El documento describe la noción de variación y cómo se utiliza para construir el concepto de derivada en cálculo. Explica que la variación se refiere a cómo cambian las funciones y la importancia de medir este cambio. Para medir el cambio, se utilizan las diferencias entre los valores iniciales y finales de una variable. Esto permite cuantificar la variación y derivar conceptos como la rapidez del cambio.

2. El estudio de la variación, constituye la línea directriz
mediante la cual se construye uno de los conceptos más
importantes del cálculo:
la derivada
Las funciones pueden cambiar de maneras muy distintas, unas
pueden ser crecientes, otras decrecientes, otras no crecen ni
decrecen, unas crecen uniformemente, otras lo hacen en forma
variada, etc.

3. Para comprender el comportamiento de una función, es
necesario determinar cuánto cambia; esto es de enorme
utilidad si se pretende saber cuánto crece una función o
cuánto decrece . En realidad el término variación está
estrechamente ligado al proceso de:
medición del cambio
Uno de los requisitos fundamentales en el estudio de
cualquier fenómeno es poder cuantificarlo o medirlo, y en
esto la matemática proporciona una gran ayuda.

4. Los instrumentos de medición que la matemática provee a las
demás disciplinas científicas no se parecen a los que utilizan,
por ejemplo, la Física o la Química; mientras que estas
disciplinas utilizan instrumentos de laboratorio, en la ciencia
matemática se crean modelos abstractos.
La medición del cambio es un aspecto esencial de la variación
y, por tanto, un elemento clave en la formación del concepto
de
derivada.

5. Ejemplo. El principal indicativo de la contaminación ambiental
en las grandes ciudades se mide a partir de la concentración de
ozono en la atmósfera. En la ciudad de México se utiliza el
Índice Metropolitano de Contaminación Ambiental (IMECA).
Si la concentración de ozono fluctúa entre 50 y 100 puntos
IMECA se dice que existe un ambiente favorable para las
actividades humanas, si fluctúa entre 100 y 200 es no
satisfactorio; si varía entre 200 y 300 se considera como malo, y
si está entre 300 y 500 es dañino para el organismo. En la
segunda semana del mes de agosto de 1997 se registraron las
concentraciones de ozono en la ciudad de México que se
muestran en la figura siguiente:

6. De acuerdo con los datos de la gráfica el nivel
promedio de ozono cambia diariamente.
¿Cuánto cambió el nivel máximo de ozono de lunes a
martes? Ascendió 4 unidades.
¿Cuánto cambió del martes al miércoles?
Cambió en 51 unidades.

7. Nótese que el cambio se da cuando se pasa, de un estado a
otro, de un estado inicial a un estado final; por tanto, para
medir el cambio de la variable basta restar de su valor
adquirido en el estado final, su valor adquirido en el estado
inicial: Cf – Ci =ΔC
ΔC representa el cambio (aumento o disminución) de la
concentración de ozono en la atmósfera

8. Ejemplo2. La caída libre de los
cuerpos en la Luna se describe por la
fórmula
s es la distancia de caída en metros, y
t el tiempo empleado en caer en
segundos. El gráfico de s(t) tiene la
forma mostrada en la figura.
Tomando en cuenta esta información,
¿cuánto cambia la distancia en que cae
un cuerpo entre los segundos 0 y 1? Si
se observa la gráfica parece que
cambia 2 m, sin embargo, esta forma
de calcular el cambio es poco precisa.
¿Cómo eliminar esta imprecisión?
Contamos con la fórmula de la función que relaciona a la
distancia y el tiempo, y por tanto puede determinarse el valor de
la distancia recorrida del estado inicial al estado final.

9. De acuerdo con este esquema y aprovechando que se sabe que el
cambio se mide por medio de las diferencias, (estado final
menos estado inicial), podemos contestar rápidamente la
pregunta planteada:
Como , entonces
y
de aquí que:
Esto quiere decir que un objeto en caída libre en la Luna, de 0 a 1
segundo recorre una distancia que cambia de 0 a 0.8 m

10. ¿Cuánto cambia la distancia del segundo 1 al segundo 2?
En este caso: Δs = s(2) – s(1) = 3.2 – 0.8 = 2.4 m
El resultado anterior indica que un objeto en caída libre, en
nuestro satélite, recorre 2.4 m entre los segundos 1 y 2.
Pudieran calcularse más cambios, hay que responder a la pregunta:
¿cuánto cambia?, lo que nos lleva hacia la medición de la variación,
que se ha logrado mediante las diferencias. Con ellas se cuantifica el
cambio y para obtenerlas se necesita, de un valor final de la
variable, xf, al que se le resta el valor inicial de la misma variable, xi.
Esto en términos matemáticos se escribe así:
xf - xi = Δx

11. ¿Cómo se comportan los cambios?
Ya introdujimos la notación que facilita la
obtención de diferencias, y por tanto
también facilita la medición del cambio. Los
cambios que ocurren en la naturaleza o en la
sociedad tienen distintos comportamientos,
hay cambios que ocurren uniformemente
con relación al tiempo, hay fenómenos que
cambian a cada instante, hay también
fenómenos naturales en los que los cambios
son muy complejos, como es el caso del
movimiento de los electrones o el
movimiento de las moléculas.

12. Una de las funciones del Cálculo consiste en encontrar las
leyes que describan esos cambios y así poderlos medir y
predecir.
Aquí sólo nos ocuparemos de los cambios que ocurren en
algunos fenómenos sencillos, estudiados por la Física.
Iniciaremos con el análisis del fenómeno de la caída libre de
los cuerpos.

13. CAÍDA LIBRE
La ley que describe la caída libre de los cuerpos en la superficie
terrestre está dada por la fórmula s(t) = 4.9t ² , en donde s es la
distancia recorrida y t el tiempo.
Los cambios de la distancia, Δs, están dados por medio de la
diferencia:
Δs = s(ti+ Δt) - s(ti)
después de algunos procedimientos algebraicos:
Vamos a analizar cómo se comportan los cambios de la
distancia que recorre un cuerpo en caída libre, primero
numéricamente y después geométricamente.

14. Elijamos cambios del tiempo de 1 en 1, es decir, para
Δt = 1
Analicemos la sucesión de cambios de distancias y
comparemos entre sí sus magnitudes.

15. Véase que las distancias que recorre el cuerpo a intervalos de
un segundo también cambian. De 0 a 1 s, la distancia recorrida
fue de 4.9 m; de 1 a 2 s, la distancia recorrida fue de 14.7 m;
en el intervalo de 2 a 3 s la distancia fue de 24.5 m. Esto indica
que un cuerpo que cae libremente recorre distancias cada vez
más grandes por cada segundo que transcurre, y esos cambios
de distancias están dados precisamente por la fórmula:
Las magnitudes de las distancias varían, pero ¿cuánto cambian
esos cambios?

16. ¿CAMBIOS DE CAMBIOS?
Obsérvese que del primer cambio al segundo la distancia
aumenta 9.8 m; es decir, de 4.9 cambia a 4.9 + 9.8 = 14.7;
del segundo cambio al tercero aumenta también 9.8 m,
pues de 14.7 cambió a 24.5; del tercero al cuarto cambio
también varía lo mismo. Esto quiere decir que los cambios
dados cambian a su vez en una misma magnitud; los
cambios de los cambios son constantes.

17. CAMBIOS GEOMÉTRICOS
Para referirse a los cambios de distancia se ha
utilizado la notación Δs, y para los cambios de estos
cambios la notación ΔΔs

18. También se puede interpretar la notación Δs como las
diferencias, y la notación ΔΔs como las diferencias de las
diferencias. Si se prosigue con el análisis de los cambios,
ahora puede preguntarse nuevamente cómo se comportan los
cambios de los cambios de los cambios de las distancias.
Al analizar los cambios de distancia que experimenta un
cuerpo en caída libre se han encontrado algunas cuestiones
que son importantes de destacar:

19. Por ejemplo, las diferencias Δs se comportan de manera
que parecen seguir la regla 9.8t, para t ≥1; en el caso de
las diferencias de las diferencias la regla es evidente, pues
es la constante 9.8, y las diferencias de éstas últimas son
siempre 0. Tal parece que si se obtienen las diferencias
reiteradamente, las obtenidas al último valdrán 0. Esto
último es otro de los aspectos importantes de la variación.
El análisis del comportamiento de los cambios es un tema
muy importante para estudiar la variación, pues los
movimientos están determinados por los cambios, y el
comportamiento de los cambios (los cuales a su vez
pueden variar también, o permanecer constantes) son el
aspecto esencial de la variación.

20. Cambios relativos: la rapidez media de la variación
Cuando se estudiaron los cambios de las distancias en la
caída libre de los cuerpos siempre se hacía referencia al
cambio de la distancia recorrida en un intervalo de
tiempo, es decir, un cambio de distancia respecto de un
cambio de tiempo; en el caso del cambio de estado de los
líquidos se mide el cambio de temperatura respecto del
tiempo, en el caso del aumento de áreas de polígonos se
habla del cambio del área respecto de la longitud de sus
lados, etc. Los casos particulares de cambio relativos más
cercanamente relacionados con nuestra experiencia
diaria son la rapidez de cambio y la velocidad de un
objeto móvil. Ambas son manifestaciones particulares de
los cambios relativos, pues para su determinación se
requiere relacionar unos cambios con otros.

21. ¿Qué tan rápido cambia un fenómeno?
La caída libre de los cuerpos en la superficie lunar está
descrita por la fórmula s₁(t) = 0.8t ² , y en la superficie,
terrestre por s₂(t) = 4.9t ² . Supóngase que dos cuerpos
se dejan caer simultáneamente tanto en la Tierra
como en la Luna. ¿Cuál de ellos cae con más rapidez?

22. Si se comparan las gráficas podemos percibir que en la
superficie terrestre caen más rápido los cuerpos que en la
superficie lunar, pues de 0 a 1 segundo se observa que
s₂(t) es más grande que s₁(t); de 2 a 3 segundos se
observa también que a s₂(t) corresponde una mayor
distancia que s₁(t), como se observa en la tabla.

23. Para dar una respuesta inicial a la pregunta: ¿Qué tan rápido
cambia un fenómeno? Se tuvo que relacionar el cambio de
distancia respecto del cambio del tiempo, y la comparación
fue expresada por medio de una razón, es decir el cambio de
distancia entre el cambio de tiempo. Además es importante
también hacer notar que la lectura de la rapidez se facilita si
la razón que la mide se simplifica de modo que en el
denominador quede la unidad de tiempo. ¿Si se analiza la
rapidez de los dos movimientos pero a intervalos más cortos,
prevalecerá la misma situación?
La rapidez con que caen los cuerpos es mayor en la superficie
de la Tierra que en la superficie lunar, no importando qué tan
pequeños sean los intervalos de tiempo que se tomen.
Véase la siguiente tabla.

24. Mientras en la Luna un cuerpo apenas recorre 0.2 m entre 0 y 0.5
s en la Tierra en ese mismo intervalo recorre una distancia
mayor, pues recorre 1.225 m; entre 0.5 y 1 s en la Luna un cuerpo
recorre 0.6 m y en cambio en la Tierra en ese mismo intervalo,
recorre 3.675 m., etc.
Se puede afirmar que la rapidez con que cae un cuerpo en la
Luna es casi 6 veces menor que la rapidez con que cae un cuerpo
en la Tierra.

25. La determinación de la rapidez requiere, en principio, de una
comparación entre el cambio de la distancia y lo que cambia
el tiempo. En términos más precisos, la comparación de la que
se habla es en realidad una razón, un cociente.
Cuando se dice que el objeto lleva una rapidez de 0.4 m/s,
significa que cuando el tiempo cambia en 1 s, la distancia que
recorre el objeto cambia en 0.4 m; esto puede escribirse como
4 m/10 s. Se tiene que 4/10 es un número racional, en donde
el numerador representa el cambio de la distancia y el
denominador el cambio del tiempo.
La rapidez es el módulo de la razón del cambio de distancia
entre el cambio del tiempo. Esto se escribe:

26. Si la rapidez es r, la distancia s y el tiempo t, entonces, la
igualdad anterior queda como:
Las barras de valor absoluto indican que la rapidez siempre
será positiva. La expresión anterior permite calcular la
rapidez promedio y dar respuesta a situaciones concretas
acerca de la variación. Finalmente se puede concluir que los
cambios relativos se miden por medio de razones o cocientes
entre cambios, siempre que se estudia un fenómeno de
variación lo importante no es sólo determinar los cambios,
sino determinar qué tan rápido cambia eso que cambia, y la
mejor forma de averiguarlo es por medio de las razones
entre los cambios.

27. Esta es una de las ideas más importantes del Cálculo
Diferencial. En nuestro ejemplo solo hemos tratado un tipo
de cambios relativos, la rapidez. Sin embargo, existen
muchos otros cambios relativos como la velocidad, la
aceleración, el gasto, etc.
Vamos a extender esta noción de rapidez a la de velocidad de
movimiento. Habrá que recordar que la rapidez media es un
recurso para medir los cambios relativos; es decir, indica
cuánto cambia una variable cuando otra - que está
relacionada con aquélla - cambia en una determinada
magnitud.
Dos cuerpos se mueven de modo que la relación entre las
distancias que recorren respecto del tiempo están dadas por
las fórmulas: s(t) = 5t + 5, y s(t) = 20t - 5t² ; obsérvense las
gráficas de las Figuras

28. En los dos casos la rapidez media a intervalos de 1 s puede ser
obtenida sólo viendo las gráficas. Para mayor precisión,
podemos determinarla utilizando las diferencias.

29. La rapidez media dada por la expresión:
Como Δs se obtiene de s(ti + Δt) – s(ti ), para el caso en que
s(t) = 5t + 5
Las diferencias son:
Por tanto, r queda como sigue:

30. Esto significa que la rapidez media con la que se desplaza
el cuerpo en el primer caso es siempre de 5 m/s, para
cualquier Δt. ¿Por qué afirmamos que para cualquier Δt?
Si un cuerpo sigue una trayectoria recta y se desplaza con
la misma rapidez, entonces — dicen los físicos — se trata
de un movimiento rectilíneo uniforme, su rapidez media
no cambia: siempre es de 5 m/s; es constante.
Analicemos lo que sucede en el segundo caso. Calculemos
primero la rapidez media. Para ello se procede de manera
semejante a la del caso anterior.

31. De manera que la rapidez media de movimiento se
obtiene como sigue:
Ahora utilícese la expresión
para calcular la rapidez media en los intervalos indicados en la
gráfica.

32. Los resultados indican que la rapidez del cuerpo estuvo
cambiando en el intervalo que duró el movimiento. De 0 a 1
segundos su rapidez es de 15 m/s; de 1 a 2 segundos
cambió, a 5 m/s; de 2 a 3 tiene una rapidez de 5 m/s, y de 3
a 4 segundos su rapidez es de 15 m/s. Los datos parecen
revelar que el cuerpo al principio tiene una mayor rapidez y
a medida que se acerca a su máxima altura su rapidez
disminuye. ¿Es posible que su rapidez se anule? Después de
haber alcanzado su máxima altura el cuerpo baja, en
principio con menor rapidez y después su rapidez aumenta.

33. Se investigará ahora la velocidad de los cambios
representados en el gráfico, pero ahora a intervalos de 0.5s.
Estos datos indican que la velocidad del cuerpo va
disminuyendo a medida que alcanza su mayor altura. después
el cuerpo viene en descenso y si su velocidad era positiva en el
ascenso, entonces es aceptable que en el descenso se
considere negativa.

34. Esto no era claro utilizando sólo la idea de rapidez, y en esto
se halla su limitación. Los gráficos siguientes muestran los
dos enfoques, el de rapidez y el de velocidad.
El comportamiento de la gráfica de la Figura es sugerente; los
segmentos tienden a parecerse a una línea recta. ¿Si seguimos
reduciendo los intervalos podremos obtener información más
precisa sobre la rapidez y la velocidad?

35. Nótese que la reducción del intervalo nos permitió obtener
velocidades que no pudimos apreciar cuando se tomaron
intervalos de uno en uno. Este hecho permite pensar en la
posibilidad de que al reducir lo suficiente el intervalo
podemos obtener la rapidez o la velocidad en cualquier
punto? ¿Qué tan pequeño debe ser el intervalo para conseguir
tal exactitud?

36. Los cambios infinitamente pequeños
y la velocidad instantánea
Con la rapidez y la velocidad medias hemos estudiado la
variación por intervalos relativamente grandes pero en la
realidad los cambios no suceden a saltos. En la gran
mayoría de los fenómenos físicos y de otros fenómenos
estudiados por otras disciplinas, los cambios son
continuos, o continuos por tramos.
Esto quiere decir que cambian a cada instante, dada la ley
de algún movimiento, sólo hemos podido calcular su
rapidez y velocidad en determinados intervalos, y esto da
una aproximación poco precisa acerca del
comportamiento de los cambios.

37. Sí la velocidad de los cambios es constante, con sólo utilizar
el concepto de velocidad media se puede predecir la
velocidad en cualquier intervalo o en un instante cualquiera.
Se ilustrará esto para el caso del desplazamiento de un
cuerpo que se rige mediante la fórmula:
s(t) = 5t + 5.
Se sabe que v está dada por:
También se sabe que Δs para el caso que nos ocupa es
equivalente a 5Δt, por lo que v queda:

38. La velocidad media v depende de t, entonces puede
expresarse como
v(t) = 5
nótese que v no es afectada por Δt, es decir, no importa que
tan grande o qué tan pequeño sea lo que cambie el tiempo.
De todas maneras, la razón entre el cambio de distancia
(Δs) y el cambio del tiempo (Δt) siempre será una
constante.
En el caso en que la velocidad varía a cada instante, como
es el caso del cuerpo que se mueve de acuerdo con la
fórmula s(t) = 20t – 5t², el cálculo parece no ser tan
sencillo. Por ejemplo ¿Cuál es la velocidad de este cuerpo
exactamente en t = 1 segundo?

39. Se intentará resolver lo anterior con la fórmula inicial para el
cálculo de la velocidad o rapidez media:
de donde v queda como:
Se ha llegado así a una indeterminación. ¿Por qué? Porque se
ha aplicado la fórmula de la velocidad media para un
problema en el que se pide la velocidad en un instante.
¿Entonces es imposible calcular la velocidad exactamente en
un instante?

40. ¿Habrá algún método que permita calcular
la velocidad instantánea?
El problema es averiguar la velocidad exactamente en el
primer segundo, parece razonable asignar variaciones de
tiempo de manera que se acerquen a t = 1. Como el
cociente que da la velocidad media en t = 1 se indetermina,
se investigará ahora que está pasando con las velocidades
medias muy cerca de t = 1.
Para sistematizar los procedimientos haremos que ti sea
fijo; para el caso que nos ocupa ti= 1, y el que cambiara es
tf de modo que los cambios de distancia dados por:
sean cada vez más pequeños respecto de ti . Se aplicará un
acercamiento por la derecha.

42. La sucesión se aproxima de forma ascendente a 10. ¿Qué pasará
con esta sucesión si hacemos que la magnitud del intervalo siga
disminuyendo infinitamente? ¿Qué pasa si el cambio del tiempo
es infinitamente pequeño, es decir que tf esté infinitamente
cercano a 1?
Para tener más elementos se explorará qué pasa si
Δt = 0.00000000001
utilizando una calculadora se obtiene que la velocidad media es
v = 9.99999999995
¡Este número está mucho más cerca de 10!

43. Todo indica que la sucesión de velocidades medias se acerca
cada vez más a 10, de manera que la diferencia entre este
número y la última velocidad media que pudiésemos calcular,
sería insignificante. Por lo tanto, puede plantearse una
hipótesis básica:
Si Δt es un cambio infinitamente pequeño, en este caso
infinitamente cercano a ti = 1, entonces la velocidad del
cuerpo en t = 1 es exactamente igual a 10 m/s.
¿Sucederá lo mismo con acercamiento a t = 1 por la izquierda?

45. También en este caso la sucesión de cocientes se acerca a 10,
pero ahora lo hace de manera descendente. Este resultado
refuerza nuestra hipótesis acerca de la velocidad instantánea.
Analícense las dos sucesiones de velocidades medias en una
misma tabla:
Las sucesiones de cocientes que representan a las velocidades
medias, muy cerca de ti= 1 se comportan de modo que las
dos tienden a 10, tanto por la derecha como por la izquierda.
¿Si se siguiera reduciendo Δt hasta que fuera infinitamente
pequeño la sucesión de valores de las velocidades promedio
excedería de 10? Si no lo exceden entonces diremos que 10 es
el límite o tope del cual no pasan ambas sucesiones.

46. Para representar a la velocidad instantánea utilizaremos la
notación:
VELOCIDAD INSTANTÁNEA =
En estas condiciones el cuerpo que se mueve de acuerdo con
la fórmula s(t) = 20t – 5 t² , tiene una velocidad de 10 m/s
exactamente en t = 1. Los procedimientos numéricos que
permitieron obtener la sucesión de velocidades medias
pueden quedar condensados en la siguiente expresión:

47. ¿Cómo se calcula la velocidad instantánea?
1. El problema principal consiste en la imposibilidad de
calcular la velocidad en un instante o en un punto por medios
aritméticos conocidos.
2. La estrategia central del método consiste, ya que se
desconoce la velocidad en un punto, en explorar qué ocurre
con la sucesión de velocidades medias muy cerca del punto en
cuestión, acercándose a éste tanto por la derecha como por la
izquierda.
3. La sucesión de velocidades medias que resulta de los
cocientes entre cantidades cada vez más pequeñas que se
obtienen, a su vez, al reducir el intervalo de variación.
4. La velocidad instantánea se evalúa cuando el cambio de
tiempo es infinitamente pequeño. La sucesión de cocientes de
cambios cada vez más pequeños de distancia y tiempo tiende
a un número. Este número es su límite. Tal número es la
velocidad Instantánea buscada.

48. BIBLIOGRAFÍA
UNA INTRODUCCIÓN A LA DERIVADA
MEDIANTE LA VARIACIÓN
CUADERNOS DIDÁCTICOS VOLUMEN 6
DR. CRISÓLOGO DOLORES FLORES
GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA S. A. DE C. V.
Presentación por:
Prof. Carlos Vázquez López
Cálculo Diferencial
Preparatoria Federal por Cooperación
Nicolás Bravo
Zihuatanejo Gro.