antiderivadas

1. Universidad de Valpara´ıso
Ingenier´ıa Civil
Formulario Civ 211
1. a) k dx = kx + C, k, C ∈ R
b) xn
dx =
xn+1
n + 1
+ C, n ∈ Q − {−1}, C ∈ R
c)
dx
x
= ln |x| + C, C ∈ R
d) ebx
dx =
ebx
b
+ C, b = 0, C ∈ R
e) abx
dx =
abx
b ln(a)
+ C, a > 0, b = 0, C ∈ R
f ) cos(x) dx = sin(x) + C, C ∈ R
g) sin(x) dx = − cos(x) + C, C ∈ R
h) tan(x) dx = ln | sec(x)| + C, C ∈ R
i) cot(x) dx = ln | sin(x)| + C, C ∈ R
j) sec(x) dx = ln | sec(x) + tan(x)| + C, C ∈ R
k) csc(x) dx = ln | csc(x) − cot(x)| + C, C ∈ R
l) sec2
(x) dx = tan(x) + C, C ∈ R
m) tan2
(x) dx = tan(x) − x + C, C ∈ R
n) sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C, C ∈ R
˜n)
dx
1 + x2
dx = arctan(x) + C, C ∈ R
o)
dx
√
1 − x2
dx = arcsin(x) + C, C ∈ R
2. Sustituciones trigonom´etricas:
a)
√
x2 + a2 : x = a tan(α), dx = a sec2
(α) dα,
√
x2 + a2 = a sec(α)
b)
√
x2 − a2 : x = a sec(α), dx = a sec(α) tan(α) dα,
√
x2 − a2 = a tan(α)
c)
√
a2 − x2 : x = a sin(α), dx = a cos(α) dα,
√
a2 − x2 = a cos(α)
3. Sustituci´on por el ´angulo medio: t = tan(x/2), dx =
2 dt
1 + t2
, sin(x) =
2t
1 + t2
, cos(x) =
1 − t2
1 + t2
4. La integral definida como l´ımite:
b
a
f(x) dx = l´ım
n→∞
b − a
n
n
k=1
f a +
k(b − a)
n
5. Algunas sumatorias:
a)
n
k=1
k =
n(n + 1)
2
b)
n
k=1
k2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
c)
n
k=1
k3
=
n(n + 1)
2
2
d)
n
k=1
rk
= r
1 − rn
1 − r
donde r ∈ R es
una constante distinta de 1
e)
n
k=0
rk
=
1 − rn+1
1 − r
donde r ∈ R
es una constante distinta de 1
f )
n
k=1
r = nr donde r ∈ R es una
constante.
g)
n
k=0
r = (n + 1)r donde r ∈ R es
una constante.

2. 2
6. Volumen de un s´olido al rotar respecto del eje x: V = π
b
a
f(x)2
dx
7. Volumen de un s´olido al rotar respecto del eje y: V = 2π
b
a
x f(x) dx
8. ´Area de una superficie de revoluci´on: A = 2π
b
a
f(x) 1 + (f′(x))2 dx
9. Criterio de comparaci´on:
a) Supongamos 0 ≤ f(x) ≤ g(x)
1) Si
+∞
1
g(x) dx converge, entonces
+∞
1
f(x) dx converge
2) Si
+∞
1
f(x) dx diverge, entonces
+∞
1
g(x) dx diverge
b) Supongamos 0 ≤ ak ≤ bk
1) Si
n
k=1
bk converge, entonces
+∞
k=1
ak converge
2) Si
n
k=1
ak diverge, entonces
+∞
k=1
bk diverge
10. Criterio de comparaci´on al l´ımite:
a) Supongamos que l´ım
x→∞
f(x)
g(x)
= L > 0, entonces
+∞
1
f(x) dx converge (diverge) equivale a decir que
+∞
1
g(x) dx
converge (diverge)
b) Supongamos l´ım
k→∞
ak
bk
= L > 0, entonces
+∞
k=1
ak converge (diverge) equivale a decir que
+∞
k=1
bk converge (o diverge)
11. Criterio del Cuociente: Suponga que l´ım
k→∞
ak+1
ak
= L ≥ 0
a) Si L < 1, entonces la serie
+∞
k=1
ak converge
b) Si L > 1, entonces la serie
+∞
k=1
ak diverge
12. Criterio de la ra´ız: Suponga que l´ım
k→∞
n
|ak| = L ≥ 0
a) Si L < 1, entonces la serie
+∞
k=1
ak converge
b) Si L > 1, entonces la serie
+∞
k=1
ak diverge
13. ´Area en coordenadas polares:
1
2
b
a
f(α)2
dα ; Longitud en coordenadas param´etricas:
b
a
(x′(t))2 + (y′(t))2dt