semana 3 analisis matematico desarrollo de la clases de la facultad de ingenieria mecanica de la uncp

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento Académico de Ingeniería Mecánica
Asignatura:
Análisis Matemático I
Sesión
Composición de Funciones
Ing. Mario Arellano Vílchez
Huancayo, 2012
3

2. Análisis Matemático I 2
COMPETENCIA
Determina composición de funciones
CONTENIDO
1.13 Composición de funciones en forma general.
1.14 Composición de funciones reales de una variable real
1.15 Función inyectiva
1.16 Funció inversa
INTRODUCCION
En esta sección analizaremos la composición de funciones y las
propiedades de la función inyectiva, así como la función inversa.
Cualquier sugerencia agradeceré se sirva enviarme al siguiente correo
electrónico marellanovilchez111@yahoo.es
EL AUTOR

3. FIM-UNCP Mario Arellano Vilchez3
1.13 Composición de Funciones en forma general
Sean :f A B y :g B C dos funciones tales que
0Rf Dg  . La función compuesta de g con f, denotada por
“ g o f ” se define por ( )( ) ( ( ))g of x g f x , donde
 / ( )gofD x A x Df f x Dg    
En el caso que la composición de funciones es de la forma
( )( ) ( ( ))f og x f g x
La composición de esta función de esta función se puede visualizar
mediante un diagrama de máquinas
o un mediante un diagrama de flechas
( )y f x
x ( ( ))g f x
f g
g of
fR
gD
A B C

4. Análisis Matemático I 4
En el caso que se desea hallar gof de se puede expresar de las formas
siguientes:
f g
x y z 
( ) ( )x f x gf x 
f g
A B C 
Ejemplo1: Dadas las funciones:
 
 
( 2;0),(0;3),(1;4),(3;5),(4;5)
( 1;2),(0;1),(3; 2),(5;0)
f
g
 
  
Hallar ( )gof
Solución
 
 
 
0,3,4,5
1,0,3,5
0,3,5
Rf
Dg
Rf Dg gof

 
   
C
f g
g of
A B C
fD gD

5. FIM-UNCP Mario Arellano Vilchez5
 
 
2;0;3;4
( 2;1),(0; 2),(3;0);(4;0)
gofD
gof
 
  
Nota. gofD son todos los elementos que recorren los dos caminos
1.14 Composición de funciones reales de una variable real
 Componer dos funciones significa aplicar la segunda función al
resultado de la primera
 A decir ( )y f x , y la función ( )x g t , podemos sustituir
esta última en la primera y obtener
( ( ))y f g t
A la función así obtenida se llama composición de f con g y se denota
por f og
Obsérvese que el orden en que se escribe la composición f og es el
inverso en que actúan las funciones ( primero g , después f)
En esquema es lo siguiente
-2
0
1
3
4
-1
0
3
4
5
2
1
-2
0

6. Análisis Matemático I 6
a) como aplicación sucesiva de funciones
b) Como sustitución de variable
( )
( ( ))
( )
y f x
y f g t
x g t
 

 
En resumen
( ) ( ( ))fog x f g x
Nota. Lo que está a la derecha es el conjunto partida.
Ejemplo 2
Dada las funciones
2
( ) 3 1 ( ) 2f x x y g x x   
Hallar ( )fog x y ( )gof x
Solución
a) Determinamos ( )fog x
Tenemos ( ) ( )fog x fg x , luego bastará sustituir en f(x) el valor de
x por g(x) , es decir

7. FIM-UNCP Mario Arellano Vilchez7
2 2 2
( ) ( ( )) ( 2) 3( 2) 1 3 5fog x f g x f x x x       
b) Determinamos ( )gof x
2 2
( ) ( ( )) (3 1) (3 1) 2 9 6 1gof x g f x g x x x x        
2
9 6 3x x  
Como se observa, la composición de funciones no cumple la propiedad
conmutativa, es decir ( ) ( )fog x gof x
Ejemplo 3. Dadas las funciones
2
( ) 5 ( ) 1f x x y g x x   
Hallar ( )gof x y ( )fog x
Solución
i) 5 0 5x x   
 / ( )gofD x x Df f x Dg   
 5;
Su regla de correspondencia es
2
( )( ) ( ( )) ( 5) ( 5) 1gof x g f x g x x     
( )( ) ( 5) 1gof x x   
ii)  / ( )fogD x x Dg g x Df   
   ; 2 2;fogD     

8. Análisis Matemático I 8
Su regla de correspondencia es
2 2
( )( ) ( ( )) ( 1) ( 1) 5fog x f g x f x x     
2
( )( ) 4fog x x  
Propiedades de la composición de funciones
i) Sean : , : :f A B g B C y h C D   , entonces
se cumple
( ) ( )hog of ho gof
La composición de funciones es asociativa
ii) Si , , :f g h   son funciones reales, entonces se cumple:
a) ( )f g oh foh goh  
b) ( )ho f g hof hog  
1.15 Función inyectiva
Una función :f A B se dice que es inyectiva si cada elemento de
B es imagen de a lo más, un elemento de A, es decir
i) 1 2( ) ( )f x f x en B 1 2x x  en A y
ii) 1 2x x , en A  1 2( ) ( )f x f x en B
También se dice que una función :f   (real de variable real) es
inyectiva si y solo si, toda recta horizontal corta a la gráfica de f a lo más en un
punto.
…………………. ………………. ………………….

9. FIM-UNCP Mario Arellano Vilchez9
Ejemplo. Determinar si las siguientes relaciones definen funciones inyectivas
 
 
(1;2),(2;3),(3;1),(4;4),(5;6)
(1;1),(2;3),(3;3),(4;4),(5;4)
f
g


Solución
Diagrama de flechas
Relación de 1 a 1 Hay 2 elementos del dominio que
tiene la misma imagen (2 a 1)
 f es inyectiva y g no es inyectiva
Ejemplo
Dada las funciones
2
( ) 3 1 ( ) 2f x x y g x x   
Determinar si son o no inyectivas.
Solución
Para f
i) sean  1 2 1 1( ) 3 1x y x Dom f tal que f x x y 
2 2( ) 3 1f x x  , se debe
Demostrar que 1 2( ) ( )f x f x
Veamos, supongamos que 1 2( ) ( )f x f x
1 23 1 3 1x x   
En efecto 1 2x x
Por lo tanto, f es una función inyectiva.
1
2
3
4
5
2
3
1
4
6
1
2
3
4
5
1
3
4
f g

10. Análisis Matemático I 10
ii) Para g
sean   2
1 2 1 1( ) 2 1x y x Dom g tal que f g x y  
2
2 2( ) 2f g x  , se debe
Demostrar que 1 2( ) ( )g x g x
2 2
1 22 2x x   
2 2
1 2 1 2 1 2x x x x ó x x   
Se ve que 1 2x x ,por lo tanto, g no es inyectiva.
Propiedad : Si : :f A B y g B C  son funciones inyectivas,
entonces gof es inyectiva.
Ejemplo:
( ) 2 1 ( ) 3f x x y g x x   
Determinar si f y g son inyectivas en sus respectivos dominios
Solución
 / ( )gofD x x Df f x Dg   
 2;gofD  
Luego
( )( ) ( ( )) (2 1) (2 1) 3gof x g f x g x x     
 ( )( ) 2 4; 2;gof x x x   
Por lo tanto, es inyectiva.

11. FIM-UNCP Mario Arellano Vilchez11
1.15 Función inversa
Sea :f A B una función inyectiva. Diremos que
1
:f B A

es la inversa de la función f si y solo si , al componerlas se obtiene la
identidad. Es decir,
A Bgof I y fog I 
Dicho de otro modo
1
( ( ))f f x x
 para todo x del dominio de
1
f 
Y
1
( ( ))f f x x
 para todo x del dominio de f
Observaciones
En consecuencia para que dos funciones reales de variable real, f y g,
sean inversas la una de la otra, se ha de cumplir
i) ,Dg Rf y Rg Df 
ii) Que ambas sean inyectivas:
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x x x y g x g x x x     
iii) que su composición sea identidad
( ( )) ( ( ))f g x g f x x 
iv) Si graficamos
1
f y f 
en un mismo plano cartesiano, resultan
ser simétricas con respecto a la diagonal (recta y = x)
a
Df
a
Rf
f
1
f A
B

12. Análisis Matemático I 12
Ejemplo. Hallar la inversa, en caso que exista para la siguiente función
( ) 2f x x 
Solución
i) El dominio ( 2 0 2)x x   
   2; 0;Df y Rf   
ii) Verificar si son inyectivas
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 2 2 2f x f x x x x x        
1 2x x 
Entonces f es inyectiva, luego tiene inversa
iii) para hallar
1
f 
, despejamos x de ( )y f x
2 2
2 2 2y x y x x y       
1 2
( ) 2f y y
   …………………….(1)
Como no importa la letra que se use para la variable, la expresión (1) se puede
escribir como
1 2
( ) 2f x x
 
Nótese que    2; 0, ,Df y Rf    luego
   1 1
0, 2,Df y Rf 
   
BIBLIOGRAFÍA
Stewart James, 2001 Cálculo de Una Variable, 4ta Ed.,Edit.
Thomson, México