APLICACIONES DE LIMITES Y DERIVADAS

1. APLICACIÓN DE
LIMITES Y
DERIVADAS

3. Capítulo 10: Límites y continuidad
10.1 Límites
Ejemplo 1 – Estimación de un límite a partir de una gráfica
• El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es el número L, que se escribe
a. Estime límx→1 f (x) a partir de la gráfica.
Solución:
b. Estime límx→1 f (x) a partir de la gráfica.
Solución:
( ) L
x
f
a
x
=
→
lím
( ) 2
lím
1
=
→
x
f
x
( ) 2
lím
1
=
→
x
f
x

4. Capítulo 10: Límites y continuidad
10.1 Límites
Propiedades de los límites
1.
2. para cualquier entero positivo n
3.
4.
5.
( ) constante
una
es
donde
,
lím
lím c
c
c
x
f
a
x
a
x
=
=
→
→
n
n
a
x
a
x =
→
lím
( ) ( )
  ( ) ( )
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x →
→
→

=
 lím
lím
lím
( ) ( )
  ( ) ( )
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x →
→
→

=
 lím
lím
lím
( )
  ( )
x
f
c
x
cf
a
x
a
x →
→

= lím
lím

5. Es el cociente
siempre que
de los límites,
el límite del
denominador no sea 0.
LÍMITE DE UN
COCIENTE
Ejemplo:
𝐥𝐢𝐦
𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂 𝒈(𝒙)
= 𝒙→𝒂
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙)
𝒙→𝒂
lim
𝑥→1
2𝑥2 + 𝑥 − 3
𝑥3 + 4
lim(2𝑥2 + 𝑥 − 3)
lim(𝑥3 + 4)
𝑥→1
= 𝑥→1 =
1 + 4
2 + 1 − 3 0
5
= = 0

6. Para cualquier entero positivo n
LÍMITE DE UNA
POTENCIA
Ejemplo:
lim 𝑥2 = 62 = 36
𝑥→6
𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒏 = 𝒂𝒏
𝒙→𝒂

7. Si f es una función polinomial,
entonces:
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
POLINÓMICA
𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒂
𝒙→𝒂
Ejemplo:
Sustituyendo -3 por x ya que x3 + 4x2 – 7 es una función
polinomial:
lim ( 𝑥3 + 4𝑥2 − 7) = −3 3 + 4 −3 2 − 7 = 2
𝑥→ −3
lim 2 ℎ − 1 = 2( 3 − 1) = 4
ℎ→ 3

8. Podemos determinar el límite de
una función racional cuando x→
a por sustitución directa, con tal
que el denominador sea distinto
de cero en a.
LÍMITE DE UNA RAÍZ
Ejemplo:
𝐥𝐢𝐦 𝒏
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝒏 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂
𝑥→
Si n es par, requerimos que lim 𝑓(𝑥) sea positivo
lim 𝑡2 + 1 =
𝑡→4
lim 𝑡2 + 1 = 17
𝑡→4

9. Donde p > 0
LÍMITE EN EL INFINITO
Ejemplo:
𝒙→∞ 𝒙𝒑
𝟏
𝐥𝐢𝐦 = 𝟎 𝐥𝐢𝐦
𝟏
𝒙→ −∞ 𝒙𝒑
= 𝟎
lim
𝑥→∞ 2𝑥2 + 1
4𝑥2 + 5
= lim
4𝑥2 + 5
𝑥2
𝑥→∞ 2𝑥2 + 1
𝑥2
= lim
𝑥2
4𝑥2 5
+ 𝑥2
𝑥→∞ 2𝑥2
+ 1
𝑥2 𝑥2
= lim
5
4 + 𝑥2
𝑥→∞
2 + 1
𝑥2
= 𝑛→∞ 𝑛→∞
1
lim 4 + 5 . lim 𝑥2
𝑛 →∞
lim 2 + lim 1
𝑛→∞ 𝑥2
Como lim
𝑥 →∞
1
𝑥
= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝 > 0,
lim
𝑥 →∞ 2𝑥2 + 1 2 + 0
4𝑥2 + 5 4 + 5(0) 4
2
= = = 2

10. APLICACIONES
• También los límites permiten hacer cálculos para conocer cuándo se agotará un recurso, como
por ejemplo el petróleo, según el consumo en un determinado período de tiempo. La clave
para resolver una función límite es entender: el alcance, los recursos, la capacidad.

11. EJEMPLOS DE LIMITES
1. Cuando vamos en vehículo y llegamos muy cerca al límite de velocidad.
2. Cuando sobrepasamos por poco la rentabilidad de un emprendimiento.
3. Cuando tenemos perdidas al limite de la ganancia.
4. Cuando realizamos estudios de diseño mecánico y estudiamos los limites respecto a ciertas condiciones de diseño.
5. Cuando llegamos al limite de la paciencia.
6. El limite del peso de un ascensor.
7. El limite de altura de un puente.
8. El limite de tiempo en un partido de fútbol.
9. El limite de ejercicio diario.
10.Cuando llegamos al limite de una playa.
•

13. DEFINICIÓN DE DERIVADA
• En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una
función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor
de dicha función matemática, según se modifique el valor de su
variable independiente.
• La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula
como el límite de la rapidez de cambio media de la función en
cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable
independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del
valor de la derivada de una función en un punto dado.

14. REGLAS DE DIFERENCIACIÓN
Límite de un cociente es el
cociente de los límites, siempre
que el límite del denominador no
sea 0.
Derivada de una constante
Ejemplo:
𝒅
𝒅𝒙
𝒄 = 𝟎
𝑑
𝑑𝑥
3 = 0

15. Si n es cualquier número real,
entonces:
DERIVADA DE LA POTENCIA BASE
Siempre que xn-1 este definida. Esto es, la derivada de una
potencia constante de x es igual al exponente multiplicado
por la x elevada a una potencia menor en una unidad que la
de la potencia dada.
Ejemplo:
𝒅
𝒅𝒙
𝒙𝒏 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏
𝒅
𝒅𝒙
𝒙𝟐
= 𝟐𝒙𝟐−𝟏 = 𝟐𝒙

16. Si f es una función diferenciable y c
una constante, entonces cf (x) es
diferenciable y
DERIVADA DEL FACTOR CONSTANTE
Ejemplo:
𝒅
𝒅𝒙
𝒄𝒇 𝒙 = 𝒄𝒇′(𝒙)
Esto es, la derivada de una constante por una función es igual a
la constante por la derivada de la función.
𝒈 𝒙 = 𝟓𝒙𝟑
𝒅
𝒅𝒙
𝟓𝒙𝟑 = 𝟓
𝒅
𝒅𝒙
𝒙𝟑
𝟓 𝟑𝒙𝟑−𝟏 = 𝟏𝟓𝒙𝟐

17. Si f y g son funciones diferenciables, entonces f + g y f – g son
diferenciables
DERIVADA DE LA SUMA O RESTA
Ejemplo:
𝐝
𝐝𝐱
𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙) = 𝒇′ 𝒙 + 𝒈′(𝒙)
𝐝
𝐝𝐱
𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙) = 𝒇′ 𝒙 − 𝒈′(𝒙)
𝐹 𝑥 = 3𝑥5 + 𝑥
𝐹′ 𝑥
𝑑𝑥
𝑑 𝑑
= 3𝑥5 +
𝑑𝑥
𝑥1/2
𝐹′ 𝑥
𝑑
= 3
𝑑𝑥
𝑥5
𝑑
+
𝑑𝑥
𝑥1/2
𝐹′ 𝑥
1
2
= 3 5𝑥4 + 𝑥−1/2 = 15𝑥4 +
1
2 𝑥

18. Esto es la derivada del producto de dos funciones es la primera
función por la derivada de la segunda más la segunda función
por la derivada de la primera.
REGLA DEL PRODUCTO
Ejemplo:
𝒅
𝒅𝒙
𝒇 𝒙 𝐠 𝒙 = 𝒇´ 𝒙 𝐠 𝒙 + 𝒇 𝒙 𝐠´ 𝒙
𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 (4𝑥 + 5)
𝐹′ 𝑥
= 𝑥2 + 3𝑥
𝑑
+ (4𝑥 + 5) 𝑑
𝑥2 + 3𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝐹′ 𝑥
𝐹′ 𝑥
= 𝑥2 + 3𝑥 (4) + (4𝑥 + 5) 2𝑥 + 3𝑥
= 12𝑥2 + 34 + 15

19. La derivada del cociente de dos funciones es el denominador
por la derivada del numerador, menos el numerador por la
derivada del denominador, todo ello dividido entre el cuadrado
del denominador. Siempre que g (x)≠0
DERIVADA DEL COCIENTE
𝒅 𝒇(𝒙)
𝒅𝒙 𝐠(𝒙)
=
𝒇´ 𝒙 𝐠 𝒙 − 𝒇 𝒙 𝐠´ 𝒙
𝐠 𝒙 𝟐

20. 𝐹 𝑥 =
4𝑥2 + 3
2𝑥 − 1
𝐹′ 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥
2𝑥 − 1 𝑑 4𝑥2 + 3 − 4𝑥2 + 3 𝑑 2𝑥 − 1
(2𝑥 − 1)2
𝐹′ 𝑥
=
2𝑥 − 1 (8𝑥) − 4𝑥2 + 3 2
(2𝑥 − 1)2
𝐹′ 𝑥 =
8𝑥2 − 8𝑥 − 6
(2𝑥 − 1)2
=
2(4𝑥2 − 4𝑥 − 3)
(2𝑥 − 1)2
Ejemplo:

21. Si y es una función diferenciable de u y u
entonces y es una función diferenciable
de x.
DERIVADA DE LA CADENA
Ejemplo:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
es una función diferenciable de x, =
𝒅𝒚 𝒅𝒖
.
𝒅𝒖 𝒅𝒙
Si 𝑦 = 2𝑢2 − 3𝑢 − 2 y 𝑢 = 𝑥2 + 4 , encontrar dy/dx.
𝑑𝑦 𝑑
=
𝑑𝑥 𝑑𝑢
2𝑢2 − 3𝑢 − 2 .
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 + 4

22. 𝑑
𝑑𝑥
= 4𝑢 − 3 . 2𝑥
• Podemos escribir la respuesta sólo en términos de x reemplazando u
• por 𝑥2 + 4
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 4 𝑥2 + 4 − 3 2𝑥 = 4𝑥2 + 13 2𝑥
= 8𝑥3 + 26𝑥.

23. Ejemplo 5 – Razón de cambio de volumen
Un globo esférico es inflado con aire. Encuentre la
razón de cambio del volumen de aire dentro del
globo con respecto a su radio. Evalúe esta razón de
cambio cuando el radio es de 2 pies.
Solución: La razón de cambio de V con respecto a r es
Cuando r = 2 pies, ( ) 2
2
4
3
3
4
r
r
dr
dV

 =
=
( )
pie
pie
16
2
4
3
2
2

 =
=
=
r
dr
dV

24. Aplicaciones de la razón de cambio a la Economía
• La función de costo total es c = f(q).
• El costo marginal se define como .
• La función de ingreso total es r = f(q).
• El ingreso marginal se define como .
dq
dc
dq
dr
Razones de cambio relativa y porcentual
• La razón de cambio relativa de f(x) es .
• La razón de cambio porcentual de f(x) es
( )
( )
x
f
x
f '
( )
( )
( )
%
100
'
x
f
x
f

25. Ejemplo 7 – Costo marginal
Si la ecuación de costo promedio de un fabricante es
encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el
costo marginal cuando se producen 50 unidades?
Solución: El costo es
Costo marginal cuando q = 50,
q
q
q
c
5000
5
02
.
0
0001
.
0 2
+
+
−
=
5000
5
02
.
0
0001
.
0
5000
5
02
.
0
0001
.
0
2
3
2
+
+
−
=








+
+
−
=
=
q
q
q
q
q
q
q
c
q
c
5
04
.
0
0003
.
0 2
+
−
= q
q
dq
dc
( ) ( ) 75
.
3
5
50
04
.
0
50
0003
.
0
2
50
=
+
−
=
=
q
dq
dc

26. Ejemplo 5 – Razón de cambio de volumen
Un globo esférico es inflado con aire. Encuentre la
razón de cambio del volumen de aire dentro del
globo con respecto a su radio. Evalúe esta razón de
cambio cuando el radio es de 2 pies.
Solución: La razón de cambio de V con respecto a r es
Cuando r = 2 pies, ( ) 2
2
4
3
3
4
r
r
dr
dV

 =
=
( )
pie
pie
16
2
4
3
2
2

 =
=
=
r
dr
dV

27. Aplicaciones de la razón de cambio a la Economía
• La función de costo total es c = f(q).
• El costo marginal se define como .
• La función de ingreso total es r = f(q).
• El ingreso marginal se define como .
dq
dc
dq
dr
Razones de cambio relativa y porcentual
• La razón de cambio relativa de f(x) es .
• La razón de cambio porcentual de f(x) es
( )
( )
x
f
x
f '
( )
( )
( )
%
100
'
x
f
x
f

28. Ejemplo 7 – Costo marginal
Si la ecuación de costo promedio de un fabricante es
encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el
costo marginal cuando se producen 50 unidades?
Solución: El costo es
Costo marginal cuando q = 50,
q
q
q
c
5000
5
02
.
0
0001
.
0 2
+
+
−
=
5000
5
02
.
0
0001
.
0
5000
5
02
.
0
0001
.
0
2
3
2
+
+
−
=








+
+
−
=
=
q
q
q
q
q
q
q
c
q
c
5
04
.
0
0003
.
0 2
+
−
= q
q
dq
dc
( ) ( ) 75
.
3
5
50
04
.
0
50
0003
.
0
2
50
=
+
−
=
=
q
dq
dc

29. Ejemplo 9 – Razones de cambio relativa y porcentual
Determine las razones de cambio relativa y
porcentual de
cuando x = 5.
Solución:
( ) 25
5
3 2
+
−
=
= x
x
x
f
y
( ) 5
6
' −
= x
x
f
( ) ( )
( )
( )
%
3
.
33
333
.
0
75
25
5
5
'
cambio
%
25
5
5
6
5
'
=

=
=
=
−
=
f
f
f

30. Se dan funciones de costo, donde c es el costo de
producir q unidades de un producto. Para cada caso
encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo
marginal para el valor o valores dados de q?
La derivada de la función de costo, representa la función
de costo marginal
Ejemplo 1

31. Ejemplo 2
A. Calculamos la derivada de la función de costo, ésta es el costo marginal
B. Calculamos el costo marginal para los valores de q requeridos.

32. Representa el costo promedio por unidad, que es una función del
número q de unidades producidas. Encuentre la función de costo
marginal y el costo marginal
para los valores indicados de q.

33. GRAFICA DEL COSTO MARGINAL

36. INGRESO MARGINAL

38. R representa el ingreso total y es una función del número
q de unidades vendidas. Encuentre la función de ingreso
marginal para los valores indicados de q.
1.
2.
3.

39. RESOLVER
a)
b)
c)