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Razonamiento Lógico y Matemático
para ingresar a la U
(Tareasplus)
Joshua Medina
1101
Módulos 1-4.

Lección 1(DEFINICIÓN DE CONJUNTO Y CÓMO SE EXPRESAN
POR COMPRENSIÓN Y EXTENSIÓN)
• En este tutorial se ilustra el
concepto de "conjuntos" y se
presentan las formas
matemáticas en que se
expresan normalmente los
conjuntos, las cuales son por
"comprensión" y por
"extensión". Se indica la
forma en que se nombra un
conjunto, mediante letras
mayúsculas. Cada uno de los
conjuntos de los ejemplos
ilustrados, se expresan
respectivamente, de acuerdo
con las formas de expresión
de conjuntos, tanto por
"comprensión" como por
"extensión".

Lección 2 (CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS EN
UNIVERSAL, UNITARIO, VACÍO Y SUBCONJUNTO)
Se explican los tipos de
conjuntos, de acuerdo a su
clasificación como conjuntos:
universal, unitario, vacío y
subconjunto. Se presentan
algunos ejemplos de conjuntos
nombrados y expresados por
extensión, y se solicita indicar a
qué tipo de conjunto pertenecen
de acuerdo a la clasificación
indicada.

Lección 3 (OPERACIONES DE UNIÓN, INTERSECCIÓN
Y COMPLEMENTO ENTRE CONJUNTOS)
Se explican las operaciones entre
conjuntos, las cuales son "unión,
"intersección" y "complemento". Se
ilustran los símbolos utilizados para
describir las operaciones entre
conjuntos. Se describe como ejemplo
el conjunto universal de las vocales,
para el cual se definen dos conjuntos,
el primero conformado por las vocales
"a", "e" e "i", y el segundo por las
vocales "e" y "o". Se presentan las
operaciones de unión e intersección
para los dos conjuntos señalados y se
obtienen los conjuntos
complementarios para cada uno de
ellos. Se introduce el concepto de
conjuntos disyuntos.

Lección 4 (DIAGRAMA DE VENN Y SU RELACIÓN
CON LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS)
El Diagrama de Venn es
para el análisis de las
características de conjuntos,
las cuales están relacionadas
con las operaciones de
unión, intersección y
complemento entre
conjuntos.
Se desarrolla un ejemplo en
el cual se solicita determinar
el resultado de las
operaciones de unión y de
intersección, entre tres
conjuntos ilustrados
mediante un "Diagrama de
Venn".

Lección 5 (CONJUNTOS NUMÉRICOS: NATURALES,
ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES. PARTE 1)
Se describen los
Conjuntos Numéricos.
Específicamente, se
describen los conjuntos de
los Números Naturales, los
Números Enteros, los
Números Racionales y los
Números Irracionales, y se
explica la forma en que se
concibieron y
estructuraron dentro de la
teoría matemática.

Lección 6 (CONJUNTOS NUMÉRICOS: NATURALES,
ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES. PARTE 2)
Se resuelve un ejemplo en el
cual se tienen varios tipos de
números diferentes y se
solicita identificar a qué
clase de conjunto ó
conjuntos numéricos
pertenece cada uno de ellos.
Es decir, se debe indicar si
los números dados
pertenecen a los conjuntos de
los números naturales, los
enteros, los racionales y/o los
irracionales. Se ilustra el
concepto de números primos
para el caso de los números
irracionales.

Lección 7 (CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS
REALES Y COMPLEJOS. PARTE 1)
Se describen los conjuntos
de los Números Reales y los
Números Complejos. Se
presenta la relación entre los
conjuntos numéricos de los
números reales y los
números complejos con los
números naturales, enteros,
racionales e irracionales. Se
define para un número
complejo, la parte real y la
parte imaginaria. Se
resuelve un ejemplo en el
cual se ilustran los
conceptos referentes a la
parte real y a la parte
imaginaria de un número
complejo.

Lección 8 (CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS
REALES Y COMPLEJOS. PARTE 2)
Se continúa con el ejemplo del
tutorial previo .Se representa el
número complejo obtenido en el
tutorial previo, empleando para
ello un sistema de coordenadas
cartesiano en dos dimensiones: en
el eje horizontal se representa la
parte real y en el eje horizontal se
representa la parte imaginaria,
ambas partes para el número
complejos considerado.
Se resuelve un nuevo ejemplo en
el cual se ilustran las operaciones
de suma, resta y multiplicación
para dos números complejos
diferentes.

Lección 9 (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN,
DIVISIÓN, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN)
Se describen las
operaciones de suma,
resta, multiplicación,
división, potenciación y
radicación, para los
números reales y las
relaciones entre dichas
operaciones. Se
presentan los conceptos
de: inverso aditivo,
inverso multiplicativo e
inverso potencial. Se
resuelven algunos
ejemplos numéricos
para ilustrar la forma en
que se realizan estas
operaciones entre
números reales.

Lección 10 (SUMA, MULTIPLICACIÓN Y
SUS PROPIEDADES)
Se ilustran las propiedades
para las operaciones de
suma y de multiplicación en
los números reales. Las
propiedades que se explican
son la conmutativa,
asociativa, distributiva y
modulativa. Se resuelven
varios ejemplos sobre la
forma como se cumplen las
propiedades consideradas
en las operaciones que se
ilustran considerando los
valores de tres números
reales diferentes.

Lección 11 (POTENCIACIÓN Y PROPIEDADES
ENTRE POTENCIAS DE IGUAL BASE)
Se ilustran las propiedades de
la potenciación en los
números reales. Las
propiedades que se explican
son: la potencia de un
producto, la potencia de una
razón (división), producto de
potencias de igual base con
distinto exponente, cociente
de dos potencias, potencia de
una potencia y potencias
inversas (exponentes
negativos). Se resuelve un
ejemplo aplicando todas las
propiedades estudiadas para la
potenciación en números
reales.

Lección 12 (RESTA, DIVISIÓN Y RADICACIÓN. PROPIEDADES A
PARTIR DE SUS OPERACIONES INVERSAS)
Se explican las propiedades de
las operaciones: resta, división
y radicación en los números
reales. Las propiedades a
estudiar son: inverso aditivo,
inverso multiplicativo e
inverso potencial. Tal
explicación se basa en la
comparación de dichas
operaciones con las
operaciones inversas
relacionadas en forma
respectiva: suma,
multiplicación y división. Se
realiza un ejemplo para cada
una de las operaciones
estudiadas relacionándolas con
su operación inversa
respectiva.

Lección 13 (RACIONALIZACIÓN Y SUS
PROPIEDADES)
Se explica paso a paso el
método por el cual evitar
que hayan radicales en un
denominador generando
las conocidas
"expresiones
irracionales". Para ello, se
muestra cómo operar con
el fin de desaparecer
radicales de los
denominadores y se
visualiza un ejemplo con
el fin de dar mas claridad.

Lección 14 (NÚMEROS PRIMOS Y EL TEOREMA FUNDAMENTAL
DE LA ARITMÉTICA EN NÚMEROS NATURALES)
Se ilustra cómo factorizar un
número en función de los
números primos; es decir,
aquellos que son divisibles
por el número uno y por sí
mismos, a partir de un
proceso de simplificación. Se
muestra cómo al realizar este
proceso entre varios números
se puede encontrar el Máximo
Común Divisor (MCD) y el
Mínimo Común Múltiplo
(MCM) entre dichos
números. Se explica de
manera conceptual lo que es
un Número Primo, la
Simplificación y el Teorema
Fundamental de la Aritmética.

Lección 15 (MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Y
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM))
Se ilustran los conceptos
del Máximo Común
Divisor (M.C.D.) y del
Mínimo Común Múltiplo
(M.C.M.); además, la
forma en que se aplican
estos conceptos en el
proceso de
Simplificación. Se
desarrollan ejemplos
aplicando los conceptos
ilustrados con Números
Enteros.

Lección 16 (MAYOR, MENOR O "IGUAL QUE" Y
TRANSITIVIDAD EN LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN)
Se explican las Relaciones
de Orden: "mayor que",
"menor que", "Igual que",
"mayor o igual que" y
"menor o igual que". Se
ilustra el concepto de
"desigualdad". Se explica la
propiedad de la
"transitividad" aplicada a
las operaciones de "suma" y
"multiplicación". Se
resuelven ejemplos
aplicando las relaciones de
orden ilustradas.
4<8<10
4<10

Lección 17 (FRACCIONES PROPIAS,
IMPROPIAS Y MIXTAS)
Se ilustra el concepto de
Número Fraccionario, la forma
en que se expresa
matemáticamente y sus
diferentes aplicaciones. Se
explica el concepto de
Numerador y de Denominador
para un Número Fraccionario,
así como las relaciones de orden
entre ellos. Se describen los
conceptos de: Fracciones
Propias, Fracciones Impropias y
Fracciones Mixtas. Se resuelven
diversos ejemplos donde se
ilustra la aplicación de los
conceptos estudiados
X y Y son reales.
X----Numerador.
Y--Denominador.

Lección 18 (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS. PARTE 1)
Se describen las
operaciones de: suma,
resta, multiplicación,
división y simplificación
en los Números
Fraccionarios. Se ilustra
la forma en que se
aplican dichas
operaciones. En la suma
se halla el MCM, en la
multiplicación es simple
y directo y en la división
se multiplica en cruz o se
usa la ley de extremos y
medios.

3 + 7 - 2=
4 5 3
(60/4)*3+(60/5)*7-(60/3)*2=
60
45+84-40 = 89
60 60

Enteros y fraccionarios:
a) 2 * 3/5= 2/1 *3/5=6/5
b) 2 / 3/5 =2/1 / 3/5=
2/1 * 5/3= 10/3

Lección 21 (PROPORCIONES Y SUS PROPIEDADES)
Se ilustran los conceptos de Razón y
Proporción (Proporcionalidad). Se
describen las principales
propiedades de las Proporciones. Se
resuelven varios ejemplos numéricos
aplicando las propiedades de las
Proporciones.
• Razón: Relación entre dos
números enteros , puede dar
como resultado entero o
racional.
• Proporcionalidad: relación entre
dos o mas razones.
Propiedades: a/b = c/d
• a*d =b*c
• a/c=b/d
• b/a=d/c
• a+b/b=c+d/d
a/b+b/b=c/d+d/d
a/b+1=c/d+1 a/b = c/d
• a+c/b+d=a/b

Lección 22 (PROPORCIONALIDAD
DIRECTA E INVERSA)
Definición concreta de Proporcionalidad. Se
presentan también los conceptos de
Proporcionalidad Directa y de Proporcionalidad
Inversa, empleando para ello los conceptos de
constante, variable dependiente e independiente,
en una ecuación. Se resuelve un ejemplo para
ilustrar una proporción directa: la expresión para
la distancia recorrida igual al producto de la
velocidad (rapidez) y el tiempo en física clásica.
Se resuelve otro ejemplo en el cual se utiliza la
ecuación de estado para gases ideales, ilustrando
como en ésta ecuación el volumen de un gas varía
de forma inversamente proporcional con la presión
del gas.
• Proporcionalidad
Sea y=f(x) donde x es una variable independiente
y Y la dependiente
Puede ser proporcional:
• Directamente: Cada vez que haya un cambio
en X, Y variara de la misma forma.
• Inversamente: Cada vez que haya un cambio
en X , Y variara de forma contraria.

Lección 23 (REGLA DE TRES SIMPLE
DIRECTA E INVERSA)
Definición de la Regla de Tres,
y su clasificación en Regla de
Tres Simple y Regla de Tres
Compuesta. Se describe
específicamente la Regla de
Tres Simple, la cual se clasifica
en Regla de Tres Simple
Directa y Regla de Tres Simple
Inversa. Se presenta la ecuación
de distancia igual a velocidad
por tiempo, para ilustra la
diferencia entre la Regla de
Tres Simple Directa e Inversa.
Regla de 3: sean x1, y1 un par
de datos iniciales y x2 un dato
final . Si Y es proporcional a X,
entonces y2 se calcula mediante
regla de 3.

Lección 24 (REGLA DE TRES
COMPUESTA)
Maq Días Metros
A 40 20 5000
B x 14 8000
X = 20 * 8000
40 14 5000
Se explica la Regla de Tres Compuesta. Para
ello, se presentan dos ejemplos detallados: el
primero, trata del cálculo del número de días
que debe trabajar un empleado relacionando el
número de días y el pago; el segundo, trata de
dos plantas de textiles, conociendo para la
primera el número de máquinas, días y metros
de tela utilizados, y se solicita calcular el
número de máquinas para la segunda planta,
conociendo el número de días y los metros de
tela utilizados.

Lección 25 (TABLAS DE FRECUENCIAS
RELATIVA Y ABSOLUTA)
Edad fi hi Fi hi%
16 16 0,314 16 31,4
17 12 0,235 28 23,5
18 15 0,294 43 29,4
19 8 0,157 51 15,7
N 51 1 100
Definen las Tablas de Frecuencias
empleadas en Estadística, se muestra
concepto de Frecuencia, Frecuencia
Relativa y Frecuencia Absoluta. Se
resuelve un ejemplo en el cual conoce
para los alumnos de último grado de
bachillerato, la Frecuencia por Edades
de los alumnos (es decir, cuántos tienen
16, 17, 18 y 19 años); se solicita en este
ejemplo, calcular la Frecuencia
Relativa y la Frecuencia Absoluta para
el conjunto de alumnos distribuidos por
edades.
Sumatoria de hi = 1

Lección 26 (DIAGRAMAS CIRCULAR Y
DE BARRAS)
Se describen los tipos de gráficos empleados
en Estadística: el Diagramas de Barras y el
Diagrama Circular, para representar las
frecuencias (relativas y/o absolutas) de un
conjunto de datos. Se resuelve un ejemplo
en el cual se conoce para los alumnos de
último grado de bachillerato, la Frecuencia
por Edades de los alumnos (es decir, cuántos
tienen 16, 17, 18 y 19 años); se solicita
calcular en este ejemplo, calcular la
Frecuencia Relativa y la Frecuencia
Absoluta para el conjunto de alumnos
distribuidos por edades, y se solicita graficar
las Frecuencias por medio de un Diagrama
de Barras y un Diagrama Circular.

Lección 27 (POLÍGONOS DE
FRECUENCIAS)
Se describen los Polígonos de
Frecuencias, utilizados también para
representar las frecuencias relativas
de un conjunto de datos, siendo muy
utilizada para conocer variaciones en
el tiempo. Se resuelve un ejemplo en
el cual se solicita representar
mediante un polígono de frecuencias,
la frecuencia relativa de la tasa de
muertes de motociclistas desde el año
2007 hasta el año 2010.
Año fi
2007 131
2008 128
2009 148
2010 142

Lección 28 (HISTOGRAMAS)
Histogramas: gráficos utilizados para
representar distribuciones de
frecuencias en los que los valores de
las variables estadísticas se presentan
agrupados. Se resuelve un ejemplo en
el cual se solicita representar
mediante un Histograma, los valores
de los Salarios Mínimos Legales
Mensuales Vigentes (SMLMV)
agrupados por intervalos de valores y
relacionados con el Porcentaje del
Trabajo efectuado.

Lección 29 (CONCEPTOS BÁSICOS DEL
ÁLGEBRA)
Definiciones de algunos de los
principales conceptos en Álgebra
Elemental, tales como: "variable",
"constante", "termino" y "expresión
algebraica". Se explican los conceptos de
"monomio", "binomio", "trinomio",
"polinomio" y de "grado de polinomio";
además, se relacionan estas últimas
definiciones con los ejemplos
anteriormente citados.

Lección 30 (SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS,
AGRUPACIÓN POR TÉRMINOS SEMEJANTES. PARTE 1)
Se describe la forma en que se pueden
aplicar las operaciones de "suma" y
"resta" con expresiones (o ecuaciones)
algebraicas; tales operaciones aplicadas
en Algebra Elemental se les conoce
como "operaciones algebraicas". Se
resuelven varios ejemplos en los cuales
se aplican estas operaciones algebraicas
y además se explica la "agrupación por
términos semejantes" (términos que
tienen igual variable elevada a la misma
potencia) en una expresión algebraica o
polinomio.
+

Lección 31 (SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS,
AGRUPACIÓN POR TÉRMINOS SEMEJANTES. PARTE 2)
Dos ejemplos en los cuales se aplican las
operaciones de "suma" y "resta" en Algebra
Elemental. Se aplica la "agrupación por
términos semejantes" (términos que tienen
igual variable elevada a la misma potencia) en
una expresión algebraica. En el primer
ejemplo, se suman dos polinomios ambos con
una sola variable denotada como "x", siendo
uno de los polinomios de grado 3 y otro de
grado 4. En el segundo ejemplo, se restan dos
polinomios ambos con términos en las
variables "x" y "y".

Lección 32 (MULTIPLICACIÓN DE
POLINOMIOS)
Multiplicación entre expresiones (o
ecuaciones) algebraicas. Se aplica la
agrupación por términos semejantes
(términos que tienen igual variable
elevada a la misma potencia). Se
resuelven dos ejemplos: en el primero,
se multiplican dos polinomios, uno de
grado dos en "x" con otro de grado uno
en "x"; en el segundo, se multiplican
dos polinomios, uno de grado tres en
las variables "x" y "y", con otro de
grado uno también en las variables "x"
y "y".

Lección 33 (DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
MÉTODO DE LA DIVISIÓN POLINOMIAL)
Se aplica la operación de la "división" entre
expresiones (o ecuaciones) algebraicas. Se
describen los términos de una división
algebraica, siendo P(x) el "dividendo", d(x) el
"divisor", Q(x) el "cociente" y r(x) el
"residuo". Se explica uno de los métodos
utilizados para la división entre expresiones
algebraicas denominado "división polinomial";
para ello, se resuelve un ejemplo en el cual se
tiene un polinomio de grado cuatro en el
numerador de una expresión dada, el cual se
divide entre un polinomio de grado uno en el
denominador; ambos polinomios están
definidos en términos de la variable "x".

MÉTODO DE LA DIVISIÓN SINTÉTICA. PARTE 1)
Se describen los términos de una división
algebraica, siendo P(x) el "dividendo", d(x) el
"divisor", Q(x) el "cociente" y r(x) el "residuo".
Se explica uno de los métodos utilizados para la
división entre expresiones algebraicas
denominado "división sintética"; para ello, se
resuelve un ejemplo en el cual se tiene un
polinomio de grado tres en el numerador de una
expresión dada, el cual se divide entre un
polinomio de grado uno en el denominador;
ambos polinomios están definidos en términos de
la variable "x".
•

MÉTODO DE LA DIVISIÓN SINTÉTICA. PARTE 2)
Se resuelve un ejemplo en el cual se
describe el Método de la División
Sintética. El ejemplo trata de un
polinomio de grados tres de una
variable para el cual se efectúan las
divisiones respecto de los valores
apropiados para expresar dicho
polinomio en términos de sus raíces
(soluciones en los reales).

Lección 36 (PRODUCTOS NOTABLES:
BINOMIO AL CUADRADO)
Se define y explica el concepto de
"productos notables". Se presentan para
ello los diferentes casos en que se pueden
aplicar los "productos notables"
explicando su utilidad a la hora de
resolver operaciones con expresiones
algebraicas de una forma menos extensa.
Se explican mediante varios ejemplos, la
"potencia con exponente dos de una suma
(y resta) de dos términos" denominada
"binomio al cuadrado"

DIFERENCIA DE CUADRADOS)
Se explica la "diferencia de cuadrados", la
cual mediante factorización equivale al
producto entre dos términos con dos variable
diferentes, siendo el primer termino igual a la
suma de dos términos denotados como "a" y
"b", en tanto que, el segundo termino es igual
a la diferencia entre los dos términos
indicados. Se resuelven varios ejemplos
referentes al uso de la "diferencia de
cuadrados" para facilitar el proceso de
resolución algebraica de expresiones extensas
en donde pueda ser aplicable.

BINOMIO AL CUBO)
Se explica mediante varios ejemplos, la
"potencia con exponente tres de una
suma (y resta) de dos términos"
denominada "binomio al cubo". Se
resuelven varios ejemplos referentes al
uso del "binomio al cubo" para facilitar
el proceso de resolución algebraica de
expresiones extensas en donde pueda
ser aplicable.

Lección 39 (BINOMIO DE NEWTON Y
TRIANGULO DE PASCAL)
Binomio de Newton ;se utiliza para expandir un
binomio a cualquier potencia. Se ilustra el
Triangulo de Pascal y su relación con el Binomio
de Newton, siendo el Triangulo de Pascal
utilizado para obtener los valores predeterminados
de los coeficientes que acompañan a la expresión
resultante, luego de haber efectuado la expansión
mediante el binomio de Newton. Se resuelve un
ejemplo donde se deben obtener los coeficientes
mediante el Triangulo de Pascal y se deben
utilizar para la expansión mediante el Binomio de
Newton.

Lección 40 (FACTOR COMÚN, TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO, SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS)
Se define el concepto de "factorización". Se explican los diferentes
"casos de factorización":
factor común;
factor común por agrupación de términos;
diferencia de cuadrados;
trinomio cuadrado perfecto;
trinomio de la forma: ax^2 + bx + c=0 ;
trinomio de la forma: x^2 + bx + c=0;
trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción;
suma y diferencia de cubos perfectos;
y, cubo perfecto de binomios.
Por último, se relacionan las estructuras de los polinomios (numero de
términos: 2, 3 y 4) con el tipo de caso que se presenta.

Lección 41 (FACTOR COMÚN (MONOMIO) Y
DIFERENCIA DE CUADRADOS)
Se describen los casos de factorización
denominados "factor común monomio" y
"diferencia de cuadrados". Se resuelve un
ejemplo en el cual se tiene una expresión
algebraica con tres variables "x", "y" y "z"
para la cual se solicita identificar las diferentes
estructuras existentes en dicha expresión
algebraica y luego factorizar, haciendo uso de
los casos de factorización expuestos en el
presente tutorial, determinando las raíces
(soluciones) de la expresión algebraica.

Lección 42 (TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN. DIFERENCIA DE CUADRADOS)
denominados "trinomio cuadrado perfecto por
adición y sustracción" y "diferencia de
cuadrados", luego de utilizar la formula
cuadrática para la posterior verificación de las
raíces (soluciones). Se resuelve un ejemplo en
el cual se tiene una expresión algebraica en
función de la variable "x" para la cual se
solicita identificar las diferentes estructuras
existentes en la expresión algebraica y luego
factorizar, utilizando los casos de factorización
expuestos en el presente tutorial, determinando
las raíces (soluciones) de la expresión
algebraica.

Lección 43 (TRINOMIO CUADRADO DE
LA FORMA AX^2+BX+C)
Se describe el caso de factorización denominado
"trinomio cuadrado de la forma ax^2+bx+c "; luego de
utilizar la formula cuadrática para la posterior
verificación de las raíces (soluciones). Se resuelve un
ejemplo en el cual se tiene una expresión algebraica en
función de la variable "x" para la cual se solicita
identificar las diferentes estructuras existentes en la
expresión algebraica y luego factorizar, utilizando el
caso de factorización expuesto en el presente tutorial,
determinando las raíces (soluciones) de la expresión
algebraica.

Lección 44 (FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN
DE TÉRMINOS Y DIFERENCIA DE CUADRADOS)
denominados "factor común por agrupación de
términos" y "diferencia de cuadrados". Se
resuelve un ejemplo en el cual se tiene una
expresión algebraica en función de las variables
"x" y "y" para la cual se solicita identificar las
diferentes estructuras existentes en la expresión
algebraica y luego factorizar, utilizando los
casos de factorización expuestos en el presente
tutorial, determinando las raíces (soluciones) de
la expresión algebraica.
= 60

Lección 45 (DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL
CUBO, DIFERENCIA DE CUBOS Y FACTOR COMÚN)
denominados "diferencia de un binomio al
cubo", "diferencia de cubos", "factor común
monomio" y "factor común polinomio". Se
resuelve un ejemplo en el cual se tiene una
expresión algebraica en función de la variable
"x" para la cual se solicita identificar las
diferentes estructuras existentes en la expresión
algebraica y luego factorizar, utilizando los
casos de factorización expuestos en el presente
tutorial, determinando las raíces (soluciones) de
la expresión algebraica.

Lección 46 (ECUACIONES DE PRIMER
GRADO CON UNA INCÓGNITA)
Conceptos de "ecuación" y de "igualdad'
en Algebra, considerando la diferencia
entre ambos conceptos de acuerdo al
concepto de "igualdad algebraica". Se
describe el primer tipo de "ecuaciones
algebraicas" ha considerar, el cual es la
"ecuación algebraica de primer grado
con una incógnita", que presenta la
forma siguiente: " a.x + b =0". Se
resuelve un ejemplo de "solución de
ecuaciones de primer grado con una
incognita", en el cual se resuelve la
expresión algebraica: 5.x -- 2 = 0.
5x+4=3x-2
5x-3x=-2-4
2x=-6
x=-6
2
X=-3

Lección 47 (ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO CON UNA INCÓGNITA)
Se describe el segundo tipo de "ecuaciones
algebraicas" ha considerar, el cual es la
"ecuación algebraica de segundo grado con
una incógnita", que presenta la forma
siguiente: " a.x^2 + b.x + c =0". Se resuelve
un ejemplo de "solución de ecuaciones de
segundo grado con una incógnita", en el
cual se resuelve la expresión algebraica:
5.x^2 - 8.x - 2 = 0 , aplicando la "ecuación
cuadrática para su solución".

Lección 48 (MÉTODO DE SUSTITUCIÓN EN SISTEMAS DE
DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS)
Se explica la forma en que se puede resolver un
"sistema de dos ecuaciones lineales (de primer
grado) de dos incógnitas con única solución", es
decir, para un valor definido de la primer variable
denotada como "x" y para la segunda variable
denotada como "y". Se explica el "método de
sustitución" para la resolución del tipo de
sistemas ilustrado. Se resuelve un ejemplo en el
cual se solicita determinar el valor de la variable
"x" y de la variable "y" para el sistema de
ecuaciones lineales que se indica a continuación: "
2.x -- 3.y = 4 " y " 3.x + y = 1 ".

Lección 49 (MÉTODO DE IGUALACIÓN EN SISTEMAS DE
Se explica la forma en que se puede resolver un "sistema
de dos ecuaciones lineales (de primer grado) de dos
incógnitas con única solución", es decir, para un valor
definido de la primer variable denotada como "x" y para
la segunda variable denotada como "y". Se explica el
"método de igualación" para la resolución del tipo de
sistemas ilustrado. Se resuelve un ejemplo en el cual se
solicita determinar el valor de la variable "x" y de la
variable "y" para el sistema de ecuaciones lineales que se
indica a continuación: " 2.x -- 3.y = 4 " y " 3.x + y = 1 ".

Lección 50 (MÉTODO DE ELIMINACIÓN EN SISTEMAS DE
"sistema de dos ecuaciones lineales (de primer
grado) de dos incógnitas con única solución", es
decir, para un valor definido de la primer variable
denotada como "x" y para la segunda variable
denotada como "y". Se explica el "método de
eliminación" para la resolución del tipo de
sistemas ilustrado. Se resuelve un ejemplo en el
cual se solicita determinar el valor de la variable
"x" y de la variable "y" para el sistema de
ecuaciones lineales que se indica a continuación: "
2.x -- 3.y = 4 " y " 3.x + y = 1 ".

Lección 51 (MÉTODO GRÁFICO EN SISTEMAS DE
"sistema de dos ecuaciones lineales (de primer grado)
de dos incógnitas con única solución", es decir, para un
valor definido de la primer variable denotada como "x"
y para la segunda variable denotada como "y". Se
explica el "método gráfico" para la resolución del tipo
de sistemas ilustrado. Se resuelve un ejemplo en el cual
se solicita determinar el valor de la variable "x" y de la
variable "y" para el sistema de ecuaciones lineales que
se indica a continuación: " 2.x -- 3.y = 4 " y " 3.x + y =
1 ".

Lección 52 (ÁNGULOS ALTERNOS
INTERNOS Y CONGRUENCIA DE ÁNGULOS)
Se describe el segundo teorema referente a
los diferentes tipos de ángulos entre rectas
paralelas y secantes. Se define, mediante
el "teorema 2", el concepto de "ángulos
alternos internos", y se ilustra
gráficamente la representación de dichos
ángulos. Se presenta la demostración de
que los "angulos alternos internos" son
"congruentes".

Lección 53 (ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS
Y CONGRUENCIA DE ÁNGULOS)
Se describe el tercer teorema referente a
los diferentes tipos de ángulos entre
rectas paralelas y secantes. Se define,
mediante el "teorema 3", el concepto de
"ángulos alternos externos", y se ilustra
gráficamente la representación de dichos
ángulos. Se presenta la demostración de
que los "ángulos alternos externos" son
"congruentes".

Lección 54 (ÁNGULOS CORRESPONDIENTES Y
CONGRUENCIA DE ÁNGULOS)
Se define, mediante el "teorema 4", el
concepto de "ángulos
correspondientes", y se ilustra
gráficamente la representación de
dichos ángulos. Se presenta la
demostración de que los "ángulos
correspondientes" son "congruentes".

Lección 55 (EJERCICIOS SOBRE
CONGRUENCIA DE ÁNGULOS. PARTE 1)
Se resuelve un ejemplo detallado sobre el tema de
congruencia de ángulos, considerando los ángulos que
se forman a partir de dos rectas paralelas y una recta
secante, esto con el propósito de ilustrar la aplicación de
cada uno de los teoremas (1 al 4) expuestos en los
tutoriales previos sobre congruencia de ángulos:
opuestos por el vértice, alternos internos, alternos
externos y correspondientes. Para este ejemplo se
conoce el valor de uno de los ángulos internos (130⁰), y
se solicita determinar los valores de los demás ángulos
formados haciendo uso de los teoremas de congruencia
y aplicando los conceptos de "ángulos
complementarios" y "ángulos suplementarios".
m(DOC)=m(AOB)
m(AOB)=m(EOD)
m(EOD)= m(FOG)

Lección 56 (EJERCICIOS SOBRE
CONGRUENCIA DE ÁNGULOS. PARTE 2)
Se resuelve un ejemplo detallado sobre el tema de
congruencia de ángulos, considerando los ángulos que se
forman a partir de dos rectas paralelas y dos rectas
secantes, esto con el propósito de ilustrar la aplicación
cada uno de los teoremas (1 al 4) expuestos en los
tutoriales previos sobre congruencia de ángulos:
opuestos por el vértice, alternos internos, alternos
externos y correspondientes. Para este ejemplo se
conoce el valor de dos de los ángulos formados (40⁰ y
110⁰), y se solicita determinar los valores de los demás
ángulos formados haciendo uso de los teoremas de
congruencia y aplicando los conceptos de "ángulos
complementarios" y "ángulos suplementarios".
m(ZCX)=m(Teta1)
m(B)=m(YCX)
m(YCX)=110°

Lección 57 (INTRODUCCIÓN A LOS
POLÍGONOS)
Clasificación de un "polígono" en: "regular" e "irregular".
Se describen algunos de los "polígonos regulares" más
conocidos: triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono,
entre otros. Se da inicio a la explicación de los triángulos.
Se ilustra la forma en que se puede clasificar un
"triangulo", ya sea según sus "lados" o también según sus
"ángulos". Se empieza el estudio de los "triángulos"
mediante la clasificación a partir de sus "lados", partiendo
del "triangulo equilátero" Se resuelve un ejemplo
referente al tema en donde también se tienen en cuenta
algunas relaciones trigonométricas.

Lección 58 (TRIÁNGULO ISÓSCELES Y SU
CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS LADOS)
"triángulo", ya sea según sus "lados" o también
según sus "ángulos". Se da continuación al estudio
de los "triángulos" mediante la clasificación a
partir de sus "lados", en este caso considerando el
"triangulo isósceles". Se resuelve un ejemplo
referente al tema, en donde, también se tienen en
cuenta algunas relaciones trigonométricas.

Lección 59 (TRIÁNGULO ESCALENO Y SU
CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS LADOS)
"triángulo", ya sea según sus "lados" o también
según sus "ángulos". Se da continuación al estudio
de los "triángulos" mediante la clasificación a partir
de sus "lados", en este caso considerando el
"triangulo escaleno" Se resuelve un ejemplo
referente al tema, en donde, también se tienen en
cuenta algunas relaciones trigonométricas.

Lección 60 (TRIÁNGULO ACUTÁNGULO Y
SU CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS ÁNGULOS)
Se ilustra la forma en que se puede clasificar un "triangulo", ya sea según sus "lados" o también
según sus "ángulos". Se da continuación al estudio de los "triángulos" mediante la clasificación a
partir de sus "ángulos", en este caso considerando el "triangulo acutángulo". Se resuelve un
ejemplo referente al tema, en donde, también se tienen en cuenta algunas relaciones
trigonométricas.
Ángulos
< 90°

Lección 61 (TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y
SU CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS ÁNGULOS)
Se da continuación al estudio de los
"triángulos" mediante la clasificación a
partir de sus "ángulos", en este caso
considerando el "triángulo rectángulo". Se
resuelve un ejemplo referente al tema, en
donde, también se tienen en cuenta
algunas relaciones trigonométricas.
TRIANGULO RECTANGULO:

Lección 62 (TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO Y SU
CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS ÁNGULOS)
Se ilustra la forma en que se puede
clasificar un "triángulo", ya sea según
sus "lados" o también según sus
"ángulos". Se da continuación al
estudio de los "triángulos" mediante la
clasificación a partir de sus "ángulos",
en este caso considerando el "triangulo
obtusángulo". Se resuelve un ejemplo
referente al tema, en donde, también se
tienen en cuenta algunas relaciones
trigonométricas.

Lección 63 (DEFINICIÓN DE CUADRILÁTERO Y
CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS)
Se ilustra el concepto de los
"cuadriláteros" y se presenta la
clasificación de los mismos de acuerdo a
sus lados paralelos, en: "trapecios" y
"paralelogramos". Se presenta la
clasificación de los "trapecios" en:
"trapecio regular" y "trapecio irregular".
Se aborda una explicación más detallada
acerca de los "trapecios regulares".

Lección 64 (TRAPEZOIDES O
TRAPECIOS IRREGULARES. PARTE 1)
Se continúa la explicación de los "cuadriláteros".
Específicamente, se consideran los "trapecios",
divididos en "trapecios regulares" y "trapezoides"
("trapecios irregulares"). En este caso, se exponen los
"trapezoides" ,se ilustra la diferencia conceptual y
grafica entre los "trapecios regulares" y los
"trapezoides". Se resuelve un ejemplo en el cual se
solicita determinar si el "trapecio" indicado en una
figura es un "trapecio regular" o un "trapezoide".

Lección 65 (TRAPEZOIDES O
TRAPECIOS IRREGULARES. PARTE 2)
Continúa la explicación del ejemplo
sobre "trapezoides" que se había
empezado en el videotutorial previo
del tema de los "trapecios". Se
ilustra la no congruencia entre los
lados opuestos (los no paralelos).

Lección 66 (EL RECTÁNGULO Y SUS
PROPIEDADES)
Se explica el concepto de
"paralelogramo", efectuando primero un
breve resumen de los temas vistos hasta
el momento. Se explica el primer tipo de
"paralelogramo" denominado
"rectángulo". Se efectúa la demostración
del cumplimiento de las propiedades de
los "rectángulos", realizando para ello un
ejemplo aplicado.

Lección 67 (EL ROMBO Y SUS
PROPIEDADES)
Se explica el concepto de
"paralelogramo", efectuando primero un
breve resumen de los temas vistos hasta
el momento. Se explica el segundo tipo
de "paralelogramo" denominado
"rombo". Se efectúa la demostración del
cumplimiento de las propiedades de los
"rombos", realizando para ello un
ejemplo aplicado.

Lección 68 (EL CUADRADO Y SUS
PROPIEDADES. PARTE 1)
Se continúa con la explicación de los
tipos de "paralelogramos", efectuando
primero un breve resumen de los temas
vistos hasta el momento. Se explica el
tercer tipo de "paralelogramo"
denominado "cuadrado". Se efectúa la
demostración del cumplimiento de las
propiedades de los "cuadrados",
realizando para ello un ejemplo aplicado.

Lección 69 (EL CUADRADO Y SUS
Se continúa con el desarrollo del ejemplo
detallado al cual se ha dado inicio en el
videotutorial previo al presente. El
ejemplo trata de la demostración que el
cuadrilátero indicado es un "cuadrado", y
continuamos en el presente tutorial
demostrando la congruencia entre sus
ángulos.

Lección 70 (EL ROMBOIDE Y SUS
Se continúa con la explicación de los tipos
de "paralelogramos", efectuando primero
un breve resumen de los temas vistos hasta
el momento. Se explica el cuarto tipo de
"paralelogramo" denominado "romboide".
Se efectúa la demostración del
cumplimiento de las propiedades de los
"romboides", realizando para ello un
ejemplo aplicado.

Lección 71 (EL ROMBOIDE Y SUS
PROPIEDADES PARTE 2)
Se continúa con el desarrollo del ejemplo
detallado al cual se ha dado inicio en el
videotutorial previo al presente. El
ejemplo trata de la demostración que el
cuadrilátero indicado es un "romboide",
y continuamos en el presente tutorial
demostrando la congruencia entre sus
ángulos.

Lección 72 (LA CIRCUNFERENCIA Y
SUS ELEMENTOS)
Se ilustra la forma en que a partir de los conceptos
ilustrados en "polígonos" se puede llegar al concepto
de "circunferencia". Se ilustran también algunos de
los elementos característicos de una circunferencia
como son: cuerda, segmento de recta que atraviesa la
circunferencia por dos puntos, radio, segmento de
recta que parte desde el origen de la circunferencia
hasta su línea limitante, ángulo central, ángulo cuyos
segmentos que lo forman parten desde el origen hasta
dos puntos distintos de la circunferencia y arco. Se
resuelve un ejemplo para el cual se solicitan los
diferentes elementos citados anteriormente para una
circunferencia de radio 2 cm (dos centímetros).

Lección 73 (PERÍMETRO Y ÁREA DE
UN RECTÁNGULO)
«Perímetro" y «Área". Para un mejor
entendimiento, se ilustra la forma en que se
puede calcular tanto el "perímetro" como el
"área" de un "rectángulo", presentando las
expresiones algebraicas utilizadas para
dicho cálculo; además, se resuelve un
ejemplo sobre el cálculo del "perímetro" y
el "área" para un "rectángulo' cuyas
medidas son 5 (cinco) unidades de largo y
3 (tres) unidades de ancho.

UN CUADRADO)
Se ilustra la forma en que se puede calcular
tanto el "perímetro" como el "área" de un
"cuadrado", presentando las expresiones
algebraicas utilizadas para dicho cálculo,
partiendo de las que se obtuvieron en el
tutorial previo para el "rectángulo"; además,
se resuelve un ejemplo sobre el cálculo del
"perímetro" y el "área" para un "cuadrado"
que presenta una medida de un lado de 3
unidades.

UN TRIÁNGULO)
Se da a continuación la explicación del tema de
"perímetros" y "áreas", recordando las definiciones
de los tutoriales previos de los conceptos de
"perímetro" y "área". Se ilustra la forma en que se
puede calcular tanto el "perímetro" como el "área"
de un "triángulo", presentando las expresiones
algebraicas utilizadas para dicho cálculo; además, se
resuelve un ejemplo sobre el cálculo del "perímetro"
y el "área" para un "triángulo" que presenta una
medida de un lado de 5 unidades, otro lado de 2
unidades y un ángulo de 50⁰.

UN ROMBO)
Se ilustra la forma en que se puede calcular
tanto el "perímetro" como el "área" de un
"rombo", presentando las expresiones
algebraicas utilizadas para dicho cálculo;
además, se resuelve un ejemplo sobre el cálculo
del "perímetro" y el "área" para un "rombo" que
presenta una distancia menor entre vértices de 2
cm (dos centímetros) y el ángulo formado entre
uno de los lados del rombo y la distancia mayor
entre vértices (ambos valores desconocidos).

UN TRAPECIO)
Se ilustra la forma en que se puede calcular tanto el
"perímetro" como el "área" de un "trapecio",
presentando las expresiones algebraicas utilizadas
para dicho cálculo; además, se resuelve un ejemplo
sobre el cálculo del "perímetro" y el "área" para un
"trapecio" que presenta una altura de 2 cm (dos
centímetros), la base menor vale 2 cm (dos
centímetros), la base mayor vale 6 cm (seis
centímetros), y el ángulo formado entre la base
menor y el lado inferior del trapecio es de 30⁰; para
ello, se hace uso de algunas funciones
trigonométricas útiles y del Teorema de Pitágoras.

Lección 78 (PERÍMETRO DE UNA
CIRCUNFERENCIA Y ÁREA DE UN CÍRCULO)
Se ilustra la forma en que se puede
calcular tanto el "perímetro de una
circunferencia" como el "área de un
círculo", presentando las expresiones
algebraicas utilizadas para dichos
cálculos; además, se resuelve un ejemplo
sobre el cálculo del "perímetro de una
circunferencia" y el "área de un círculo",
conociendo para ello el radio del círculo.

Lección 79 (ÁREAS Y VOLÚMENES DE
SÓLIDOS REGULARES)

Lección 80 (VOLUMEN DE UN PRISMA
RECTO)

Lección 81 (VOLUMEN DE UN
CILINDRO)
Se continúa con el tema del cálculo del "área" y del
"volumen" para un sólido regular. En el presente
caso, se explica la forma como se obtiene la
expresión matemática para el cálculo del "área" y
del "volumen" de un "cilindro". Se resuelve un
ejemplo en el cual se conocen el radio de la base
circular del cilindro de 4 cm (cuatro centímetros) y
la distancia diagonal entre dos puntos de las áreas
circulares superior e inferior del cilindro que es de
10 cm (diez centímetros).

Lección 82 (VOLUMEN DE UNA
PIRÁMIDE)

Lección 83 (VOLUMEN DE UNA
ESFERA)

Lección 84 (DEFINICIÓN DE FUNCIÓN)
«Relaciones" y "funciones". Se
ilustra y explica la definición de
"función", tanto desde la parte
conceptual como grafica. Se
desarrolla un ejemplo en el cual se
presenta el desplazamiento de un
carro como función del tiempo
transcurrido.

Lección 85 (DOMINIO DE UNA
FUNCIÓN)
«Dominio de una función", tanto desde
la parte conceptual como gráfica. Se
desarrolla un ejemplo en el cual se
presenta el lanzamiento de una pelota,
para la cual se tiene la posición vertical
como función del tiempo, y se solicita
determinar el dominio de la función
posición vertical.

Lección 86 (RANGO DE UNA FUNCIÓN)
Se ilustra y explica la definición de "rango de
una función", tanto desde la parte conceptual
cómo gráfica. Se desarrolla un ejemplo en el
cual se presentan valores de la posición como
función del tiempo, y se solicita determinar el
rango de la función indicada. Se resuelve otro
ejemplo en el cual se tiene una función: y =
√(x - 9), y se solicita calcular el "dominio" y
el "rango" de dicha función.

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