Este documento presenta los principales métodos de conteo en teoría combinatoria, incluyendo el principio de la multiplicación, el principio de la suma, y diagramas de árbol. Explica cómo estos principios pueden aplicarse para resolver problemas de conteo de maneras sistemáticas y eficientes sin tener que contar objetos de forma exhaustiva.

1. TEOR´IA COMBINATORIA
TEOR´IA COMBINATORIA
Unidad 1: M´ETODOS DE CONTEO
Lic:Cristian Martinez
Universidad Gerardo Barrios
Facultad de Ciencias y Humanidades
Unidad de Formaci´on Docente
Abril de 2019

2. TEOR´IA COMBINATORIA
CONTENIDOS
1 La combinatoria y su historia
2 Principios elementales de conteo
Principio de la multiplicaci´on
Principio de la suma
3 Diagramas de ´arbol
4 Principio de Inclusi´on - Exclusi´on.

3. TEOR´IA COMBINATORIA
La combinatoria y su historia
En la actualidad, la combinatoria ha adquirido una gran relevancia.
Estudia la forma en que los conjuntos discretos pueden ser orde-
nados, contados y construidos. Est´a incluida dentro de la llamada
Matem´atica Discreta, parte de las Matem´aticas que trata acerca de
los conjuntos discretos y las relaciones definidas entre los mismos y
que es el fundamento de las ciencias de la computaci´on.
El objetivo fundamental de este cap´ıtulo es el de familiarizar al lec-
tor con las t´ecnicas de conteo, diagramas de ´arbol y estrategias de
resoluci´on de problemas, aprovechando todo aquello para introducir
los conceptos b´asicos de la combinatoria y mostrar muchas de sus
aplicaciones.

4. TEOR´IA COMBINATORIA
La combinatoria y su historia
Una manera muy sencilla de definir a la combinatoria es entenderla
como aquella ´area de la matem´atica que trata del problema de con-
tar. Esta actividad tan natural y a la que nos aproximamos desde
edades muy tempranas, tienen dos caracter´ısticas centrales.
Para contar, hay que considerar todas las posibilidades.
Hay que asegurarnos que cada objeto de conteo se cuenta
exactamente una vez, es decir; hay que evitar contar dos o
mas veces a un mismo objeto.
Es decir, cada objeto se cuenta al menos una vez y a lo sumo
una vez. Si, esto es evidente, pero pronto podr´a darse cuenta que
esto puede resultar muy complicado de percibir.

5. TEOR´IA COMBINATORIA
La combinatoria y su historia
Para contar hay muchas formas, y la m´as elemental es hacer un
conteo exhaustivo, es decir; uno por uno elaborando un listado com-
pleto de los objetos, o lo que es igual, un censo. Ahora bien, si lo
que nos proponemos contar es la cantidad de n´umeros de un mill´on
de cifras que comienzan con el d´ıgito 4, obviamente, no haremos
un censo, nunca terminar´ıamos; all´ı entra en juego la combinatoria
la cual proporciona m´etodos y t´ecnicas para resolver este y otros
problemas en el que el conteo exhaustivo no funciona. Por tanto la
combinatoria es el arte de contar sin contar.
Para llevar a cabo los conteos, se necesitar´an de ciertos teoremas,
que por lo evidente de una veracidad, se les llama principios. A
continuaci´on se hace una breve aproximaci´on a los principios m´as
importantes en la combinatoria.

6. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
En este apartado se desarrollaran algunos principios b´asicos de con-
teo y enumeraci´on. Cuando nos interesa determinar el n´umero de
elementos de un conjunto dado, estamos en un caso de conteo;
mientras que cuando nos interesa listar los elementos estamos en el
caso de enumeraci´on. Ambos problemas son importantes; hay situa-
ciones en las que nos interesa no s´olo saber cu´antos elementos hay
en un conjunto dado, si no adem´as saber cu´ales son tales elementos,
de aqu´ı que con frecuencia los m´etodos de conteo y enumeraci´on
son inseparables.
El prop´osito de esta secci´on es el de desarrollar algunas t´ecnicas
fundamentales de conteo en los que la enumeraci´on no aparece de
manera explicita; se basan fundamentalmente en algunos principios
cuya simplicidad con frecuencia impide valorar su potencia.

7. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
Principio de la multiplicaci´on
La mayoria de problemas que surgen en el mundo de la combina-
toria requieren de una manera u otra de dos principios b´asicos y
se conocen con el nombre de principio de la suma y principio de la
multiplicaci´on.
Por ejemplo si se lanza al aire un dado dos veces y anotamos los po-
sibles resultados, estos los podemos registrar mediante un par (x, y)
registrando en la primera componente el resultado de la primera ti-
rada y en la segunda componente el resultado de la segunda tirada.
Siendo que en cada tirada hay seis posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
el total de posibles pares es 36.

8. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
Principio de la multiplicaci´on
De manera completamente an´aloga suponga que deseamos determi-
nar el total de secuencias de tres letras, es decir ternas (x, y, z) que
se pueden formar con las letras a, b, c, d, e, f, de forma tal que no se
permite la repetici´on de letras.
Habiendo 6 opciones de letras por colocar en la primera posici´on,
para la segunda posici´on s´olo tendremos 5 opciones puesto que no
se acepta la repetici´on de letras en la terna; restricci´on que nos deja
en la tercera posici´on s´olo con 4 letras como posibles opciones. As´ı
el total de ternas con la restricci´on planteada ser´a de 6 · 5 · 4 = 120

9. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
Principio de la multiplicaci´on
Principio de la multiplicaci´on:
Si una actividad se puede realizar en t pasos sucesivos y el paso 1
se puede hacer de n1 maneras, el paso 2 se puede realizar de n2
maneras, . . . , y el paso t de nt maneras, entonces el n´umero de
actividades posibles diferentes es:
n1 · n2 · · · nt.
Considere la siguiente situaci´on. El men´u de Comida R´apida figura
1.1, contiene dos entremeses, tres platos fuertes y cuatro bebidas.
¿Cu´antas comidas diferentes est´an formadas por un plato fuerte y
una bebida?

10. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
Principio de la multiplicaci´on
Figura: Comida R´apida de Kay.
En resumen, el principio de la multiplicaci´on afirma que, cuan-
do una actividad se construye en pasos sucesivos, se multipli-
can los n´umeros de maneras de realizar cada paso.

11. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
Principio de la multiplicaci´on
Resuelva las siguientes situaciones:
1 Considere las letras ABCDE.
1 ¿Cu´antas cadenas de longitud 4 se pueden formar si no se
aceptan repeticiones?
2 ¿Cu´antas cadenas del inciso 1 comienzan con la letra B?
3 ¿Cu´antas cadenas del inciso 1 no comienzan con la letra B?
2 Cadenas binarias.
1 En una fotograf´ıa digital, deseamos codificar la cantidad de luz
en cada punto como una cadena de ocho bits. ¿Cu´antos
valores son posibles en un punto?
2 ¿Cu´antas cadenas de ocho bits comienzan con 101 o con 111?
3 Use el principio de la multiplicaci´on para demostrar que un
conjunto {x1, . . . , xn} de n elementos tiene 2n subconjuntos.

12. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
Principio de la suma
Particiones de conjuntos
La t´enica m´as elemental para contar los elementos de un conjunto
es la de separar sus elemntos en clases disjuntas, de forma tal que su
reunion incluya todos los elementos del conjunto. En otras palabras
se requiere que cada elemento del conjunto deber pertenecer a una
sola de las clases y que todo elemento del conjunto pertenece a una
de las clases en las que se separa el conjunto.
Un conjunto finito A ha sido separado en n clases disjuntas A1, A2,
A3, . . . , An si sastiface simult´aneamente:
1 Ai ∩ Aj = ∅ para todo j = i
2 A =
n
i=1
Ak

13. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
Principio de la suma
Si A es un conjunto finito se define el cardinal del conjunto A como
el numero de elementos que posee. Denotado por |A|.
Problema:
Determine la cantidad de ternas ordenadas de los conjuntos A1, A2, A3
que cumplen las propiedades siguintes:
1 A1 ∪ A2 ∪ A3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
2 Los conjuntos son disjuntos dos a dos.
Calcule la cantidad de cadenas de 8 bits que comienzan con 101 o
111, imaginemos esta como una sola actividad dividida en dos pa-
sos. El paso 1 contar todas las cadenas que comienzan con 101 y el
paso 2 contar todas las que comienzan con 111, pero a diferencia del
Principio de la multiplicaci´on estos dos pasos no se pueden realizar
de manera simultanea y por tal motivo se calculan de manera inde-
pendiente para despu´es sumar sus resultados. La raz´on de esta suma
queda reflejada en lo que conocemos como principio de la suma.

14. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
Principio de la suma
Principio de la suma:
Suponga que X1, . . . , Xt son conjuntos y que el i-´esimo conjunto
Xi tiene ni elementos. Si {X1, . . . , Xt} es una familia de conjuntos
ajenos por pares (es decir, si i = j, Xi ∩ Xj = ∅), el numero de
elementos posibles que puede seleccionar de X1 o X2 o , . . . , o Xt
es:
n1 + n2 + · · · + nt.
De manera equivalente, la uni´on X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xt contiene n1 +
n2 + · · · + nt elementos.
Principio de la suma: Si un evento E puede ocurrir en m formas y
un segundo evento F puede ocurrir en n formas y ambos eventos no
pueden ocurrir en forma simult´anea entonces E o F pueden ocurrir
en m + n formas.

15. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
Principio de la suma
Resuelva las siguientes situaciones:
1 ¿De cu´antas maneras se pueden seleccionar dos libros de
temas diferentes entre cinco libros de computaci´on distintos,
tres libros de matem´aticas diferentes y dos libros de arte
distintos?
2 Un comit´e de seis personas, compuesto por Alicia, Benjam´ın,
Consuelo, Adolfo, Eduardo y Fransisco, debe seleccionar un
presidente, secretario y tesorero.
1 ¿De cu´antas maneras puede hacer esto? Alicia o Bejamin debe
ser el presidente?
2 ¿De cu´antas maneras pueden hacerlo si Alicia o Benjam´ın debe
ser el presidente?
3 ¿De cu´antas maneras pueden hacerlo si Eduardo debe ocupar
uno de los puestos?
4 ¿De cu´antas maneras pueden hacerlo si tanto Adolfo como
Francisco debe ocupar un puesto?

16. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
Principio de la suma
Determine la cantidad de cuadrados que se pueden encontrar en un
cuadrado de dimensi´on 10x10 dividido en cuadritos de dimensi´on
1x1.
En primer lugar debemos ident´ıficar los tipos de cuadrados que
existen en el cuadrado grande. La gr´afica nos muestra los distintos
tipos de cuadrados que como podemos ver van desde la dimensi´on
1x1 hasta 10x10.

17. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
Principio de la suma
Resulta entonces que podemos separar el problema en 10 problemas
disjuntos que son contar para cada i = 1; 2; ...; 10 cuantos cuadrados
de dimension i existen. Al resolver los 10 nuevos problemas podremos
aplicar el Principio de la Suma pues los casos son excluyentes unos
de los otros, la respuesta a nuestro problema sera la suma de las
respuestas de estos 10 subproblemas.
1 Para i = 1, resulta f´acil ver que el numero de cuadrados es
100 =102.
2 Para i = 2, el conteo se vuelve f´acil al desplazar de forma
ordenada el primer cuadrado de la izquierda hacia la derecha y
nos damos cuenta de que en total son 9.

18. TEOR´IA COMBINATORIA
Principios elementales de conteo
Principio de la suma
luego esto mismo se puede repetir desliz´andonos hacia abajo en el
tablero, en total lo podemos hacer 9 veces por lo que el total de
cuadrados sera 92 = 81. Los dem´as casos son an´alogos y es f´acil ver
que para los cuadrados de lado i el total de cuadrados es (11 − i)2
Aplicando el el principio de la suma, el total de cuadrados sera 385

19. TEOR´IA COMBINATORIA
Diagramas de ´arbol
Diagramas de ´arbol
Un diagrama de ´arbol es un instrumento para enumerar todos los
resultados posibles de una sucesi´on de eventos, donde cada evento
puede ocurrir en una forma finita de formas.
Algunos problemas de recuento se pueden resolver utilizando diagra-
mas de ´arbol. Un ´arbol esta formado por una ra´ız, un determinado
numero de ramas que parten de la ra´ız y quiz´a por otras ramas
que nacen de extremos de ramas anteriores. Si queremos utilizar los
arboles para contar, utilizaremos las ramas para representar cada
posible elecci´on. Los resultados posibles est´an representados por las
hojas del ´arbol, que son los extremos de las ramas de los que no
parte ninguna otra rama.

20. TEOR´IA COMBINATORIA
Diagramas de ´arbol
Observaci´on: Es importante observar que cuando se utiliza un dia-
grama de ´arbol para resolver un problema de recuento, el numero de
elecciones necesarias para alcanzar una hoja del ´arbol puede variar.
Ejemplos:
1-Encuentre el producto A × B × C, donde A = {1, 2},
B = {a, b, c}, C = {x, y}.
2-Marcos y Eric van a enfrentarse en un torneo de tenis. El
ganador del torneo es el primero que gane dos partidos seguidos o
quien gane tres juegos. Encuentre el n´umero de formas en que
puede ocurrir el torneo.
3-¿Cu´antas cadenas de bits de longitud cuatro no contienen dos
unos consecutivos.?

21. TEOR´IA COMBINATORIA
Principio de Inclusi´on - Exclusi´on.
Principio de Inclusi´on - Exclusi´on.
Un m´etodo importante a la hora de contar objetos es el de poder
clasificarlos en distintas clases para realizar un conteo particular so-
bre cada una de estas clases; sin embargo esta clasificaci´on puede
presentar dos incovenientes:
1 El primero es que el n´umero de clases sea demasiado grande y
por lo tanto la soluci´on del problema se vuelva larga y tediosa.
2 La segunda es suponer que la separaci´on en clases disjuntas es
siempre posible, lo cu´al como veremos m´as adelante no es
cierto.
Analizamos a continuaci´on distintas situaciones que nos permitir´an
plantear herramientas para sobrellevar estos dos inconvenientes.

22. TEOR´IA COMBINATORIA
Principio de Inclusi´on - Exclusi´on.
En el caso en que el n´umero de clases sea demasiado extenso es
importante analizar si el conteo del complemento es o no una al-
ternativa m´as pr´actica. Entenderemos como el complemento a los
casos que el problema no nos esta pidiendo que contemos. El ejemplo
siguiente ilustra este caso.
Ejemplo:
1 De las cadenas de ceros y unos, de longitud 100. Cuantas
tienen la propiedad de poseer por lo menos dos 0.
El segundo caso nos habla sobre problemas en los cual el conteo de
manera directa es demasiado complicado y adem´as la separaci´on
en clases disjuntas se vuelve imposible. En estos casos el principio
de inclusi´on - exclusi´on resulta ser un valioso recurso de conteo.

23. TEOR´IA COMBINATORIA
Principio de Inclusi´on - Exclusi´on.
Ejemplo:
1 Deteminar la cantidad de enteros entre 1 y 200 inclusive, que
son m´ultiplos de 3 o 5.
En su versi´on mas elemental, el principio de la inclusi´on-exclusi´on nos
dice que la cardinalidad de la uni´on de dos conjuntos finitos A y B, se
calcula haciendo la suma de la carnidalidad de A mas la cardinalidad
de B y se resta la cardinalidad de la intersecci´on de ambos conjuntos.
La interpretaci´on es obvia: la resta del n´umero de elementos de la
intersecci´on de los conjuntos evita que ´estos se cuenten dos veces
por estar contados como elemntos del conjunto A y como elementos
del conjunto B. En expresi´on conjuntista, tenemos:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

24. TEOR´IA COMBINATORIA
Principio de Inclusi´on - Exclusi´on.
Si A y B son disjuntos, entonces |A ∪ B| = |A| + |B|.
Esta propiedad puede extenderse a la uni´on de tres conjuntos A, B, C
de la siguiente manera:
|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|
Problemas:
1 ¿Cuantas cadenas de 8 bits comienzan por 110 o bien el
quinto bit es igual a 0.?
2 ¿Cu´antas cadenas de 8 bits tienen 1 en el segundo o el cuarto
bit (o en ambos).?
3 Un comit´e de seis personas constituido por Alicia, Benjam´ın,
Consuelo, Adolfo, Eduardo y Francisco debe seleccionar un
presidente, secretario y tesorero.
1 ¿Cu´antas selecciones existen en las que Benjam´ın es presidente
o Alicia es secretaria?
2 ¿Cu´antas selecciones existen en las que Consuelo es presidente
o Alicia tiene un puesto?

25. TEOR´IA COMBINATORIA
Principio de Inclusi´on - Exclusi´on.
Problemas:
1 En un club hay 10 personas que juegan al tenis, 15 personas que
juegan al squash y 6 personas que practican ambos deportes.
¿Cu´antas personas practican al menos uno de los dos deportes?
2 ¿Cu´antos n´umeros existen entre 1 y 1000, ambos inclusive, que
no sean ni cuadrados perfectos, ni cubos perfectos ni cuartas
potencias?
3 En una caja hay 100 manzanas de las que 20 tienen gusano y 15
est´an podridas. S´olo son aptas para la venta las manzanas sin
gusanos y que no est´en podridas. Si hay 10 manzanas podridas
con gusano, ¿cu´antas manzanas podemos vender?

26. TEOR´IA COMBINATORIA
Principio de Inclusi´on - Exclusi´on.
Problemas:
1 Un bi´ologo trabaja con 66 plantas, de las cuales 29, 41 y 25
viven en ecosistemas de tipo A, B, C respectivamente. Sabien-
do que 16 pueden vivir tanto en ecosistemas A como B, 8 en
ecosistemas A y C, y 7 en ecosistemas B y C, obtener el n´umero
de especies que pueden estar presentes en los tres ecosistemas.
Calcular el n´umero de especies que pueden vivir en ecosistemas
de tipo A y B pero que no pueden vivir en los de tipo C.
2 Un profesor en una clase de matem´aticas discretas pasa un for-
mato pidiendo a los estudiantes que registren todos los cursos
de matem´aticas y de inform´atica que han tomado recientemen-
te. Encontrando que de un total de 50 alumnos de la clase,

27. TEOR´IA COMBINATORIA
Principio de Inclusi´on - Exclusi´on.
30 tomaron prec´alculo; 16 tomaron tanto prec´alculo como Java; 18
tomaron c´alculo; 8 tomaron tanto c´alculo como Java; 26 tomaron
Java; 47 tomaron al menos uno de los tres cursos. 9 tomaron tanto
prec´alculo como c´alculo; Observe que cuando escribimos “30 estu-
diantes tomaron prec´alculo”, entendemos que el n´umero total de
estudiantes que tomaron prec´alculo es 30 y nos permite la posibi-
lidad de que algunos de estos estudiantes hubiese tomado uno o
dos de los otros cursos. Si queremos decir que 30 estudiantes toma-
ron s´olo prec´alculo (y no cualquiera de los otros cursos), lo diremos
expl´ıcitamente.
a. ¿Cu´antos estudiantes no tomaron ninguno de los tres cursos?
b. ¿Cu´antos estudiantes tomaron los tres cursos?
c. ¿Cu´antos estudiantes tomaron prec´alculo y c´alculo pero no Java?
¿Cu´antos estudiantes tomaron prec´alculo pero ni c´alculo ni Java?