Pautas de Controles (Introducción a la Microeconomía - UChile)

Universidad de Chile
Facultad de Econom´ıa y Negocios ¡folio¿
Introducción a la Microeconom´ıa
Profesor: Christian Belmar
Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Alejandra Jauregui, Mar´ıa José Pérez y Mauricio Vargas
Control 1
Primavera 2011
Preguntas Cortas (50 puntos)
1. (10 puntos) Suponga que en Chile la inflación es de un 3 % anual y los salarios aumentan en un 2 % por
año. Entonces, los habitantes de Chile enfrentan un cambio en los precios relativos y sus posibilidades
de consumo se mantienen. Comente.
Respuesta
Verdadero. Efectivamente los habitantes enfrentan un cambio en los precios debido a la inflación. los precios
relativos, digamos de los bienes x e y, no cambian porque ambos aumentan en la misma proporción. La recta
presupuestaria aumenta en menor proporción. Luego, las posibilidades de consumo disminuyen.
2. (10 puntos) En el modelo de la telaraña siempre se converge a un equilibrio estable. Es más, cuando
estamos lejos de la cantidad de equilibrio las fuerzas del mercado hacen que rápidamente la cantidad
se vaya acercando progresivamente hasta el valor que toma en la intersección de las curvas de oferta y
demanda.
Respuesta
Falso. La convergencia del proceso no tiene que ver con cuán lejos o cerca nos encontremos del punto de
equilibrio, tiene que ver con la elasticidad de las curvas de oferta y demanda.
En caso de que la curva de demanda sea más elástica que la curva de oferta, el proceso será convergente.
Por el contrario, si la curva de oferta es más elástica que la curva de demanda, el proceso será divergente. Si
la curva de oferta fuera más elástica el cambio en los precios ser´ıa explosivo.
Por otra parte, podemos señalar que en un proceso convergente los precios del periodo n se basan en los
precios del periodo n 1.
P(Q)
Q
P(Q)
Q
Proceso convergente Proceso divergente
3. (10 puntos) El famoso ´ıdolo y periodista estrella Juan Carlos Bodoque afirmó recientemente en 31
Minutos: “La industria de la celulosa ha contribuido a la deforestación. No debemos pensar que aplicar un
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impuesto a estas empresas será lo más eficiente, pues todo depende de lo que entendamos por eficiencia”.
Comente
Respuesta
Depende de lo que entendamos por eficiencia. Desde un punto de vista ecológico claramente aplicar el impuesto
es lo mejor que se puede hacer si no fuera posible cambiar la tecnolog´ıa de la industria. Desde un punto de
vista económico tenemos dos criterios: Privado y Social. El criterio privado concluye que el impuesto genera
una pérdida de eficiencia economica porque se dejan de producir unidades que son valoradas en el mercado.
El criterio social nos dice que la situación eficiente conduce a Cma(S) = Cma(P) y esto se logra aplicando
el impuesto.
4. (10 puntos) “El interés del productor debe ser atendido sólo tanto como sea necesario para promover el
del consumidor.” Adam Smith, 1774
Explique porqué el autor estar´ıa considerando o dejando de lado el concepto de externalidad. ¿Se de-
be aceptar cualquier proceso productivo por el hecho de que satisface la demanda? ¿Los deseos del
consumidor se deben cumplir siempre?.
Respuesta
No necesariamente. La frase alude al hecho de que, según la teor´ıa clásica, los mercados funcionan perfec-
tamente. En la práctica sabemos que eso no es as´ı y que el consumo de determinados productos genera
externalidades (por ejemplo: comida chatarra, drogas, alcohol en exceso, etc). Pese a que un grupo de con-
sumidores demande ciertas cosas, muchas veces estas preferencias afectan a los demás y un ejemplo claro es
cuando alguien fuma en un lugar cerrado y molesta a los demás. También existe una fuerte componente ética
detrás de la pregunta ¿qué producir? y muchas veces limitarnos a un enfoque de mercado supone ignorar
grandes problemas respecto de los efectos perjudiciales de ciertas cosas que afectan a los demás y a los propios
consumidores. De todas formas, la respuesta a esta pregunta es bastante abierta pero la externalidad es el
concepto que la relaciona con lo visto en clases.
5. (10 puntos) La asignación resultante producto de participar en un mercado, trae como resultado la mejor
distribución de los excedentes tanto de los consumidores como productores.
Respuesta
Incierto. El mercado es eficiente para asignar recursos pero esta eficiencia no siempre conduce a la mejor
asignación posible. En caso de que existan externalidades aparece una falla de mercado asociada a efectos
anexos ligados al consumo o a la producción y en tales casos el mercado es ineficiente.
6. (10 puntos) Un subsidio a la producción de un bien exportable garantiza un mayor nivel de bienestar
para los productores.
Respuesta
Verdadero. Al subsidiar las exportaciones se tendrá que el excedente del productor aumenta pues la medida
tiene un efecto similar al de que pudieran reducir sus costos. El excedente del consumidor al menos se mantiene
igual porque para las exportaciones existe un precio internacional que no se ve afectado.
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Aplicación de los contenidos (10 puntos)
La siguiente noticia apareció en el sitio web de radio B´ıo-B´ıo:
Sony realiza fuerte baja de precios a su consola PS3 en Chile
Jueves 18 agosto 2011 — 14:26
Una fuerte baja en los precios de su consola PlayStation 3 anunció Sony en todo el mundo, los que cobrarán
vigencia desde este 18 de agosto.
La apuesta de Sony se hace frente a la Wii de Nintendo y el Kinect de Microsoft.
De hecho, Sony sigue los movimientos de Nintendo, que la semana pasada rebajó drásticamente el precio de
su consola portátil 3DS, luego de varios meses con ventas muy por debajo de lo esperado.
Los precios en el mercado nacional descenderán de la siguiente forma:
PS3 160GB: baja de $249.990 a $199.990
PS3 320GB: baja de $289.990 a $239.990
PS3 320GB + Accesorios: baja de $299.990 a $249.990
En base a la noticia, conteste lo siguiente:
1. (5 puntos) ¿Se puede afirmar que la baja de precio se debe a que Sony hab´ıa determinado un precio por
sobre el precio de equilibrio?. En el caso que esto no fuera cierto y que estuvieramos en una situación de
equilibrio antes de cambiar los precios ¿Podr´ıa haber un eventual exceso de demanda tal que los precios
volverán a subir?.
Respuesta
No necesariamente. Sin embargo, perfectamente puede darse el caso de que el precio de equilibrio esté por
debajo del precio que hab´ıan fijado anteriormente. En este caso la empresa Sony es la única que ofrece los
Play Station 3 por lo que tiene poder sobre los precios y de esta forma puede fijar precios más altos que los
de equilibrio. Por otra parte, si han bajado sus precios puede ser que busquen competir con Nintendo ya que
ambas apuntan al mercado de los videojuegos.
Si antes de cambiar los precios estabamos en una situación de equilibrio, efectivamente es de esperarse que
aumente la cantidad demandada tras bajar los precios y esto supone un exceso de demanda.
Tenemos que la función de exceso de demanda corresponde a:
g(Q) = D(Q) S(Q)
y la función de exceso de oferta quedar´ıa de la forma:
h(Q) = S(Q) D(Q)
de esta forma un exceso de oferta positivo es lo mismo que un exceso de demanda negativo.
La función de exceso de demanda resultar´ıa en el siguiente gráfico:
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P
Q
QS
P
QD
Q0 ED > 0ED < 0
g(Q)
y la función de exceso de oferta resultar´ıa en el siguiente gráfico:
P
Q
QS
P
QD
Q0 EO > 0EO < 0
h(Q)
En caso de que no haya exceso de demanda tampoco habrá exceso de oferta lo cual ser´ıa el caso en que el
precio antes del ajuste fuera de equilibrio. En caso de que el precio antes del ajuste estuviera por sobre el
precio de equilibrio tendr´ıamos que EO > 0 y ED < 0.
2. (5 puntos) Suponga que los llamados “piratas” logran descifrar todos los secretos de la Play Station 3
y deciden fabricar versiones piratas de la consola pero que funcionan igual de bien que las originales.
¿Esperar´ıa que los precios bajaran? ¿Qué podr´ıa decir respecto de la entrada de nuevas firmas que venden
Play Station 3? ¿Bajo que condiciones esto podr´ıa llevarnos a un escenario similar a la competencia
perfecta?.
Respuesta
En caso de que entraran nuevas firmas es de esperarse que los precios bajen ya que de esta forma habr´ıa más
competencia salvo en casos como el de colusión. Si entraran muchas firmas a la industria de los Play Station
3 tendr´ıamos que efectivamente habrá más competencia y los precios ser´ıan más bajos porque ante la entrada
de muchas firmas es más dif´ıcil que estas se pongan de acuerdo para fijar precios y se coludan.
En caso de que los piratas dejaran a disposición del público los secretos de la Play Station 3 ser´ıa más fácil la
entrada de nuevas firmas. Para que esta industria funcione de manera similar a un escenario de competencia
perfecta no deben haber barreras para la entrada o salida de nuevas firmas, ninguna firma debe tener incidencia
o poder sobre los precios y el número de firmas en esta industria debe ser muy grande o tendiendo a infinito.
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Matemático 1 (20 puntos)
En la ciudad de Concepción la curva de oferta de Acero Inoxidable es
QS
=
3P
4
(1)
Se sabe además que la curva de demanda por Acero Inoxidable es
QD
= 35 P (2)
En base a estos datos:
(a.) (5 puntos) Determine la disposición a pagar por 10 unidades de Acero Inoxidable por parte de los con-
sumidores y, aparte de lo anterior, determine la cantidad que están dispuestos a ofrecer los productores
si el precio de mercado es $15.
Respuesta
Disposición a pagar por 10 unidades:
QD
= 35 P
10 = 35 P ) P = 25
Cantidad demandada cuando el precio es $15:
P =
4Q
3
) Q =
15 · 3
4
= 11, 25
(b.) (5 puntos) Determine el equilibrio de mercado. Grafique las curvas de oferta y demanda indicando los
valores de los ejes en los interceptos y en el punto de equilibrio.
Respuesta
Tomamos QS
= QD
, luego
3P
4
= 35 P
3P = 140 4P
7P = 140
P = 20 ) Q = 35 P = 15
Gráfico del equilibrio
P(Q)
Q
P = 4Q
3
35
35
P = 35 Q
15
20
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(c.) (5 puntos) Calcule la elasticidad precio en el punto de equilibrio de las curvas de oferta y demanda
respectivamente. Explique: ¿Las elasticidades son constantes? ¿De qué dependen?
Respuesta
La elasticidad corresponde a lo siguiente:
" =
Q
P
·
P
Q
Elasticidad precio de la oferta:
" =
Q2 Q1
P2 P1
·
20
15
=
30 0
40 0
·
20
15
= 1
Elasticidad precio de la demanda:
" =
Q2 Q1
P2 P1
·
20
15
=
35 0
0 35
·
20
15
= 1, ¯3
Las elasticidades no son constantes para el caso del ejercicio, dependen del punto en que se evalúe, pro
ejemplo en la demanda existe un parte con " ! 1 y otra con " ! 0 y otra con " = 1. Graficamente
P(Q)
Q
" = 1
" ! 1
" ! 0
Las elasticidades serian constantes en el caso de una función totalmente elástica o totalmente inelástica.
Finalmente, la elasticidad depende de la pendiente de la función. Elasticidad y pendiente no son lo mismo.
(d.) (5 puntos) Calcule el excedente del productor y del consumidor respectivamente.
Respuesta
Excedente del consumidor
EC =
(35 20) · 15
2
= 112, 5
Excedente del productor
EP =
20 · 15
2
= 150
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Matemático 2 (20 puntos)
Considere que en la ciudad de Buenos Aires la curva de demanda por CD’s de Tango está dada por
QD
= 1000 3P (3)
Se sabe además que la curva de oferta por CD’s de Tango está dada por
QS
=
P 50
3
(4)
En base a estos datos:
(a.) (5 puntos) Determine el equilibrio de mercado. Grafique las curvas de oferta y demanda indicando los
valores de los ejes en los interceptos y en el punto de equilibrio.
Respuesta
Aplicamos la condición QS
= QD
, luego
1000 3P =
P 50
3
3000 9P = P 50
3050 = 10P
P = 305 ) Q = 85
Para graficar debemos obtener los valores extremos de las funciones de oferta y demanda.
Para la función de demanda:
Q = 0 ) P = 333, ¯3 Q = 1000 ) P = 0
Para la función de oferta:
Q = 0 ) P = 0 Q = 150 ) P = 500
P(Q)
Q
P = 3Q + 50
333, 3
P(Q) = 1000 Q
3
85
305
1000
(b.) (5 puntos) El gobierno de la Señora K decide aplicar un subsidio a los CD’s de tango para promover la
cultura y se acuerda que el subsidio será de S = 50 a los consumidores. Calcule: El equilibrio después
de aplicar el subsidio, excedente del productor, excedente del consumidor, desembolso fiscal y pérdida
de eficiencia. Grafique indicando todas las áreas relacionadas a los cálculos.
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Respuesta
Las curvas de oferta y demanda quedan de la siguiente forma:
Demanda: P =
1150
3
Q
3
) Q = 1150 3P
Oferta: Q =
P 50
3
Equilibrio:
QS
= QD
P 50
3
= 1150 3P
P 50 = 3450 9P
10P = 3500
P = 350 ) Q = 100
Graficamente se desplaza la curva de demanda
P(Q)
Q
P = 3Q + 50
P(Q) = 1150 Q
3
100
350
383, 3
Los cálculos restantes son los siguientes:
Excedente del consumidor:
EC =
(383, ¯3 350) · 100
2
= 1666, 65
Excedente del productor:
EP =
305 · 85
2
= 12962, 5
Desembolso fiscal:
DF = (350 305) · 100 = 4500
Pérdida de eficiencia:
PE =
(350 305) · (100 85)
2
= 337, 5
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(c.) (5 puntos) ¿A quién afecta o beneficia más este subisidio?. Explique.
Respuesta
El subsidio beneficia más a los consumidores. Para verificar esto debemos comparar los excedentes:
ECi
= 1204, 1525 ECf
= 1666, 65
EPi
= 12962, 5 EPf
= 12962, 5
luego, el excedente del consumidor var´ıa positivamente. También lo pod´ıamos verificar con las elasticidades,
determinando cual función es más inelástica, es decir, cual es más o menos sensible a los cambios en precios.
(d.) (5 puntos) Un grupo de investigadores descubre que hay una externalidad en la producción. El costo
social está dado por
P = 100 + 2Q (5)
Encuentre el óptimo social. Grafique y explique su resultado.
Respuesta
El óptimo social se obtiene igualando el costo marginal social a la demanda, es decir, corresponde a la
intersección de las curvas de beneficio marginal social y costo marginal social.
Q = 1000 3 · (100 + 2Q)
Q = 1000 300 6Q
7Q = 700
Q = 100 ) P = 300
Graficamente tenemos lo siguiente:
P(Q)
Q
CmgS
DDA
100
300
CmgP
Finalmente la externalidad que se presenta corresponde a una externalidad positiva en la producción.
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Facultad de Econom´ıa y Negocios
Ayudantes: Adolfo Fuentes, Rodrigo Garay, Alejandra Jáuregui, Mar´ıa José Pérez y Mauricio Vargas
Control 2
Primavera 2011
Preguntas Cortas (50 puntos)
1. (10 puntos) Para que una función de utilidad represente una relación de preferencia, las relaciones deben
ser completas, transitivas y continuas.
Respuesta
Verdadero. Los supuestos para que las preferencias puedan ser representadas por funciones “amigables”, son
que estas son completas, transitivas y continuas.
2. (10 puntos) La señora Juanita hace sus compras en el supermercado Chanta Isabel y como es cliente
frecuente recibe un descuento del a % por la compra de tomates. Grafique la recta presupuestaria de la
señora juanita cuando compra tomates y lechugas, además explique claramente cada detalle del gráfico.
Respuesta
Lo que hace el descuento de un a % es hacer que el precio de los tomates bajen desde PT a PT 1 a
100 ,lo
que provoca que cambie la pendiente de la restricción presupuestaria. Matemáticamente si antes teniamos un
gráfico lechuga/tomates con una restricción presupuestaria de pendiente ↵ = PL
PT
, ahora tenemos una restric-
ción presupuestaria de con pendiente = PL
PT (1 a
100 )
. Teniendo esto en cuenta, gráficamente obtenemos:
Lechugas
Tomates↵
3. (10 puntos) La solución esquina es un caso particular de optimización propio de los bienes sustitutos
donde la tasa marginal de sustitución (TMS) es mayor que la Tasa marginal de Intercambio de mercado
(TMIM).Comente.
Respuesta
Falso. La solución esquina es un procedimiento donde se gasta todo el presupuesto en un bien, siendo aplicable
a varios casos, como por ejemplo el caso de bienes normales. Cabe recordar que en caso de Bienes sustitutos
también existe el caso de infinitas soluciones. Por otro lado no necesariamente se debe cumplir que la tasa
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marginal de sustitución supere a la tasa marginal de intercambio de mercado, de hecho se puede dar el caso
inverso y encontrarse también en una solución esquina.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
y
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
y
Del gráfico del lado izquierdo se concluye que la solución óptima se logra consumiendo sólo el bien x (se
tiene que TMSy,x < TMIMy,x) y del gráfico del lado derecho se concluye que la solución óptima se logra
consumiendo sólo el bien y (se tiene que TMSy,x > TMIMy,x).
4. Un d´ıa caminando por el casino usted escucha la siguiente frase: “Siempre, pero realmente siempre,
sabemos que el efecto sustitución de un bien ante un alta de su precio será negativo, siempre, pero
siempre”. Comente
Respuesta
Verdadero. El efecto sustitución siempre tiene el mismo sentido: una baja del precio provoca un aumento en
el consumo de un bien. El efecto ingreso puede alterar la demanda positiva o negativamente, dependiendo de
que el bien sea superior, normal o inferior.
5. (10 puntos) Cuando cambia la tasa de interés el individuo no enfrenta cambios en la restricción presu-
puestaria.
Respuesta
Falso. Al cambiar la tasa de interés afecta la decisión de consumo entre periodos. Por ejemplo, ante un alza de
interés es conveniente ahorrar pues dicho ahorro generará mayores ingresos (y por ende mejores posibilidades
de consumo) a futuro respecto de una situación inicial con una tasa de interés más baja.
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Aplicación de los contenidos (30 puntos)
Analice los supuestos de la teor´ıa del consumidor (completitud, transitividad, monoton´ıa y convexidad) en
los siguientes casos:
1. (10 puntos) Félix prefiere estudiar anticipadamente en comparación a estudiar un d´ıa antes de su prueba
o no estudiar. Estudiar un d´ıa antes de su prueba lo estresa y se confunde con los conceptos, por lo que
prefiere no estudiar. Sin embargo, siempre termina estudiando el d´ıa antes de su prueba.
¿Son transitivas las preferencias? ¿Se cumple la racionalidad en la elección?
Respuesta
Sean:
x: Estudiar anticipadamente
y: No estudiar
z: Estudiar el d´ıa antes de la prueba
Las preferencias son completas, pues se distinguen las posibilidades de elección. Se declara que es preferible
estudiar anticipadamente sobre no estudiar o estudiar el d´ıa antes y establece que prefiere no estudiar sobre
estudiar el d´ıa antes. Entonces se tiene que x y, x z e y z. Si las preferencias fueran racionales por
transitividad se tendr´ıa que x z. Pero se declara que siempre termina estudiado el d´ıa antes de su prueba
lo cual supone z x y esto transgrede el supuesto de transitividad de las preferencias. Se concluye que la
elección no es racional.
2. (10 puntos) Camila Vallejos prefiere no escuchar una canción de The Cranberries en comparación a
escuchar la misma canción. También prefiere no escuchar una canción en comparación a escuchar más de
una canción. Sin embargo, cada vez que escucha una canción prefiere escuchar completamente cualquiera
de los discos de The Cranberries en su iPod.
¿Son transitivas las preferencias? ¿Se cumple la racionalidad en la elección?
Respuesta
Sean:
x: No escuchar música
y: Escuchar una canción
z: Escuchar más de una canción
Luego, segun las preferencias de Camila se tiene que x y e y z lo cual implica x z. Por lo tanto las
preferencias son completas y transitivas. Sin embargo estas preferencias no son monótonas (no se prefiere
escuchar más canciones en cualquier caso) ni convexas (no son preferidas las combinaciones intermedias entre
canciones y otros bienes). Se concluye que la elección es racional.
3. (10 puntos) El famoso ´ıdolo y periodista estrella Juan Carlos Bodoque expresó en la revista Time: “Debo
decir que estoy indiferente entre consumir dos unidades de Cerveza Du↵ (x) y tres unidades de Apuestas
de Caballos (y) en comparación a tres unidades de Cerveza Du↵ y dos unidades de Apuestas de Caballos.
Sin embargo, prefiero dos unidades de Cerveza Du↵ (x) y dos unidades de Apuestas de Caballos (y)”.
¿Son convexas las preferencias?
Respuesta
Sean: a = (2, 3), b = (3, 2) y c = (2, 2)
Tenemos que las canastas a y b son tales que a ⇠ b por lo que son igualmente preferidas. Si se declara
indiferente entre dos canastas, entonces se distinguen las posibilidades de elección. Luego, a c y b c
implica que la canasta c es preferida a todas las demás. Dado que c es una combinación intermedia de a y b
ya que
2(a + b)
5
= (2, 2) = c
se concluye que las preferencias son convexas pues se prefiere una canasta más balanceada en su composición.
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1. Matemático (70 puntos)
1. (10 puntos) Encuentre la decisión de consumo óptima (las demandas marshallianas) del consumidor si
el individuo tiene una función de utilidad Cobb-Douglas de la forma:
u(x, y) = x↵
y
Respuesta
Para maximizar este tipo de funciones debemos utilizar la condición de óptimo del consumir, es decir:
TMSx,y = TMIMx,y
UMgx
UMgy
=
Px
Py
↵x↵ 1
y
x↵y 1
=
Px
Py
↵y
x
=
Px
Py
De lo que se concluye que la proporción óptima está dado por:
y⇤
=
Px · x
↵Py
Si reemplazamos esta proporcición en la restricción presupuestaria obtenemos:
I = xPx + yPy
I = xPx +

Px · x
↵Py
Py
Donde si despejamos x obtenemos el consumo óptimo de este bien:
x⇤
=
↵I
(↵ + )Px
Por simetr´ıa podemos determinar que:
y⇤
=
I
(↵ + )Py
Notar que las demandas dependen de la importancia relativa de los bienes, mostrando una cierta dependencia
del consumo de ambos.
2. (10 puntos) Encuentre la decisión de consumo óptima del consumidor si el individuo tiene una función
de utilidad de Sustitutos Perfectos de la forma:
u(x, y) = ↵x + y
Respuesta
Para esta función debemos analizar dos casos:
Si la pendiente de la curva de indiferencia es mayor que la restricción presupuestaria.
TMSx,y > TMIMx,y
Si la pendiente de la curva de indiferencia es menor que la restricción presupuestaria.
TMSx,y < TMIMx,y
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Si se cumple el primer caso (TMgSCx,y > TMgIMx,y) entonces consumiremos sólo x, entonces reempla-
zamos en la restricción presupuestaria la condición de y = 0, obteniendo:
x⇤
=
I
Px
y⇤
= 0
Si se cumple el caso contrario (TMgSCx,y < TMgIMx,y) entonces sólo consumiremos y, entonces reem-
pazamos en la restricción presupuestaria la condición de x = 0, obteniendo:
x⇤
= 0
y⇤
=
I
Py
Notar que en ambos casos las demandas de los bienes solo dependen de sus precios, dando la representación
matemática a la perfecta sustitución
3. (10 puntos) Encuentre la decisión de consumo óptima del consumidor si el individuo tiene una función
de utilidad Leontief de la forma:
u(x, y) = m´ın{↵x; y}
Respuesta
En este caso, sabemos que el óptimo estará dado por la proporción ↵x = y, por lo tanto, lo único que
tenemos que hacer es reemplazar esto en la restricción presupuestaria. Entonces:
I = xPx + yPy
I = xPx +
↵x
Py
I = x

Px +
↵Py
I = x

Px + ↵Py
x⇤
=
I
Px + ↵Py
Por simetr´ıa obtenemos:
y⇤
=
↵I
Px + ↵Py
4. (20 puntos) ¿Es posible que tres individuos, uno con cada una de las funciones anteriores, lleguen a la
misma canasta óptima tras la maximización de utilidad?. Argumente intuitiva y gráficamente.
Respuesta
Es posible. Esto se desprende de saber que, por un lado, las funciones Cobb-Douglas y Leontief siempre
tendrán soluciones interiores, y por lo tanto, pueden dar la misma solución sin problemas. Por el otro lado,
sabemos que las funciones de sustitutos perfectos tienen “3” posibles soluciones, dos soluciones esquina, o
infinitas soluciones interiores.
Por lo tanto, si para la función de sustitutos perfectos se obtiene que TMgSCx,y = TMgIMx,y, la función
tendrá una posible solución interior, y por lo tanto, tres individuos con cada una de estas funciones tendrán
la misma solución óptima.
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TMSy,x
y
x
=TMIMy,x
5. (20 puntos) El individuo representativo de Titirilquén tiene una utilidad por el consumo de los n bienes
representable por medio de la función
u(x) = m´ın
⇢
x1
↵1
, . . . ,
xn
↵n
Con ↵i > 0 8i = {1, . . . , n}.
Plantee y resuelva el problema del consumidor y explique por qué la solución es interior y única.
Respuesta
El problema a resolver es el siguiente:
máx
x
m´ın
⇢
x1
↵1
, . . . ,
xn
↵n
sujeto a
nX
i=1
pixi = I
No es muy dif´ıcil notar que el vector x de demandas óptimas es tal que
x1
↵1
= . . . =
xn
↵n
en general, cada uno de los argumentos es igual a un valor constante xi/↵i = k. Luego, se tiene que
pjxj =
xi
↵i
↵jpj
aplicando la sumatoria
Pn
j=1(·) se llega a
I =
xi
↵i
nX
j=1
↵jpj ) xi =
I · ↵i
Pn
j=1 ↵jpj
Para una solución interior bastará con el hecho que k 6= 0, que es lo mismo a decir xi/↵i 6= 0 8i. En caso
de que k = 0 se tendr´ıa que u(x) = 0 si para algún i se tiene que ↵ixi = 0 y de esta forma el vector de
demandas óptimas se anular´ıa en todas sus componentes, pero este caso se dar´ıa si I = 0. Para cualquier caso
la solución es única ya que todos los bienes se consumen en proporciones fijas lo cual no deja posibilidades
de que algun xi tome más de un valor.
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Control 3
Primavera 2011
1. Preguntas Cortas (30 puntos)
1. (10 puntos) El jugador Ronaldinho del equipo Flamengo gana mucho más que el delantero Eduardo Vargas
del grandioso equipo mágico Universidad de Chile. ¿Cómo se podr´ıa explicar lo anterior si en el
último año Vargas ha hecho más goles que Ronaldinho? ¿Se cumple que el valor del producto marginal
de Vargas es mayor que el de Ronaldinho?
Respuesta
El valor del producto marginal de la mano de obra se define
V PMg(L) = P · PMg(L)
Luego, este valor depende del precio de venta de lo que se produce y de la productividad marginal del factor.
Hay que tener claro qué se entiende por productividad. Si no son sólo los goles una explicación es que
el producto de cada jugador también considera otras variables con las que aporta (marketing, auspiciadores,
publicidad, etc). Otra razón es que lo contrataron por las expectativas de goles, y como el salario se determina
de antemano, su salario queda fijado sin conocer el rendimiento efectivo que tendrá en el futuro.
Una explicación más relacionada con teor´ıa de la producción es que el precio del producto que vende Flamengo
es mayor que el de Universidad de Chile y por lo tanto aunque la productividad de Vargas sea mayor
que la de Ronaldinho, la diferencia de precios genera que este último tenga un mayor salario pese a su menor
productividad. Finalmente, la diferencia de precios hace que el valor del producto marginal de Ronaldinho sea
mayor que el de Vargas pero no es atribuible a mayor rendimiento.
2. (10 puntos) Un ayudante de otra sección asegura que la elasticidad de sustitución, por tratarse de una
medición de variación porcentual, toma distintos valores dependiendo de la cantidad absoluta de factores,
del punto en que se evalúe y además de la función de producción que se analice.
Respuesta
Falso. La elasticidad de sustitución define como un cambio porcentual en la razón (o proporción) de uso
de factores ante un cambio porcentual es la razón de productos marginales de dichos factores por lo que
importan las proporciones de uso y no las cantidades de uso. Por otra parte, la función de producción CES
es de elasticidad de sustitución constante por lo que su elasticidad de sustitución es la misma en cualquier
punto de la isocuanta y se da el caso de funciones como la Cobb-Douglas cuya elasticidad de sustitución es
constante e igual a uno.
3. (10 puntos) Muestre que para una función de producción de dos factores cualquiera, que si el producto
medio de un factor es creciente, el producto marginal del factor es mayor al producto medio del factor.
Explique por qué la productividad media y marginal tienen tal comportamiento.
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Respuesta
Si PMe(x1) es creciente, entonces @P Me(x1)
@x1
> 0 y se tiene que
f(x1, x2) = Q ·
x1
x1
f(x1, x2) = PMe(x1) · x1 /
@
@x1
Pmg(x1) =
@PMe(x1)
@x1
· x1 + PMe(x1)
Pmg(x1) PMe(x1) =
@PMe(x1)
@x1
· x1
notemos que el lado derecho es positivo pues partimos de la base que la productividad media es creciente,
entonces
Pmg(x1) PMe(x1) > 0 , Pmg(x1) > PMe(x1)
Q
L
L0
PMg
PMe
PMg(L0) > PMe(L0)
La explicación es la siguiente: Como se ve en el gráfico, en el tramo creciente de la productividad media,
el producto marginal es mayor al producto medio y esto es porque en este tramo la productividad promedio
de incorporar un trabajador adicional es menor que la productividad marginal de incorporar un trabajador
adicional a la producción.
4. (10 puntos) El famoso ´ıdolo y periodista estrella Juan Carlos Bodoque acaba de publicar un articulo en
Econometrica que señala: “Los costos fijos tienen que ver con el corto plazo pero que estos sean cero no
quiere decir que nos encontremos en una situación de largo plazo”. ¿Se cumple lo señalado?
Respuesta
S´ı, se cumple lo que señala el comente. Tenemos lo siguiente:
Costos fijos > 0 ) Corto plazo
Costos fijos = 0 ; Corto plazo
Puede ocurrir que pese a haber factores fijos estos no alteren la optimalidad, por ejemplo si f(x1, x2) =
↵x1 + ¯x2 es la función de producción de corto plazo y si w1 < w2 tenemos que x⇤
2 = 0 que puede coincidir
con que a corto plazo ¯x2 = 0 y entonces el costo fijo es cero.
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2. Aplicación de los contenidos (30 puntos)
Jorge Amaya:
“En el futuro, probablemente habrán pocas minas grandes a cielo abierto”
(Fragmento)
El investigador del Centro de Modelamiento Matemático (CMM) de la Universidad de Chile, Jorge Ama-
ya, ha trabajado en una serie de estudios relacionados a la miner´ıa subterránea y de cielo abierto.
¿Cómo se aplica el modelamiento matemático en miner´ıa a cielo abierto?
El principal potencial del modelamiento matemático es que permite expresar de manera objetiva los re-
querimientos y criterios de decisión en la industria en general. No se debe extraer de cualquier manera, en
cualquier orden, existen una serie de condiciones que tienen que ver con la seguridad, la factibilidad y el
valor.
¿Cuáles son las principales aristas de esta objetivización?
Tiene que ver con fijar los criterios de optimización: la función objetivo (qué queremos optimizar) y las
restricciones (qué cosas deber´ıamos cumplir como requerimientos). En el caso del negocio minero es habitual
usar el Valor Actual Neto (VAN).
¿Qué aspectos han evolucionado en la forma de implementar el modelamiento matemático?
En los procesos tecnológicos como la explotación minera, aparecen desaf´ıos cient´ıfico-matemáticos que indu-
cen la investigación. Al mismo tiempo la investigación genera productos aplicables a la industria, entonces;
hay una retroalimentación entre ambos.
En los últimos 20 años se ha producido una interacción creciente entre la matemática y la miner´ıa, y la razón
fundamental es la aparición de computadores de alta velocidad, que permiten hacer lo que antes no se pod´ıa.
La explotación de una mina no es una sola decisión, sino una secuencia de decisiones, son millones.
¿Qué mejoras ha producido el modelamiento matemático en el método de optimización y
planificación de procesos de la miner´ıa a cielo abierto?
El beneficio es que estos métodos permiten generar planes de extracción de alto valor, es decir, aumentar el
valor de un yacimiento desde el punto de vista estratégico. Al entregar la secuencia de explotación, se sabe
cuánto ingreso se obtiene en un tiempo determinado, es decir, hay diferentes escenarios que el dueño del
negocio puede evaluar, en ese sentido nuestro gran aporte es generar muchos planes en poco tiempo.
El valor del negocio minero está en la planificación estratégica, no tanto en la operación. Se puede ganar
mucho en la operación mediante la optimización de diversas etapas del proceso productivo (transporte en
camiones, parte metalúrgica, etc) sin embargo el mayor valor está en tomar una buena decisión de cómo
explotar una mina en el largo plazo.
¿Cómo ve el futuro de la miner´ıa a cielo abierto?
En la medida que los recursos superficiales se van agotando la miner´ıa tiende a convertirse en subterránea,
especialmente la gran miner´ıa. El rajo no puede ser de tamaño muy grande, los costos son muy altos. En el
futuro (30 o 40 años más), probablemente, habrá muy pocas minas grandes de cielo abierto.
Autor : Andrés Santelices, Revista AreaMinera
Fecha : 14-10-2011
Enlace: http://www.aminera.com/pdfrevistas/am059.pdf
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En base a la entrevista responda lo siguiente:
1. (10 puntos) ¿Cuál es la importancia del estado de las artes en materia minera? Explique detalladamente
por qué los avances en materia computacional afectan a la miner´ıa y en particular a la toma de decisiones
(no olvide que el contexto es teoria de la producción y costos)
Respuesta
Si el estado de las artes (conocimientos cient´ıficos) mejora (cambio tecnológico), con la misma dotación de
factores es posible producir un mayor nivel de producto. En la entrevista se menciona que el avance de la
computación permite realizar cálculos complejos más rápido que hace unos años atrás, permitiendo determinar
múltiples escenarios y decisiones posibles. Este avance afecta porque la toma de decisiones tiene que ver con
las decisiones de producción, con la contratación de factores y con las decisiones de inversión a futuro. Como
se indica en la entrevista, la miner´ıa consiste en una serie de procesos complejos que se pueden determinar
mejor si se cuenta con datos que ayuden a determinar las mejores opciones dentro de múltiples planes de
producción.
2. (10 puntos) ¿Por qué es importante la sensibilidad a los costos y precio y cómo se relaciona con la
decisión de inversión?. Explique en base a las consecuencias que tendr´ıa un alza y una baja de los costos
y de los precios, ambas por separado para no complicar el análisis. Finalmente, en base a su análisis,
dé una explicación de cómo la variación en el precio del cobre motiva la eficiencia técnica.
Respuesta
En relación con la teor´ıa de la producción tenemos las siguientes variables:
Costos de producción: Se menciona que los costos en el futuro tenderán a aumentar debido al agota-
miento de los yacimientos cuyo costo de explotación es menor. Esto significa que en la actualidad se hace
presente la necesidad de buscar las mejores combinaciones de factores posibles y de desarrollar formas
de explotación tan eficientes como sea posible. Si la miner´ıa es muy sensible a los costos de producción
entonces estos pueden afectar de manera muy negativa las utilidades futuras.
Precio del cobre: No podemos asumir que el precio del cobre será estable a futuro. Ante un escenario de
baja del precio del cobre es necesario suponer que los beneficios de la industria no podrán mantenerse
como en la actualidad lo que significa que las firmas más eficientes serán las menos afectadas. Si la
miner´ıa es muy sensible a un aumento del precio del cobre, los diferentes escenarios de utilidades pueden
ser muy sensibles por lo que un criterio muy optimista puede llevar a malas decisiones de inversión.
Finalmente ambas variables mencionadas están interrelacionadas. El precio del cobre motiva que se busque
como minimizar los costos para obtener el máximo beneficio cuando los precios son altos o anteponerse a una
posible baja del precio del cobre y pensar en como mantenerse en el mercado mejorando la eficiencia de los
procesos.
3. (10 puntos) ¿Por qué el entrevistado señala que les interesa maximizar el VAN y además minimizar los
costos de operación?. Explique (no es necesaria la fórmula) qué representa el VAN y cómo la búsqueda
de la eficiencia económica en los costos afecta la rentabilidad de un proyecto minero.
Respuesta
Porque, según lo indicado en la entrevista, se trata de análisis distintos y complementarios. Es importante
minimizar los costos de producción porque la función de costos da cuenta de las combinaciones eficientes
técnica o económicamente y es deseable lograr ambos criterios de eficiencia. Por otra parte, el VAN da cuenta
de cuánto vale un proyecto en la actualidad y para que sea razonable invertir este valor debe ser positivo y es
deseable maximizar este valor.
La miner´ıa tiene costos fijos muy altos. Existen costos de exploración, excavación y de construcción de plantas
que resultan en una inversión inicial muy costosa independientemente de las decisiones de producción que
además suponen costos variables. En el sentido económico, un plan o secuencia optimizada de extracción
(considerando minimización de costos) permite a una mina proyectar cuál es su valor residual a futuro, es
decir, los costos de operación afectan el VAN del proyecto.
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4. (10 puntos) ¿Cómo se relaciona la investigación con los costos fijos? ¿Por qué si la investigación genera
costos fijos muy elevados las mineras siguen interesadas en investigar sus procesos y como mejorarlos?
Respuesta
En la actualidad una razón por la que hay costos fijos se atribuye a los costos de investigación que son
independientes de las decisiones de producción. Se incurre en gastos de investigación cuando se evalúan
planes de explotación y esto puede suponer un gasto elevado según lo que se describe, pues se necesitan
computadores especializados y software complejo. Esto último tiene poca relación con el nivel de producción
aunque es muy importante para las decisiones de producción a futuro.
Al sector minero le interesa este tipo de investigación porque el gasto en el que incurren les permite generar
importantes ahorros a futuro y, por otra parte, no sólo les permite disminuir costos sino que también mejorar
la eficiencia de la producción. Es importante señalar que si este tipo de investigación generara mayores costos
que beneficios, simplemente no se har´ıa.
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3. Ejercicios (30 puntos)
Ejercicio 1. La empresa CB y Asociados es una empresa sin fines de lucro que se dedica a la enseñanza (en
adelante el bien y) y se sabe que la función de producción de la enseñanza es:
y = 2x
1/2
1 x
1/4
2
donde x1 y x2 indican, respectivamente, las cantidades de capital humano y computadores utilizadas en la
producción del bien y. Además, la empresa opera en competencia perfecta y compite con las demás secciones
de Introducción a Microeconom´ıa en una pequeña y tranquila econom´ıa llamada FEN.
1. (5 puntos) Determine la función de costos de largo plazo de CB y Asociados. ¿Cuál es la expresión de
dicha función de costes si los precios de los factores son, respectivamente, w1 = 2 y w2 = 1?
Respuesta
Debemos plantear y resolver el problema de minimización de costos que corresponde a lo siguiente:
m´ın
x1,x2
C = w1x1 + w2x2
s.a y = 2x
1/2
1 x
1/4
2
Isocostos: C = w1x1 + w2x2
Pendiente de Isocostos: dx2
dx1
C
= w1
w2
TMST2,1 =
dx2
dx1 y
=
@y/@x1
@y/@x2
=
PMg1
PMg2
=
x
1/4
2 x
1/2
1
1
2 x
1/2
1 x
3/4
2
TMST2,1 =
2x2
x1
! Pendiente de la Isocuanta
|TMST2,1|
@x1
< 0
Si igualamos las pendientes:
dx2
dx1 C
=
dx2
dx1 y
)
w1
w2
=
2x2
x1
Luego, la condición de óptimo se traduce en:
w1
w2
=
2x2
x1
) x2 =
x1w1
2w2
, x1 =
2x2w2
w1
Reemplazando en la restricción (se reemplaza una variable a la vez):
y = 2x
1/2
1
✓
x1w1
2w2
◆1/4
y
2
= x
3/4
1
✓
w1
2w2
◆1/4
xc
1 =
✓
y
2
◆4/3 ✓
2w2
w1
◆1/3
Página 6 de 9

y = 2
✓
2x2w2
w1
◆1/2
x
1/4
2
y
2
=
✓
2w2
w1
◆1/2
x
3/4
2
xc
2 =
✓
y
2
◆4/3 ✓
w1
2w2
◆2/3
Ahora si reemplazamos xc
1 y xc
2 en la función de costos:
CLP
= w1x1 + w2x2
CLP
= w1
✓
y
2
◆4/3 ✓
2w2
w1
◆1/3
+ w2
✓
y
2
◆4/3 ✓
w1
2w2
◆2/3
CLP
=
✓
y
2
◆4/3
"
(2w2)1/3
(w1)2/3
+ (w1)2/3
✓
1
2
◆2/3
(w2)1/3
#
CLP
=
✓
y
2
◆4/3
(w1)2/3
(w2)1/3
"
(2)1/3
+
✓
1
2
◆2/3
#
CLP
=
✓
y
2
◆4/3
(w1)2/3
(w2)1/3
"
(2)1/3 (2)2/3
(2)2/3
+
✓
1
2
◆2/3
#
CLP
=
✓
y
2
◆4/3
(w1)2/3
(w2)1/3
✓
3
(2)2/3
◆
Como w1 = 2 y w2 = 1, entonces:
CLP
(w1, w2, y) = CLP
(y) = 3
✓
y
2
◆4/3
2. (5 puntos) Suponga que en el corto plazo CB y Asociados posee el factor x2 fijo en 16. Determine la
función de costos a corto plazo. ¿Cuál es la expresión de dicha función de costos si los precios de los
factores son, respectivamente, w1 = 2 y w2 = 1?
Respuesta
m´ın
x1
C = w1x1 + 16w2
s.a y = 2x
1/2
1 (16)1/4
= 4x
1/2
1
) y = 4x
1/2
1
) xc
1 =
✓
y
4
◆2
Entonces:
CCP
(w1, w2, y) = w1xc
1 + 16w2
CCP
(w1, w2, y) = w1
✓
y
4
◆2
+ 16w2
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Como w1 = 2 y w2 = 1, entonces:
CCP
(w1, w2, y) =
y2
8
+ 16
Ejercicio 2. La viña Don Pachá se dedica única y exclusivamente a la producción de Carménère y tiene
una tecnolog´ıa representable por medio de la función
f(~x) = m´ın
⇢
x1
↵1
,
x2
↵2
,
x3
↵3
,
x4
↵4
donde x1 representa los trabajadores, x2 la maquinaria agr´ıcola, x3 las vides listas para la cosecha y x4 el
uso de suelo.
1. (5 puntos) ¿La función que nos dan es efectivamente una función de producción?
Respuesta
Es función de producción ya que cumple las dos propiedades necesarias: f(~0) = 0 y la productividad marginal
es no decreciente en el uso de los factores.
Si el vector de insumos es ~0 entonces f(~0) = 0 y se cumple la primera propiedad. Por tratarse de una función
de m´ınimos no se puede derivar, pero si aumenta el uso de un factor la producción no disminuye habiendo
varios escenarios posibles pero sabemos que la producción al menos se mantiene igual. Si aumenta el uso de
todos los factores entonces la producción aumenta.
2. (5 puntos) Considere que cada máquina puede ser operada por un trabajador y que semanalmente
se deben enviar las maquinas a una mantención que dura un dia completo. ¿Es de esperarse que los
parámetros ↵i sean constantes en la escala de producción?
Respuesta
No necesariamente. Si aumenta la escala de producción aumenta la contratación de factores pero las pro-
porciones de uso de los factores pueden cambiar. De acuerdo con lo indicado, la relación 1 trabajador / 1
máquina no tiene porque mantenerse ya que una consecuencia del mantenimiento es que puedo disponer de
menos trabajadores que máquinas en la medida que algunas máquinas no estarán disponibles.
Ejercicio 3. Nos dan la siguiente función:
f(x1, x2) = x3
1 3x2
1x2 + 3x1x2
2
(10 puntos) Determine si es efectivamente es función de producción y si acaso esta función es homogénea.
Respuesta
No es función de producción pues no es una función no decreciente en el uso de los factores. Se tiene que:
@
@x1
f(x1, x2) = 3x2
1 6x1x2 + 3x2
2 = 3(x1 x2)2
> 0
@
@x2
f(x1, x2) = 3x2
1 + 6x1x2
entonces que la productividad marginal de x2 sea mayor o igual a cero depende de los valores que tome (x1, x2).
La función es homogénea de grado 3 pues
f( x1, x2) = ( x1)3
3( x1)2
( x2) + 3( x1)( x2)2
= 3
(x3
1 3x2
1x2 + 3x1x2
2)
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Ejercicio 4. Nos dan la siguiente función de producción:
f(x1, x2) = m´ın
⇢
ln(x1)
↵
,
x2
2
(10 puntos) Determine si la función presenta rendimientos decrecientes a la escala.
Respuesta
Dicha función no es homogénea de ningún tipo ya que no puede expresarse de la forma:
m´ın
⇢
ln( x1)
↵
,
( x2)2
= n
m´ın
⇢
ln(x1)
↵
,
x2
2
donde n mide el grado de homogeneidad. Por lo tanto, en estricto rigor, la función no presenta retornos a la escala
de ningún tipo.
Sin embargo, debe considerarse que al aumentar ambos factores a una cierta tasa, será el factor 1 el que hará el
papel de “frenar” la expansión del producto, haciendo que este crezca a tasa decreciente.
Si ln(x1)
↵ <
x2
2
, entonces
Q =
ln(x1)
↵
)
@Q
@x1
=
1
↵x1
> 0 )
@2
Q
@x2
1
=
1
↵x2
1
< 0
Si ln( x1)
↵ > ( x2)2
, entonces
Q =
x2
2
)
@Q
@x2
=
2x2
> 0 )
@2
Q
@x2
2
=
2
> 0
Lo anterior implica que el factor 1 conduce a un aumento a tasa decreciente del producto, no as´ı el factor 2 que
de no ser por el efecto del factor 1 conducir´ıa a un aumento a tasa creciente del producto.
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Control 4
Primavera 2011
1. Preguntas Cortas (40 puntos)
1. (10 puntos) Un d´ıa escucha en la calle un comentario que le quito el sueño por varias semanas y llenó su
cabeza de dudas. El comentario fue “Un monopolio nunca cobrará un precio menor que el de competencia
perfecta”. Comente.
Respuesta
Verdadero. Esto se debe a que sabemos que en competencia perfecta la condición de óptimo está dada por:
P = IMg = CMg
Mientras que en monopolio el equilibrio está dado por:
IMg = P
✓
1 +
1
|"p,q|
◆
Por lo tanto, dado que trabajamos la elasticidad en valor absoluto, obtenemos que el precio de monopolio a
lo menos será igual al precio de competencia perfecta.
2. (10 puntos) Las empresas no deber´ıan aceptar pérdidas, aunque sea en el corto plazo, dado que siempre
pueden cerrar y ahorrarse cualquier costo. Esto es, en definitiva, lo que provoca que la oferta de la
industria sea elástica en el corto plazo.
Respuesta
Falso. En el corto plazo las empresas aceptarán pérdidas relacionadas con los costos fijos (dado que se
mantendrán mientras que el precio cumpla con P CMeVmin, por lo tanto, puede darse que hayan empresas
en el corto plazo con pérdidas. Sin embargo, esta situación crea una oferta de la industria con pendiente
positiva dado que no hay firmas que entren o salgan para mantener un equilibrio determinado.
3. (10 puntos) Un mercado se encuentra en competencia perfecta cuando las utilidades de las empresas son
iguales a cero, esto dado a que las empresas no deben ni nagar ni perder dinero. Comente
Respuesta
Falso. En competencia perfecta lo que ocurre es que los beneficios de las empresas son iguales a cero. La
diferencia radica en que las utilidades son una unidad contable, mientras que los beneficios se refieren a las
utilidades contables menos los costos de oportunidad de la acción a la que nos estamos dedicando. De esta
forna, una empresa se puede encontrar perfectamente con utilidades en competencia perfecta.
4. (10 puntos) El famoso ´ıdolo y periodista estrella Juan Carlos Bodoque recientemente llegó a la siguiente
conclusión en un estudio acerca de oferta de las empresas: “El monopolio no ofrecerá una menor cantidad
que una empresa en competencia perfecta, siempre y cuando el número de empresas que funcionen en
esta industria sea grande, pero si el número de empresas es pequeño, el monopolio podr´ıa ser ofrecer una
mayor cantidad que esta empresa en competencia perfecta”. Comente.
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Respuesta
Verdadero, porque aunque el número de empresas sea pequeño, tenemos que tener en cuenta que por supuesto
de competencia perfecta las empresas producen lo mismo (es decir, son iguales), entonces como el monopolio
produce donde costo marginal es igual al costo marginal, la cantidad monopólica será mayor a lo que producir´ıa
la competencia perfecta.
P
QM
QEQ
Q
En el gráfico la cantidad de mercado es la cantidad que produce todo el mercado, entonces para poder calcular
cuanto produce cada empresa, tenemos que dividir esta cantidad por la cantidad de empresas.
Cantidad que produce una empresa =
qeq
n
Este número será a lo sumo igual a qM
(en el caso de que el mercado se componga de dos empresas que se
comporten como competencia perfecta y tengan demanda lineal), en otro caso siempre será menor.
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2. Competencia perfecta y subsidio (15 puntos)
Ejercicio 1. Alejandra es una sensacional escritora y además se dedica a la venta de de tartas de frutillas con
cerezas. Se sabe que se encuentra en un contexto competitivo con libre entrada de empresas. Adicionalmente
sabe que su función de costos es de la forma:
f(Q) = 2Q2
+ 20Q + 128
Adicionalmente se sabe que en el mercado actual, las tartas de frutillas con cerezas se transan a un precio
de $52.
1. (8 puntos) Plantee el problema de maximización de beneficios y obtenga: La cantidad producida por la
empresa de Alejandra, el precio al que produce y los beneficios adquiridos. Adicionalmente, ¿Puede decir
que se está en presencia de competencia perfecta?
Respuesta
Como estamos en competencia perfecta sabemos que la condición de óptimo está dada por:
IMg = CMg
P = 4Q + 20
52 = 4Q + 20
32 = 4Q
8 = Q
Por lo tanto Alejandra vende 8 tartas a un precio de $52. Esto implica que sus beneficios están dados por:
⇡ = 52 · 8 2(8)2
20 · 8 128
⇡ = 416 128 160 128
⇡ = 416 416
⇡ = 0
Entonces, dado que los beneficios son 0, podemos decir que estamso en un mercado en competencia perfecta.
2. (8 puntos) Suponga ahora que el gobierno da un subsidio de suma fija de $28 a la empresa de Alejandra
(el subisidio no var´ıa con la cantidad produccida). Con esta nueva información se le pide encontrar: La
cantidad producida por la empresa, el precio al que produce y los beneficios adquiridos. Adicionalmente,
¿Puede decir que se está en presencia de competencia perfecta ahora?
Respuesta
Como estamos en competencia perfecta sabemos que la condición de óptimo está dada por:
IMg = CMg
P = 4Q + 20
52 = 4Q + 20
32 = 4Q
8 = Q
Por lo tanto Alejandra vende 8 tartas a un precio de $52. Esto implica que sus beneficios están dados por:
⇡ = 52 · 8 2(8)2
20 · 8 100
⇡ = 416 128 160 100
⇡ = 416 388
⇡ = 28
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Entonces, dado que los beneficios son mayores que cero, podemos decir que estamos en un mercado donde
no hay competencia perfecta.
3. (4 puntos) Explique el efecto del subsidio de suma fija sobre la produción de la empresa de Alejandra en
competencia perfecta. ¿Afecta el subsidio a la cantidad produccida? ¿Porqué?
Respuesta
El subsidio no cambia las decisiones de la empresa de Alejandra dado que las empresas piensan en terminos
marginalistas, de forma, que solo un subisidio al costo marginal es capaz de cambiar la condición de óptimo
de la empresa. Otra forma de verlo es que la empresa no tiene ningún incentivo a vender mayores cantidades
al mercado
3. Cantidad de firmas en largo plazo (10 puntos)
Ejercicio 2. En Utop´ıa existe un mercado perfectamente competitivo en el cual hay dos tipos de firmas:
Las ↵ y las , con la siguiente estructura de costos:
C↵(y) = 2y3
8y2
+ 10y
C (y) = y3
4y2
+ 5y
Los precios de los insumos son constantes y la demanda de mercado es Q = 104 2p.
1. (5 puntos) Determine el precio de equilibrio de largo plazo. ¿Cuál tipo de firmas operará en el largo
plazo?
Respuesta
En el largo plazo sólo sobreviven aquellas firmas más eficientes, lo cual se refleja en el menor costo medio de
producción. As´ı, el costo medio m´ınimo de cada una de las firmas es:
CMe↵(y) = 2y2
8y + 10
dCMe(y)
dy
= 4y 8 = 0 ) y⇤
↵ = 2
) CMem´ın
↵ = 2 · 22
8 · 2 + 10 = 2
CMe↵(y) = y2
4y + 5
dCMe(y)
dy
= 2y 4 = 0 ) y⇤
↵ = 2
) CMem´ın
↵ = 22
4 · 2 + 5 = 1
En el largo plazo los beneficios económicos de las firmas competitivas son cero. Por consiguiente, el precio
cobrado será igual al CMem´ın
de las firmas tipo que son las más eficientes. Es decir, p = CMem´ın
y esto
se traduce en una oferta de mercado completamente elástica tal que
p = CMem´ın
= 1
2. (5 puntos) Determine la cantidad de equilibrio de largo plazo de la econom´ıa.
Respuesta
Reemplazando el precio de equilibrio de largo plazo de la parte anterior, determinado por la oferta totalmente
elástica de largo plazo, en la demanda; se obtiene la cantidad de equilibrio de largo plazo:
Q = 102 2p = 104 2 = 102
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3. (5 puntos) Determine el número de firmas que componen la industria en el largo plazo.
Respuesta
Como cada una de las firmas tipo que operan en el largo plazo producen y⇤
= 2 y la cantidad total de
producción es Q = 102, entonces hay 51 firmas en total.
4. Competencia monopólica y cambios en la Demanda (15 puntos)
Ejercicio 3. Usted es dueño de un monopolio que vende un bien de primera necesidad, donde su estructura
de costos es de la forma:
f(Q) = Q2
+ 20Q
Adicionalmente se sabe que en el mercado actual, la demanda de su bien está dada por:
Q = 100 2P
Con esta información se le pide:
1. (8 puntos) Encuentre la cantidad y precio óptimo del monopolio. Adicionalmente calcule los beneficios
de este.
Respuesta
Sabemos que en el óptimo IMg = CMg. Por su parte el IMg está determinado por:
IT =
✓
50
Q
2
◆
Q
IT =
✓
50Q
Q2
2
◆
IMg = (50 Q)
Por lo tanto, la cantidad está determinado por:
IMg = CMg
50 Q = 2Q + 20
30 = 3Q
10 = QM
Y el precio corresponde a:
10 = 100 2P
PM
= 45
Entonces los beneficios del monopolio son:
⇡ = 45 · 10 (10)2
2(10)
⇡ = 450 100 20
⇡ = 330
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2. (12 puntos) Suponga ahora que debido a la importancia del bien en cuestión se realiza una pol´ıtica que
cambia la demanda del bien, siendo esta ahora:
Q = 160 2P
Encuentre el nuevo equilibrio del mercado monopólico y comente el efecto del subsidio, ¿Opina que el
sociedad en su conjunto está mejor o peor?. Argumente su respuesta.
Respuesta
Sabemos que en el óptimo IMg = CMg. Por su parte el IMg está ahora determinado por:
IT =
✓
80
Q
2
◆
Q
IT =
✓
80Q
Q2
2
◆
IMg = (80 Q)
Por lo tanto, la cantidad está determinado por:
IMg = CMg
80 Q = 2Q + 20
60 = 3Q
20 = QM
Y el precio corresponde a:
20 = 160 2P
PM
= 70
Entonces los beneficios del monopolio son:
⇡ = 70 · 20 (20)2
2(20)
⇡ = 1400 400 40
⇡ = 960
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