Este documento discute la importancia de las representaciones en el aprendizaje de las matemáticas. Explica que los conceptos matemáticos solo son accesibles a través de representaciones externas como símbolos, notaciones y figuras. Además, dominar un concepto requiere entender múltiples representaciones de él y convertir entre sistemas de representación. El uso y estudio de representaciones es fundamental para el desarrollo del pensamiento matemático.

1. Universidad Católica del Maule
Facultad de Ciencias Básicas
Pedagogía en Matemática y Computación
“REPRESENTACIONES”
Nombres: Cristian Correa Barrera
Patricia Faúndez Retamal
Sofía González Díaz
Natalia Sepúlveda Norambuena
Curso: Opp-Taller estudio de casos
Docente: Dr. María Aravena Díaz
Talca, 2 de Septiembre de 2014

2. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Representaciones.
REPRESENTACIONES
Como menciona Tamayo (2006) uno de los temas de mayor interés en la actualidad en
campos del saber tan diversos como la filosofía, las ciencias cognitivas, la semiótica y la didáctica
de las ciencias, es el de las representaciones.
Hoy en día se considera que no es posible estudiar los fenómenos relacionados con el
conocimiento sin recurrir a la noción de representación.
Las representaciones sirven a las personas tanto como estímulos para los sentidos en los
procesos de construcción de nuevas estructuras mentales, como para la comunicación a otros, y la
objetivación o validación hacia sí mismo de comprensiones (imágenes mentales y concepciones).
(Bressan)
Una escritura, una notación, un símbolo representando un objeto matemático, las figuras
geométricas,... son ejemplos de representaciones (Kaput, 1987). Si los conceptos matemáticos
fueran directamente accesibles a través de experiencias realizadas con los objetos “físicos”, el
riesgo de confusión sería despreciable. Pero eso no es lo que ocurre, los conceptos son objetos
mentales, necesitamos utilizar medios que sean audibles o visibles. Únicamente son accesibles
directamente las representaciones semióticas (constituidas por el empleo de signos, son
representaciones externas que se diferencian de las representaciones internas).
Las representaciones semióticas hacen referencia a todas aquellas construcciones de
sistemas de expresión y representación que pueden incluir diferentes sistemas de escritura, como
números, notaciones simbólicas, representaciones tridimensionales, gráficas, redes, diagramas,
esquemas, etc. (Tamayo, 2006). Cumplen funciones de comunicación, expresión, objetivación y
tratamiento. Son un medio del cual dispone un individuo para exteriorizar sus representaciones
mentales, es decir, para hacerlas visibles o accesibles a los demás. Además de sus funciones de
comunicación, las representaciones semióticas son necesarias para el desarrollo de la propia
actividad matemática. La posibilidad de efectuar tratamientos (operaciones, cálculos) sobre los
objetos matemáticos depende directamente del sistema de representación semiótico utilizado.
La distinción entre representaciones internas y representaciones externas es una distinción
clásica de la epistemología. Las primeras se refieren a representaciones como contenido mental, al
que se le asigna un sentido subjetivo y personal. Las segundas se refieren a todas las
organizaciones de signos externos, que tienen como objetivo representar externamente una cierta
realidad matemática (Dufour-Janvier, Bednarz y Belanger, 1987).

3. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Representaciones.
Generalmente, se da mayor importancia a las representaciones internas que a las
representaciones externas. Frecuentemente se considera a las representaciones semióticas como el
medio de exteriorizar las representaciones internas para fines de comunicación, es decir, para
hacerlas visibles o accesibles a otros. Pero según Duval (1993), eso es olvidar: − que el desarrollo
de las representaciones internas no puede separarse de la interiorización de las representaciones
semióticas, − que las representaciones semióticas no cumplen únicamente una función de
expresión (para otros), cumplen una función de objetivación (para sí) y también una función de
tratamiento (que no pueden cumplir las representaciones internas), − que algunas actividades de
tratamiento están directamente ligadas a la utilización de sistemas semióticos, − que las
representaciones semióticas muestran sistemas de signos diferentes.
Castro y Castro (1997), mencionan el tema de la pluralidad de sistemas de representación
para un mismo concepto dando el siguiente ejemplo para la idea de un medio, la cual puede
representarse bajo diferentes formas:
Cada uno de estos sistemas de representación destaca alguna propiedad importante del
concepto presentado y dificulta la comprensión de otras propiedades:
- dos partes iguales.
- idea de cociente asociada a la fracción.
- la igualdad de las partes en que se ha dividido el todo.
- que se toma el valor 100 como unidad.
- que la mitad está marcada por un punto equidistante de 0 y 1 en la línea numérica (distancias o
longitudes)
- que se toman dos de cuatro unidades (razón).
Duval (1993), identifica una actividad ligada a la producción de representaciones, y otra
ligada a la aprehensión conceptual de los objetos matemáticos representados. Llama semiosis al
primer tipo de actividad y noesis a la aprehensión conceptual de un objeto. Según Duval, para que
un sistema semiótico sea un sistema de representación, debe permitir la realización de las tres
actividades siguientes:

4. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Representaciones.
1. La identificación de la presencia de una representación. Implica una selección de rasgos en
el contenido a representar. Por ejemplo, el enunciado de una frase, diseño de una figura
geométrica, elaboración de un esquema, escritura de una fórmula, etc.
2. El tratamiento de una representación. Es la transformación de una representación en otra del
mismo sistema. Es una transformación interna a un sistema. El cálculo es una forma de
tratamiento propia de las escrituras simbólicas, la reconstrucción de figuras es un tipo de
tratamiento de las figuras geométricas, etc.
3. La conversión de una representación. Es la transformación de esta representación en una
representación de otro sistema conservando la totalidad o sólo una parte del contenido de la
representación inicial. La conversión es una transformación externa del sistema de partida. Por
ejemplo, la descripción es la conversión de una representación no verbal (esquema, figura, grafía)
en una representación lingüística.
Ejemplo:

5. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Representaciones.
La conversión es una transformación diferente de la del tratamiento, esto puede ser
observado en una situación muy habitual, por ejemplo en cálculo: los alumnos pueden efectuar
muy bien la suma de dos números con su escritura decimal y con su escritura fraccionaria, y de
ninguna forma pensar en convertir una en la otra o aún fracasar en esta conversión. Los
porcentajes, las fracciones y los números decimales son representaciones distintas de los números
racionales, el tratamiento en cada uno de estos sistemas es distinto.
Si bien para efectos de la comunicación, de tipo general, puede ser suficiente el uso de un
sistema de representación, como el lenguaje natural (oral o escrito) –sin negar la utilidad que
pueda tener el usar otro sistema de representación (icónico, gráfico, tabular, etc.) para destacar
propiedades diferentes de un mismo objeto–; para el caso de las matemáticas, Duval reconoce que
el uso de más de un sistema de representación y la posibilidad de realizar transformaciones entre
los diferentes sistemas resulta ser “una exigencia cognitiva necesaria y fundamental”; más aún,
plantea explícitamente que “estos sistemas [semióticos...] son tan necesarios para el desarrollo del
pensamiento matemático como la innovación y el perfeccionamiento de instrumentos de óptica o
de medida en otras disciplinas científicas. La mediación semiótica es tan indispensable en
matemáticas como la mediación instrumental para la observación de los fenómenos”.
Dominar un concepto matemático consiste en conocer sus principales representaciones, el
significado de cada una de ellas, así como operar con las reglas internas de cada sistema; también
consiste en convertir o traducir unas representaciones en otras, detectando qué sistema es más
ventajoso para trabajar con determinadas propiedades. Este conocimiento proporciona el dominio
formal de cada estructura conceptual.
Castro y Castro (1997) separan representación de modelo. Al interior de la matemática
dicen que se usan distintas representaciones (gráficas y simbólicas) y, cuando se usa la matemática
para explicar algo no matemático, se habla de modelos matemáticos (a este proceso se lo
denomina modelización).
Rico (1999) expresa que para mostrar comprensión de un concepto se debe poder
expresarlo en por lo menos, dos formas distintas de representación (esto se aproxima a lo
expresado por Douady (1995) acerca de que un problema es bueno si se puede formular en dos
marcos diferentes teniendo cada uno su sintaxis, su lenguaje y cuyos significados constituyentes
forman parte, parcialmente, del campo de conocimiento del estudiante.

6. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Representaciones.
Profundizando en las ideas anteriormente dichas, puede concluirse que para el aprendizaje
de las matemáticas el uso, el estudio y la comprensión de los sistemas de representación son
imprescindibles, entre otras razones, porque:
a) Los objetos matemáticos están dispuestos en una gran variedad de registros.
b) La naturaleza de los objetos matemáticos hace que la manera de acceder a ellos sea vía la
representación.
c) La representación en un sistema hace “visible” unas características del objeto y no otras; así
que, entre más sistemas de representación “coordinados” tenga un sujeto, su conocimiento del
objeto matemático será más potente y más complejo.
El progreso de los conocimientos matemáticos se acompaña siempre de la creación y del
desarrollo de sistemas semióticos nuevos y específicos que más o menos coexisten con el de la
lengua natural.

7. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Representaciones.
Referencias Bibliográficas:
I. TAMAYO ÁLZATE, OSCAR EUGENIO, “Representaciones semióticas y evolución
conceptual de la enseñanza de las ciencias y las matemáticas”, Revista Educación y
Pedagogía, Medellín, Universidad de Antioquia, Facultad de Educación, vol. XVIII, núm. 45
(mayo-agosto), 2006, pp. 37-49. Distribución en Internet:
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/revistas/index.php/revistaeyp/article/viewFile/6085/5491
II. M. CARMEN PENALVA; GERMÁN TORREGROSA. “Representación y aprendizaje de las
matemáticas”. Distribución en Internet:
http://www.cimm.ucr.ac.cr/ciaem/articulos/universitario/aprendizaje/Representaci%C3%B3n
%20y%20aprendizaje%20de%20las%20matem%C3%A1ticas*Penalva,%20C%3B
%20Torrregrosa,%20G.%20*Penalva,%20C_%20Torrregrosa,%20G.%20Representaci
%C3%B3n%20y%20aprendizaje%20de%20.pdf
III. ANA BRESSAN.: “Representaciones y modelos en la matemática realista”. Distribución en
Internet: http://www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/representaciones_ymodelos.pdf
IV. PEDRO JAVIER ROJAS G. “Sistemas de representación y aprendizaje de las matemáticas”.
Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 12,
No 1. Agosto − Febrero 2012. Distribución en Internet: http://www.tec-digital.
itcr.ac.cr/revistamatematica/Secciones/Didactica_y_Software/P_Rojas_V12N1_2011/P_Rojas_
V12N1_2011.pdf