Matemática trayecto inicial

1. Expresiones Algebraicas, Factorización y Radicación
Luis Cuicas
Republica Bolivariana de Venezuela
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara "Andrés Eloy Blanco”
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología Programa Nacional de
Formación en Sistemas de Calidad y Ambiente

2. Contenido.
• Suma, Resta y Valor numérico de
Expresiones algebraicas.
• Multiplicación y División de
Expresiones algebraicas.
• Productos Notables de Expresiones
algebraicas.
• Factorización por Productos Notables.

3. Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
• Suma Algebraica:
Una suma algebraica es una sucesión de sumas y restas. Para resolverla, se suman todos los números positivos y se le resta la suma
de los números negativos.
Ejemplo:
25x+30x-15x+40x-10x=
95x-15x-10x=
95x-25x=
70x
• Resta Algebraica:
Es una de las operaciones fundamentales en el estudio del álgebra. Sirve para restar monomios y polinomios. Con la resta algebraica
sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Se puede decir que es el proceso inverso de la suma algebraica.
Ejemplo: resta de monomios
2x – 4x = (2 – 4)x = –2x

4. Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
• Valor numérico:
El valor numérico de una expresión algebraica en general (y por supuesto de un polinomio en particular) es el resultado que se obtiene al
adjudicar un valor determinado a su variable y realizar los cálculos correspondientes.
¿Cómo se procede para calcular el valor numérico?
Muy sencillo en este caso, al igual que en todos, sólo debes sustituir cada lugar donde veas “x” (es decir donde veas la variable) por el valor que
te dieron.
Ejemplo:
Aquí primero sustituimos a "X" por su valor, es decir (-2) y realizamos las potencias.
P(x)=2(-32)- 4(-8)+ 5(-2) - 6
Luego los productos.
P(x)= -64 + 32 -10 - 6
Resultado: -80 + 32 = -48

5. Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
• Multiplicación algebraica:
Es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicando
y multiplicador.
Algunas de las leyes que se aplican e la multiplicación algebraica son:
La ley de signos nos dice que:
La multiplicación de signos iguales es siempre positiva.
La multiplicación de signos diferentes es siempre negativa.
La ley conmutativa
Esta ley nos dice que el orden de los factores no altera el producto, esto es, ab=ba, veamos dos ejemplos:
• xy2=y2xxy2=y2x
• xyz2=yxz2=xz2y=yz2x=z2xy=z2yxxyz2=yxz2=xz2y=yz2x=z2xy=z2yx
La ley asociativa
Nos dice no importa de que manera se agrupen los factores, esta no altera el producto, esto es, a(bc)=(ab)ca(bc)=(ab)c, aclarando con un
ejemplo:
xy2z3=x(y2z3)=y2(xz3)=z3(xy2)xy2z3=x(y2z3)=y2(xz3)=z3(xy2)
Ley distributiva
Nos dice que la multiplicación de un factor por una suma de dos o mas términos es igual a la suma de cada termino multiplicado por el factor
dado, esto es, a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac, veamos estos ejemplos:
• 3(4+1)=3⋅4+3⋅1=12+3=153(4+1)=3⋅4+3⋅1=12+3=15
• 5(x+3)=5⋅x+5⋅3=5x+155(x+3)=5⋅x+5⋅3=5x+15

6. Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
• División algebraica:
Es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un algoritmo.
Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un punto importante: el mayor exponente de algún término del dividendo debe ser
mayor o igual al mayor exponente de algún término del divisor.
El esquema clásico (división larga de polinomios) contempla las siguiente partes:
Tal que cumpla la siguiente relación:
Esta expresión se le conoce como identidad de la división y literalmente nos dice que:
El dividendo es igual al divisor por el cociente, mas el residuo. De aquí se puede extraer dos tipos de división.
Clases de división
División exacta.
Esta división se define cuando el residuo R es cero, entonces:
División inexacta.
Esta división se define cuando el residuo R es diferente de cero. De la identidad, dividiendo entre el divisor d, tenemos:
Significa que la división es inexacta ya que existe un termino adicional

7. Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Ejemplo de división de polinomios:
Dividir x3–5x2+7x+2x3–5x2+7x+2 entre x−3
El cociente y el residuo es q=x2–2x+1q=x2–2x+1 y R=5R=5 respectivamente.

8. Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Productos notables:
Son expresiones algebraicas que vienen de un producto que conocemos porque sigue reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple
inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Estas operaciones son fáciles de recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación
correspondiente.
1. Cuadrado de la suma de1. Cuadrado de la suma de dos cantidades dos cantidades
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la suma por si misma:
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya resta está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la resta por si misma:

9. Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
Recordemos que dos números negativos cuando se multiplican, el signo resultante es positivo:
3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados)
En este caso, la multiplicación se realiza de la siguiente forma;
4. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a+b-c)
Este producto lo podemos transformar en la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia:

10. Productos Notables de Expresiones algebraicas.
5. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a-b-c)
En este caso se realiza lo siguiente:
• los términos negativos del trinomio se agrupan en paréntesis con el signo negativo delante, por lo que estos términos negativos pasan a ser positivos.
• Luego en el trinomio de las sumas se agrupan los mismos términos.
Esto queda de la siguiente forma:
Ahora se puede desarrollar como un producto de la suma por la resta de dos cantidades:
6. Cubo de la suma de dos cantidades
En el cubo de un binomio tenemos lo siguiente:
Podemos desarrollar el cuadrado de la suma y luego multiplicarlo por (a+b):

11. Productos Notables de Expresiones algebraicas.
7. Cubo de la resta de dos cantidades
En el cubo de un binomio con una resta tenemos lo siguiente:
Podemos desarrollar el cuadrado de la resta y luego multiplicarlo por (a-b):
8. Producto de dos binomios con tres cantidades diferentes
Primer caso
Segundo caso
Tercer caso

12. Factorización por Productos Notables.
Factorización:
Es el proceso algebraico por medio del cual se transforma ua suma o resta de términos algebraicos en un product algebraico.
Se puede entender también como el proceso inverso del desarrollo de productos notables.
Factor común:
¿En qué casos se usa? Usualmente en polinomios de 2 o más términos que comparten al menos una variable o un factor en los coeficientes.
¿Cómo se hace? Primero se determina cuál es el factor común entre los términos, luego se calculan los factores correspondientes y finalmente se reescribe la expresión.
Encontraremos el factor común del siguiente polinomio:
Paso 1. Conseguimos el mayor factor común de 24 y 16. Los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24; los factores del 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. El mayor factor común es
el 8.
Paso 2. Conseguimos los factores comunes de las variables. Las variables comunes son x y y. La mayor potencia común de x es x6 y la mayor potencia común
de y es y3.
Paso 3. Escribimos el factor común del polinomio como el producto de los pasos 1 y 2 anteriores:
Ahora podemos pasar a factorizar la expresión original.
Paso 4. Reescribimos cada término del polinomio en función del factor común. Para esto dividimos cada término entre el factor común para obtener un segundo factor.

13. Factorización por Productos Notables.
Paso 5. Sustituimos cada término por el factor común y el segundo factor respectivo.
Nota: 8x6y3(3x2)- 8x6y3(2y4z3) no es la forma factorizada porque aún no están separados los factores.
Paso 6. Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común.
Paso 7. Revisamos los pasos realizados y reescribimos la expresión factorizada.

14. Ejercicios realizados

15. Ejercicios realizados