de una varible Volumen 1. Madrid: Prentice Iberia.
Universidad Autónoma de Chiapas México . (2004). Extracción de raíces cuadradas por
aproximaciones sucesivas. Recuperado el 27 de Noviembre de 2014, de APROXIMACIONES
SUCESIVAS: http://curso.unach.mx/~msolis/cintegral/Raiz_Cuadrada.htm