realizado por: nicolle tatiana tangarife lozano trata sobre la logica ,sus proposiciones .leyes,clases,conectivos y demas

1. Lógica matemática
La lógica matemática, tambiénllamadalógica simbólica, lógica teorética, lógica formal,
o logística,1
espartetantode la lógica y comode la matemática, y consiste en el estudio
matemáticode la lógica, y en la aplicación de dicho estudioa otras áreas de la matemática y de las
ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y con
la lógica filosófica.
La lógica matemáticaestudia los sistemasformales en relación con el modoen el que codifican
o definen nociones intuitivasde objetosmatemáticoscomo conjuntos, números, demostraciones,
y algoritmos, utilizandoun lenguaje formal.
Ejemplos
 .h:"Anacomepizza y bebe refresco", es unaproposicióncompuesta, cerraday afirmativa.
 j: "Ella nonada muy rápido", es unaproposiciónsimple, abierta y negativa.
 k: “Cuernavacanoestáal nortedel D.F. y nohace frío", es unaproposicióncompuesta,
cerrada, negativay verdadera.
 l: 7 + 3 =10 es una proposiciónsimple, cerrada, afirmativa y verdadera.
 m:2 2 x ≠ x − es una proposiciónsimple, abierta y negativa.
 n: a+ b = 6 es unaproposicióncompuesta, abierta y afirmativa.
Definicióny clases de proposiciones
Es todaoración o enunciadoal que se le puedeasignar uncierto valor (v o f). Si nopuede concluir
que es verdaderoo falso no es proposición. Es cualquier agrupaciónde palabraso símbolos que
tengansentido y de la que en un momentodeterminadosepueda asegurarsi es verdaderao falsa.
La verdad o falsedad de unaproposiciónes lo que se llama su valor lógico o valor de verdad. Las
proposicionesse denotanconletras minúsculas. Ejemplo:p, q, r, a, b.
Ejemplo:
 Hoy es lunes. (si es proposiciónyaque se puede verificar).
 Carlos Fuentes es un escritor. (Simple)
 Sen(x) noes unnúmeromayorque 1. (Compuesta
 El 14 y el 7 sonfactores del 42. (Simple)
 El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. (Compuesta)
Clases de proposiciones
Proposiciones simplesy compuestas[editar]
Recordamosque unaproposición es unaoración declarativa a la cual se le puede asociar unvalor
de verdad.
Para representar proposicionesusaremoslasletras p, q, r,...

2. Por ejemplo
p = el sol brilla todoel día
q = hace frío
son proposiciones simples.
Así como en álgebra las variables que representancantidades puedenformar expresiones más
complejas mediante el uso de las operacionesbásicas de aritmética y algunas funciones, en lógica
podemosrelacionar proposicionesmediantelos conectivoslógicos.
Los conectivoslógicos sonsímbolosusadosparacombinarproposicionessimples dadas,
produciendoasí otrasllamadas proposicionescompuestas.
Los conectivoslógicos que usaremosson
 negación
 disyunción
 conjunción
 condicionante
 bicondicionante
Las proposicionescompuestas puedencombinarseoconectarsepara formar proposicionesaúnmás
complejas. Es claro que el valorde verdad de unaproposición, porcompleja que sea, depende de
los valoresde verdadde las proposicionesque las componenensus formasmás simples.
Para hacer la tablade verdadde unaproposiciónle asignamosunacolumnaa cada proposiciónque
interviene, sea ésta simple o compuesta, normalmentecomenzandoconlas más simplesy
progresandoen el orden de complejidad de las proposicionescomponentes.
El númerode filas de la tabla viene dado porla potencia , donde es el númerode
proposicionesen la forma más simple queforman la proposicióncompuestadada.
Para asignarlos valores de verdada dichas proposicionessimples, se procede de la forma siguiente:
la primera columnase llena asignandovaloresV a la mitasde las filas y valores F a la mitad
siguiente.
la segundacolumna se llena asignandovaloresV a un cuartode las filas, valoresF al segundo
cuarto, valores V al tercer cuartoy valores F al último cuartode filas de esa columna.
la tercera columna se llena asignandovaloresV a un octavode las filas, valores F al segundooctavo,
valores V al tercer octavo, etc.
Así, se continúahasta queterminen las columnasde las proposicionessimples. Lascolumnasde las
otrasproposicionesse llenan a partir de las columnasde las proposicionessimples, usandolas
tablasde verdaddefinidas antes.
Tautologia
Definición:
Es una expresión lógica que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir, para
cualquier asignación de valores de verdad.La construcción de una tabla de verdad es un método
efectivo para determinar si una expresión cualquiera es una tautología o no.
Por ejemplo:

3. Contradicción
Definición:
Una proposición es una contradicción, si es falsa para todos sus valores de verdad .
Por ejemplo:
Equivalencia
En lógica, las declaraciones p y q sonlógicamente equivalentes sitienenel mismocontenidológico.
Este es un concepto semántico, dos afirmaciones sonequivalentessi tienen el mismo valorde
verdad en todoslos modelos (Mendelson1979:56). Laequivalencialógica de p y q algunasveces se
expresa como , Epq, o . Sin embargo, estos símbolostambiénse usanpara
la equivalencia material; suapropiadainterpretación dependedel contexto. La equivalencia lógica
es diferente a la equivalencia material, aunqueambosconceptosesténestrechamente
relacionados.
Ejemplo:
Las dossentencias siguientes sonlógicamente equivalentes:
1. Si Lisa está en Francia, entonces ella está en Europa(en símbolos, ).

4. 2. Si Lisa no está en Europa, entonces ella noestá en Francia (en símbolos, ).
Sintácticamente, (1) y (2) sonderivables cada unade la otra a travésde la regla
de contraposición y doblenegación. Semánticamente, (1) y (2) sonverdaderas en exactamente los
mismosmodelos(interpretaciones, valuaciones); a saber, aquellos en que Lisa está en Francia es
falso o bien Lisa está en Europa esverdadero.
(Tener en cuenta que en este ejemplo se supone lógica clásica. Algunas lógicas no clásicas no
consideran(1) y (2) lógicamente equivalentes.)
Leyes notables enlógica
1. Ley de doble negación:Dentrodeunsistema de lógica clásica, la doble negación, esto es, la
negación de la negación de una proposición p, eslógicamente equivalentea p. Expresado
simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p. En lógica intuicionista, una proposiciónimplica sudoble
negación, pero no al revés. Esto marca unaimportantediferencia entre la negación clásica
e intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica es llamadauna involución de periodo
dos.
Sin embargo, en lógica intuicionista, sí tenemos la equivalencia entre ¬¬¬p y ¬p. Es más, en
el caso proposicional, unaoraciónes demostrablede formaclásica, si su doblenegación es
demostrablede manera intuicionista. Este resultadoes conocido comoel teorema de
Glivenko.
2. Leyes de idempotencia:Enmatemáticay lógica, la idempotenciaes la propiedadpara
realizar unaacción determinada variasveces y aun así conseguirel mismoresultadoque se
obtendríasi se realizase una solavez. Unelemento que cumple esta propiedades
un elemento idempotente, oun idempotente. De esta manera, si un elemento al
multiplicarse por sí mismo sucesivasveces da él mismo, este elemento es idempotente.
Porejemplo, los dos únicos númerosreales que sonidempotentes, para la operación
producto(·), son0 y 1. (0·0=0,1·1=1).
3. Leyes asociativas:Las"Leyesasociativas" quierendecir que noimporta cómoagrupeslos
números(o sea, qué calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)
4. Leyes conmutativas:Las"leyesconmutativas" sóloquierendecir quepuedes intercambiar
los númeroscuando sumas ocuando multiplicas y la respuesta vaa ser la misma.

5. a + b = b + a
a × b = b × a
5. Leyes distributivas:La"ley distributiva" esla MEJORde todas, perohay que usarlacon
muchocuidado Quiere decir quela respuestaes la mismacuando:
 sumas varios númerosy el resultadolo multiplicas poralgo, o
 haces cada multiplicación por separadoy luego sumas los resultados
Así:
(a + b) × c = a × c + b × c
Leyes de De Morgan:Enlógica proposicionaly álgebra de Boole, las leyes de De
Morgan sonunpar de reglas de transformaciónquesonambas reglas de
inferencia válidas. Las normaspermiten la expresión de
las conjunciones y disyunciones puramenteen términosde sí vía negación.
Las reglas se puedenexpresar en español como:
La negación dela conjunción esla disyunción delasnegaciones.
La negación dela disyunción esla conjunción delasnegaciones.
o informalmente como:
"no (A y B)" eslo mismo que"(no A) o (no B)"
y también,
"no (A o B)" eslo mismo que"(no A) y (no B)"
Las reglas pueden ser expresadasen un lenguaje formal con dosproposiciones P y Q, de
esta forma:
Métodos de demostración
En matemáticas, unademostración obienunapruebaesun argumento deductivoparaasegurar la
verdadde una proposiciónmatemática. En la argumentaciónse pueden usarotras afirmaciones
previamenteestablecidas, tales como teoremas o bien las afirmaciones iniciales o axiomas.2
En

6. principio unademostraciónse puede rastrear hastaafirmaciones generalmente aceptadas,
conocidascomo axiomas.3 4
Las demostracionessonejemplosde razonamientodeductivo y se
distinguende argumentos inductivos oempíricos; unademostracióndebe demostrarque una
afirmación es siempre verdadera (ocasionalmenteal listar todoslos casosposiblesy mostrarque es
válida en cada uno), más queenumerar muchoscasosconfirmatorios. Unaafirmación no probada
que se cree verdadera se conoce como conjetura.
Las demostracionesemplean lógica pero normalmenteincluyenuna buenaparte de lenguaje
natural, el cual usualmenteadmite algunaambigüedad. De hecho, la gran mayoríade las
demostracionesen las matemáticasescritas puede ser considerada comoaplicaciones de lógica
informal rigurosa. Las demostracionespuramenteformales, escritas en lenguaje simbólico en lugar
de lenguaje natural, se consideranen teoría de la demostración. La distinciónentre demostraciones
formales e informales hallevado a examinar la lógica matemática histórica y actual, el cuasi-
empirismomatemático y el formalismo matemático. La filosofía de las matemáticas concierne al rol
del lenguaje y la lógica en las demostraciones, y en las matemáticas comolenguaje.
El hechode noconocer ningunademostraciónde un teoremano implica su no veracidad;sólo la
demostraciónde la negación de este resultadoimplica que es falso.
Tablas de verdad
Unatabla de verdad, otabla de valores de verdad, esunatabla quemuestra el valor de verdad de
unaproposición compuesta, paracada combinaciónde verdad quese puedaasignar.1
Fue desarrolladapor Charles SandersPeirce por losaños 1880, peroel formatomás populares el
que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatuslogico-philosophicus, publicadoen1921.
Definimos unatabla de verdad comoun arreglo que nospermite tener losposibles valoresde
verdadde una proposicióncompuestaapartir de los valoresde verdad de las proposiciones
simples.
Las tablas de verdadpara los conectivoslógicos listadosarriba sonlas siguientes:
Negación
La negación de una proposiciónes unanuevaproposiciónque tiene un valorde verdadopuestoa la
proposiciónoriginal. Es decir, si el valorde verdadde una proposición p es verdadero, entoncesel
valor de verdadde ~p es falso.
La tabla de verdad parael conectivo ~ está dada por
p ~p
V F
F V
Disyunción
La disyunción es la proposicióncompuestaque resultade conectar dosproposiciones, p y q,
mediante el conectivo .
Esta proposicióncompuestadedenota por y se lee p o q.
La tabla de verdad parael conectivo está dadapor

7. p q
V V V
V F V
F V V
F F F
Se puede ver que para queuna proposicióncompuesta tengavalor de verdadverdadero,
bastacon una de las proposicionessimplestenga valorde verdadverdadero.
Conjunción
La conjunción es la proposicióncompuestaqueresulta de conectar dosproposiciones, p y q,
mediante el conectivo .
Esta proposicióncompuestadedenota por y se lee p y q.
La tabla de verdad parael conectivo está dadapor
p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Se puede ver que para queuna proposicióncompuesta tengavalor de verdadverdadero,
ambasproposicionessimplesdeben tener valor de verdadverdadero.
Condicionante
La condicional es la proposicióncompuestaqueresulta de conectar dosproposiciones, p y q,
mediante el conectivo .
Esta proposicióncompuestadedenota por y se lee p implica q.
En esta proposicióncompuesta, laproposiciónsimple p se llama antecedente, mientrasque la
proposiciónsimple q se llama consecuente.
La tabla de verdad parael conectivo está dadapor
p q
V V V
V F F
F V V
F F V

8. Se puede ver que unaproposicióncompuesta tiene valor de verdadfalso solamentecuando
el antecedente es verdaderoy el consecuentees falso. En cualquier otrocaso, el valor de verdadde
la proposicióncompuestaes verdadero.
Bicondicionante
La bicondicional es la proposicióncompuestaqueresulta de conectar dosproposiciones, p y q,
mediante el conectivo .
Esta proposicióncompuestasedenota por y se lee p si y solosi q.
La tabla de verdad parael conectivo está dadapor
p q
V V V
V F F
F V F
F F V
Se puede ver que la proposicióncompuesta tiene valor de verdadverdadero siempre quelas
proposicionessimplestienen el mismovalor de verdad. Es cualquier otro caso, la proposición
compuestatiene valor de verdadfalso.