Este documento contiene información sobre diferentes tipos de conjuntos numéricos y operaciones matemáticas con ellos. Se explican conjuntos como naturales, enteros, racionales e irracionales, así como operaciones como suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. También se describen conceptos como números primos, fracciones, razones y proporciones.

1. NICOL VANESA ALFONSO GUZMAN
1102
WALDO ROJAS

3. CONJUNTOS
Reunión de elementos
Es la
Que están
Bien definido
Es una
regla
Que se
determina
un
Conjunto
Si
Esta
o
No esta
Expresión
de
comprensión
Extensión
un
Nombre
especifico
Es el
Nombrar
cada uno
De
Elementos
De Manera
global
Un
ejemplo
Como
{las vocales}
Como
Un
ejemplo
{a,e,i,o,u}

5. en este video están explicando varios tipos de conjuntos
en la cual se estará dando la clasificación.
El cual los tipos son:
universal: es un grupo de elementos en la cual
cumplen las propiedades caracterizadas.
unitario: es un grupo que solo tiene que tener un
elemento
vacio: como su nombre lo indica es un elemento vacio
es decir que no hay.
subconjunto: son elementos pequeños el cual entre el
mismo grupo hay otro grupo con muchos elementos.

6. universal:
{3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,}
unitario:
{7}
vacio:
{ }
subconjunto:
{3,5,7,9,11,13,15}

9. Operaciones en los conjuntos se pudo ver varias partes
en la cual se desarrollan que son:
Unión: es la respuesta obtenida en la cual se dio en un
conjunto
ZUY={ X / X E o X E Y
Intercesión: son aquellos que se repiten entre ellos y
además es buscar el subconjunto a partir de 2 o mas
elementos
PE= Z y Y
Z n Y={ X / X E Y X E Y }
Completo: es el grupo de elementos en la cual se
obtiene la universal
Z Y/O Y

10. UNION:
U {1 2 3 45 6 7}
Z {1 2 3 4 5}
Y {3 7}
ZUY= {1 2 3 4 5 7} ={3}

13. Un diagrama de ven es una grafica en la cual es
analizada por 1 o mas conjuntos el cual facilita es
decir que es caracterizada por la unión, intercesión,
complementos, a modo que toca investigar si hay un
unitario, subconjunto y vacio.
Un diagrama de ven se presenta así:
A B
C
D
E
F
G
UA
B
C
A n B={B,E}
B n C={E,F}
C n A={ D,F}
A n B n C={E}
A u B u C=
{A,B,C,D,E,F,G}

15. CONJUNTOS NUMÉRICOS:
NATURALES, ENTEROS,
RACIONALES E IRRACIONALES.
PARTE 1

16. En este video se dará a conocer los conjuntos numéricos en
la cual hay 4 tipos en la que se utiliza que son:
• naturales(N): son números en la que se utiliza para
contar
• enteros(Z): son los números naturales pero incluye
inversos aditivos (-,0)
• racionales(Q): números que el cual se expresa de la
forma A/B (A sobre B)
• irracionales(Q*): es lo contrario de los racionales es decir
que no incluye los números fraccionarios.
CARACTERISTICAS:
• naturales: primates el cual el hombre empezó a contar los
días y los meses.
•Enteros: trueque el cual se da un cambio.
•Racionales y los irracionales: es la racionalización.

18. CONJUNTOS NUMÉRICOS:
NATURALES, ENTEROS,
RACIONALES E IRRACIONALES.
PARTE 2

19. en este video se dará ejemplos de la lección anterior el
cual se dio la explicación de cada números de conjuntos
• naturales: 3, 1, 7
• enteros: 0, 3, 1, 7, -5, -15
• racionales: 2.333, -2/2, 24/8
• irracionales: raíz 2, raíz 3, raíz 5
Tiene que tener números primos
• 0
• 3
• -5
•Raíz
5
•Raíz
3
•Raíz
2
•-15
• 1
•7
•2,333
•-2/2
•24/8

21. CONJUNTOS NUMÉRICOS:
NÚMEROS REALES Y
COMPLEJOS. PARTE 1

22. en este video se describirá los conjuntos numéricos por
medio de los números racionales y los números complejas
donde tambien se dará a conocer la relación entre estos
dos puntos.
• Números racionales: son los números existentes
• números complejos: son los números en la cual tiene una
parte números racionales y la otra parte son los números
imaginarios
Ejemplo:
Raíz de 4 es 2, y si ponemos raíz de -4 es igual al 2x2pero
con -2 es igual a 4 positivo, y tambien sacar la raíz 2 es
igual a raíz de 1 no se puede sacar el cual tocara buscar una
formula en la cual se podrá hacer es la X al cuadrado mas
A (un numero cualquiera) es igual a cero el cual x al
cuadrado dará como resultado –a donde es igual para
hallar la raíz 1

23. Y para hallar raíz 1 es igual i(igualdad).
Se puede expresar así:
A + b i= x + b
Es decir:
0+ 2 i

25. En este video se mostro ejemplos por medio de graficas el
cual se conoció en el anterior video de la relación entre los
números complejos y los números naturales .
X+ y i

27. SUMA, RESTA,
MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN,
POTENCIACIÓN Y
RADICACIÓN

28. En este video se mostrara las operaciones en la que se da
suma, resta, multiplicación, división, potenciación y
radicación en la cual se encuentra como números reales.
• suma: es agregar una cantidad a otra el cual se convierte a
una Multiplicación, el cual de la misma manera cuando se
multiplica conceptivamente se dará una potencia , es decir
que la multiplicación es la cantidad en la que se da en
suma de n veces por la misma cantidad, y la potenciación
es la multiplicación de n veces en la cantidad, a modo en la
cual esto tiene una contradicción, es decir la suma lo
contrario de ese es la resta, la multiplicación es la división,
la potenciación es la radiación donde se maneja tambien
consecutivas. Si restamos una cantidad de n veces ya se
dará como división, cuando dividimos consecutivamente
con una misma cantidad se puede llamar radiación.

29. Cada una de estas operaciones podemos llamarlos en
forma diferente, entre la suma y la resta podemos llamarlo
como inverso aditivo, en la multiplicación y la división lo
podemos llamar como inverso multiplicativo, y la
potenciación y radicación se llama inverso potencial, y
tambien entre la división y radicación tiene como nombre
racionalización

30. SUMA,
MULTIPLICACIÓN Y
SUS PROPIEDADES

31. Suma
comunicativa: el orden
de los sumandos no se
altera el resultado.
a + b +c - a +c + b – b + a+ c
asociativa: es la
agrupación de un
elemento
Distribuido
madurativa
Comunicativa: el orden
de los factores no se
altera el resultado
Es lo mismo , agrupación
entre las cantidades
Distribuida
Multiplicación

33. POTENCIACIÓN Y
PROPIEDADES ENTRE
POTENCIAS DE IGUAL
BASE

34. En este video se mostro las propiedades de la potenciación
en la cual están en los números reales. Donde Las
propiedades hay varias como la potencia de un producto,
la potencia de una razón (división), producto de potencias
de igual base con distinto exponente, cociente de dos
potencias, potencia de una potencia y potencias inversas
(exponentes negativos). El cual se mostrara un ejemplo de
este tema.
1) propiedades: (cuando la s letras están en minúsculas
es decir que es elevado)
• X a x X b (a y b es elevado )siempre va ser igual a X a +
b(a + b siempre es elevado)
• (X a)b = X a * b -- (X/Y)a= X a/Y a
• X a /X b= X a-b -- X-a= 1/X a
• (X*Y]a= X a * X a -- X 0= 1

35. •Ejemplo:
• 2 a la 5 x 2 a la 3 = 32 x 8 = 256 = 2 a la 5 + 3= 2 a la 8 = 256
• (5 a la 2)a la 4 = (25) a la 4 = 9765625

36. RESTA, DIVISIÓN Y
RADICACIÓN.
PROPIEDADES A PARTIR
DE SUS OPERACIONES
INVERSAS

37. En este video se muestra las propiedades de las
operaciones: resta, división y radicación en los números
reales. Es cual Las propiedades son: inverso aditivo,
inverso multiplicativo e inverso potencial. Como se
explico en las lecciones pasadas donde se basa en la
comparación de las operaciones: relacionadas en forma
respectiva: suma, multiplicación y división. Se realiza un
ejemplo para cada una de las operaciones estudiadas
relacionándolas con su operación inversa respectiva.

40. NUMEROS REALES
Propiedad
Racionalización es un proceso en el cual se evitar tener radicales en un
denominador
Entonces se dará a conocer igual formula pero de otra forma así:
Ejemplo:
1x
a
x
(a
x )
a-1
( a x )a-1
RECORDAR:
Que la x se identifica de esta
forma:
1
a
1
x
1
x x
x
x
a-1
a-1
a
a x a
a-1x
x ( 1
a+ a-1
a )
=
x a-1
a
x 1+a-1
a
x
a-1
a=
x
a
a
=
a-1
ax
x
2
4
x2
(
2
4
2-1
4 2-1
2
2
x
4 1
4
2
)
1
2 2
1+
=
2 4
1
2
4 2
2
2
2
4 1
4=

43. Números primos:
Son números que se dividen por ellos mismos o también con el 1 o
también son aquellos que no tienen mitad como por ejemplo:
3,5,7,9,11…etc.
Teorema fundamental de la aritmética:
Son números naturales el cual no primos de pude expresar de la forma
función primos. Como por ejemplo: 70 = 5x7x2=70
Factorización prima de números naturales:
Esto quiere decir de encontrar números naturales el cual se dividen de
cualquier numero primo hasta obtener un numero primo el cual tiene
que dar exacto.
240
120
60
30
15
5
1
2
2
2
2
3
5
RECORDAR:
LOS NUMERO DEL LADO DERECHO SE
TIENE QUE MULTIPLICAR Y EL
RESULTADO TIENE QUE DAR EL
RESULTADO DE LA PARTE IZQUIERDA
EN ESTE CASO 260

46. Mínimo común múltiplo:
Ejemplo:
448 2
224 2
112 2
56 2
28 2
14 2
7 7
1

48. Relaciones de orden:
Son números reales en el cual se poner en orden para poder
relacionarlo entre si es decir con estos mismos números.
Hay relaciones que son:
- Mayor que
> c- d > 0 +
- Menor que
< c- d < 0 +
- Igual que
= c=d c-d= 0
- Mayor o igual que
> c-d > 0
- Menor o igual que
< c-d< 0
Propiedades:
Transitividad: suma: multiplicación:
C < d d < e c < d e R c > d y e > 0
C < e c + e < d +e c x e > d x e
Ejemplo: ejemplo: ejemplo:
6 < 8 8< 10 6 < 8 10 R 4 > 3 2
6 < 10 6 +10 < 8 < 10 4 x 2 > 3 x 2
16 < 18 8 > 6

50. Fraccionarios:
Las fracciones son partes en la cual se cogen entre X y Y en
partes el cual su formula es: el cual su nomenclatura es :x
y
y
x Numerador
denominador
Ejemplo:
1
4
Esto quiere decir que los números de Y y X la forma
fracción es el que determina que si son:
- Propio
- Impropio
- mixto
- propias: son fracciones en la cual tiene que ser X < Y
- Impropias: son fracciones en la cual tiene que ser
X >Y
- Mixta: son fracciones en la cual su formula es:
Z
Ejemplo:
X
y
2
3
4
2 x 4 + 3
4
= =
11
4
3
4

53. Simplificación: suma/ resta : multiplicación: división
dividir el numerador
y el denominador entre
un mismo numero. Para poder sumar o se multiplica en la para dividir hay
Ejemplo: restar hay que sacar forma horizontal que multiplicar de
M.C.M – así: esta forma:
denominador
M.CM x numerador
64
26
64
2
26
2
= 32
13
c
d
e
f
+
-
c
d
e
f
x
c x e
d x f
c
d
e
f/
c
d
f
e
x
c
d
e
f
c x f
d x f

56. EJEMPLO:
Suma / resta
+ -
2
3
4
5
7
8
=
3
1
3 5 5
1
8 2
4 2
2 2
3 5 2
1
1 1 3
x x = 120
(120 / 3) x 2 + (120/5) x 4 – (120/8) + 7
120
(40 x2) + (600 x 4) – (15 x 7 )
120
80 + 2400 - 105
120
=
2375
120

59. Multiplicación:
ejemplo:
división:
Ejemplo:
x
c
d
e
f
=
c x e
d x f
2
4
x
3
5 =
2 x 3
4 x 5
= 6
20
=
3
10
/
c
d
e
f
=
= d x e
c x f
4
5
7
3
/ 4 x 3 12
5 x 7 35
=

61. Modulo 3

63. Razones:
Son dos números racionales en la cual se relacionan, y como resultado de números
racionales
Ejemplo:
- grupo de personas que tienen computador:
Proporciones:
Hace referencia a las razones en lo cual se da 2 números de razones de igualdad
Propiedades:
Mujeres
hombres
30
60
= =
1. es la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente el cual es la primera
razón es decir que es la consecuente, y en la segunda razón es la antecedente
c
d
e
f
c + d
d
=
e + f
f
c
d
e
f
c - d
d
e + f
f
== =
2. Es la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente en donde la primera
razón es el antecedente y la segunda razón es la consecuente
c
d
=
== === c
d
e
f
e
f
c - d
c
c + d
c
e - f
e
e + f
e

64. 3. Esta propiedad habla de la suma entre antecedentes y consecuentes de la misma en
cuanto a la primera razón, a cambio en la segunda razón la suma de los antecedentes y
los consecuentes van hacer diferentes.
c
d
e
f
c + d
c - d
e + f
e - f
===
Razones iguales: como su nombre lo indica el cual es la igualdad de dos o mas razones
c
d
e
f
= ==
g
h
k
l
4. En esta propiedad hace referencia a las razones de igualdad donde la suma de los
antecedentes es la suma de los consecuentes dando a conocer que algunos antecedentes
puede ser consecuentes.
c
d
e
f
g
h
k
l
=== =
c + e + g + k
d + f + h + l

66. y = f (x) x variable independiente
y variable dependiente donde muestra el cambio para
poder saber si es directa o inversa
Proporcionalidad: hay dos tipos que son:
- Directamente: cuando hay un cambio en X, Y quedara de la
misma forma, es decir:
1. cuando X crece, la Y crecerá
2. Cuando X cae, la Y caerá
- Inversamente: es la contraria de lo que es directamente, es decir
que cuando X cambia, la Y se dará lo contrario de lo que esta en x
es decir de esta forma:
1. Cuando X crece, la Y caerá
2. Cuando Y caerá, la X crecerá

69. Regla de 3 :
Cuando X1 Y1 tienen un par de números iniciales, entonces X2 es un dato inicial y si se da que Y es
proporcional de X, ósea que Y2 va hacer una regla de 3.
Tiene dos tipos que son :
- Simples:
- Compuestos:
Directa
Inversa
Donde solo se relacionas de dos
datos cuando es simple siempre
cuando solo será directa, cuando se
busca un tercer dato se dará a
conocer un compuesto porque se
mostrara la directa y la inversa
Simple directa :
ejemplo: X T
x 40
30 10
Aquí siempre se multiplicara en diagonal en este caso es 30x40 y también se dividirá de modo
vertical y en este ejemplo es así: 30/10
X = v x t
t1 t2
Velocidad constante
Distancia proporcional al tiempo
40 seg 30 met
10 seg
= 120
x = 120
x = 120

70. Simple inversa:
X
V X
T
=
T V
X 10
20 30
Si se incrementa la velocidad el
tiempo se disminuirá
Invertir así:
T V
X 30
20 10
Aquí se hará lo mismo de lo que hice en
el ejemplo del simple directa es cual se
podrá llamar formula, es decir se
multiplicara de la forma diagonal en
este caso se multiplicara 20x30 y se
dividirá de la manera horizontal en esta
caso 20/10Así:x = 20 s/m 30 s
10 s/m
= 60

73. Compuestas:
Ejemplos:
Tengo un trabajos el cual hura 30 horas durante 40 días y me pagan mensualmente 200,
pero los días que solo hure 20 horas y me pagan 100, cuantos días no trabaje. Hallar X
Días 40 x
Horas 30 20
Pago 200 100
Días horas pagos
40 30 200
x 20 100
Invertir:
Días horas pagos
40 20 200
x 30 100
= X
X =
30h x 100$ x 40d
20h x 200$
= 0.545 días

75. ANÁLISISDE TABLAS Y GRAFICAS

77. Tablas de frecuencia que es y para sirve:
Es una grafica en donde se presenta la repetitividad de cuyos datos.
Frecuencias se da a conocer cuyas características en la cual se puede demostrar
ejemplos como el numero de poblaciones, un numero de datos, relación de poblaciones..
Etc.
TIPOS DE FRECUENCIAS SON:
- Frecuencia absoluta(fi)
Es una tabla de información en la cual se muestra números de veces que se obtiene en los
datos dados.
- Frecuencia relativa:
Tiene una relación entre la frecuencia absoluta y con los números de datos en este caso se
llamaría N, y la frecuencia relativa se llama hi.
- Frecuencia acumulada:
Es la suma que se dan es la frecuencia absoluta y se le conoce como analizados, y se llama
Hi.
Ejemplo:
Edad Fi hi Fi hi%
8 4 0,2 4 20%
10 4 0,2 8 20%
11 7 0,35 15 35%
12
Total:
5
20
0,25 20 25%
Alumnos del grado 9°
tienen celulares por
edades .
Recordar:
La sumatoria de hi tiene que dar 1.0

80. Tipos de graficas:
- Diagramas de barras: es la que se relaciona con la frecuencia absoluta el cual la
variable es analizada es decir que la cantidad.
- Diagramas circulares: Es la que se relaciona con la frecuencia relativa ya sabiendo
que es por porcentaje% en la cual es cada una de las variables.
0
1
2
3
4
5
6
Categoría1
Categoría2
Categoría3
Categoría4
Serie 1
Serie 2
Serie 3
Diagramas de barras
Ventas
1er trim.
2º trim.
3er trim.
4º trim.
Diagrama circular:

83. Tipos de diagramas:
- Polígonos de frecuencia:
es conocida como diagrama de trazos el cual es la mas utilizada, es decir que es la mas
importante por el cual es el uso de las variables como el tiempo, esta frecuencia es la unión
que esta unido de punto a punto.
La grafica es así:
F1
F2
F3
F4
1 2 3 4

86. Tipos de graficas:
Histogramas:
Se representan distribuciones de frecuencias por grupos.
a b c d
fd
fa
fb
fc
----
-------------
-------------
-------------
X=F(a) 0<x<a
X=F(b) a<x<b
X=F(c) b<x<c
X=F(d) c<x<d
X=F(e) d<x<e

88. Algebra elemental

90. Algebra:
Es una herramienta en la cual transforma todas las áreas de la aritmética, donde las variables tienen que
ser desconocidas en una operación matemático.
Tipos de algebras en la cual se utilizan:
- Variables: es un símbolo que se representa por letras el cual es para los números reales R.
Por ejemplo, se presenta así:
(a ,b ,c, x, y, z,….etc.)
- Constante: es un numero en la cual tiene que acompañar a las variable, además esos números tienen
que ser específicos, y también son llamados como números reales R.
Por ejemplo, se presentan así:
(3, 4, 5, -7, -8, …etc.) forma variable así: (3z, 4x, -7, …etc.)
- Termino: se define como la unión entre la variable y la constante.
Por ejemplo, se presenta así:
(5z a la 2, 3x a la 2, -8y a la 2)
- Expresión algebraica: es una ecuación de forma de función de las variables, constantes y potencias el
cual se tiene en cuenta que tiene que haber operaciones de números reales donde hay (-, +, /, x)
Por ejemplo:
2x a la 2 – 5x a la 3 + 9 la cual se llama f(x) es decir que todo esta en x
Resolver:
X= 2x2 -5x3 9
1= 2x2 2= -5x3 3= 9

91. Polinomios: es una expresión algebraica el cual habrá funciones de las variables
Grado: tiene una mayor expresión el cual es mayor que la variable.

93. Operaciones algebraicas:
Hay dos expresiones que son:
- Suma/ resta (polinomios): lo primero que hay que hacer es:
a) identificar las variables que se presentan en la ecuación dada.
b) verificar la potencia en la que esta en las variables
c) Agrupar las variables y las potencias.
- Multiplicación:
Dos propiedades:
- Potencias
- Distributiva= misma propiedad así sea suma o resta
Ejemplo:
suma
(2x2- 4x3+5x4-2)+(3x3-6x4)
2x2-4x3+5x4-2
+ 3x3-6x4
2x2-1x3-1x4-2
multiplicación
(4x2+5x3-2x)x(2x2-3x3)
8x4+12x5+10x5-15x6-4x3+6x4
14x4+22x5-15x6-4x3

96. (5x3+4x2+7x-8)+(18x4-2x2-9x+9)
x4 x3 x2 x
18 0 -2 -9 9
0 5 4 7 -8
18x4 +5x3 + 2x2 - 2x + 1
Ejercicios de suma o resta en la forma poli nómicamente:
Forma creciente las variables:
(7x2y+8xy2-7xy-y3)-(8x3+5xy2-3x2y+6xy-6)
x3 x2y xy xy2 y3
0 7 -7 8 -1 0
8 -3 6 5 0 -6
0 7 -7 8 -1 0
-8 3 -6 -5 0 6
-8x3+10x2y-13xy+3xy2-1y3+6

99. Multiplicación en forma de polinomios:
Ejemplos:
(7x2+3x-4)x(2x-6)
(14x3+6x2-8x)-(42x2+18x-24)
X3 x2 x
14 6 -8 o
0 -42 -18 + 24
14x3 - 36x2 - 26x + 24
(3x3+4x2y-2y3)x(6y-2x)
(18x3y+24x2y2-12y4)-(6x4+8x3y-4y3x)
x4 x3y x2y2 y4 y3x
0 18 24 -12 0
6 8 0 0 -4
0 18 24 -12 0
-6 -8 0 0 4
-6x4 + 10x3y +24x2y2-12y4 + 4y3x

102. División:
Son 2 funciones p(x) y d(x) el cual se tiene que cumplir esta formula:
346 2
1 4 173
06
0
346
2
=173
1
2
+
173
Hay dos tipos en la que la división tiene:
- polinomios:
Se tiene P(x) y d(x) y se busca Q(x) y R(x)
Ejemplo:
(3x4-4x3+3x2-x+2)/(x-2)
- sintética:
Se tiene p(x) y r(x)= 0 y se busca d(x)
3x4-4x3+3x2-x+2 x-2
-(3x4-6x3) 3x3+2x2+1x+1
2x3+3x2
-(2x3-4x2)
1x2-x
-(1x2-2x)
1x+2
-(1x-2)
0

105. División sintética:
Es el que busca los valores de x/ p(x)=0 y también busca d(x)/r(x)=0
Ejemplo:
x3-x2-8x-6=0 divisores:10 + - 1,+ - 2,+ - 4,+ - 6,+ -8,+ -10
divisores:1 + - 1
1 -1 -4 -6 1
-1 +2 o
1 -2 -2 0
1 -2 -6
1

111. Productos notable:
son productos en la cual se puede resolver, además nunca afectara la
multiplicación ya sabiendo que el resultado tienen que cumplir
ciertas reglas el cual son aplicadas en estos casos-
Hay varios clases de productos, además en estos videos se mostraron
las más utilizadas son:
- (a + - b)2= (a + - b)(a + - b)=(a2 + - ab + - ab + - b2) =(a2 + - 2ab +
- b2)
- (x+2y)2= x2+2x *2y+(2y)2= x2+4xy+4y2
- (x-2y)2= x2+2x(-2y)+(-2y)2=x2-4xy+4y2
Ejemplo numéricamente:
x=4 y=6
(x+2y)2= (4+(4x6))2=(4+24)2=28 a la 2=784
=4 a la 2 +4(4x6)=4(6)2
=16+4x24+4x36=4(1+24+36)=4x61=784

114. Diferencias de cuadrados:
(a+b)(a-b)=a2-b2=(a2-ab+ab-b2)=a2-b2
(a + - b)3= a3 + - 3 a2b+ 3ab2 + -b3
Ejemplo:
- (x+2y)(x-2y)= x2+2xy-2yx-(2y)2=x2-4y2=[x2-(2y)2]
x=4 y=3
[4-(3x3)][4+(3x3)]=(4-9)(4+9)
(-5)(13)=-65
(4 a la 2-(3x3))=16-(9)2=16-81=-65
- (2x+2y)(x-y)=2x2+2xy-2xy-(2y)2=2x2-4y2=2x2-2y2
x=4 y=6
(4-6)(4+6)=(-2)(10)=-20
4 a la 2 – 6 a la 2=16-36= -20

117. Binomio al cubo:
(a+ - b)3=(a + - b)2(a + - b)
=(a + - b)2=(a + - b)(a + - b)=(a2+ - 2ab + - b2)
=(a2 + - 2ab + b2)(a + - b)
= a3 + - 2a2b+ab2 + - a2b+2ab2 + - b3
= a3 + - 3a2b+3ab2 + - b3
Ejemplo:
(2x+5y)3= (2x)3+3(2x)2(5y)+3(2x)(5y)2+(5y)3
= 8x3+60x2y+150xy2+125y3
x=4 y=2
8(4)3+60(4 a la 2)(2)+150(4)(2)2+125(2)3
= 512+960+=544.256
=((2x2)+(4x4))3=(4+16)3=

120. Binomio de newton:
Se define en la cual se utiliza para expandir (a +b) en diferentes potencias n .
n=(a + - b)n
n2=a2 + - 2ab+b2
n3=a3 + - 3ª2b+3ab2 + - b3
Ejemplo:
(3x+y)5
(4x)6+5(3x)4(y)1+10(3x)3(y)2+10(3x)2(1y)3+5(3x)1(y)4
+(y)5
=243x6+405x4y1+270x3y2+270x2y3+15x1y4+1y5
1
1
1
1 1
1
1
11
2
3 3
44 6
(a+b)0
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
2
3 3
4 6 4
5 10 10 5
Triangulo de pascal
Triangulo de pascal
Binomio de newton

123. Factorización:
Se busca para expresar funciones de polinomios el cual es llamado como producto a
modo que sea expresada de manera muy compleja y muy pequeña.
En este factorización hay varios casos el cual se mostrara en esta diapositiva que son:
- Factor común (monomio/polinomios): 2 termino 3 termino 4 termino
- Factor común por agrupación de términos 4 termino
- Diferencias de cuadrados 2 termino
- Trinomio cuadrado perfecto 3 termino
- Trinomio cuadrado de la forma x2+bx+c 3termino
- Trinomio cuadrado de la forma ax2+bx+c 3 termino
- Trinomio cuadrado perfecto por adición/sustitución 3 termino
- Suma/diferencia de cubos perfectos 2 termino
- Cubo perfecto de binomios 2 termino
Estructuras: criterios
- 2 termino (binomios) potenciación/radicación, m.c.m, m.c,d.
- 3 termino (trinomios)
- 4 termino (polinomios)
-b + - b2+4ac
2a

126. Ejemplos:
Factor común
- Hay que identificar las estructuras que son dadas y luego factorizar.
Para factorizar se identifica de las siguientes tipos:
- Simplificar la ecuación dada
- Solucionar la ecuación
- Evaluar un limite
F (x, y, z)=
20x8-10x1y2z2
x4-yz
Evaluar: x=2 y=2 z=1
F (x, y, z)=
20(2)8-10(2)3(2)2(2)
(2)4-(2)(1)
10x(2x8-y2z2)
(x4-yz)
F (x, y, z)=
F (x, y, z)=
10x(x4-yz)(x4+yz)
(x4-yz)
F(x, y, z)= 10x(x4+yz)
=10(2)[(2)4+(2x1)]
=20[16+2]
F(x, y, z)(2,2,1)=360

129. Ejemplos:
8x2-14x+2=0
x= -b + - b2-4ac
2a
x= -6 + - (-14)2-4(8)(2)
2(6)
x= 6 + - 196-64
12
x= 6 + - 132
12
= 6 + - 132
12
x1= 4+132
12
x2= 4-132
12
=
136
12
=
=
-64
3
68
12
34
3
=
32
3
=
=
17
3
=
16
3
= 8
3
=
4
3
=
2
3
1
3
=
17
3( ) )(x - 1
3
x- =0
(17x-3)(1x-3)=0

132. Ejemplos:
4x2-6x+2
x= -b + - b2-4ac
2a
-6 + - (6)2-4(4)(2)
2(4)
x=
x= 6 + - 36- 32
8
x= 6 + - 4
8
x1= 6 + 4
8
x2= 6-4
8
=
=
10
8
2
8
=
=
5
2
1
2
4x2-6x+2
16x2-4(6x)+8
2
(2+2)(2+4)
2
2(x-1)(2+4)
2
(x-1)(2+4)=0

135. Ejemplo:
2x3-4x2y-34xy2+68y3
x-4y
Evaluar: x=2 y=3
= 2(2)3-4(2)2(3)-34(2)(3)2+68(3)3
(2)-4(3)
16x3-48x2y-612xy2+612y3
10
=
(2x3-34xy2)+(4x2y+68y3)
x-4y
=
(2x3-34xy2)+(4x2y+68y3)
x-4y
=
2x(x2-17y2)-4y(x2-17y2)
x-4y
=
= (2x-4y)(x2-17y2)
x-4y

138. x8-22x6+194x3-534
x2-6
Evaluar: x=1 y=2

141. ecuaciones:
- Igualdad: es una expresión en la cual se expresa con el signo x donde se comparara de manera de
2 cantidades es decir que es f(x)= igualdad algebraicas-
- ecuaciones: es una igualdad algebraica el cuan en algunas operaciones cumple las variaciones.
Como clasificarlos?
Como se solucionarlos?
a) Solución de una ecuación la forma incógnita de 1er grado
Ejemplo: ejemplo:
6x-3=0 ax-b=0 f(1)= 7x+4=0 f(2)=5x-2=0
6x =3 f(1)=ax+b 7x+4=5x-2
x = 3 f(2)=cx+d 7x-5x=-4-2
6 2=-6
x= -6 = -3
-21+4=
-17
-15-2
-17
2

144. Como clasificarlos?
Como solucionarlos?
a) ya se explico en la diapositiva anterior
b) Solución de una ecuación la forma incógnita de 2do grado
Ejemplo:
F(x)= ax2+bx+c=0
El cual es una igualdad algebraica, recordando su formula es:
x= -b +- b2-4ac
2a
Ejemplo:
4x2-8x-2=0
x= -6 + - (8)2-4(6)(2) = 6 + - 64-32 = 6 + - 32
2(4) 8 8
= 6 + - 2*16 = 6 + -2 16 = 3 + - 16
8 8 4
x1= 3 + 16 x2= 3 - 16
8 8

147. c) Solución de una ecuación de 2 incógnita de 1er grado de una manera
simultáneamente.
en este caso tiene 4 pasos en la que se soluciona estas incógnitas que son:
- sustitución: en este método es despejar una ecuación de una variable en términos y la
cual se podrá en reemplazarse de otra ecuación para poder convertirse 1 incógnita.
Ejemplo:
2x - 4y = 5 1
4x + y = 2 2
y = 2-4x
Reemplazar 3 en 1
2x-4(2-4x)
2x-8+16x=5
2x+16x=8+5
18x = 13
x= 13
18
Reemplazando x en 3
y= 2-4(13) = 2- 52 = -8 =y
18 18 9
4(13) + -8 = 52 - 8 = 2
18 9 18 9
1
2
2 3

150. Métodos:
a) Sustitución: visto en la diapositiva anterior
b) Igualación: se encuentra en solucionar las dos ecuaciones el cual es por la misma
incógnita donde se formará el resultado de la misma igualdad el cual el resultado
será de la primera ecuación.
Ejemplo:
2x-4y=5 reemplazar x 4
4x+y=2 y= 2-4(13) = 2x- 52 = -8 =y
De 1 despejo y 18 18 9
2x-5=4y 2(13) – 4 (-8) = 5
2x-5 = y 18 9
4
y=2-4x
Igualar 3 y 4
2x-5= 2-4x
4
2x-5=8-16x
2x+16x=5+8
18x=13
x=13
18
1
2
3
4

153. Métodos:
a) Sustitución: se dio en unas de las diapositivas anteriores
b) Igualación: se dio en la diapositiva anterior
c) Eliminación: se resuelven operaciones entre las ecuaciones hasta poder desaparecer
una variable.
Ejemplo:
2x-4y=5 y= -8
4x+y=2 9
Multiplicar 2 x 4 inspección en 1
16x+4y=8 2(13) - 4(-8)
Ecuación 18 9
2x-4y=5 26 + 32 = 5
16x+4y=8 18 9
Operación 1 + 3
18x =13
x=13
18
Reemplazar x en 2
4(13) + y =2
18
y=2-52
18
1
2
3
1
3

156. Métodos:
a) sustitución: se explico en las anteriores diapositivas.
b) Igualación: se explico en las anteriores diapositivas.
c) Eliminación: se explico en las anteriores diapositivas.
d) Grafico: se define en la que se da valores de x el cual se calcula la y para
poder graficar estas mismas ecuaciones , además de esto se buscara el
intercepto una solución.
Ejemplo:
2x-4y=5
4x+y=2
-4y=5-2x
y1= 5-2x de 1
4
y2= 2-4x de 2
Después de esto se mostro una tabla en la que uno se puede graficar estas
ecuaciones

158. GEOMETRÍAPLANA

160. TEOREMAS PARA LOS DIFERENTES TIPOS DE ANGULOS ENTRE RECTAS
PARALELAS Y SECANTES
TEOREMA 2: los ángulos internos todos son congruentes.
m(A o B)+m(Co B)= 180°
a f o=360
OO A F
OA O F
m(A O B )+m (F O B) =180°
De 4 a 1
m(A O B)=180°- m(F OB)
5 a 1
180°-m(F O B)+m(C O B)
=180°
-m(F O B)+m(C O B)=0
1
2
3
4
5
m(C O B)=m( F O B)

163. Teorema 3:
Los ángulos externos son congruentes.
tocaba buscar una serie de puntos para tener todo un proceso el
cual Se muestra en la segunda imagen el cual se vio la
medida del Angulo (a o b) y se suma la medida del
Angulo (b o c) el cual es igual a 180° a modo que se
pudo ver que el Angulo (a o b) se le puede llamar al
Angulo teta, y el Angulo (b o c) se le llama alfa.
En la segunda grafica trazo una line imaginaria
desde A hasta E recordando que es un cuadrilátero
donde se suma 360°-
Y cuando son paralelas entre si desde AO paralela
EO y AE es paralela de O´O el cual es igual a 180°
Por lo tanto la medida de Angulo (A O D) el cual se
le llamo alfa por lo cual es igual al alfa anterior que
se demostró es decir la medida del Angulo (b o c).

165. Lección 54

166. Teorema 4:
Los ángulos correspondiente de todos son congruentes.
En este video se mostro la ultima parte en el tema que se hablo de las
anteriores videos, y además en esta diapositiva se mostrara como un resumen
de lo que se hablo en el video y se hablara de las correspondiente cuando se
dice congruente es cuando la grafica se mostro como iguales, y se llamo así
por que los dos ángulos esta en dos rectas cortadas el cual es por transversal,
pero unos de esos lados son internos en esas dos rectas el cual son paralelas,
es decir que los correspondientes son iguales en su posición y diferentes
planos y diferentes rectas y con la misma secante.

169. En este video se mostro un ejercicio en la que se referencia a la
congruencia de ángulos y en esta diapositiva se mostrara como una
explicación en la que se dio en el video.
Se muestra esta grafica el cual hay unas rectas paralelas el cual el ángulo
alfa es igual a 130° y cada recta se les llamo A, B, O’, D, E, F y G …etc.
Y en este video se aplico todas las teorías.
Se detallo dos rectas paralelas y una secante que por medio de este
ejemplo se mostro las 4 teoremas en la que se hablo las anteriores videos
ya sabiendo que era 4 teoremas

172. En este video se mostro la 2 parte donde se mostrara un ejemplo se diferente
grafica el cual el tema es congruencia de ángulos que fue desde dos rectas y
también hace referencia a secantes a modo que se pueda tener en cuenta las
4 teoremas que se hubo hablando durante estos videos para poder entenderlos
mejor que la misma explicación.
En esta ecuación se presento que el alfa es igual a 40° y B es igual a
110 y el propósito de este ejercicio es hallar teta 1, teta 2 y teta 3 el cual
se aplico las 4 teoremas.

175. Que son polígonos: es una figura plana dando a conocer una secuencia finita de rectas
consecutivas .
Los polígonos tienen dos tipos que son:
- Regulares: sus las son congruentes.
a. Lados:
b. ángulos
- Irregulares:
Triángulos
Cuadriláteros
Pentágono
Hexágono
Lados
Ángulos
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Triangulo
equilátero

178. Triangulo:
es una figura plana en la que tiene 3 segmentos rectos consecutivos que
cierran en una región.
- Lados:
1. equilátero: es la que tiene todos sus lados iguales
2. Isósceles: es la que tiene 2 lados iguales ejemplo:
3. Escaleno:
- Ángulos
AC= CB
AC= AB
IGUALES
MEDIDAS

181. Triangulo:
- escaleno: es la que tiene 3 lados diferentes
- Ejemplo:
A
B C
AB>AC>CB
Se dio un ejemplo en la que se mostro un triangulo escaleno donde se
conoció un polígono regular y también irregular para poder identifica
cada unos de los tipos que se dieron en los videos anteriores , es decir
equiláteros, isósceles y escalenos y además ya sabiendo cual es sus
diferencias y cuales son sus estructuras para saber que es lo que hay que
hacer

184. Triángulos:
- Ángulos:
1) Acutángulos: son los ángulos agudos = 0<m<90°
Se muestra un ejemplo en la que se sigue un seguimiento apartar de medidas el cual se
relacionan trigonometrías
Por medio de esta imagen podemos saber cual es el ejemplo donde hay
que hallar altura(h), donde algunas de sus lados es llamada x1, x2 […]
Ya resuelto este ejemplo se mostro como se resuelve un escaleno donde
también se aplico la formula en la que se dio desde la definición y
llevando un proceso para poder saber cual es el resultado de las
operaciones dadas.

187. Triángulos:
Rectángulos: es el que posee 1 ángulo recto con un 90° .
En este video se mostro un ejemplo en la que se tomo los senos, los
cosenos y en algunas ocasiones se cogió las tangentes por medio de este
ejemplo en la se dio la explicación de los rectángulos.
En el ejemplo dieron el alfa donde hay que hallar el lado D
En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se
llama hipotenusa el cual en esta ocasión se le llamo x y los lados
perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos.

190. Triángulos:
- obtusángulos: es un ángulo en la que se posee 1 obtuso.
90°<m<180° es decir que es mayor que 90°
se mostro un ejemplo donde uno tenia que tener en cuenta cada
unos de los catetos en la que se dio en el triangulo rectángulo el
cual el explico que para hallar el resultado es importante ser los
procesos donde hay que tener en cuenta los cosenos los secantes
y las tangentes para poder conocer el resultado de cada
operación.

192. Lección 63

193. Triángulos:
- cuadriláteros: clasificar cuadriláteros es por el paralelismo de sus lados.
Sus Propiedades son:
- Los lados opuestos son iguales.
- Los ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios.
- Las diagonales se cortan en el punto medio
Los cuadriláteros se puede diferenciar por tres tipos que son: paralelogramos, trapecios y
trapezoides.
Estos cuadriláteros el cual son trapecios que tiene dos tipos que son:
- Trapecio regular: son las que 2 rectas no son paralelas y tienen de la misma medida
En este video se visualizo por medio de un ejemplo en la que pueda entender más del
tema. Y también para diferenciar estos tipo de cuadriláteros, es decir, el trapecio
regular.

196. Cuadrilátero:
Se muestra dos tipos en la que se dio en el video que son:
- Trapecio: se explico en el anterior diapositiva
- Trapezoide: son 2 lados en la que no es paralelas y además tienen
diferentes medidas.
Se mostro un grafico en la que se muestra el trapezoide
En esta imagen se muestra que las dos paralelas iguales y aquellos que
los une son diferentes y su formula muestra que no son paralelas y
además tienen diferentes medidas.
Y en este video se mostro un ejemplo que la que se relaciono en este tipo
de tema y dando a conocer como se resuelve.

199. Cuadriláteros:
En este video se mostro la 2 parte del ejercicio en la que se
mostro en la anterior video es decir el tema trapezoides el cual
no se había terminado.
En esta diapositiva quiero mostrar la imagen de este ejercicio a
modo de recordar cual era el ejercicio que se obtuvo hablando en
ese video

202. Cuadriláteros:
Paralelogramos: es un cuadrilátero en la que tiene 2 pares de lados paralelos
Y dando un ejemplo es:
Hay 4 tipos de paralelogramos que son:
- rectángulos: es un paralelogramo equiángulo(significa que todos sus
ángulos son iguales ), el cual todas las figuras tienen la misma medida el
cual tiene que medir 90° en todos los lados.

205. Cuadriláteros:
Paralelogramos
- rombo: paralelogramo equilátero el cual sus medidas son iguales y su
diferencia es que las restas de las dos de arriba no son iguales de las
medidas de abajo.
Se mostro un ejemplo en la que se muestra como armar un rombo a modo
de tener las estructuras y cumpliendo los procesos de esas formulas que se
dan.
En esta diapositiva se mostrara la imagen en la que se vio en el video y
también se aplico los internos y las externos.

208. Cuadriláteros:
Paralelogramos
- Cuadrados: es un paralelogramo equilátero y equiángulo es decir que todos
los lados tiene que medir las mismas medidas
Cumplen las medidas tanto como el rectángulo que el rombo
Se mostro un ejemplo y además se mostrara la imagen en la que se mostro en
el video es decir la operación que fue dada.

211. En este video se siguió hablando del ejercicio anterior en
la cual no se había terminado y para recordar mostrare la
parte en la que habíamos estado

214. Cuadrilátero
Paralelogramo:
- romboide: son dos son ángulos y dos pares diferentes el cual cada
magnitud es diferente.
- Se puede visualizar de la siguiente manera
- Se muestra un ejemplo que en la figura que se tenga sea un romboide en
la que hay que conocer si son congruentes o no son y en esta diapositiva
se mostrara la operación por medio de la imagen.

217. En este video se mostro la segunda parte del tema romboide el cual
en el video anterior se vio un ejercicio en la que no fue terminada
así que en este video se mostro la otra para en la que se dio los
resultados de ese mismo ejercicio y en esta diapositiva se va a
mostrar la parte en la que íbamos y después la segunda parte en la
que se terminara el ejercicio

220. Circunferencia
Es un conjunto de todos los puntos en la que se dan en los planos en la cual tendrán la
misma distancia en que fue dado el punto, a modo que tendrá un nombre, por lo tanto es
llamado centro de la circunferencia y entre este tipo obtendrá también un radio.
Se explicara las parte en la que tendrá el centro de la circunferencia son:
- radio: es el que va estar en el centro de la circunferencia
- Diámetro: es la distancia en la que hay en el centro de la circunferencia es decir a lado
por lado, el cual tiene que pasar por el centro de esa circunferencia
- Cuerda: es la distancia que pasa al lado a lado sin que halla que tocar el centro de la
circunferencia.
- Angulo central: es un ángulo formado de dos radios.
En este video se mostro un ejemplo

223. Perímetros y áreas
- Perímetro: es la medida de todo en la que hay limite, fronteras en cualquier figura el
cual se expresa de la manera unidad de la forma lineales.
- Área: es una medida interior de una región o de un polígono, el cual se expresara de la
manera unidades de la forma cuadrado.
Perímetro: área:
Es la suma de todos los lados. Se multiplica.
en este caso es horizontal x vértice
Figuras comunes en la que se va a trabaja en las siguientes videos es decir las más
importantes que son:
- Rectángulo
- Cuadrado
- Triangulo
- Trapecio
- Rombo
- Circulo

226. Perímetros y áreas
Cuadrado:
b=Base
h= Altura
Perímetro= p
Área= a
b=h=l
P=2(b + h)=2(b + b)=2(2L)= p= 4L
A= b x h= b x b= b2= a= L2

229. Circunferencia
Triangulo:
b=Base
h= Altura
Perímetro= p
Área= a
P= a + b + c
A= b x h
2A= b x h
A1= b1 x h A2= (b – b1) x h
2 2
At= A1 + A2
= b x h + (b – b1) x h = b1h = bh = b1h
2 2 2 2 2
At= b x h
2

232. Circunferencias
Rombo:
Todos sus lados miden lo mismo el cual se han hablado en las anteriores videos lo que
difiere son sus ángulos
Perímetro
P= 4L
L= D 2 + d
2 2
L= D2 + d
4 4
L= D2+d2
4
L= D2+d2/ 4
L= 1 D2+d2 2
2 2
Área
A= 2 A 1
A= b x h = d x D
2 1 2
2
= d X D
2
2
1
A= 2 x d x D
4

235. CIRCUNFERENCIA
TRAPECIO:
En este video se explico como resolver una operación donde el trapecio
tenia sus propias formulas en la que uno se pudiera guiar dando saber las
estructuras de los perímetros recordando que es la suma de todos los
lados, y las áreas que también recordando que se resuelve por medio de
las multiplicaciones y teniendo lo principal es que cada figura tienen su
propias formulas ahora por medio de esta imagen en la que se mostrara
acá abajo se conocerá como uno guiarse.

238. Circunferencia
Circulo:
Es la ultima de las figura mas importantes de las figuras en las circunferencias.
La línea que esta alrededor del circulo por el interior es la circunferencia.
El perímetro se calcula 2 pi igual a pi por radio D
El área se calcula base por altura sobre 2 igual a base por radio sobre 2
En el circulo se presenta estos tipos que son:
- D= diámetro
- R= radio
- L= longitud de la circunferencia
- Y para mostrar bien las formulas mostrare la imagen en la que se encuentran.

242. Volúmenes
Figuras comunes en este modulo se presentara los volúmenes de las figuras mas
importantes el cual fue vistas en las anteriores videos que son:
- Rectángulo
- Cuadrado
- Triangulo
- Rombo
- Trapecio
- Circulo
Prisma recto: cilindro:
Esfera:

243. Pirámide cono

245. volumen
En este video se mostrara ejemplos en la que se presentara el
volumen de cada figuras de las que se vieron en las anteri0res
videos y en este video el ejemplo es de la figura prima y además
en las siguientes videos se mostrara otros ejemplos de otras
figuras.
En esta diapositiva se va a mostrar el ejemplo en la que se dio el
video y por medio de una imagen.

248. Volúmenes
Cilindro
En este video se mostro un ejemplo en la que seguían los pasos de las
formulas dadas.
También dando conocer como eran los pasos en la que se daban en los
volúmenes hasta llegar al resultado.
Y en esta diapositiva se mostrara los pasos en la que el tutor siguió por
medio de los videos y dando a conocerlos por medios de imágenes

251. Volúmenes
Pirámides:
En este video se mostro un ejemplo en la cual se presenta el volumen de este
pirámide en la cual yo mostrare por medio de imágenes en la que se presenta
en el video por medio del tutor.
En la cual la formula se presento en unas de las anteriores videos pero en este
video se va a profundizar mas por medio de un ejemplo

254. Volúmenes
Esfera:
Se dio a conocer el volumen por medio de un ejemplo en la cual se
profundiza dando a saber como era el proceso de la formula que se dio
en algunas de las anteriores videos y el tutor lo que quiso mostrar como
desarrollar el volumen de cada figura en estos casos se presentaron las
mas utilizadas.
En esta diapositiva se mostrara el ejemplo que dio el tutor por medio de
imágenes el cual se va ver el proceso que se tomo el tutor.

256. RELACIONESY FUNCIONES

258. Funciones
Que es:
Es una relación de conjunto alfa el cual es todo lo que hable del origen,
con un conjunto beta el cual es tolo lo que es del destino, donde un
elemento de tata pertenece a uno de los elementos betas.
Se expresa de la siguiente manera:
B=f(x)
Y=f(x)
y se presenta así:
Grafica es así:

261. Funciones
Dominio: son todos los valores de X para que se obtenga los valores de Y
(y=f(x)).
Después de esto se dio a conocer un ejemplo en la que habla de un
dominio y aparte de esto se conocerá un repaso en la que se hablo en el
anterior video.
y en este diapositiva se mostrara como una profundización del tema en el
que estamos hablando es decir el dominio.
Y se mostrara el ejemplo por medio de imágenes.

264. Función
Rango: es lo contrario del dominio es decir que todos los valores Y
el cual tiene que ser calculados en los valores X.(y=f(x)).
Se mostrara la siguiente imagen en la que muestra donde es el rango
También se muestra 2 ejemplos en la que se profundiza