semana 2 analisis matematico desarrollo de la clases de la facultad de ingenieria mecanica de la uncp

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento Académico de Ingeniería Mecánica
Asignatura:
Análisis Matemático I
Unidad
Trazado de Gráficas Especiales
Ing. Mario Arellano Vílchez
Huancayo, 2012
2

2. Análisis Matemático I 2
COMPETENCIA
Realiza trazado de graficas especiales
CONTENIDO
1.11.1 Función racional entera o polinomial
1.11.2 Función racional fraccionaria
1.11.3 Función par y función impar
1.12 Trazado de gráfica especiales.
INTRODUCCION
En esta sección analizaremos las características de la función par e
impar, así mismo realizaremos trazado de graficas especiales. Se ha
realizado de una manera sencilla y concreta de tal manera que sea de
fácil comprensión.
Cualquier sugerencia agradeceré se sirva enviarme al siguiente correo
electrónico marellanovilchez111@yahoo.es
EL AUTOR

3. FIM-UNCP Mario Arellano Vilchez3
1.11.1 Función racional entera o polinomial
1 2
1 2 1 0: / ( ) ...n n
n nf f x a x a x a x a x a
       
Donde 0 1 0, ,..., ; 0, ( )na a a a f x  es un polinomio de
grado n N .
Los términos ai se llaman coeficientes, siendo an el coeficiente
dominante y a0 el término constante.
;fD   el fR depende del polinomio.
Casos particulares
a) Polinomio de primer grado f(x) =ax1+a0 , es una función lineal
b) Polinomio de segundo grado a2 x2
+a1x+a0, es una función
cuadrática
c) Polinomio de tercer grado a3 x3
+a2x2
+a1x+a0 , es una función
cúbica
d) Si n = 1 , an = 1 , a0 = 0; f(x) = x es la función identidad
1.11.2 Función racional fraccionaria
( )
: / ( )
( )
p x
f f x
q x
    , ( ) 0q x 
Donde ( ) ( )p x y q x son polinomios con grado ( ( ) ( ( )).q x grado p x
 / ( ) 0fD x q x  
Las funciones polinómicas y las funciones racionales son ejemplos de
funciones algebraicas.

4. Análisis Matemático I 4
1
xy 
0
X
Y
Ejemplos
a)
1
( )f x
x

 0f fD R  
b) 2
1
( )
1
g x
x


gD  
 0;1gR 
2
1
1 x
y 

X
Y

5. FIM-UNCP Mario Arellano Vilchez5
1.11.3 Función par y función impar
a) Diremos que :f   es una función par si cumple las siguientes
condiciones:
i) : f fx x D x D    
ii) ( ) ( )f x f x 
Observación.- La gráfica de una función par es simétrica al eje de
coordenadas (eje Y)
Ejemplos:
1. Determinar si la siguiente función es par
2
( ) 1f x x 
Solución
Evaluar:
2 2
( ) ( ) 1 1 ( )f x x x f x      
Por tanto
2
( ) 1f x x  es una función par.
2
1y x 
X
Y

6. Análisis Matemático I 6
X
Y
-1 1 2
( )y g x
1
X
Y
-1
1y x 
1. Determinar si la siguiente función es par
  2
: 1;2 / ( )g g x x  
Solución
i) 1,5 1,5g gD D  
g no es función par, no
cumple con la primera
condición.
2. Determinar si la siguiente función es par
: / ( ) 1f f x x   
Solución
Es una función par
b) Diremos que :f   es una función impar si cumple las
siguientes condiciones:
i) : f fx x D x D    
ii) ( ) ( )f x f x  

7. FIM-UNCP Mario Arellano Vilchez7
( )y g x
X
Y
1
-3
Observación:.- la gráfica de una función impar es simétrica con
respecto al origen de coordenadas..
Ejemplos
1. Determinar si la siguiente función es impar
3
( )f x x
Solución
Evaluar :
3 3
( ) ( ) ( )f x x x f x      
Por tanto cumple con la segunda condición
3
( )f x x es una función impar
2. Determinar si la siguiente función es impar
33
: 3;1 / ( )g g x x    
Solución
i) 3 3
3 3g gD D    ,
en consecuencia g no es una
función impar.
3
y x
X
Y

8. Análisis Matemático I 8
Notas
1. Existen funciones que no son pares ni impares. Por ejemplo
2
( )h x x x 
2. Existe una única función que es par e impar. Dicha función es la
función constante cero.
( ) 0O x 
3. Toda función :f   se puede expresar como la suma de
una función par e impar
f g h 
Donde  
1
( ) ( ) ( )
2
g x f x f x   y
 
1
( ) ( ) ( )
2
h x f x f x  
1.12 Trazado de gráficas especiales
Si se conoce la gráfica de la función ( )y f x ; a partir de ella se pueden
graficar fácilmente las siguientes funciones
i) Desplazamientos verticales y horizontales
Sopóngase que c > 0. Para obtener la gráfica de
, se desplaza la gráfica de una distancia de c
unidades hacia la derecha
, se desplaza la gráfica de una distancia de c
unidades hacia la izquierda
Ejemplos
Graficar 1)
2
( 2)y x 
2)
2
( 2)y x 

9. FIM-UNCP Mario Arellano Vilchez9
Nótese que la gráfica corresponde a la función
2
y x , desplazamos 2
unidades hacia la derecha para el gráfico (1) y 2 unidades a la izquierda
para el gráfico (2).
ii) Para graficar
, se desplaza la gráfica de una distancia de c
unidades hacia arriba
se desplaza la gráfica de una distancia de c
unidades hacia abajo
Ejemplo. Graficar
1)
2
2y x 
2)
2
2y x 
x
2
( 2)y x 
2
( 2)y x 
2
y xy
2
2y x 
2
2y x 
2
y x
x
y

10. Análisis Matemático I 10
iii) Para graficar ( )y f x a b  
Se combinan los casos i) y ii)
Ejemplo. Graficar
1)
2
( 2) 1y x  
2)
2
( 2) 1y x  
iv) Para graficar ( )y f x 
Se refleja la gráfica de ( )y f x con respecto al eje x
Ejemplo graficar
2
y x 
2
( 2) 1y x  
2
( 2) 1y x  
2
y x
x
y
2
y x 
2
y x
x
y

11. FIM-UNCP Mario Arellano Vilchez11
v) Para graficar ( )y f x 
Se refleja la gráfica ( )y f x con respecto al eje Y
Ejemplo. Conocida la gráfica ( )y f x x  , graficar
( )y f x x   
vi) Para graficar ( )y cf x ; c > 0
a) Si C>1, se alarga verticalmente la gráfica
( )y f x por un factor C, alejándose
del eje X
b) Si 0 1c  , se contrae verticalmente la
gráfica ( )y f x en un factor C, con
respecto al eje X.
Ejemplo. Graficar
1)
2
2y x
2)
21
2y x
vii) Para graficar ( )y f x
De la definición de valor absoluto
( ), ( ) 0
( ) ( ) 0
( ), ( ) 0
f x si f x
y f x f x
f x si f x

   
 
Ejemplo. Graficar
2
1y x 
22 2
2 1
22 2
2
( 1) 01, 0
1
1( 1) 1
f xx si x
y x
f xx si x
     
   
   
La gráfica se encuentra en el semiplano superior 0y  reflejando
hacia el semiplano superior todo lo que está debajo del eje x, quedando intacto
la parte y = f(x)
y xy x 
x
y
2
2y x
21
2
y x
2
y x

12. Análisis Matemático I 12
Resumen de tipos básicos de transformaciones (a>0)
Gráfica original ( )y f x
Traslación horizontal de a unidades a la derecha: ( )y f x a 
Traslación horizontal de a unidades a la izquierda: ( )y f x a 
Traslación vertical de a unidades hacia abajo: ( )y f x a 
Traslación vertical de a unidades hacia arriba: ( )y f x a 
Reflexión (respecto al eje x): ( )y f x 
Reflexión (respecto al eje y): ( )y f x 
Reflexión (respecto al origen): ( )y f x  
BIBLIOGRAFÍA
AUTOR, AÑO Titulo, edición, editorial, País.
1.
Larson-Hostetler-Edwards,
2006
Cálculo I, 8ª ed Edit. Pirámide, España
2.
Luis Leithold, 1998 El cálculo, 7 ed. Edit Oxford, México
.
3.
Stewart James, 2010 Cálculode una variable. Conceptos
ycontextos, 4ta Ed.,Edit. Cengage
learning, México
4.
Penney & Edwards,2008 Cálculo con trascendentes tempranas.
7ma edic. Prenticel Hall. México