ud 11 derivadas

1. UD 11:
DERIVADAS
PROF: ALFONSO NAVARRO
1º BACHILLERATO CCSS

2. ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN
2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
4. REGLAS DE DERIVACIÓN
5. DERIVADAS ELEMENTALES
6. APLICACIONES
6.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
6.2. OPTIMIZACIÓN

3. 1. INTRODUCCIÓN
RESEÑA HISTÓRICA
Fueron Newton y Leibniz quienes, de manera simultánea,
comenzaron a estudiar el concepto de derivada en el siglo XVII.
11DERIVADAS

4. 1. INTRODUCCIÓN
APLICACIONES
11DERIVADAS
a = v ´ (t)
Optimización
Monotonía y curvatura
Representación gráfica de
funciones

5. 1. INTRODUCCIÓN
APLICACIONES
11DERIVADAS
Una caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 160
cm3. El precio del material utilizado para la base es de 3 euros por
centímetro cuadrado, y el utilizado para las caras laterales y la tapa
es de 2 euros por centímetro cuadrado.
Calcula las dimensiones de la caja para que resulte lo más
económica posible.

6. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
2.1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM)
11DERIVADAS
Denominamos TVM de una función f entre dos valores a y b a la
expresión:
Representa la pendiente de la recta que une los puntos A(a,f(a)) y
B(b, f(b)).
𝑇𝑉𝑀 𝑎, 𝑏 =
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎

7. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
11DERIVADAS
El siguiente gráfico
muestra el tiempo y la
distancia recorrida por
un tren en el trayecto
Madrid – Alicante.
La TVM representará la
velocidad media del
tren en los diferentes
intervalos. Calcula:
1. Distancia Madrid-
Alicante.
2. Tiempo del trayecto.
3. Velocidad media.

8. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
EJERCICIO RESUELTO
11DERIVADAS
Calcular la TVM en el intervalo [3, 6] de la función:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 3𝑥
Solución:
𝑇𝑉𝑀 3,6 =
𝑓 6 − 𝑓(3)
6 − 3
=
18 − 0
3
= 6
𝑓 3 = 32
− 3 · 3 = 9 − 9 = 0
𝑓 6 = 62
− 3 · 6 = 36 − 18 = 18

9. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
EJERCICIOS PROPUESTOS
11DERIVADAS
1. Calcular la TVM en el intervalo [-2, 1] de la función:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 1
2. Calcular la TVM en el intervalo [3, 4] de la función:
𝑓 𝑥 = 𝑥3
− 2

10. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
2.2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA (TVI)
11DERIVADAS
Denominamos TVI de una función f en un punto 𝑥 𝑜 como:
Representa la pendiente de la recta tangente de la función f en el
punto 𝑥 𝑜.
𝑇𝑉𝐼 𝑥 𝑜 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 𝑜 + 𝑕 − 𝑓(𝑥 𝑜)
𝑕

11. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
11DERIVADAS

12. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
11DERIVADAS
El procedimiento que emplea la guardia civil para multar a un
vehículo que excede la velocidad permitida se fundamenta en este
concepto.
El radar mide la velocidad del coche en una variación de tiempo lo
más pequeña posible.

13. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
EJERCICIO RESUELTO
11DERIVADAS
Calcular la velocidad de un vehículo cuyo desplazamiento tiene por
ecuación:
𝑓 𝑥 = 0,1𝑥2
+ 118𝑥 + 143,3
en el instante x = 4 horas.
Solución:
Según el concepto de TVM podemos tomar valores próximos a 4
tanto por encima como por debajo para saber realmente el valor que
tomar la función en el punto 4.
𝑇𝑉𝑀 4.01,4 =
𝑓 4.01 − 𝑓(4. )
4.01 − 4.
=
328,48801 − 327,3
0,01
= 118,801
𝑇𝑉𝑀 4,3.99 =
𝑓 4 − 𝑓(3.99)
4 − 3.99
=
327,3 − 326,11201
0,01
= 118,799

14. 2. TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
11DERIVADAS
Podemos concluir entonces que la velocidad del coche era de 118,8
km/h en el momento de medición de la velocidad.
En realidad lo que hemos calculado ha sido la velocidad instantánea
del vehículo o la derivada de la función en el punto x = 4.

15. 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
3.1. CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
11DERIVADAS
Denominamos derivada de una función 𝑓: 𝑋 → ℝ, en un punto 𝑥 ∈
𝑋 (siendo X un intervalo abierto) y lo denotamos por 𝑓 ´ 𝑥 a la
expresión:
Representa la pendiente de la recta en el punto de abcisa x (en la
imagen x=a ; m = tg𝛽)
𝑓 ´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥)
𝑕

16. 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
3.2. FUNCIÓN DERIVADA
11DERIVADAS
Denominamos función derivada a aquella función f:
𝑓: ℝ → ℝ
x → 𝑓 ´ (𝑥)
que a cada x, donde es derivable, le asocia su función derivada.

17. 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
11DERIVADAS
EJEMPLO
Supongamos que el desplazamiento de un móvil en función del
tiempo viene dado por la ecuación𝑓 𝑥 = 𝑥2.
Calcularemos la derivada (su velocidad) en el instante x = 2.
𝑓 ´
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥)
𝑕
= lim
ℎ→0
𝑥 + 𝑕 2 − 𝑥2
𝑕
= lim
ℎ→0
𝑥2 + 𝑕2 + 2𝑥𝑕 − 𝑥2
𝑕
= lim
ℎ→0
𝑕(𝑕 + 2𝑥)
𝑕
= lim
ℎ→0
2𝑥 = 2𝑥
Como x = 2  𝑓 ´
2 = 2 · 2 = 4 Valor que coincide con la velocidad
y la pendiente de la recta tangente a la función en x = 2.

18. 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
11DERIVADAS

19. 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
11DERIVADAS
En el ejemplo anterior hemos calculado la derivada de la función a
partir de su definición. En un proceso que no siempre resulta sencillo
y por consiguiente es conveniente aprenderse las derivada de las
funciones elementales en vez de estar calculándolas a partir de la
definición continuamente.

20. 4. REGLAS DE DERIVACIÓN
11DERIVADAS
1.DERIVADA DE UNA CONSTANTE 𝑓 𝑥 = 𝐾 → 𝑓´ 𝑥 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ
2. DERIVADA DE PRODUCTO POR
CONSTANTE
𝑓 𝐾 · 𝑥 ´ = 𝐾 · 𝑓´ 𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ
3. DERIVADA DE LA SUMA/RESTA 𝑓 ± 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 ± 𝑔´(𝑥)
4. DERIVADA DE UNA PRODUCTO 𝑓 · 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 𝑔´ 𝑥 + 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥)
5. DERIVADA DE UNA COCIENTE
𝑓
𝑔
´ 𝑥 =
𝑓´ 𝑥 𝑔´ 𝑥 − 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥)
[𝑔 𝑥 ]2
6. DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN 𝑓 𝑔 𝑥 ´ = 𝑓´ 𝑔 𝑥 · 𝑔´(𝑥)

21. 5. DERIVADAS ELEMENTALES
11DERIVADAS
5.1. Derivada de la función potencial 𝐲 = 𝒙 𝒏 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒏 ∈ ℝ
Sea una función y = xn
se cumple que su derivada es la función:
y´ = n · xn−1
Generalizando: y = xf(x) → y ´ = f´ 𝑥 · 𝑥 𝑓 𝑥 −1
EJEMPLOS
a) y = x3
→ y´ = 3x2
b) y = 4x2 → y´ = 8x
c) y = −x4
→ y´ = −4x3
d) y = 7 → y´ = 0
e) y =
3
𝑥
= 3𝑥−1 → y´ = −3x−2=
−3
𝑥2
f) y = 𝑥 = 𝑥1/2
→ y ´ =
1
2
x
1
2
−1
=
1
2
x
−1
2 =
1
2 𝑥
g) y = 𝑥25
= 𝑥2/5 → y ´ =
2
5
x
2
5
−1
=
2
5
x
−3
5 =
2
5 𝑥35

22. 5. DERIVADAS ELEMENTALES
11DERIVADAS
5.2. Derivada de la función exponencial 𝐲 = 𝒂 𝒙 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ∈ ℝ+
Sea una función y = ax
se cumple que su derivada es la función:
y´ = ax · ln(a)
Caso particular y = ex → y´ = ex
Generalizando: y = af(x) → y ´ = f´ 𝑥 · 𝑎 𝑓 𝑥 · ln(𝑎)
y = ef(x)
→ y ´ = f´
𝑥 · 𝑒 𝑓 𝑥
EJEMPLOS
a) y = 5x → y´ = 5x · 𝑙𝑛5
b) y = 2x
→ y ´ = 2x
· 𝑙𝑛2
c) y = 37x
→ y ´ = 7 · 37𝑥
· 𝑙𝑛3
d) y = e 𝑥2
→ y ´ = 2𝑥 · 𝑒 𝑥2

23. 5. DERIVADAS ELEMENTALES
11DERIVADAS
5.3. Derivada de la función logarítmica 𝐲 = 𝒍𝒏𝒙 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒙 ∈ ℝ+
Sea una función y = lnx se cumple que su derivada es la función:
y´ =
1
𝑥
Caso y = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 → y´ =
1
𝑥·𝑙𝑛𝑎
Generalizando: y = ln 𝑓 𝑥 → y ´ =
𝑓 ` 𝑥
𝑓 𝑥
y = 𝑙𝑜𝑔 𝑎(𝑓 𝑥 ) → y´ =
𝑓 `(𝑥)
𝑓 𝑥 · ln 𝑎
EJEMPLOS
a) y = ln 5𝑥 → y´ =
5
5𝑥
=
1
𝑥
b) y = ln −𝑥3 → y´ =
3𝑥2
−𝑥3 =
−3
𝑥
c) y = l𝑜𝑔 5𝑥 + 6 → y´ =
5
5𝑥+6 ·ln 10

24. 11DERIVADAS
6.1. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
La derivada nos permite determinar la pendiente de la recta tangente a la
función en un determinado punto. Para ello podemos emplear la siguiente
expresión:
6. APLICACIONES

25. 11DERIVADAS
EJERCICIO
Dada la siguiente función:
a) Encuentra su función derivada.
b) Representa gráficamente la función.
c) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función en el
punto de abcisa x = - 3.
y = x2
− 9
6. APLICACIONES

26. 6. APLICACIONES
11DERIVADAS
6.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES (monotonía)
Como hemos visto la derivada de una función indica el valor de la
pendiente de la recta tangente.
Pueden darse los siguientes tres casos según el signo de la derivada:
1. f ´(x) > 0  la función es creciente.
2. f ´(x) < 0  la función es decreciente.
3. f ´(x) = 0  posible punto crítico (máximo o mínimo)

27. 6. APLICACIONES
11DERIVADAS
EJERCICIO RESUELTO
Estudiar la monotonía y puntos críticos de la función f(x) = x^3-3x+2
Solución:
1º Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero.
f ´(x) = 3x^2-3
f ´(x) = 3x^2 – 3 = 0  x = 1 ; x = -1 (candidatos a extremos,
junto a otros posibles puntos que no pertenezcan al dominio)
2º Estudiamos el signo de la derivada en las proximidades de los puntos
candidatos.
(-inf , -1) (-1 , 1) (1 , + inf)
Signo f ´ (x) + - +
crece decrece crece
3º El punto (-1, 4) es un máximo y (1, 0) es un mínimo.

28. 6. APLICACIONES
11DERIVADAS
6.3. OPTIMIZACIÓN
Los problemas de optimización se reducen a encontrar los extremos
relativos de una función:
1. Escribimos la función que deseamos optimizar.
2. Si la función tiene más de una variable, relacionamos las variables
con los datos del enunciado para conseguir una función de una
variable.
3. Obtenemos los máximos y mínimos de la función.
4. Comprobamos que los resultados obtenidos tienen sentido y se
adecuan a las condiciones del enunciado.

29. 6. APLICACIONES
11DERIVADAS
PROBLEMA
Una caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 160
cm3. El precio del material utilizado para la base es de 3 euros por
centímetro cuadrado, y el utilizado para las caras laterales y la tapa
es de 2 euros por centímetro cuadrado.
Calcula las dimensiones de la caja para que resulte lo más
económica posible.