1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS
ESTUDIANTES:
Parraga Vásquez Gema Denys
Torres Muños Julio Said
Briones Jey Andrés
Giler Cedeño Karen Andrea
PARALELO - AULA:
“K” – “501”
CARRERA:
Ingeniería Civil
DOCENTE:
Ing. Yandri Guerrero Alcívar
MATERIA:
Algebra
TEMA:
Sistemas de Desigualdades No Lineales.
01 de Diciembre del 2015
Octubre 2015 Febrero 2016
PORTOVIEJO – MANABI
2. INTRODUCCION
Las desigualdades en una variable de grado mayor que uno considera
desigualdades polinómicas no-lineales y las desigualdades en una variable que
contienen expresiones racionales con variable son su denominador son
desigualdades no-lineales racionales.
Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas.
Dichas expresiones están separadas por alguno de los miembros simbólicos: ˃, ˂,
≤, ≥.
Una inecuación es un predicado que incluye una desigualdad condicionada, y
resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los
cuales el enunciado constituye una proposición verdadera.
3. DESIGUALDADES
A veces se dan condiciones en la que, en lugar de aparecer el símbolo igual, hay
que utilizar otros símbolos llamados de desigualdad. Ejemplo:
16˃7
(
1
4
) < (
1
3
)
−1 ≥ −2
(−
7
2
) ≤ (−
3
2
)
INECUACIONES
La resolución de una inecuación involucra la aplicación de las propiedades de los
números reales en relación de orden de números enteros.
Es recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones, las cuales
usualmente corresponden a un intervalo. Ejemplo:
3
4
𝑥 >
2
5
, es una desigualdad siempre y cuando 𝑥 =>
8
5
.
1
4𝑥
> −
1
3
, es una desigualdad siempre y cuando 𝑥 > −
4
3
.
2𝑥 + 2 ≥ 𝑥 − 1, es una desigualdad siempre y cuando 𝑥 ≥ −3.
𝑥 −
3
2
≤
𝑥
3
− 7, es una desigualdad siempre y cuando 𝑥 ≤ −
33
4
.
𝑥2
< 0, es una desigualdad siempre y cuando R.
En una inecuación pueden considerarse que el conjunto referencial es el conjunto
de los números reales, a no ser que se especifique otro conjunto. La(s)
solución(es) de dicho predicado conforma(n) su conjunto de verdad 𝐴𝑝( 𝑥).
Por lo tanto podemos tener inecuaciones: lineales, cuadráticas, con valor absoluto.
4. SISTEMAS DE DESIGUALDADES NO LINEALES
Aparecerán en estos sistemas una o más inecuaciones no lineales. Pueden ser
con una incógnita o con dos incógnitas, en los dos casos la forma de resolverlo es
igual a la que se he descrito en los sistemas anteriores. Se resuelven
individualmente y después se calcula la intersección de todas las soluciones.
Los sistemas de inecuaciones no lineales se resuelven de una manera similar a
los sistemas de inecuaciones lineales.
Los sistemas de inecuaciones no lineales con una incógnita son de la forma
Ejemplo de sistema de inecuaciones no lineales con una incógnita
Factorizamos la primera inecuación hallando las raíces de la ecuación de segundo
grado asociada:
𝒙 𝟐=
𝟒
±= √𝟒
𝒙 𝟏 = 𝟐, 𝒙 𝟐 = −𝟐
𝒙 𝟐
< 𝟒
𝒙 𝟐
− 𝟒 < 𝟎
( 𝒙 − 𝟐)( 𝒙 + 𝟐) <
Estudiamos el signo que toma la inecuación en cada uno de los intervalos
(−∞, 𝟐),(−𝟐, 𝟐),( 𝟐,∞)
5. Para ver el signo en cada intervalo sustituimos por un valor cualquiera de dicho
intervalo.
En el intervalo
(−∞,−2): 𝑥 = −3
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 2)
(−3 − 2)(−3+ 2)
5 > 0
En el intervalo
(−2 ,2): x = 0
(x − 2)(x + 2)
(0 − 2)(0 + 2)
−4 < 0
En el intervalo
(2 ,∞): x = 3
(x − 2)(x + 2)
(3 − 2)(3 + 2)
5 > 0
Buscamos los valores de x tales que (x − 2)(x + 2) < 0, por tanto, el conjunto
de soluciones de la inecuación es:
𝐴 = (2,−2)
(-∞ , -2) (-2 , 2) (2 , ∞)
+ - +
6. La segunda inecuación el lineal, así que hallamos su conjunto de soluciones
despejando la incógnita x:
x − 1 ≥ 0 x ≥ 1
Por tanto, su conjunto de soluciones está formado por aquellos valores reales x
mayores o iguales que 1:
𝑩 = { 𝒙𝝐𝑹| 𝒙 ≥ 𝟏} [ 𝟏, ∞)
Las soluciones del sistema de inecuaciones vendrán dadas por la intersección de
los conjuntos A y B:
𝑆 = 𝐴 ∩ 𝐵
(−2,2) ∩ [1,∞)
[1,2)
7. EJERCICIOS RESUELTOS
2x + y = 3
x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)
x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí
x + y = 1
x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1)
x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1 No
8.
x = 4 y = 2
x + y = 0 (0, 0) (1, -1)
2 + 2 ≥ 0
2x − y = 0 (0, 0) (1, 2)
2 · 2 − 2 ≥ 0
9.
[−1, 3]
(x +1) · 10 + x ≤ 6 (2x + 1)
10x + 10 + x ≤ 12 x + 6
10 x + x - 12x ≤ 6 - 10
−x ≤ − 4 x ≥ 4
[4, 7)
12. CONCLUSION
Existen dos tipos de sistemas de desigualdades no lineales y ambos llevan dos
incógnitas, su resolución es muy similar a los sistemas de ecuaciones lineales y se
podría decir a la vez que existen varias formas para poder resolverlos.
