1. Álgebra
Lineal
Transformaciones Lineales
Francisco Niño Rojas

2. Transformaciones Lineales
Definición:
Sean 푉 y 푈 espacios vectoriales. Una
transformación lineal T de 푉 en 푈 es una
función que asigna a cada vector 푢 de 푉
un único vector 푇(푢) en 푈.
푉 푇 푈
풗 푇(푢)
Francisco Niño R. UNISALLE

3. Transformaciones Lineales
Tal que:
 푇(푢 + 푣) = 푇(푢) + 푇(푣), para todo par de
vectores 푢, 푣 en 푉
 푇(훼푢) = 훼푇(푢), para todo 푢 en 푉 y todo
훼 ∈ ℝ
Francisco Niño R. UNISALLE

4. Nota
 Las dos condiciones las podemos resumir
en:
푇(훼푢 + 푣) = 훼푇(푢) + 푇(푣)
 Si 푈 = 푉, la transformación lineal: 푇: 푉 → 푉
se denomina operador lineal
Francisco Niño R. UNISALLE

5. Ejemplos:
Consideremos T: ℝ2 → ℝ3 definida por
푇
푥
푦 =
푥 + 푦
푥 − 푦
4푦
Por ejemplo, 푇
3
−5
=
3 +(−5)
3 −(−5)
4(−5)
=
−2
8
−20
Francisco Niño R. UNISALLE

6. Estamos transformando el vector
3
−5
en el
vector
−2
8
−20
bajo la transformación de 푇.
Decimos que el vector
−2
8
−20
esta en la
imagen de 푇. ( 퐼푚 푇 ).

7. Ejercicio:
 Transforme los vectores (1, -2) y
1
2
, −
3
4
teniendo en cuenta la transformación
anterior.
 Encuentre otros 5 elementos de la 퐼푚 푇 .
 Suponga que 푇: ℝ2 → ℝ2 esta dada por
푇 푥, 푦 = −푥, −푦
Represente geométricamente la 푇. 퐿.

8. En general para 푥 = 푥1 , y 푦 = 푦1 se puede verificar
que 푇 es una 푇 . 퐿. Así:
푇
푥1
푦1
+
푥2
푦2
= 푇
푥1 + 푥2
푦1 + 푦2
=
푥1 + 푥2 + 푦1 + 푦2
푥1 + 푥2 − 푦1 − 푦2
4푦1 + 4푦2
ya que 푥1 , 푥2, 푦1, 푦2 son
componentes reales =
푥1 + 푦1
푥1 − 푦1
4푦1
+
푥2 + 푦2
푥2 − 푦2
4푦2
conmutamos y Asociamos.
Entonces tenemos :
푥1 + 푦1
푥1 − 푦1
4푦1
= 푇
푥1
푦1
푦
푥2 + 푦2
푥2 − 푦2
4푦2
= 푇
푥2
푦2

9. Por lo tanto 푇
푥1
푦1
+
푥2
푦2
= 푇
푥1
푦1
+ 푇
푥2
푦2
.
Se cumple la primera propiedad.
Similarmente,
푇 훼
푥
푦 = 푇
훼푥
훼푦 =
훼푥 + 훼푦
훼푥 − 훼푦
4훼푦
= 훼
푥 + 푦
푥 − 푦
4푦
= 훼푇
푥
푦
También cumple la segunda propiedad y en
consecuencia 푇 es una transformación lineal.

10. Ejemplos especiales
 La transformación cero. Consideremos
푉 y 푈 espacios vectoriales y 푇: 푉 → 푈 la
transformación definida por 푇 푣 = ퟎ
para todo 푣 de 푉. Entonces
푇 푣1 + 푣2 = ퟎ + ퟎ = 푇 푣1 + 푇 푣2
푇 훼푣 = ퟎ = 훼ퟎ = 훼푇 푣 .
 Nota: Recordemos que ퟎ es el vector
cero o elemento neutro del espacio
vectorial 푈.

11. Consulta:
 Consulte sobre la transformación
Identidad, la transformación de reflexión,
y transformación de proyección
ortogonal.
 Puedes ayudarte del texto guía. (Algebra
lineal S. Grossman)

12. Otro ejemplo especial:
 Sea 푇: ℝ푛 → ℝ푚 representada por una
matriz de 푚 × 푛. Entonces definimos
푇 x = 퐴x
Donde 퐴 es una matriz de 푚 × 푛 y x es un
vector en ℝ푛. Es fácil ver que 푇 es una 푇. 퐿.

13. Por lo tanto, toda matriz 퐴 de 푚 × 푛 da origen a
una transformación lineal de ℝ푛 en ℝ푚.
Ejercicio: Si 푇 es una transformación lineal de
ℝ2 → ℝ3 tal que:
푇
1
0
=
1
2
3
푦 푇
0
1
=
−4
0
5
Halle:
푇
2
4
y 푇
−3
7
.
TAREA: Consulte sobre la transformación de
rotación.

14. Ejemplo:
 Sea 푇 una transformación definida
푇: 푀푛푛 → 푀푛푛
Donde 푇 퐴 = 퐴퐵 donde 퐵 es una matriz fija de 푛 × 푛.
Para la primera propiedad consideremos dos matrices
퐴1 y 퐴2 en 푀푛푛. Entonces
푇 퐴1 + 퐴2 = 퐴1 + 퐴2 퐵
퐸푠푡푒 푝푟표푑푢푐푡표
푠푒 푝푢푒푑푒 ℎ푎푐푒푟
푃푢푒푠 푙푎푠 푚푎푡푟푖푐푒푠
푠표푛 푑푒 푛×푛.
= 퐴1퐵 + 퐴2퐵 = 푇 퐴1) + 푇퐴2

15. Para la segunda propiedad consideremos una
matriz 퐴푛×푛 y 훼 valor real. Entonces:
푇 훼퐴 = 훼퐴 퐵 = 훼 퐴퐵 = 훼푇 퐴 .
Consideramos propiedades con operaciones
usuales entre matrices como el producto de
matrices y el producto de un escalar por una
matriz.
Luego 푇 es un 푇. 퐿.

16. Ejercicios
Determinar cuales de las siguientes
transformaciones son lineales:
1. 푇: 푀2×2 → ℝ, definida por 푇(퐴) = det(퐴)
2. T: ℝ3 → ℝ2 definida por
푇(푥, 푦, 푧) = (푥 + 푦, 푦 + 푧)
Francisco Niño R. UNISALLE

17. Propiedades
Si 푇: 푈 → 푉 es una transformación lineal,
entonces:
 푇(0푣) = 0푢
 푇(−푣) = −푇(푣)
 푇(푣 − 푢) = 푇(푣) − 푇(푢)
Francisco Niño R. UNISALLE

18. Ejercicios:
Usando el mismo razonamiento hecho en
clase, resolver:
Sea 푇: 푉 → ℝ3 lineal tal que:
푇 푣1 = 1, −1,2 , 푇 푣2 = 0,3,2 푦
푇(푣3) = (−3,1,2)
Encontrar: 푇(2푣1 − 3푣2 + 4푣3)
Francisco Niño R. UNISALLE

19. Gracias y Ánimo
con las tareas